概率的概念
一、教学目标： 1、知识与技能：（1）正确理解概率的意义；（2）利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题；概率是一门研究现实世界中广泛存在的随机现象的科学，正确理解概率的意义是认识、理解现实生活中有关概率的实例的关键，学习过程中应有意识形成概率意识，并用这种意识来理解现实世界，主动参与对事件发生的概率的感受和探索 2、过程与方法：通过对现实生活中的“掷币”，“游戏的公平性”，、“彩票中奖”等问题的探究，感知应用数学知识解决数学问题的方法。
3、情感态度与价值观：通过对概率的实际意义的理解，体会知识来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观，进而体会数学与现实世界的联系。 二、重点与难点：（1）重点：对概率含义的正确理解及其在实际中的应用；（2）难点：随机试验结果的随机性与规律性的联系。
三、学法与教学用具：1、引导学生对身边的事件加以注意、分析，结果可定性地分为三类事件：必然事件，不可能事件，随机事件；指导学生做简单易行的实验，让学生无意识地发现随机事件的某一结果发生的规律性；2、教学用具：硬币数枚，投灯片，计算机及多媒体教学．
四、教学设想：
1、创设情境：请大家回忆一下随机事件发生的概率的定义？
对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率。
频率与概率的有什么区别和联系？
区别：① 频率是随机的，在实验之前不能确定；
② 概率是一个确定的数，与每次实验无关；
联系 ③ 随着实验次数的增加，频率会越来越接近概率;
④频率是概率的近似值，概率是用来度量事件发生可能性的大小.
2、学习新课
1.概率的正确理解
思考：有人说，既然抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上。你认为这种想法正确吗？
这种想法是错误的。因为连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币仅仅是做两次重复抛掷硬币的试验，试验的结果仍然是随机的，当然可以两次均出现正面朝上或两次均出现反面朝上。 随机事件在一次试验中发生与否是随机的。
探究：每人各取一枚同样的硬币，连续两次抛掷，观察它落地后的朝向，并记录下结果，填入下表。重复上面的过程10次，把全班同学试验结果汇总，计算三种结果发生的频率。 教师引导学生做实验：每个同学连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，统计全班同学的
随着试验次数的增加，可以发现，“正面朝上、反面朝上各一次”的频率与“两次均 正面朝上”“两次均反面朝上”的频率是不一样的，而且“两次均正面朝上”“两次均反面朝上”的频率大致相等； “正面朝上、反面朝上各一次”的频率大于“两次均正面朝上”（“两次均反面朝上”）的频率。
事实上， “两次均正面朝上”的概率0.25， “两次均反面朝上”的概率也为0.25， “正面朝上、反面朝上各一次”的概率为0.5 。
随机性与规律性： 随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律
性。
认识了这种随机性中的规律性，就能为我们比较准确地预测随机事件发生的可能性。
思考：如果某种彩票的中奖概率为
1
，那么买1000张这种彩票一定能中奖吗？ 1000
（假设该彩票有足够多的张数。）
不一定。买1000张彩票相当于做1000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以做1000次的结果也是随机的。 虽然中奖张数是随机的，但这种随机性中具有规律性。随着试验次数的增加，即随着买的彩票张数的增加，大约有1/1000的彩票中奖。
2. 游戏的公平性
大家有没有注意到在乒乓球、排球等体育比赛中，如何确定由哪一方先发球？你觉得那些方法对比赛双方公平吗？
体育比赛中决定发球权的方法应该保证比赛双方先发球的概率相等，这样才是公平的。 当抽签器上抛后,红圈朝上与绿圈朝上的概率都是0.5,因此任何一名运动员猜中的概率都是0.5,也就是每个运动员取得发球权的概率均为0.5,所以这个规则是公平的.
探究：某中学高一年级有12个班，要从中选2个班代表学校参加某项活动。由于某种原因，一班必须参加，另外再从二至十二班中选1个班。有人提议用如下的方法：掷两个骰子得到的点数和是几，就选几班，你认为这种方法公平吗？
学生讨论，交流，作出判断. 这种方法不公平。因为从这个表中可以看到有些班级出现的几率比较高。每个班被选中的可能性不一样。
3.决策中的概率思想
思考1.连续 掷骰子10次，结果都是出现1点，你认为这枚骰子的质地均匀吗？为什么？
思考2.如果一个袋中装有99个红色乒乓球,1个白色乒乓球,或1个红色乒乓球,99个白色乒乓球,在事先不知道是哪种情况下,一个人从袋中随机摸出1乒乓球,结果发现是红色乒乓球.你认为这个袋中是有99个红色乒乓球,1个白色乒乓球,还是1个红色乒乓球,99个白色乒乓球?
如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法。极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一。
4. 概率与预报
思考:某地气象局预报说,明天本地降水概率是70%,你认为下面两个解释中哪个能代表气象局的观点?
