分类号 O15
陕西师范大学学士学位论文
伴随矩阵的性质及其应用
作 者 单 位 数学与信息科学学院 指 导 老 师 作 者 姓 名 甲 乙 丙 专 业、班 级 数学与应用数学专业10级1班 提 交 时 间 2013年5月
伴随矩阵的性质及其应用
甲乙丙
(数学与信息科学学院2009级1班) 指导教师 杨小莉 副教授
摘 要: 本文首先采用了分析、归纳和比较的方法对一般伴随矩阵的性质进行了全面地阐述与总结；然后对特殊的伴随矩阵——自伴随矩阵的性质进行了研究与发掘；接着用“等价分类”的思想对n 阶实对称自伴随矩阵进行了分类；最后指出了伴随矩阵的性质在硕士研究生考试命题中的应用．
关键词: 伴随矩阵; 自伴随矩阵; 伴随矩阵的性质
The qualities and applications of the Adjoint Matrix
JIA Yi-bing
(Class 1,Grade 2009,College of Mathematics and Information Science)
Advisor: Lecturer YANG Xiao-li
Abstract : In this dissertation, the methods of analysis, induction and comparison are firstly employed to elaborate on the qualities of the general adjoint matrix comprehensively and systematically, secondly the qualities of a kind of special matrix, i.e., self-adjoint matrix, are explored, then the technique of equivalence classification is used to classify the n order real symmetric self-adjoint matrix. Finally, the applications of the adjoint matrix and its qualities in the postgraduate examinations are indicated.
Key words: adjoint matrix; self-adjoint matrix; qualities of adjoint-matrix;
在高等数学中，矩阵扮演了及其重要的角色．例如，在求解线性方程组解的过程中，人们利用矩阵不仅可以简洁明了地表示原先大型复杂的线性方程组，而且根据矩阵的性质还可以方便地判断线性方程组解的情况，甚至还可以用矩阵来
表示出线性方程组的解．
伴随矩阵是人们在研究逆矩阵时引入的，利用伴随矩阵我们可以得到原矩阵的逆矩阵．而且通过对伴随矩阵的性质的研究[2,4,6]，人们不难发现它与原矩阵之间存在许多相似之处[5]．例如，由原矩阵的可逆性易得到所对应的伴随矩阵的可逆性，两个矩阵之间的等价、相似、合同等关系也可以被它们所对应的伴随矩阵很好的复制过去，从而通过对伴随矩阵性质的研究可以推测原矩阵的性质．
另外，在近几年的数学类硕士研究生招生考试中[3,7,9]，有关伴随矩阵的题目也经常出现．如果考生能够了解一些有关伴随矩阵的性质，那么对他们的解题无疑会有巨大的帮助．因而，对伴随矩阵性质及其应用的研究具有重要的理论意义和应用价值．
本文首先将简单介绍伴随矩阵的定义及表示法；然后将系统论证一般伴随矩阵所拥有的共同性质，主要分为两类：其一是关于单个伴随矩阵的性质，其二是关于两个及其以上的伴随矩阵之间关系的性质；接着将对一类特殊伴随矩阵——自伴随矩阵进行研究，并成功对其分类；最后我们将结合实例指出伴随矩阵在研究生入学考试命题中所处重要的地位．
1 伴随矩阵的定义及其表示
1.1 伴随矩阵的定义
定义1.1.1[1] 设A ij 是矩阵
⎛a 11
a 21A =
a ⎝n 1
中元素a ij 的代数余子式，矩阵
⎛A 11 A A *= 12
A ⎝1n
a 12 a 1n ⎫
⎪
a 22 a 2n ⎪
⎪
⎪
a 2n a nn ⎪⎭
A 21 A n 1⎫
⎪
A 22 A n 2⎪
⎪ ⎪
A n 2 A nn ⎪⎭
称为A 的伴随矩阵． 1.2 伴随矩阵的表示
本文用A *表示矩阵A 的伴随矩阵．
2 伴随矩阵的性质及其证明
伴随矩阵拥有许多较好的性质，本文以伴随矩阵为研究对象，主要介绍一般伴随矩阵所共同拥有的性质及特殊伴随矩阵——自伴随矩阵所特有的性质．此外还对实对称自伴随矩阵进行了分类． 2.1 一般伴随矩阵性质的“共性”
一般伴随矩阵具有丰富的性质，文中以性质涉及的伴随矩阵的个数入手，将“共性”分为两类，一类是单个伴随矩阵所有的性质，另一类是两个伴随矩阵传递两个原矩阵之间关系的性质． 2.1.1 伴随矩阵的自身性质
性质2.1.1 AA *=A E 证明 不妨设
⎛a 11
a A = 21
a ⎝n 1
由A *的定义可知：
⎛A 11 A A *= 12
A ⎝1n
a 12 a 1n ⎫
⎪
a 22 a 2n ⎪
． ⎪ ⎪
a 2n a nn ⎪⎭
A 21 A n 1⎫
⎪
A 22 A n 2⎪
．
⎪
⎪
A n 2 A nn ⎪⎭
根据矩阵乘法的法则可知，
⎛n
∑a 1i A 1i i =1 n
a 2i A 1i
AA *= ∑
i =1 n a A ∑ni 1i ⎝i =1
∑a 1i A 2i ∑a
i =1n i =1i =1n
2i
n
A 2i A 2i
ni
∑a
⎫a A ∑1i ni ⎪i =1⎪n
⎪
∑a 2i A ni ⎪．
i =1
⎪
⎪n
∑a ni A ni ⎪⎪
i =1⎭
n
⎧A
因为∑a ji A ki =⎨
i =1⎩O
n
j =k j ≠k
(文中O 代表零矩阵) ，所以AA *=A E ．
推论2.1.1 若矩阵A 可逆，则矩阵A *可逆．
证明 因为矩阵A 可逆，所以A ≠0，又由性质2.1.1可得：
AA *=A A *=A E =A ，
n
即
A *=A
n -1
≠0．
所以矩阵A *可逆．
推论2.1.2 若矩阵A 可逆，则A *=A A -1E ．
根据推论1的证明，我们又可以得到伴随矩阵的另一个重要性质： 性质2.1.2 如果矩阵A n ⨯n 可逆，则A *=A 证明见推论2.1.1．
性质2.1.3 若矩阵A , B 为可逆矩阵，则(AB )=B *A *．
*n -1
．
证明 因为(AB )(AB )=AB E =A B E ，所以
*
B -1A -1(AB )(AB )=B -1A -1A B E =B -1B A -1A E =B *A *，
*
即(AB )=B *A *．
*
推论2.1.3 性质2.1.4
(A 1A 2 A n )*=A n *A n -1* A 1*(n ∈N *)
(A )'=(A ')
*
*
证明 不妨设
⎛a 11 a A = 21
a ⎝n 1
从而有
⎛A 11 A A *= 12
A ⎝1n
