97 直线和平面所成的角与二面角.txt
9．7 直线和平面所成的角与二面角
学法导引
本节是本章的核心内容之一，是多个知识点的交汇处．在本节的学习中我们要在学习知识的同时，深刻理解体会各个知识点之间的内在联系，如线线垂直、线面垂直、面面垂直的互相转化，不同方向的转化的作用，三种空间角：线线角、线面角、面面角求法的异同点等．同时通过对典型例题的学习，掌握解决问题的方法，学会思路分析，掌握解题步骤的写法，形成一个统一完整的知识结构．
知识要点精讲
知识点1 直线和平面所成的角
1．斜线和平面所成的角：一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角)．
2．直线和平面所成的角的大小范围是[0°，90°]．当α＝0°时，直线在平面内或直线平行于平面；当α＝90°时，直线垂直于平面；当0°＜α＜90°时，直线与平面斜交．
3．最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角．
4．作法：作直线和平面所成的角，关键是作垂线，找射影．
知识点2 二面角的概念及平面角的作法
1．二面角概念：从空间一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．如图9－7－1所示，记为α－a－β，二面角有三个要素：两个半平面和一条棱．
3．二面角的平面角的作法有三种：(1)定义法；(2)三垂线定理法；(3)直截面法(作与棱垂直的截面)．
4．二面角的大小的取值范围为(0°，180°]．
5．平面角是直角的二面角叫做直二面角．
6．两个平面相交所成的二面角是直二面角时，就说这两个平面互相垂直．
知识点3 两个面垂直的判定方法
方法一 (定义法)如果两个平面相交所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直．
定义法把面面垂直关系数量化．
方法二 (判定定理)如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
知识点4 两个平面垂直的性质
性质1 (性质定理)如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
知识点5 平面图形的翻折
将平面图形沿某一直线进行翻折得到一个二面角，图形由平面图形变成了空间图形，研究翻折后空间元素的数量或位置关系，这一类问题称为平面图形的翻折．
解这类问题的关键是把折前折后的图形进行对照，分析哪些元素的数量或位置发生改变，哪些没有改变．
解题方法、技巧培养
出题方向1 有关线面角的计算
点拨 求直线和平面所成的角时，应注意的问题是(1)先
判断直线和平面的位置关系；(2)当直线和平面斜交时，常以以下步骤：①构造--作出或找出斜线与射影所成的角，②设定--论证所作或所找的角为所求的角，③计算--常用解三角形的方法求角，④结论--点明直线和平面所成的角值．
出题方向2 两个平面垂直的判定
例2 如图9－7－3，P是△ABC所在平面外一点，∠ABC＝90°，PA＝PB＝PC，求证：平面PAC⊥平面ABC．
[分析] 要证明平面PAC⊥平面ABC，只要在平面PAC(或平面ABC)中找到一条平面ABC(或平面PAC)的垂线，这条垂线要根据图中条件来找．
[证明] ∵ PA＝PC，取AC中点O，连结PO、OB，则PO⊥AC，
∵ ∠ABC＝90°，O为AC中点，
∴ AO＝OC＝OB．
△POC和△POB中，PO＝PO，
PC＝PB，OC＝OB，
∴ △POC≌△POB．
∴ ∠POB＝∠POC＝90°，即PO⊥OB．
又∵ OC∩OB＝O，
∴ PO⊥平面ABC．
点拨 应用判定定理，面面垂直要由线面垂直推得，而线面垂直又要依靠线线垂直，因此线线垂直在证明面面垂直时尤为重要．
出题方向3 两个平面垂直的性质
例3 如图9－7－6，PA⊥平面ABC，二面角A－PB－C是直二面角，
求证：AB⊥BC．