(1)明天本地有70%的区域下雨,30%的区域不下雨; (2)明天本地下雨的机会是70%. 生活中，我们经常听到这样的议论：“天气预报说昨天降水概率为90%，结果根本一点雨都没下，天气预报也太不准确了”,学了概率后，你能给出解释吗？
解析：天气预报的“降水”是一个随机事件，概率为90%指明了“降水”这个随机事件发生的概率，我们知道：在一次试验中，概率为90%的事件也可能不出现，因此，“昨天没
有下雨”并不说明“昨天的降水概率为90%”的天气预报是错误的.降水概率的大小只能说明降水可能性的大小，概率值越大只能表示在一次试验中发生的可能性越大。在一次试验中“降水”这个事件是否发生仍然是随机的。
5．试验与发现
奥地利遗传学家孟德尔（G.Mendel,1822～1884）用豌豆进行杂交试验，下表为试验结果（其中
F为第一子代，F为第二子代）：
孟德尔发现第一子代对于一种性状为必然事件，其可能性为100％,另一种性状的可能性为0，而第二子代对于前一种性状的可能性约为75％,后一种性状的可能性约为25％，通过进一步研究，他发现了生物遗传的基本规律. 6．遗传机理中的统计规律
.下面给出简单的两个特征.每个结果都是随机事件.显性因子和隐性因子是有区别的.
用符号YY代表纯黄色豌豆的两个特征因子，用符号yy代表纯绿色豌豆的两个特征因子
纯黄色豌豆 YY , 纯绿色豌豆 yy
由于下一代是从父母辈中各随机地选取一个特征组成自己的两个特征,因此在第二代中YY,yy出现的概率是1/4,Yy出现的概率是1/2.所以黄色豌豆(YY,Yy):绿色豌豆(yy)约等于3:1.实际上, 遗传机理中的统计规律问题可以化归为同时抛掷两枚硬币的试验问题,把正面看成显性因子,反面看成隐性因子. 3、课堂小结：1正确理解概率的含义
2概率在实际中的应用 1）概率与公平性的关系 2）概率与决策的关系 3）概率与预报的关系
4）概率统计中随机性与规律性的关系 4、课堂练习：
1、解释下列概率的含义。
（1）某厂生产产品合格的概率为0.9； （2）一次抽奖活动中，中奖的概率为0.2。
2“一个骰子掷一次得到2的概率是 这说明一个骰子掷6次会出现一次2” ,这种说法对吗？说说你的理由。
5、课后作业：P118 3 P123 4
古典概型
【考点导读】 1.在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性及频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及概率与频率的区别.
2.正确理解古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等. 【基础练习】
（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是什么？
分析：事件A出现的频数nA与试验次数n的比值即为事件A的频率，当事件A发生的频率fn（A）稳定在某个常数上时，这个常数即为事件A的概率. 解：（1）表中依次填入的数据为：0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91.
（2）由于频率稳定在常数0.89，所以这个射手击一次，击中靶心的概率约是0.89. 点评 概率实际上是频率的科学抽象，求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之 2．将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是 随机 事件 （必然、随机、不可能）
3．下列说法正确的是 ③ .
①任一事件的概率总在（0.1）内 ②不可能事件的概率不一定为0 ③必然事件的概率一定为1 ④以上均不对 4.一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率是
3
8
5. 从分别写有A、B、C、D、E的5张卡片中，任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为 【范例解析】
2
5
例1. 连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.
（1）写出这个试验的基本事件； （2）求这个试验的基本事件的总数；
（3）“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件?
解：（1）这个试验的基本事件Ω={（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}； （2）基本事件的总数是8. （3）“恰有两枚正面向上”包含以下3个基本事件：（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）. 点评 一次试验中所有可能的结果都是随机事件，这类随机事件称为基本事件. 例2. 抛掷两颗骰子，求： （1）点数之和出现7点的概率；
（2）出现两个4点的概率.
解：作图，从下图中容易看出基本事件空间与点集S={（x，y）|x∈N，y∈N，1≤x≤6，1≤y≤6}中的元素一一对应.因为S中点的总数是6×6=36（个），所以基本事件总数n=36.
61=. 366
（1）记“点数之和出现7点”的事件为A，从图中可看到事件A包含的基本事件数共6个：
（6，1），（5，2），（4，3），（3，4），（2，5），（1，6），所以P（A）=
（2）记“出现两个4点”的事件为B，则从图中可看到事件B包含的基本事件数只有1个：
（4，4）.所以P（B）=
1
. 36
点评 在古典概型下求P（A），关键要找出A所包含的基本事件个数然后套用公式
P(A)=
事件A包含基本事件的个数m
基本事件的总数n
变题 .在一次口试中，考生要从5道题中随机抽取3道进行回答，答对其中2道题为优秀，答对其中1道题为及格，某考生能答对5道题中的2道题，试求： （1）他获得优秀的概率为多少；
（2）他获得及格及及格以上的概率为多少；
点拨：这是一道古典概率问题，须用枚举法列出基本事件数.