a 12a 22 a n 2
a 1n ⎫
⎪
a 2n ⎪
，
⎪
⎪
a nn ⎪⎭
A 21 A n 1⎫
⎪
A 22 A n 2⎪
． ⎪ ⎪
A 2n A nn ⎪⎭
又因为
⎛a 11 a A '= 12
a ⎝1n
a 21a 22 a 2n
a n 1⎫
⎪
a n 2⎪
，
⎪
⎪
a nn ⎪⎭
从而
⎛A 11
' A A *= 21
A ⎝n 1
A 12 A 1n ⎫
⎪
A 22 A 2n ⎪
． ⎪ ⎪
A n 2 A nn ⎪⎭
()
所以A
()=(A ')．
*
*
'
性质2.1.5
(A )=(A )
*-1
-1*
证明 因为A -1存在，即A 可逆，且A *可逆，所以AA -1=A -1A *=E *=E ， 即
()()
**
*
(A )=(A )．
*-1
-1*
性质2.1.6 如果矩阵A 为n 阶可逆方阵，k ∈N *，则(kA )=k n -1A *． 证明 因为
(kA )(kA )*=kA E =k n A E ，
所以
(kA )*=k n -1A A -1E =k n -1A *．
性质2.1.7 若矩阵A n ⨯n 为可逆矩阵，则(A *)=A
*
n -2
A ．
证明 因为
(A )(A )=A
*
**
*
E ，
由性质2.1.2可知
A *=A
n -1
，
所以
(A )(A )
*
**
=A
n -1
E ．
两边同乘以A ，得到
A A *A *=A A *=A
()()
*
()
*n -1
A ．
化简，得
(A )
**
=A
n -2
A ．
⎧n r (A )=n ⎪
性质2.1.8 若矩阵A 为n ⨯n 阶方阵，则r (A *)=⎨1r (A )=n -1．
⎪0r (A )≤n -2⎩证明 当r (A )=n 时，由推论2.1.1可知，A *可逆，所以r A *=n ．
当r (A )=n -1时，必有一个(n -1)阶子式不为零，即A *必有一个元素不为零，所以r A *≥1．
又因为AA *=A E =0，r (A )+r A *≤n 且r (A )=n -1，所以r A *≥1． 综上可得r A *=1．
当r (A )≤n -2时，必有每个(n -1)阶子式都为零，所以A *=0，即r A *=0． 2.1.2 伴随矩阵性质的传递性
前面阐述了单个伴随矩阵所具有的性质，下面主要讨论两个伴随矩阵之间关系的性质．
性质2.1.9 如果A ≠0，且A 与B 相似，则A *与B *相似．
证明 因为A =P -1BP ，可逆，所以A =B ≠0，即B 可逆，从而P -1B 可逆． 又因为
()
()
()
()
()
()
A *=P -1BP =P *P -1B =P *B *P -1=P *B *P *
又由P 可逆，可知P *可逆，所以A *与B *相似．
()
*
()
*
()
*
()
-1
，
性质2.1.10 如果A ≠0，且A 与B 合同，则A *与B *合同． 证明 假设A =C ' BC ，其中C 为可逆矩阵，即C ≠0，所以
B =
A C
2
≠0，
即B 可逆，又因为
A *=C ' BC =C *C ' B =C *B *C ' =C *B *C *，
又由C 可逆，可知C *可逆，所以A *与B *合同．
由性质2.1.10，可得到以下推论：
推论2.1.4 若A 为正定矩阵，则A *也为正定矩阵．
()
*
()
*
()
*
()
'
'*
证明 因为A 是正定矩阵，所以A =A ' ，(A ')=A *=(A *)，又因为A 与E 合同，
由性质2.1.10可知，A *与E *合同，即A *与E 合同．所以A *是正定矩阵．
推论2.1.5 若A 为半正定矩阵，则A *也是半正定矩阵． 证明 因为A 是半正定矩阵，所以
'**
A =C ' C (C 为实矩阵) A *=(C 'C )=C *(C ')=C *(C *)．
又因为C *必为实矩阵，所以A *是半正定矩阵．
性质2.1.11 如果矩阵A 与矩阵B 等价，则矩阵A *与矩阵B *等价．
证明 因为矩阵A 与矩阵B 等价，所以不妨设矩阵P , Q 为可逆矩阵，且满足：
A =PBQ ，因此A *=(PBQ )=Q *B *P *，又因为P *与Q *可逆，所以矩阵A *与矩阵B *
*
等价．
2.2 特殊伴随矩阵性质的“个性”
前文论述了一般伴随矩阵所拥有的“共性”，下面主要研究实对称自伴随矩阵的一些性质．
2.2.1 自伴随矩阵性质的“个性”
下面，本文将以自伴随矩阵作为特殊伴随矩阵进行研究，证明其所拥有的性质． 定义2.2.1 若矩阵A 满足条件A =A *，则称A 为自伴随矩阵． 根据定义可以验证单位矩阵和零矩阵都是自伴随矩阵． 自伴随矩阵还具有以下性质：
性质2.2.1 两自伴随矩阵的乘积为自伴随矩阵的充要条件为两矩阵可交换． 证明 不妨设A , B 为自伴随矩阵，即
A =A *, B =B *，
所以
(AB )*=B *A *=BA =AB ，
即AB 为自伴随矩阵．
反过来，若A , B 为自伴随矩阵，且AB 和BA 也是自伴随矩阵，则AB =BA ． 因为
A =A *, B =B *, 且(AB )=AB ，
*
所以
(AB )*=AB =B *A *=BA ．
即A , B 可交换．
性质2.2.2 若A 为自伴随矩阵，则A =±1或者A =0．
证明 由一般伴随矩阵的性质可知：如果矩阵A 为n 阶方阵，则A *=A 又因为A 为自伴随矩阵，则A *=A =A
n -1
n -1
．
，所以A =±1A =0．
推论2.2.1 行列式为1的方阵为自伴随矩阵的充要条件为A 为自逆矩阵． 证明 必要性：若A =1，且A *=A ，则A ⋅A *=A 2=A E =E ，即A 为自逆矩阵．
充分性：若A 2=E ，且A =1，则A *⋅A =A E =E ，因而A *=A -1E =A ， 即A *=A ．
性质2.2.3 若A 为自伴随矩阵，则A '与A k k ∈N *也都是自伴随矩阵． 证明 因为
()
(A ' )*=(A *)'=A '，
所以A '为自伴随矩阵． 又因为A =A *，
(A 1A 2 A n )*=A n *A n -1* A 1*(n ∈N *)，
所以
(A )=(A )
k *
*k
=A k ，
即A k k ∈N *也是自伴随矩阵．
性质2.2.4 若矩阵A 与矩阵B 相似，且A 为自伴随阵，则B 也是自伴随矩阵． 证明 因为A 与B 相似，所以存在可逆矩阵X 使得A =X -1BX ． 因为
()
A *=X -1BX =X *B *X -1=A =X -1BX ，
所以
()
*
()
*
X *B *X -1=X -1BX ，
即
()
*
B =X X *B *X -1=XX *=B *
因此B 是自伴随矩阵．
(
(
())X )B (X )X
*
*
*-1-1
-1
-1
)()=X EB (XX )
*
*-1
=XX *B *X -1X -1
(
*
=X EB *(X E )=X EB *(X )E