[分析] 要证线线垂直，可以通过线面垂直．而要得到线面垂直，可以通过判定定理，也可以通过面面垂直的性质．
[证明] 过A作AD⊥PB于D．
∵ 二面角A－PB－C是直二面角，即
平面APB⊥平面CPB，
∴ PA⊥BC．而PA∩AD＝A，
∴ BC⊥平面PAB．
∴ BC⊥AB．
出题方向4 有关二面角的计算
图9－7－8
图9－7－9
点拨 (1)问题(1)由平面与平面的特殊位置关系求角，问题(2)(3)都是根据定义作出角，再在三角形中求角．
(2)两个平面相交成四个二面角，即两对对棱角．把锐角或直角叫做两个平面所成的角，取值范围为(0°，90°]而二面角取值范围为(0°，180°]
出题方向5 平面图形的翻折问题
例5 如图9－7－13，∠ACB＝90°，CD是∠ACB的平分线，现沿CD将∠ACB折成60°的二面角A－CD－B，求折后AC与平面CDB所成角的正弦值．
图9－7－13
[解] 在折前图(1)CD上取一点M，过M作CD的垂线交AC、BC于E、F，折后图(2)中．
∵ CD⊥EM，CD⊥FM，
∴ ∠EMF＝60°且平面EMF⊥平面CFM．
点拨 平面图形的翻折要注意观察折前后图形中元素的数量及位置的变化，如EM、MF的长度不变，CM⊥EM，CM⊥FM的位置关系不变，而EF的长度，∠ECF的大小发生了变化等．
易错易混点警示
本节内容中易错易混点主要表现在①对判定定理和性质定理中的条件理解不充分，结论运用不到位而产生混乱．②求二面角时作平面角不正确．下面仅举两例简要说明．
例6 已知平面α⊥平面γ，平面β ⊥γg，α ∩β ＝ι
，求证：ι⊥γ ．
[错证] 如图9－7－18，
图9－7－19
综合应用创新
【综合能力升级】
本节知识与线面垂直及三垂线定理的综合题是与本节内容有关的综合问题的常见形式，一般表现为：一是线面垂直与面面垂直的相互化归的证明；二是由三垂线定理找(作)二面角的平面角进而求值．
[分析] 先求出平面ASB⊥平面BSC的必要条件．再从必要条件中找充分条件．
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9．7 直线和平面所成的角与二面角
学法导引
本节是本章的核心内容之一，是多个知识点的交汇处．在本节的学习中我们要在学习知识的同时，深刻理解体会各个知识点之间的内在联系，如线线垂直、线面垂直、面面垂直的互相转化，不同方向的转化的作用，三种空间角：线线角、线面角、面面角求法的异同点等．同时通过对典型例题的学习，掌握解决问题的方法，学会思路分析，掌握解题步骤的写法，形成一个统一完整的知识结构．
知识要点精讲
知识点1 直线和平面所成的角
1．斜线和平面所成的角：一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角)．
2．直线和平面所成的角的大小范围是[0°，90°]．当α＝0°时，直线在平面内或直线平行于平面；当α＝90°时，直线垂直于平面；当0°＜α＜90°时，直线与平面斜交．
3．最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角．
4．作法：作直线和平面所成的角，关键是作垂线，找射影．
知识点2 二面角的概念及平面角的作法
1．二面角概念：从空间一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．如图9－7－1所示，记为α－a－β，二面角有三个要素：两个半平面和一条棱．
3．二面角的平面角的作法有三种：(1)定义法；(2)三垂线定理法；(3)直截面法(作与棱垂直的截面)．
4．二面角的大小的取值范围为(0°，180°]．
5．平面角是直角的二面角叫做直二面角．
6．两个平面相交所成的二面角是直二面角时，就说这两个平面互相垂直．
知识点3 两个面垂直的判定方法
方法一 (定义法)如果两个平面相交所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直．
定义法把面面垂直关系数量化．