解：设这5道题的题号分别为1,2，3，4，5，则从这5道题中任取3道回答，有（1，2，3），
（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4）,（2，3，5）， （2，4，5），（3，4，5）共10个基本事件．
（1）记“获得优秀”为事件A，则随机事件A中包含的基本事件个数为3，
故P(A)=
3
． 10
（2）记“获得及格及及格以上”为事件B，则随机事件B中包含的基本事件个数为9，故
P(B)=
9． 10
点评：使用枚举法要注意排列的方法，做到不漏不重.
例3. 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.
解：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即（a1，a2），（a1，b2），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b2，a2）.其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产用A表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，则 A=[（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）]
事件A由4个基本事件组成，因而，P（A）=
42
= 63
【反馈演练】
1.某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次环中9环，有4次中8环，有1次未中靶，试计算此人中靶的概率，假设此人射击1次，试问中靶的概率约为 0.9 中10环的概率约为 0.2 .
分析：中靶的频数为9，试验次数为10，所以中靶的频率为
9
=0.9，所以中靶的概率约为10
0.9．
解：此人中靶的概率约为0.9；此人射击1次，中靶的概率为0.9；中10环的概率约为0.2． 2.一栋楼房有4个单元，甲乙两人被分配住进该楼，则他们同住一单元的概率是 0.25 . 3. 在第1,3,6,8,16路公共汽车都要停靠的一个站（假定这个站只能停靠一辆汽车），有一
位乘客等候第6路或第16路汽车.假定当时各路汽车首先到站的可能性相等，则首先到
2
5
3
4.把三枚硬币一起抛出，出现2枚正面向上，一枚反面向上的概率是
8
3
5.有5根细木棒，长度分别为1,3 ,5 ,7 ,9，从中任取三根，能搭成三角形的概率是
10
站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于
6. 从1，2，3，„，9这9个数字中任取2个数字，
5 184
（2）2个数字之和为偶数的概率为
9
（1）2个数字都是奇数的概率为
7. 某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为
8 15
8. A、B、C、D、E排成一排，A在B的右边（A、B可以不相邻）的概率是
12
9．在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是
7 10
10. 用红、黄、蓝三种不同颜色给下图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：
（1）3个矩形颜色都相同的概率；
（2）3个矩形颜色都不同的概率.
解：所有可能的基本事件共有27个，如图所示.
红红红黄黄黄
蓝蓝蓝红红红
黄黄黄
蓝蓝蓝红红红黄黄黄
蓝蓝蓝
（1）记“3个矩形都涂同一颜色”为事件A，由图知，事件A的基本事件有1×3=3个，故
P（A）=
31=. 27962=. 279
（2）记“3个矩形颜色都不同”为事件B，由图可知，事件B的基本事件有2×3=6个，故
P（B）=
11. 甲、乙两个均匀的正方体玩具，各个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，将这两个玩具同时掷一次.
（1）若甲上的数字为十位数，乙上的数字为个位数，问可以组成多少个不同的数，其中个
位数字与十位数字均相同的数字的概率是多少?
（2）两个玩具的数字之和共有多少种不同结果?其中数字之和为12的有多少种情况?数字
之和为6的共有多少种情况?分别计算这两种情况的概率. 解：（1）甲有6种不同的结果，乙也有6种不同的结果，故基本事件总数为
6×6=36个.其中十位数字共有6种不同的结果，若十位数字与个位数字相同，十位
61=. 366
（2）两个玩具的数字之和共有2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12共11种不同结数字确定后，个位数字也即确定.故共有6×1=6种不同的结果，即概率为果.从中可以看出，出现12的只有一种情况，概率为
1
.出现数字之和为6的共有（1，36
5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）五种情况，所以其概率为
5
. 36
12.现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：
（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率； （2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率． 解：（1）有放回地抽取3次，按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则x,y,z都有10种可能，所
3
以试验结果有10×10×10=10种；设事件A为“连续3次都取正品”，则包含的基本
3
事件共有8×8×8=8种，
83
因此，P(A)= 3=0.512．
10
（2）可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录（x,y,z），则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，所以试验的所有结果为10×9×8=720种．设事件B为“3件都是正品”，则事件B包含的基本事件总数为8×7×6=336, 所以P(B)=
3367
． 72015
几何概型
【考点导读】
1．了解几何概型的基本特点. 2．会进行简单的几何概率的计算. 【基础练习】
1．在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是 0.004
2. 取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m的
1
概率是
33. 在1万 km的海域中有40 km的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到
1
油层面的概率是
2504. 如下图，在一个边长为3 cm的正方形内部画一个边长为2 cm的正方形，向大正方形内
4
随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是 .
9
2
2
(第4题)
5. 如下图，在直角坐标系内，射线OT落在60°的终边上，任作一条射线OA，则射线落在
1
∠xOT内的概率是 .
6【范例解析】
例1. 在等腰Rt△ABC中， (1)在斜边AB上任取一点M，求AM的长小于AC的长的概率. （2）过直角顶点C在∠ACB内作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM
A
C'AC2
==. ABAB2
'
M
(2)
1800-450
=67.50 (2) 在AB上截取AC′=AC,∠ACC=
2
(1)
67.503
= 于是P（AM＜AC）=0
904
点评 （1）对于几何概型中的背景相同的问题，当等可能的角度不同时，其概率是不一样
的（2）在利用几何概率公式计算概率时，必须注意d与D的测度单位的统一.