推论2.2.2 A 为自伴随矩阵，A 与B 合同，即存在X 使得A =X ' BX ，若X 为正交矩阵，则B 也为自伴随矩阵．
证明 因为X 为正交矩阵，所以X ' =X -1，即可得
A =X -1BX ，
利用性质2.2.4可知B 为自伴随矩阵．
推论2.2.3 一个阶数大于2的非零实对称自伴随矩阵，其行列式值必为1． 证明 因为A =0，所以AA *=A E =O ，即A 2=O ，A =O ． 若A 为实对角自伴随矩阵且A ≠0时，则A =±1． 如果阶数n ≥3且为奇数，因为A
n -2
=1，所以只能是A =1，也就是A =A -1．
如果阶数n ≥4且为偶数，那么也只能是A =1．因为如果A =-1，那么可以得到A 2=AA *=A E =-E ，这样A 就不可能是实对角矩阵．
这就是说当阶数n ≥3时，A 为实对角自伴随矩阵且A ≠0时，则A =1． 因为任意的实对称矩阵都可以与对应的对角矩阵合同，且那个可逆矩阵为正交矩阵，所以利用推论2.2.4可知，若实对称矩阵是自伴随的，则对应的对角阵也是自伴随的，即需要对角矩阵的行列式值为1． 2.2.2 实对称自伴随矩阵的分类
下面是利用合同关系给阶数n ≥3的实对称自伴随矩阵进行分类： (1) 三阶实对称自伴随矩阵只有两类，分别与
⎛100⎫⎛100⎫
⎪ ⎪
0-10或010⎪ ⎪
001⎪ 00-1⎪
⎭⎝⎭⎝
合同．
证明 设实对称矩阵
⎛a 11 A = a 12
a ⎝12
与之对应的对角矩阵为
a 12a 22a 23
a 13⎫⎪a 23⎪， a 33⎪⎭
⎛a 00⎫
⎪A 1= 0b 0⎪，
00c ⎪⎝⎭
则
⎛bc 00⎫ ⎪*
A 1= 0ac 0⎪．
00ab ⎪⎝⎭
因为A 1=A 1，所以 解得：
*
⎧a =bc ⎪
⎨b =ac ⎪c =ab ⎩
⎧a =1⎧a =1⎧a =-1⎧a =-1⎪⎪⎪⎪
⎨b =1或⎨b =-1或⎨b =1或⎨b =-1． ⎪c =1⎪c =-1⎪c =-1⎪c =1⎩⎩⎩⎩
即
⎛100⎫⎛100⎫⎛-100⎫⎛-100⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
A 1(1)= 010⎪或A 1(2)= 0-10⎪或A 1(3)= 010⎪或A 1(4)= 0-10⎪
00-1⎪ 001⎪ 00-1⎪ 001⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为A 1(2), A 1(3), A 1(4)是合同关系，所以设任意一个三阶对角自伴随矩阵必与下面两个矩阵中的其中一个合同．
⎛100⎫⎛100⎫ ⎪ ⎪A 1= 010⎪或A 1= 0-10⎪．
001⎪ 00-1⎪⎝⎭⎝⎭
即三阶对角自伴随矩阵只有这两种情况，因而所有的3阶实对称自伴随矩阵就只能是与这两个矩阵合同．
(2) 四阶实对称自伴随矩阵只有三类．
证明 用类似与上面的方法可以得到：四阶实对称自伴随矩阵分别是与
⎛1 0 0 0⎝
合同的．
000⎫⎛1
⎪
100⎪ 0
或
010⎪ 0
⎪
001⎪⎭⎝0
00
100-10
⎫⎛-1000⎫
⎪⎪
0-100⎪⎪ 或⎪ 00-10⎪
⎪⎪
⎪-1⎭⎝000-1⎪⎭000
⎛n ⎫
(3) 当阶数n ≥3时，所有偶数阶实对称自伴随矩阵有 +1⎪种情况，所有奇
⎝2⎭⎛n +1⎫
数阶实对称自伴随矩阵有 ⎪种．
2⎝⎭
证明 设实对称自伴随矩阵为：
⎛a 11 a
A = 12
a ⎝1n
与之对应的对角矩阵为
⎛a ' 11 0
A 1=
0⎝
a 12 a 1n ⎫
⎪
a 22 a 2n ⎪
，
⎪
⎪
a 2n a nn ⎪⎭
0 a ' 22 0
⎫⎪⎪⎪． ⎪
a ' nn ⎪⎭
00
则
⎛ *
A 1=
⎝
a ' 110 0a ' 22 0
⎫
⎪⎪⎪． ⎪
a ' nn ⎪⎭
00
因为A 1=A 1，所以
⎧a ' 11=a ' 11⎪a ' =a ' ⎪2222
⎨，得到a ii =±1(i =1, 2, , n ) ．
⎪⎪⎩a ' nn =a ' nn
*
因为A =1，所以主对角线上-1的个数必为偶数．
当n 为偶数时，-1的个数可以为(0, 2, 4, , n )，因为具有相同的-1个数的对角
⎛n ⎫
阵是相似（各阶行列式因子相同），所以大于2的偶数阶对角自伴随矩阵只有 +1⎪
⎝2⎭
⎛n ⎫
种情况，因而所有的大于2的偶数阶阶实对称自伴随矩阵就只能有 +1⎪种情况．
⎝2⎭
⎛n +1⎫
当n 为奇数时，我们同样可以得到有 ⎪种．
⎝2⎭
3 伴随矩阵性质的应用
由于伴随矩阵具有良好的性质，因此无论是在数学类还是工学类、经济类的研究生升学考试中其所占分值都较大．
1987—2003年间全国硕士研究生考试数学(工学类和经济类) 命题中伴随矩阵
所占矩阵部分的分值百分比
其余为1987年—2003年．
2. 此处伴随矩阵所占百分比不包括用伴随矩阵求可逆矩阵逆矩阵的情况． 分析上表可以发现，伴随矩阵在考试中处于重要地位，主要原因是它可以和其它很多知识点之间建立关系．不仅可以和矩阵的逆、转置、运算规则，还可以和矩阵的分块、秩等有密切联系．而且对研究生入学考试中有关伴随矩阵的题目进行统计分类可以发现，其中考察其性质占多数，主要有性质2.1.2、性质2.1.6和性质2.1.8等．如果我们的考研同学可以对伴随矩阵有所深入的了解，那对他们解决这类问题无疑会有巨大的帮助．
现摘入少许类型的历年真题，以供参考． 3.1 关于伴随矩阵的运算
例3.1.1 设A , B 为n 阶矩阵，A =2, B =-3，则2A *B -1= 解 由矩阵的运算法则可知，
2A *B -1=2n A *B -1．
又由性质2.1.2可知，
A *=A
n -1
=2n -1，B -1=
11
=-． B 3
所以
2A B
*-1
=2⋅2
n n -1
22n -1⎛1⎫
⋅ -⎪=-
3． ⎝3⎭
1-1
例3.1.2 设三阶方阵A 的伴随矩阵为A *，且A =-，求(3A )-2A *的值．
2
解 由A =
11
可知A 是可逆矩阵且A *=A -1，所以
22
3
2⎫16
(3A )-1-2A *=1A -1-2A *=1A -1-A -1=-2A -1=⎛ -⎪⋅2=-．
33327⎝3⎭其实，像这种简单的应用伴随矩阵性质运算求解的题目还有好多，只要我们能抓住矩阵运算的一般法则，并灵活应用伴随有关性质即可． 3.2 伴随矩阵与矩阵分块
例3.2.1 设A , B 为n 阶矩阵，A *, B *分别为A , B 所对应的伴随矩阵，分块矩阵
⎛A O ⎫
C = O B ⎪⎪
⎝⎭
则 C *=
⎛A A *
A O ⎝⎛A B * C O ⎝
⎛B B *O ⎫
⎪ B *⎪ O B B ⎭⎝⎛B A *O ⎫
⎪ D *⎪ O B A ⎭⎝
O ⎫
⎪ *⎪A A ⎭O ⎫⎪ *⎪A B ⎭
分析：
*-1-1
⎛A O A O A O ⎛⎫⎛⎫B A A O A O ⎛⎫
⎪=A B ⎪= ⎪C *=C C -1== ⎪-1⎪-1⎪ O B ⎝O B ⎭O B ⎝O B ⎭⎝O B ⎭⎝O
-1
O ⎫