方法二 (判定定理)如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
知识点4 两个平面垂直的性质
性质1 (性质定理)如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
知识点5 平面图形的翻折
将平面图形沿某一直线进行翻折得到一个二面角，图形由平面图形变成了空间图形，研究翻折后空间元素的数量或位置关系，这一类问题称为平面图形的翻折．
解这类问题的关键是把折前折后的图形进行对照，分析哪些元素的数量或位置发生改变，哪些没有改变．
解题方法、技巧培养
出题方向1 有关线面角的计算
点拨 求直线和平面所成的角时，应注意的问题是(1)先
判断直线和平面的位置关系；(2)当直线和平面斜交时，常以以下步骤：①构造--作出或找出斜线与射影所成的角，②设定--论证所作或所找的角为所求的角，③计算--常用解三角形的方法求角，④结论--点明直线和平面所成的角值．
出题方向2 两个平面垂直的判定
例2 如图9－7－3，P是△ABC所在平面外一点，∠ABC＝90°，PA＝PB＝PC，求证：平面PAC⊥平面ABC．
[分析] 要证明平面PAC⊥平面ABC，只要在平面PAC(或平面ABC)中找到一条平面ABC(或平面PAC)的垂线，这条垂线要根据图中条件来找．
[证明] ∵ PA＝PC，取AC中点O，连结PO、OB，则PO⊥AC，
∵ ∠ABC＝90°，O为AC中点，
∴ AO＝OC＝OB．
△POC和△POB中，PO＝PO，
PC＝PB，OC＝OB，
∴ △POC≌△POB．
∴ ∠POB＝∠POC＝90°，即PO⊥OB．
又∵ OC∩OB＝O，
∴ PO⊥平面ABC．
点拨 应用判定定理，面面垂直要由线面垂直推得，而线面垂直又要依靠线线垂直，因此线线垂直在证明面面垂直时尤为重要．
出题方向3 两个平面垂直的性质
例3 如图9－7－6，PA⊥平面ABC，二面角A－PB－C是直二面角，
求证：AB⊥BC．
[分析] 要证线线垂直，可以通过线面垂直．而要得到线面垂直，可以通过判定定理，也可以通过面面垂直的性质．
[证明] 过A作AD⊥PB于D．
∵ 二面角A－PB－C是直二面角，即
平面APB⊥平面CPB，
∴ PA⊥BC．而PA∩AD＝A，
∴ BC⊥平面PAB．
∴ BC⊥AB．
出题方向4 有关二面角的计算
图9－7－8
图9－7－9
点拨 (1)问题(1)由平面与平面的特殊位置关系求角，问题(2)(3)都是根据定义作出角，再在三角形中求角．
(2)两个平面相交成四个二面角，即两对对棱角．把锐角或直角叫做两个平面所成的角，取值范围为(0°，90°]而二面角取值范围为(0°，180°]
出题方向5 平面图形的翻折问题
例5 如图9－7－13，∠ACB＝90°，CD是∠ACB的平分线，现沿CD将∠ACB折成60°的二面角A－CD－B，求折后AC与平面CDB所成角的正弦值．
图9－7－13
[解] 在折前图(1)CD上取一点M，过M作CD的垂线交AC、BC于E、F，折后图(2)中．
∵ CD⊥EM，CD⊥FM，
∴ ∠EMF＝60°且平面EMF⊥平面CFM．
点拨 平面图形的翻折要注意观察折前后图形中元素的数量及位置的变化，如EM、MF的长度不变，CM⊥EM，CM⊥FM的位置关系不变，而EF的长度，∠ECF的大小发生了变化等．
易错易混点警示
本节内容中易错易混点主要表现在①对判定定理和性质定理中的条件理解不充分，结论运用不到位而产生混乱．②求二面角时作平面角不正确．下面仅举两例简要说明．
例6 已知平面α⊥平面γ，平面β ⊥γg，α ∩β ＝ι
，求证：ι⊥γ ．
[错证] 如图9－7－18，
图9－7－19
综合应用创新
【综合能力升级】
本节知识与线面垂直及三垂线定理的综合题是与本节内容有关的综合问题的常见形式，一般表现为：一是线面垂直与面面垂直的相互化归的证明；二是由三垂线定理找(作)二面角的平面角进而求值．
[分析] 先求出平面ASB⊥平面BSC的必要条件．再从必要条件中找充分条件．