例2．平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r
解：把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A，为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M，如图所示，这样线段OM长度（记作OM）的取值范围就是[o,a]，只有当r＜OM≤a时硬币不与平行线相碰，所以所求事件A的概率就
(r,a]的长度
是P（A）=
[0,a]的长度
a-r
=
a
M
例3.将长为l的棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率.
解：设A=“3段构成三角形”，x,y分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为l-x-y. 则实验的全部结果可构成集合Ω=(x,y)0
{}
成三角形，当且仅当任意两段之和大于第三段，故所求结果构成的集合
⎧1ll⎫A=⎨(x,y)x+y>,y
222⎭⎩1⎛l⎫
⋅ ⎪S12⎝2⎭
=所求的概率为P(A)=A= l2SΩ42
点评 用几何概型解题的一般步骤是：（1）适当选择观察角度；（2）把基本事件转化为与之相应的区域；（3）把事件A转化为与之对应的区域；（4）利用概率公式计算. 【反馈演练】
1. 两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m
1
的概率是
32. 某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，此人等车时间不多于10分钟的概率
2
1
． 6
解:设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A恰好是到站等车的时刻位于[50,60]这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P(A)= 间不多于10分钟的概率为．
3．若x可以在x+≤3的条件下任意取值，则x是负数的概率是 2/3 .
4. 在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是0.01．
分析：病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫克种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率. 解：取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A，则 P(A)=
60-501
=，即此人等车时606
取出的种子体积10
==0.01．
所有种子的体积1000
5.在区间[-1,-1]上任取两实数a,b，则二次方程x2+2ax+b2=0的两根都为实数的概率
1/2 .
6. 如下图，在一个边长为a,b（a＞b＞0）的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为a
1
3
与
15a，高为b，向该矩形内随机投一点,则所投的点落在梯形内部的概率为
122
1ab
1aa
7．某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站，求任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率（假定车到来后每人都能上）．
解：可以认为人在任何时刻到站是等可能的.设上一班车离站时刻为a，则该人到站的时刻的一切可能为Ω=(a,a+5)，若在该车站等车时间少于3分钟，则到站的时刻为g=(a+2,a+5)，P(A)=g的长度3=. Ω的长度5
8．一个路口的红绿灯,红灯的时间为30秒,黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为40秒,当你到达路口时看见下列三种情况的概率各是多少?
(1) 红灯 (2) 黄灯 (3) 不是红灯
解：总的时间长度为30+5+40=75秒，设红灯为事件A，黄灯为事件B，
（1）出现红灯的概率P(A)=构成事件A的时间长度302== 总的时间长度755
构成事件B的时间长度51== 总的时间长度7515（2）出现黄灯的概率P(B)=
（3）不是红灯的概率P(A)=1-P(A)=1-23= 55
9. 一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽20 m的长方形，求海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率.
解：对于几何概型，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率.如下图，区域Ω是长30 m、宽20 m的长方形.图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在下图中阴影部分的概率.由于区域Ω的面积为30×20=600（m2），阴影A的面积为30×20－26×16=184（m2） .∴P（A）=18423=.
60075
2
10.两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去.求两人能会面的概率.
【解】以7点钟作为计算时间的起点，设甲、乙分别在x分钟和y分钟到达，则样本空间为 D={(x,y)0≤x≤60,0≤y≤60},画成图为如图所示的正方形. 会面的充要条件是x-y≤20，即事件A={可以会面}所对应的区域是图中的阴影部分. 所
d的面积
以，P(A)=
D的面积602-4025＝=. 2609
60
20
20 60 互斥事件及其概率
【考点导读】
1.了解互斥事件及对立事件的概念，能判断某两个事件是否是互斥事件，进而判断它们
是否是对立.
2.了解互斥事件概率的加法公式，了解对立事件概率之和为1的结论，会利用相关公式
进行简单的概率计算.
【基础练习】
1.两个事件互斥是这两个事件对立的条件（充分不必要、必要不充分、充要
条件、
既不充分也不必要）
2.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是①至少有1个白球，都是红球 ②至少有1个白球，至多有1个红球
③恰有1个白球，恰有2个白球 ④至多有1个白球，都是红球
3．从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是 ④ . ①3个都是正品 ②至少有1个是次品 ③ 3个都是次品 ④至少有1个是正品
4.从一批羽毛球产品中任取一个，质量小于4.8 g的概率是0.3，质量不小于4.85 g的概率是
0.32，那么质量在［4.8，4.85）g范围内的概率是
5.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙二人下成和棋的
概率为 50% .
【范例解析】
例1．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，
判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件.
（1）恰好有1件次品恰好有2件次品；
（2）至少有1件次品和全是次品；
（3）至少有1件正品和至少有1件次品；
（4）至少有1件次品和全是正品.
解：依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一定试验中不会同时发生知：（1）恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，但它们不是对立事件，同理可以判断：（2）（3）中的2个事件不是互斥事件，也不是对立事件.（4）中的2个事件既是互斥事件也是对立事件
点评 解决此类问题，应结合互斥事件和对立事件的定义.