⎪． *⎪A B ⎭
所以选D ．
例3.2.2 设A , B 均为2阶矩阵，A *, B *分别为A , B 的伴随矩阵．若A =2, B =3，则分块矩阵
⎛O A ⎫
B O ⎪⎪⎝⎭
的伴随矩阵为:
⎛O 3B *⎫⎛O 2B *⎫ *⎪ B ．A ． *⎪ 2A ⎪ O ⎭O ⎪⎝⎝3A ⎭
⎛O 3A *⎫⎛O ⎪ * C ． 2B *O ⎪ D ． 3B ⎝⎭⎝
分析：类似例3.2.1的分析可知，
O A ⎛O A ⎫⎛O ⎛O A ⎫
-1⎪ ⎪ ==A B B O ⎪ ⎪ B B O ⎝B O ⎭⎝⎭⎝
*
-1
2A *⎫
⎪ O ⎪⎭
A -1⎫⎛O ⎪= * O ⎪⎭⎝A B B A *⎫⎛O 3A *⎫
⎪= ⎪． * ⎪O ⎭⎝2B O ⎪⎭
所以选C ．
例3.2.3 设A 为实对称矩阵，A 的秩为r ，证明：A 可以表示为r 个秩为1的对称方阵之和．
证明 因为A ' =A ，所以存在正交矩阵T 使
⎛λ100⎫
⎪-1
A =T 0 0⎪T ，
00λ⎪
n ⎭⎝
其中λ1, , λn 为A 的特征值．
因为r (A )=r ，不妨设λ1, , λr ≠0，λr +1=λr +2 =λn =0，所以
⎛λ1
λr -1
A =T
⎝
⎫⎪⎪⎪⎪T
0⎪ ⎪⎪
0⎪⎭
=B 1+B 2+ +B r ，其中
⎛0
B i =T -1 λi
⎝
⎫⎪⎪⎪⎪
⎪T ． ⎪0⎪ ⎪
⎪0⎭
'
则B i =B i ，秩B i =1, (i =1, 2, , r )．
例3.2.4 可以证明对一切A n ⨯n (A 不一定可逆) 都有(A *)=A
*
n -2
A ．
证明 对于A 为可逆矩阵的情况，参见性质7．
若A 不是可逆矩阵，则r (A )≤n -1，由性质8可知r A *≤1，从而A *=O ，右边因为A =0，所以A
n -2
()
()
*
A =O ，所以A *=A
()
*n -2
A ．
伴随矩阵是一类特殊的矩阵，它具有很多优良的性质．本文首先系统地阐述和证明了一般伴随矩阵性质的“共性”，接着在此基础上讨论了一类特殊的伴随矩阵——实对称自伴随矩阵的性质，并根据性质对其分类，最后指出伴随矩阵性质的广泛应用．
伴随矩阵较早为人们所关注，因而对它性质的研究也较为全面，特别是一般伴随矩阵性质的“共性”的研究．但是对于特殊的伴随矩阵，比如自伴随矩阵性质的研究较为缺乏，本文在受到王航平老师的《伴随矩阵的若干性质》中有关自伴随矩阵性质的启发，并结合实对称矩阵的独特性，对实对称自伴随矩阵的性质进行了初步挖掘，并利用发现的结论对实对称自伴随矩阵进行分类．
由于本人水平有限，对于自伴随的性质也只是初步发掘，更多的性质有待我们去发现；对于一般伴随矩阵的其他性质以及其他特殊的自伴随矩阵(例如实幂等自伴矩阵等) 也有许多性质有待进一步研究．
参考文献
[1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组．高等代数[M]．(第三版) ．北
京：高等教育出版社，2003，177-181．
[2] 王航平．伴随矩阵的若干性质[J]．中国计量学院学报，2004，15(3):246-247． [3] 李艳军，石留杰．关于伴随矩阵公式的应用[J]．科技信息，2009，(7):560． [4] 刘佑林．伴随矩阵若干性质[J]．湘南学院学报，2009，30(5):31-32． [5] 刘志高, 张速．可逆矩阵及其伴随矩阵、逆矩阵的一些共同特性[J]．忻州师范
学院学报，2009，25(5): 62-63．
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Philos,Soc,1971,69: 53-58．
致 谢
在大学四年的学习过程中，我得到了数学系各位领导、老师及班级同学的热心帮助和支持，使我能够在以优异的成绩完成学业之余，自身综合能力也得到了极大限度的提高．在此谨向他们表示我最衷心的感谢！
感谢我的指导老师杨小莉老师，她严谨细致、一丝不苟的作风是我工作、学习的榜样；她循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪．
感谢和我一起走过大学四年的好朋友们，是他们一路的陪伴与爱护，才有了我现在的成绩．他们是我成长的见证，有着值得我永远珍惜的友情．他们的待人处事，治学态度将会影响我的一生．
在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的老师、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！再次对指导老师表示最诚挚的谢意和祝福！
10级1班 甲乙丙 2013年5月
分类号 O15
陕西师范大学学士学位论文
伴随矩阵的性质及其应用
作 者 单 位 数学与信息科学学院 指 导 老 师 作 者 姓 名 甲 乙 丙 专 业、班 级 数学与应用数学专业10级1班 提 交 时 间 2013年5月
伴随矩阵的性质及其应用
甲乙丙
(数学与信息科学学院2009级1班) 指导教师 杨小莉 副教授
摘 要: 本文首先采用了分析、归纳和比较的方法对一般伴随矩阵的性质进行了全面地阐述与总结；然后对特殊的伴随矩阵——自伴随矩阵的性质进行了研究与发掘；接着用“等价分类”的思想对n 阶实对称自伴随矩阵进行了分类；最后指出了伴随矩阵的性质在硕士研究生考试命题中的应用．
关键词: 伴随矩阵; 自伴随矩阵; 伴随矩阵的性质
The qualities and applications of the Adjoint Matrix
JIA Yi-bing
(Class 1,Grade 2009,College of Mathematics and Information Science)
Advisor: Lecturer YANG Xiao-li
Abstract : In this dissertation, the methods of analysis, induction and comparison are firstly employed to elaborate on the qualities of the general adjoint matrix comprehensively and systematically, secondly the qualities of a kind of special matrix, i.e., self-adjoint matrix, are explored, then the technique of equivalence classification is used to classify the n order real symmetric self-adjoint matrix. Finally, the applications of the adjoint matrix and its qualities in the postgraduate examinations are indicated.