例2．某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在一次射击中：
（1）射中10环或9环的概率；
（2）少于7环的概率.
解：（1）该射手射中10环与射中9环的概率是射中10环的概率与射中9环的概率的和，即为P=0.21+0.23=0.44.
（2）射中不少于7环的概率恰为射中10环、9环、8环、7环的概率的和，即为0.21+0.23+0.25+0.28=0.97，而射中少于7环的事件与射中不少于7环的事件为对立事件，所以射中少于7环的概率为P=1－0.97=0.03.
例3 一盒中装有各色小球共12只，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.现从中随机取出1球，求：
（1） 取出1球是红球或黑球的概率；
（2） 取出1球是红球或黑球或白球的概率.
解：记事件A1={任取一球为红球}，A2={任取一球为黑球}，A3={任取一球为白球}， A4={任
5421,P(A2)=,P(A3)=,P(A4)= 12121212
543+= （1）P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=12124
11（2）P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= 12
111=） （或P(A1+A2+A3)=1-P(A4)=1-1212取一球为绿球}，则P(A1)=
点评 （1）解决此类问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件和对立事件，再决定用哪一个公式
（2）要注意分类讨论和等价转化数学思想的运用.
【反馈演练】
1. 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件?
事件A：命中环数大于7环； 事件B：命中环数为10环；
事件C：命中环数小于6环； 事件D：命中环数为6、7、8、9、10环. 分析：要判断所给事件是对立还是互斥，首先将两个概念的联系与区别弄清楚，互斥事件是指不可能同时发生的两事件，而对立事件是建立在互斥事件的基础上，两个事件中一个
不发生，另一个必发生.
解：A与C互斥（不可能同时发生），B与C互斥，C与D互斥，C与D是对立事件（至少一个发生）
2．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是 1 23．某产品分为甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03,出现丙级品的概率为0.01,则对产品抽查一次抽得正品的概率是 0.96 .
4.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是115，乙获胜的概率是，则是 ② . 236
①乙获胜的概率 ②乙不输的概率 ③甲胜的概率 ④甲不输的概率
5．如果事件A，B互斥，那么 . ①A+B是必然事件 ②A+B是必然事件 ③ A与B互斥 ④A与B独立
6. 在所有的两位数中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是 2 37.一个口袋内装有大小相同的红、蓝球各一个，采取有放回地每次摸出一个球并记下颜色为一次实验，实验共进行3次，则至少摸到一次红球的概率是 7 8
8．已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是112，从中取出2粒都是白子的概率是，现从中任意取出2粒恰好是同一735
色的概率是 17 359.同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿1张贺年卡.则至少一人拿到自己所写贺年卡的概率为5 8
10.有三个人，每个人都以相同的可能性被分配到四个房间中的某一间，求：
（1）三个人都分配到同一个房间的概率；
（2）至少两个人分配到同一个房间的概率.
答案 （1）15； （2）. 168
11. 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为155，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、31212
得到黄球、得到绿球的概率各是多少？
分析：利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解．
解：从袋中任取一球，记事件“摸到红球”、“摸到黑球”、“摸到黄球”、“摸到绿球”为A、
B、C、D，则有P(B+C)=P(B)+P(C)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=1
解得P(B)=551；P(C+D)=P(C)+P(D)=； 又P(A)=, 12123111,P(C)=,P(D)= 644
答：得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是
111、、. 464
概率的概念
一、教学目标： 1、知识与技能：（1）正确理解概率的意义；（2）利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题；概率是一门研究现实世界中广泛存在的随机现象的科学，正确理解概率的意义是认识、理解现实生活中有关概率的实例的关键，学习过程中应有意识形成概率意识，并用这种意识来理解现实世界，主动参与对事件发生的概率的感受和探索 2、过程与方法：通过对现实生活中的“掷币”，“游戏的公平性”，、“彩票中奖”等问题的探究，感知应用数学知识解决数学问题的方法。
3、情感态度与价值观：通过对概率的实际意义的理解，体会知识来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观，进而体会数学与现实世界的联系。 二、重点与难点：（1）重点：对概率含义的正确理解及其在实际中的应用；（2）难点：随机试验结果的随机性与规律性的联系。
三、学法与教学用具：1、引导学生对身边的事件加以注意、分析，结果可定性地分为三类事件：必然事件，不可能事件，随机事件；指导学生做简单易行的实验，让学生无意识地发现随机事件的某一结果发生的规律性；2、教学用具：硬币数枚，投灯片，计算机及多媒体教学．
四、教学设想：
1、创设情境：请大家回忆一下随机事件发生的概率的定义？
对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率。
频率与概率的有什么区别和联系？
区别：① 频率是随机的，在实验之前不能确定；
② 概率是一个确定的数，与每次实验无关；
联系 ③ 随着实验次数的增加，频率会越来越接近概率;
④频率是概率的近似值，概率是用来度量事件发生可能性的大小.