Key words: adjoint matrix; self-adjoint matrix; qualities of adjoint-matrix;
在高等数学中，矩阵扮演了及其重要的角色．例如，在求解线性方程组解的过程中，人们利用矩阵不仅可以简洁明了地表示原先大型复杂的线性方程组，而且根据矩阵的性质还可以方便地判断线性方程组解的情况，甚至还可以用矩阵来
表示出线性方程组的解．
伴随矩阵是人们在研究逆矩阵时引入的，利用伴随矩阵我们可以得到原矩阵的逆矩阵．而且通过对伴随矩阵的性质的研究[2,4,6]，人们不难发现它与原矩阵之间存在许多相似之处[5]．例如，由原矩阵的可逆性易得到所对应的伴随矩阵的可逆性，两个矩阵之间的等价、相似、合同等关系也可以被它们所对应的伴随矩阵很好的复制过去，从而通过对伴随矩阵性质的研究可以推测原矩阵的性质．
另外，在近几年的数学类硕士研究生招生考试中[3,7,9]，有关伴随矩阵的题目也经常出现．如果考生能够了解一些有关伴随矩阵的性质，那么对他们的解题无疑会有巨大的帮助．因而，对伴随矩阵性质及其应用的研究具有重要的理论意义和应用价值．
本文首先将简单介绍伴随矩阵的定义及表示法；然后将系统论证一般伴随矩阵所拥有的共同性质，主要分为两类：其一是关于单个伴随矩阵的性质，其二是关于两个及其以上的伴随矩阵之间关系的性质；接着将对一类特殊伴随矩阵——自伴随矩阵进行研究，并成功对其分类；最后我们将结合实例指出伴随矩阵在研究生入学考试命题中所处重要的地位．
1 伴随矩阵的定义及其表示
1.1 伴随矩阵的定义
定义1.1.1[1] 设A ij 是矩阵
⎛a 11
a 21A =
a ⎝n 1
中元素a ij 的代数余子式，矩阵
⎛A 11 A A *= 12
A ⎝1n
a 12 a 1n ⎫
⎪
a 22 a 2n ⎪
⎪
⎪
a 2n a nn ⎪⎭
A 21 A n 1⎫
⎪
A 22 A n 2⎪
⎪ ⎪
A n 2 A nn ⎪⎭
称为A 的伴随矩阵． 1.2 伴随矩阵的表示
本文用A *表示矩阵A 的伴随矩阵．
2 伴随矩阵的性质及其证明
伴随矩阵拥有许多较好的性质，本文以伴随矩阵为研究对象，主要介绍一般伴随矩阵所共同拥有的性质及特殊伴随矩阵——自伴随矩阵所特有的性质．此外还对实对称自伴随矩阵进行了分类． 2.1 一般伴随矩阵性质的“共性”
一般伴随矩阵具有丰富的性质，文中以性质涉及的伴随矩阵的个数入手，将“共性”分为两类，一类是单个伴随矩阵所有的性质，另一类是两个伴随矩阵传递两个原矩阵之间关系的性质． 2.1.1 伴随矩阵的自身性质
性质2.1.1 AA *=A E 证明 不妨设
⎛a 11
a A = 21
a ⎝n 1
由A *的定义可知：
⎛A 11 A A *= 12
A ⎝1n
a 12 a 1n ⎫
⎪
a 22 a 2n ⎪
． ⎪ ⎪
a 2n a nn ⎪⎭
A 21 A n 1⎫
⎪
A 22 A n 2⎪
．
⎪
⎪
A n 2 A nn ⎪⎭
根据矩阵乘法的法则可知，
⎛n
∑a 1i A 1i i =1 n
a 2i A 1i
AA *= ∑
i =1 n a A ∑ni 1i ⎝i =1
∑a 1i A 2i ∑a
i =1n i =1i =1n
2i
n
A 2i A 2i
ni
∑a
⎫a A ∑1i ni ⎪i =1⎪n
⎪
∑a 2i A ni ⎪．
i =1
⎪
⎪n
∑a ni A ni ⎪⎪
i =1⎭
n
⎧A
因为∑a ji A ki =⎨
i =1⎩O
n
j =k j ≠k
(文中O 代表零矩阵) ，所以AA *=A E ．
推论2.1.1 若矩阵A 可逆，则矩阵A *可逆．
证明 因为矩阵A 可逆，所以A ≠0，又由性质2.1.1可得：
AA *=A A *=A E =A ，
n
即
A *=A
n -1
≠0．
所以矩阵A *可逆．
推论2.1.2 若矩阵A 可逆，则A *=A A -1E ．
根据推论1的证明，我们又可以得到伴随矩阵的另一个重要性质： 性质2.1.2 如果矩阵A n ⨯n 可逆，则A *=A 证明见推论2.1.1．
性质2.1.3 若矩阵A , B 为可逆矩阵，则(AB )=B *A *．
*n -1
．
证明 因为(AB )(AB )=AB E =A B E ，所以
*
B -1A -1(AB )(AB )=B -1A -1A B E =B -1B A -1A E =B *A *，
*
即(AB )=B *A *．
*
推论2.1.3 性质2.1.4
(A 1A 2 A n )*=A n *A n -1* A 1*(n ∈N *)
(A )'=(A ')
*
*
证明 不妨设
⎛a 11 a A = 21
a ⎝n 1
从而有
⎛A 11 A A *= 12
A ⎝1n
a 12a 22 a n 2
a 1n ⎫
⎪
a 2n ⎪
，
⎪
⎪
a nn ⎪⎭
A 21 A n 1⎫
⎪
A 22 A n 2⎪
． ⎪ ⎪
A 2n A nn ⎪⎭
又因为
⎛a 11 a A '= 12
a ⎝1n
a 21a 22 a 2n
a n 1⎫
⎪
a n 2⎪
，
⎪
⎪
a nn ⎪⎭
从而
⎛A 11
' A A *= 21
A ⎝n 1
A 12 A 1n ⎫
⎪
A 22 A 2n ⎪
． ⎪ ⎪
A n 2 A nn ⎪⎭
()
所以A
()=(A ')．
*
*
'
性质2.1.5
(A )=(A )
*-1
-1*
证明 因为A -1存在，即A 可逆，且A *可逆，所以AA -1=A -1A *=E *=E ， 即
()()
**
*
(A )=(A )．
*-1
-1*
性质2.1.6 如果矩阵A 为n 阶可逆方阵，k ∈N *，则(kA )=k n -1A *． 证明 因为
(kA )(kA )*=kA E =k n A E ，
所以
(kA )*=k n -1A A -1E =k n -1A *．
性质2.1.7 若矩阵A n ⨯n 为可逆矩阵，则(A *)=A
*
n -2
A ．
证明 因为
(A )(A )=A
*
**
*
E ，
由性质2.1.2可知
A *=A
n -1
，
所以
(A )(A )
*
**
=A
n -1
E ．
两边同乘以A ，得到
A A *A *=A A *=A
()()
*
()
*n -1
A ．
化简，得
(A )
**
=A
n -2
A ．
⎧n r (A )=n ⎪
性质2.1.8 若矩阵A 为n ⨯n 阶方阵，则r (A *)=⎨1r (A )=n -1．
⎪0r (A )≤n -2⎩证明 当r (A )=n 时，由推论2.1.1可知，A *可逆，所以r A *=n ．
当r (A )=n -1时，必有一个(n -1)阶子式不为零，即A *必有一个元素不为零，所以r A *≥1．
又因为AA *=A E =0，r (A )+r A *≤n 且r (A )=n -1，所以r A *≥1． 综上可得r A *=1．
当r (A )≤n -2时，必有每个(n -1)阶子式都为零，所以A *=0，即r A *=0． 2.1.2 伴随矩阵性质的传递性
前面阐述了单个伴随矩阵所具有的性质，下面主要讨论两个伴随矩阵之间关系的性质．
性质2.1.9 如果A ≠0，且A 与B 相似，则A *与B *相似．
证明 因为A =P -1BP ，可逆，所以A =B ≠0，即B 可逆，从而P -1B 可逆． 又因为
()
()
()
()
()
()
A *=P -1BP =P *P -1B =P *B *P -1=P *B *P *
又由P 可逆，可知P *可逆，所以A *与B *相似．
()
*
()
*
()
*
()
-1
，
性质2.1.10 如果A ≠0，且A 与B 合同，则A *与B *合同． 证明 假设A =C ' BC ，其中C 为可逆矩阵，即C ≠0，所以
B =
A C
2
≠0，
即B 可逆，又因为
A *=C ' BC =C *C ' B =C *B *C ' =C *B *C *，
又由C 可逆，可知C *可逆，所以A *与B *合同．
由性质2.1.10，可得到以下推论：
推论2.1.4 若A 为正定矩阵，则A *也为正定矩阵．
()
*
()
*
()
*
()
'
'*
证明 因为A 是正定矩阵，所以A =A ' ，(A ')=A *=(A *)，又因为A 与E 合同，
由性质2.1.10可知，A *与E *合同，即A *与E 合同．所以A *是正定矩阵．
推论2.1.5 若A 为半正定矩阵，则A *也是半正定矩阵． 证明 因为A 是半正定矩阵，所以
'**
A =C ' C (C 为实矩阵) A *=(C 'C )=C *(C ')=C *(C *)．
又因为C *必为实矩阵，所以A *是半正定矩阵．
性质2.1.11 如果矩阵A 与矩阵B 等价，则矩阵A *与矩阵B *等价．
证明 因为矩阵A 与矩阵B 等价，所以不妨设矩阵P , Q 为可逆矩阵，且满足：
A =PBQ ，因此A *=(PBQ )=Q *B *P *，又因为P *与Q *可逆，所以矩阵A *与矩阵B *
*
等价．
2.2 特殊伴随矩阵性质的“个性”
前文论述了一般伴随矩阵所拥有的“共性”，下面主要研究实对称自伴随矩阵的一些性质．
2.2.1 自伴随矩阵性质的“个性”
下面，本文将以自伴随矩阵作为特殊伴随矩阵进行研究，证明其所拥有的性质． 定义2.2.1 若矩阵A 满足条件A =A *，则称A 为自伴随矩阵． 根据定义可以验证单位矩阵和零矩阵都是自伴随矩阵． 自伴随矩阵还具有以下性质：
性质2.2.1 两自伴随矩阵的乘积为自伴随矩阵的充要条件为两矩阵可交换． 证明 不妨设A , B 为自伴随矩阵，即
A =A *, B =B *，
所以
(AB )*=B *A *=BA =AB ，
即AB 为自伴随矩阵．
反过来，若A , B 为自伴随矩阵，且AB 和BA 也是自伴随矩阵，则AB =BA ． 因为
A =A *, B =B *, 且(AB )=AB ，
*
所以
(AB )*=AB =B *A *=BA ．
即A , B 可交换．
性质2.2.2 若A 为自伴随矩阵，则A =±1或者A =0．
证明 由一般伴随矩阵的性质可知：如果矩阵A 为n 阶方阵，则A *=A 又因为A 为自伴随矩阵，则A *=A =A
n -1
n -1
．
，所以A =±1A =0．
推论2.2.1 行列式为1的方阵为自伴随矩阵的充要条件为A 为自逆矩阵． 证明 必要性：若A =1，且A *=A ，则A ⋅A *=A 2=A E =E ，即A 为自逆矩阵．
充分性：若A 2=E ，且A =1，则A *⋅A =A E =E ，因而A *=A -1E =A ， 即A *=A ．
性质2.2.3 若A 为自伴随矩阵，则A '与A k k ∈N *也都是自伴随矩阵． 证明 因为
()
(A ' )*=(A *)'=A '，
所以A '为自伴随矩阵． 又因为A =A *，
(A 1A 2 A n )*=A n *A n -1* A 1*(n ∈N *)，
所以
(A )=(A )
k *
*k
=A k ，
即A k k ∈N *也是自伴随矩阵．
性质2.2.4 若矩阵A 与矩阵B 相似，且A 为自伴随阵，则B 也是自伴随矩阵． 证明 因为A 与B 相似，所以存在可逆矩阵X 使得A =X -1BX ． 因为
()
A *=X -1BX =X *B *X -1=A =X -1BX ，
所以
()
*
()
*
X *B *X -1=X -1BX ，
即
()
*