2、学习新课
1.概率的正确理解
思考：有人说，既然抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上。你认为这种想法正确吗？
这种想法是错误的。因为连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币仅仅是做两次重复抛掷硬币的试验，试验的结果仍然是随机的，当然可以两次均出现正面朝上或两次均出现反面朝上。 随机事件在一次试验中发生与否是随机的。
探究：每人各取一枚同样的硬币，连续两次抛掷，观察它落地后的朝向，并记录下结果，填入下表。重复上面的过程10次，把全班同学试验结果汇总，计算三种结果发生的频率。 教师引导学生做实验：每个同学连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，统计全班同学的
随着试验次数的增加，可以发现，“正面朝上、反面朝上各一次”的频率与“两次均 正面朝上”“两次均反面朝上”的频率是不一样的，而且“两次均正面朝上”“两次均反面朝上”的频率大致相等； “正面朝上、反面朝上各一次”的频率大于“两次均正面朝上”（“两次均反面朝上”）的频率。
事实上， “两次均正面朝上”的概率0.25， “两次均反面朝上”的概率也为0.25， “正面朝上、反面朝上各一次”的概率为0.5 。
随机性与规律性： 随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律
性。
认识了这种随机性中的规律性，就能为我们比较准确地预测随机事件发生的可能性。
思考：如果某种彩票的中奖概率为
1
，那么买1000张这种彩票一定能中奖吗？ 1000
（假设该彩票有足够多的张数。）
不一定。买1000张彩票相当于做1000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以做1000次的结果也是随机的。 虽然中奖张数是随机的，但这种随机性中具有规律性。随着试验次数的增加，即随着买的彩票张数的增加，大约有1/1000的彩票中奖。
2. 游戏的公平性
大家有没有注意到在乒乓球、排球等体育比赛中，如何确定由哪一方先发球？你觉得那些方法对比赛双方公平吗？
体育比赛中决定发球权的方法应该保证比赛双方先发球的概率相等，这样才是公平的。 当抽签器上抛后,红圈朝上与绿圈朝上的概率都是0.5,因此任何一名运动员猜中的概率都是0.5,也就是每个运动员取得发球权的概率均为0.5,所以这个规则是公平的.
探究：某中学高一年级有12个班，要从中选2个班代表学校参加某项活动。由于某种原因，一班必须参加，另外再从二至十二班中选1个班。有人提议用如下的方法：掷两个骰子得到的点数和是几，就选几班，你认为这种方法公平吗？
学生讨论，交流，作出判断. 这种方法不公平。因为从这个表中可以看到有些班级出现的几率比较高。每个班被选中的可能性不一样。
3.决策中的概率思想
思考1.连续 掷骰子10次，结果都是出现1点，你认为这枚骰子的质地均匀吗？为什么？
思考2.如果一个袋中装有99个红色乒乓球,1个白色乒乓球,或1个红色乒乓球,99个白色乒乓球,在事先不知道是哪种情况下,一个人从袋中随机摸出1乒乓球,结果发现是红色乒乓球.你认为这个袋中是有99个红色乒乓球,1个白色乒乓球,还是1个红色乒乓球,99个白色乒乓球?
如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法。极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一。
4. 概率与预报
思考:某地气象局预报说,明天本地降水概率是70%,你认为下面两个解释中哪个能代表气象局的观点?
(1)明天本地有70%的区域下雨,30%的区域不下雨; (2)明天本地下雨的机会是70%. 生活中，我们经常听到这样的议论：“天气预报说昨天降水概率为90%，结果根本一点雨都没下，天气预报也太不准确了”,学了概率后，你能给出解释吗？
解析：天气预报的“降水”是一个随机事件，概率为90%指明了“降水”这个随机事件发生的概率，我们知道：在一次试验中，概率为90%的事件也可能不出现，因此，“昨天没
有下雨”并不说明“昨天的降水概率为90%”的天气预报是错误的.降水概率的大小只能说明降水可能性的大小，概率值越大只能表示在一次试验中发生的可能性越大。在一次试验中“降水”这个事件是否发生仍然是随机的。
5．试验与发现
奥地利遗传学家孟德尔（G.Mendel,1822～1884）用豌豆进行杂交试验，下表为试验结果（其中
F为第一子代，F为第二子代）：
孟德尔发现第一子代对于一种性状为必然事件，其可能性为100％,另一种性状的可能性为0，而第二子代对于前一种性状的可能性约为75％,后一种性状的可能性约为25％，通过进一步研究，他发现了生物遗传的基本规律. 6．遗传机理中的统计规律
.下面给出简单的两个特征.每个结果都是随机事件.显性因子和隐性因子是有区别的.