B =X X *B *X -1=XX *=B *
因此B 是自伴随矩阵．
(
(
())X )B (X )X
*
*
*-1-1
-1
-1
)()=X EB (XX )
*
*-1
=XX *B *X -1X -1
(
*
=X EB *(X E )=X EB *(X )E
推论2.2.2 A 为自伴随矩阵，A 与B 合同，即存在X 使得A =X ' BX ，若X 为正交矩阵，则B 也为自伴随矩阵．
证明 因为X 为正交矩阵，所以X ' =X -1，即可得
A =X -1BX ，
利用性质2.2.4可知B 为自伴随矩阵．
推论2.2.3 一个阶数大于2的非零实对称自伴随矩阵，其行列式值必为1． 证明 因为A =0，所以AA *=A E =O ，即A 2=O ，A =O ． 若A 为实对角自伴随矩阵且A ≠0时，则A =±1． 如果阶数n ≥3且为奇数，因为A
n -2
=1，所以只能是A =1，也就是A =A -1．
如果阶数n ≥4且为偶数，那么也只能是A =1．因为如果A =-1，那么可以得到A 2=AA *=A E =-E ，这样A 就不可能是实对角矩阵．
这就是说当阶数n ≥3时，A 为实对角自伴随矩阵且A ≠0时，则A =1． 因为任意的实对称矩阵都可以与对应的对角矩阵合同，且那个可逆矩阵为正交矩阵，所以利用推论2.2.4可知，若实对称矩阵是自伴随的，则对应的对角阵也是自伴随的，即需要对角矩阵的行列式值为1． 2.2.2 实对称自伴随矩阵的分类
下面是利用合同关系给阶数n ≥3的实对称自伴随矩阵进行分类： (1) 三阶实对称自伴随矩阵只有两类，分别与
⎛100⎫⎛100⎫
⎪ ⎪
0-10或010⎪ ⎪
001⎪ 00-1⎪
⎭⎝⎭⎝
合同．
证明 设实对称矩阵
⎛a 11 A = a 12
a ⎝12
与之对应的对角矩阵为
a 12a 22a 23
a 13⎫⎪a 23⎪， a 33⎪⎭
⎛a 00⎫
⎪A 1= 0b 0⎪，
00c ⎪⎝⎭
则
⎛bc 00⎫ ⎪*
A 1= 0ac 0⎪．
00ab ⎪⎝⎭
因为A 1=A 1，所以 解得：
*
⎧a =bc ⎪
⎨b =ac ⎪c =ab ⎩
⎧a =1⎧a =1⎧a =-1⎧a =-1⎪⎪⎪⎪
⎨b =1或⎨b =-1或⎨b =1或⎨b =-1． ⎪c =1⎪c =-1⎪c =-1⎪c =1⎩⎩⎩⎩
即
⎛100⎫⎛100⎫⎛-100⎫⎛-100⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
A 1(1)= 010⎪或A 1(2)= 0-10⎪或A 1(3)= 010⎪或A 1(4)= 0-10⎪
00-1⎪ 001⎪ 00-1⎪ 001⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为A 1(2), A 1(3), A 1(4)是合同关系，所以设任意一个三阶对角自伴随矩阵必与下面两个矩阵中的其中一个合同．
⎛100⎫⎛100⎫ ⎪ ⎪A 1= 010⎪或A 1= 0-10⎪．
001⎪ 00-1⎪⎝⎭⎝⎭
即三阶对角自伴随矩阵只有这两种情况，因而所有的3阶实对称自伴随矩阵就只能是与这两个矩阵合同．
(2) 四阶实对称自伴随矩阵只有三类．
证明 用类似与上面的方法可以得到：四阶实对称自伴随矩阵分别是与
⎛1 0 0 0⎝
合同的．
000⎫⎛1
⎪
100⎪ 0
或
010⎪ 0
⎪
001⎪⎭⎝0
00
100-10
⎫⎛-1000⎫
⎪⎪
0-100⎪⎪ 或⎪ 00-10⎪
⎪⎪
⎪-1⎭⎝000-1⎪⎭000
⎛n ⎫
(3) 当阶数n ≥3时，所有偶数阶实对称自伴随矩阵有 +1⎪种情况，所有奇
⎝2⎭⎛n +1⎫
数阶实对称自伴随矩阵有 ⎪种．
2⎝⎭
证明 设实对称自伴随矩阵为：
⎛a 11 a
A = 12
a ⎝1n
与之对应的对角矩阵为
⎛a ' 11 0
A 1=
0⎝
a 12 a 1n ⎫
⎪
a 22 a 2n ⎪
，
⎪
⎪
a 2n a nn ⎪⎭
0 a ' 22 0
⎫⎪⎪⎪． ⎪
a ' nn ⎪⎭
00
则
⎛ *
A 1=
⎝
a ' 110 0a ' 22 0
⎫
⎪⎪⎪． ⎪
a ' nn ⎪⎭
00
因为A 1=A 1，所以
⎧a ' 11=a ' 11⎪a ' =a ' ⎪2222
⎨，得到a ii =±1(i =1, 2, , n ) ．
⎪⎪⎩a ' nn =a ' nn
*
因为A =1，所以主对角线上-1的个数必为偶数．
当n 为偶数时，-1的个数可以为(0, 2, 4, , n )，因为具有相同的-1个数的对角
⎛n ⎫
阵是相似（各阶行列式因子相同），所以大于2的偶数阶对角自伴随矩阵只有 +1⎪
⎝2⎭
⎛n ⎫
种情况，因而所有的大于2的偶数阶阶实对称自伴随矩阵就只能有 +1⎪种情况．
⎝2⎭
⎛n +1⎫
当n 为奇数时，我们同样可以得到有 ⎪种．
⎝2⎭
3 伴随矩阵性质的应用
由于伴随矩阵具有良好的性质，因此无论是在数学类还是工学类、经济类的研究生升学考试中其所占分值都较大．
1987—2003年间全国硕士研究生考试数学(工学类和经济类) 命题中伴随矩阵
所占矩阵部分的分值百分比
其余为1987年—2003年．
2. 此处伴随矩阵所占百分比不包括用伴随矩阵求可逆矩阵逆矩阵的情况． 分析上表可以发现，伴随矩阵在考试中处于重要地位，主要原因是它可以和其它很多知识点之间建立关系．不仅可以和矩阵的逆、转置、运算规则，还可以和矩阵的分块、秩等有密切联系．而且对研究生入学考试中有关伴随矩阵的题目进行统计分类可以发现，其中考察其性质占多数，主要有性质2.1.2、性质2.1.6和性质2.1.8等．如果我们的考研同学可以对伴随矩阵有所深入的了解，那对他们解决这类问题无疑会有巨大的帮助．