用符号YY代表纯黄色豌豆的两个特征因子，用符号yy代表纯绿色豌豆的两个特征因子
纯黄色豌豆 YY , 纯绿色豌豆 yy
由于下一代是从父母辈中各随机地选取一个特征组成自己的两个特征,因此在第二代中YY,yy出现的概率是1/4,Yy出现的概率是1/2.所以黄色豌豆(YY,Yy):绿色豌豆(yy)约等于3:1.实际上, 遗传机理中的统计规律问题可以化归为同时抛掷两枚硬币的试验问题,把正面看成显性因子,反面看成隐性因子. 3、课堂小结：1正确理解概率的含义
2概率在实际中的应用 1）概率与公平性的关系 2）概率与决策的关系 3）概率与预报的关系
4）概率统计中随机性与规律性的关系 4、课堂练习：
1、解释下列概率的含义。
（1）某厂生产产品合格的概率为0.9； （2）一次抽奖活动中，中奖的概率为0.2。
2“一个骰子掷一次得到2的概率是 这说明一个骰子掷6次会出现一次2” ,这种说法对吗？说说你的理由。
5、课后作业：P118 3 P123 4
古典概型
【考点导读】 1.在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性及频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及概率与频率的区别.
2.正确理解古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等. 【基础练习】
（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是什么？
分析：事件A出现的频数nA与试验次数n的比值即为事件A的频率，当事件A发生的频率fn（A）稳定在某个常数上时，这个常数即为事件A的概率. 解：（1）表中依次填入的数据为：0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91.
（2）由于频率稳定在常数0.89，所以这个射手击一次，击中靶心的概率约是0.89. 点评 概率实际上是频率的科学抽象，求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之 2．将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是 随机 事件 （必然、随机、不可能）
3．下列说法正确的是 ③ .
①任一事件的概率总在（0.1）内 ②不可能事件的概率不一定为0 ③必然事件的概率一定为1 ④以上均不对 4.一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率是
3
8
5. 从分别写有A、B、C、D、E的5张卡片中，任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为 【范例解析】
2
5
例1. 连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.
（1）写出这个试验的基本事件； （2）求这个试验的基本事件的总数；
（3）“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件?
解：（1）这个试验的基本事件Ω={（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}； （2）基本事件的总数是8. （3）“恰有两枚正面向上”包含以下3个基本事件：（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）. 点评 一次试验中所有可能的结果都是随机事件，这类随机事件称为基本事件. 例2. 抛掷两颗骰子，求： （1）点数之和出现7点的概率；
（2）出现两个4点的概率.
解：作图，从下图中容易看出基本事件空间与点集S={（x，y）|x∈N，y∈N，1≤x≤6，1≤y≤6}中的元素一一对应.因为S中点的总数是6×6=36（个），所以基本事件总数n=36.
61=. 366
（1）记“点数之和出现7点”的事件为A，从图中可看到事件A包含的基本事件数共6个：
（6，1），（5，2），（4，3），（3，4），（2，5），（1，6），所以P（A）=
（2）记“出现两个4点”的事件为B，则从图中可看到事件B包含的基本事件数只有1个：
（4，4）.所以P（B）=
1
. 36
点评 在古典概型下求P（A），关键要找出A所包含的基本事件个数然后套用公式
P(A)=
事件A包含基本事件的个数m
基本事件的总数n
变题 .在一次口试中，考生要从5道题中随机抽取3道进行回答，答对其中2道题为优秀，答对其中1道题为及格，某考生能答对5道题中的2道题，试求： （1）他获得优秀的概率为多少；
（2）他获得及格及及格以上的概率为多少；
点拨：这是一道古典概率问题，须用枚举法列出基本事件数.
解：设这5道题的题号分别为1,2，3，4，5，则从这5道题中任取3道回答，有（1，2，3），
（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4）,（2，3，5）， （2，4，5），（3，4，5）共10个基本事件．
（1）记“获得优秀”为事件A，则随机事件A中包含的基本事件个数为3，
故P(A)=
3
． 10
（2）记“获得及格及及格以上”为事件B，则随机事件B中包含的基本事件个数为9，故
P(B)=
9． 10
点评：使用枚举法要注意排列的方法，做到不漏不重.
例3. 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.
解：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即（a1，a2），（a1，b2），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b2，a2）.其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产用A表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，则 A=[（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）]
事件A由4个基本事件组成，因而，P（A）=
42
= 63
【反馈演练】
1.某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次环中9环，有4次中8环，有1次未中靶，试计算此人中靶的概率，假设此人射击1次，试问中靶的概率约为 0.9 中10环的概率约为 0.2 .
分析：中靶的频数为9，试验次数为10，所以中靶的频率为
9
=0.9，所以中靶的概率约为10
0.9．
解：此人中靶的概率约为0.9；此人射击1次，中靶的概率为0.9；中10环的概率约为0.2． 2.一栋楼房有4个单元，甲乙两人被分配住进该楼，则他们同住一单元的概率是 0.25 . 3. 在第1,3,6,8,16路公共汽车都要停靠的一个站（假定这个站只能停靠一辆汽车），有一
位乘客等候第6路或第16路汽车.假定当时各路汽车首先到站的可能性相等，则首先到
2
5
3
4.把三枚硬币一起抛出，出现2枚正面向上，一枚反面向上的概率是
8
3
5.有5根细木棒，长度分别为1,3 ,5 ,7 ,9，从中任取三根，能搭成三角形的概率是
10
站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于
6. 从1，2，3，„，9这9个数字中任取2个数字，
5 184
（2）2个数字之和为偶数的概率为
9
（1）2个数字都是奇数的概率为
7. 某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为
8 15
8. A、B、C、D、E排成一排，A在B的右边（A、B可以不相邻）的概率是
12
9．在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是
7 10
10. 用红、黄、蓝三种不同颜色给下图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：
（1）3个矩形颜色都相同的概率；
（2）3个矩形颜色都不同的概率.