现摘入少许类型的历年真题，以供参考． 3.1 关于伴随矩阵的运算
例3.1.1 设A , B 为n 阶矩阵，A =2, B =-3，则2A *B -1= 解 由矩阵的运算法则可知，
2A *B -1=2n A *B -1．
又由性质2.1.2可知，
A *=A
n -1
=2n -1，B -1=
11
=-． B 3
所以
2A B
*-1
=2⋅2
n n -1
22n -1⎛1⎫
⋅ -⎪=-
3． ⎝3⎭
1-1
例3.1.2 设三阶方阵A 的伴随矩阵为A *，且A =-，求(3A )-2A *的值．
2
解 由A =
11
可知A 是可逆矩阵且A *=A -1，所以
22
3
2⎫16
(3A )-1-2A *=1A -1-2A *=1A -1-A -1=-2A -1=⎛ -⎪⋅2=-．
33327⎝3⎭其实，像这种简单的应用伴随矩阵性质运算求解的题目还有好多，只要我们能抓住矩阵运算的一般法则，并灵活应用伴随有关性质即可． 3.2 伴随矩阵与矩阵分块
例3.2.1 设A , B 为n 阶矩阵，A *, B *分别为A , B 所对应的伴随矩阵，分块矩阵
⎛A O ⎫
C = O B ⎪⎪
⎝⎭
则 C *=
⎛A A *
A O ⎝⎛A B * C O ⎝
⎛B B *O ⎫
⎪ B *⎪ O B B ⎭⎝⎛B A *O ⎫
⎪ D *⎪ O B A ⎭⎝
O ⎫
⎪ *⎪A A ⎭O ⎫⎪ *⎪A B ⎭
分析：
*-1-1
⎛A O A O A O ⎛⎫⎛⎫B A A O A O ⎛⎫
⎪=A B ⎪= ⎪C *=C C -1== ⎪-1⎪-1⎪ O B ⎝O B ⎭O B ⎝O B ⎭⎝O B ⎭⎝O
-1
O ⎫
⎪． *⎪A B ⎭
所以选D ．
例3.2.2 设A , B 均为2阶矩阵，A *, B *分别为A , B 的伴随矩阵．若A =2, B =3，则分块矩阵
⎛O A ⎫
B O ⎪⎪⎝⎭
的伴随矩阵为:
⎛O 3B *⎫⎛O 2B *⎫ *⎪ B ．A ． *⎪ 2A ⎪ O ⎭O ⎪⎝⎝3A ⎭
⎛O 3A *⎫⎛O ⎪ * C ． 2B *O ⎪ D ． 3B ⎝⎭⎝
分析：类似例3.2.1的分析可知，
O A ⎛O A ⎫⎛O ⎛O A ⎫
-1⎪ ⎪ ==A B B O ⎪ ⎪ B B O ⎝B O ⎭⎝⎭⎝
*
-1
2A *⎫
⎪ O ⎪⎭
A -1⎫⎛O ⎪= * O ⎪⎭⎝A B B A *⎫⎛O 3A *⎫
⎪= ⎪． * ⎪O ⎭⎝2B O ⎪⎭
所以选C ．
例3.2.3 设A 为实对称矩阵，A 的秩为r ，证明：A 可以表示为r 个秩为1的对称方阵之和．
证明 因为A ' =A ，所以存在正交矩阵T 使
⎛λ100⎫
⎪-1
A =T 0 0⎪T ，
00λ⎪
n ⎭⎝
其中λ1, , λn 为A 的特征值．
因为r (A )=r ，不妨设λ1, , λr ≠0，λr +1=λr +2 =λn =0，所以
⎛λ1
λr -1
A =T
⎝
⎫⎪⎪⎪⎪T
0⎪ ⎪⎪
0⎪⎭
=B 1+B 2+ +B r ，其中
⎛0
B i =T -1 λi
⎝
⎫⎪⎪⎪⎪
⎪T ． ⎪0⎪ ⎪
⎪0⎭
'
则B i =B i ，秩B i =1, (i =1, 2, , r )．
例3.2.4 可以证明对一切A n ⨯n (A 不一定可逆) 都有(A *)=A
*
n -2
A ．
证明 对于A 为可逆矩阵的情况，参见性质7．
若A 不是可逆矩阵，则r (A )≤n -1，由性质8可知r A *≤1，从而A *=O ，右边因为A =0，所以A
n -2
()
()
*
A =O ，所以A *=A
()
*n -2
A ．
伴随矩阵是一类特殊的矩阵，它具有很多优良的性质．本文首先系统地阐述和证明了一般伴随矩阵性质的“共性”，接着在此基础上讨论了一类特殊的伴随矩阵——实对称自伴随矩阵的性质，并根据性质对其分类，最后指出伴随矩阵性质的广泛应用．
伴随矩阵较早为人们所关注，因而对它性质的研究也较为全面，特别是一般伴随矩阵性质的“共性”的研究．但是对于特殊的伴随矩阵，比如自伴随矩阵性质的研究较为缺乏，本文在受到王航平老师的《伴随矩阵的若干性质》中有关自伴随矩阵性质的启发，并结合实对称矩阵的独特性，对实对称自伴随矩阵的性质进行了初步挖掘，并利用发现的结论对实对称自伴随矩阵进行分类．
由于本人水平有限，对于自伴随的性质也只是初步发掘，更多的性质有待我们去发现；对于一般伴随矩阵的其他性质以及其他特殊的自伴随矩阵(例如实幂等自伴矩阵等) 也有许多性质有待进一步研究．
参考文献
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Philos,Soc,1971,69: 53-58．
致 谢
在大学四年的学习过程中，我得到了数学系各位领导、老师及班级同学的热心帮助和支持，使我能够在以优异的成绩完成学业之余，自身综合能力也得到了极大限度的提高．在此谨向他们表示我最衷心的感谢！
感谢我的指导老师杨小莉老师，她严谨细致、一丝不苟的作风是我工作、学习的榜样；她循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪．
感谢和我一起走过大学四年的好朋友们，是他们一路的陪伴与爱护，才有了我现在的成绩．他们是我成长的见证，有着值得我永远珍惜的友情．他们的待人处事，治学态度将会影响我的一生．
在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的老师、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！再次对指导老师表示最诚挚的谢意和祝福！
10级1班 甲乙丙 2013年5月