解：所有可能的基本事件共有27个，如图所示.
红红红黄黄黄
蓝蓝蓝红红红
黄黄黄
蓝蓝蓝红红红黄黄黄
蓝蓝蓝
（1）记“3个矩形都涂同一颜色”为事件A，由图知，事件A的基本事件有1×3=3个，故
P（A）=
31=. 27962=. 279
（2）记“3个矩形颜色都不同”为事件B，由图可知，事件B的基本事件有2×3=6个，故
P（B）=
11. 甲、乙两个均匀的正方体玩具，各个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，将这两个玩具同时掷一次.
（1）若甲上的数字为十位数，乙上的数字为个位数，问可以组成多少个不同的数，其中个
位数字与十位数字均相同的数字的概率是多少?
（2）两个玩具的数字之和共有多少种不同结果?其中数字之和为12的有多少种情况?数字
之和为6的共有多少种情况?分别计算这两种情况的概率. 解：（1）甲有6种不同的结果，乙也有6种不同的结果，故基本事件总数为
6×6=36个.其中十位数字共有6种不同的结果，若十位数字与个位数字相同，十位
61=. 366
（2）两个玩具的数字之和共有2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12共11种不同结数字确定后，个位数字也即确定.故共有6×1=6种不同的结果，即概率为果.从中可以看出，出现12的只有一种情况，概率为
1
.出现数字之和为6的共有（1，36
5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）五种情况，所以其概率为
5
. 36
12.现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：
（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率； （2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率． 解：（1）有放回地抽取3次，按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则x,y,z都有10种可能，所
3
以试验结果有10×10×10=10种；设事件A为“连续3次都取正品”，则包含的基本
3
事件共有8×8×8=8种，
83
因此，P(A)= 3=0.512．
10
（2）可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录（x,y,z），则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，所以试验的所有结果为10×9×8=720种．设事件B为“3件都是正品”，则事件B包含的基本事件总数为8×7×6=336, 所以P(B)=
3367
． 72015
几何概型
【考点导读】
1．了解几何概型的基本特点. 2．会进行简单的几何概率的计算. 【基础练习】
1．在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是 0.004
2. 取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m的
1
概率是
33. 在1万 km的海域中有40 km的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到
1
油层面的概率是
2504. 如下图，在一个边长为3 cm的正方形内部画一个边长为2 cm的正方形，向大正方形内
4
随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是 .
9
2
2
(第4题)
5. 如下图，在直角坐标系内，射线OT落在60°的终边上，任作一条射线OA，则射线落在
1
∠xOT内的概率是 .
6【范例解析】
例1. 在等腰Rt△ABC中， (1)在斜边AB上任取一点M，求AM的长小于AC的长的概率. （2）过直角顶点C在∠ACB内作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM
A
C'AC2
==. ABAB2
'
M
(2)
1800-450
=67.50 (2) 在AB上截取AC′=AC,∠ACC=
2
(1)
67.503
= 于是P（AM＜AC）=0
904
点评 （1）对于几何概型中的背景相同的问题，当等可能的角度不同时，其概率是不一样
的（2）在利用几何概率公式计算概率时，必须注意d与D的测度单位的统一.
例2．平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r
解：把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A，为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M，如图所示，这样线段OM长度（记作OM）的取值范围就是[o,a]，只有当r＜OM≤a时硬币不与平行线相碰，所以所求事件A的概率就
(r,a]的长度
是P（A）=
[0,a]的长度
a-r
=
a
M
例3.将长为l的棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率.
解：设A=“3段构成三角形”，x,y分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为l-x-y. 则实验的全部结果可构成集合Ω=(x,y)0
{}
成三角形，当且仅当任意两段之和大于第三段，故所求结果构成的集合
⎧1ll⎫A=⎨(x,y)x+y>,y
222⎭⎩1⎛l⎫
⋅ ⎪S12⎝2⎭
=所求的概率为P(A)=A= l2SΩ42
点评 用几何概型解题的一般步骤是：（1）适当选择观察角度；（2）把基本事件转化为与之相应的区域；（3）把事件A转化为与之对应的区域；（4）利用概率公式计算. 【反馈演练】
1. 两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m
1
的概率是
32. 某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，此人等车时间不多于10分钟的概率
2
1
． 6
解:设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A恰好是到站等车的时刻位于[50,60]这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P(A)= 间不多于10分钟的概率为．
3．若x可以在x+≤3的条件下任意取值，则x是负数的概率是 2/3 .
4. 在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是0.01．
分析：病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫克种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率. 解：取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A，则 P(A)=
60-501
=，即此人等车时606
取出的种子体积10
==0.01．
所有种子的体积1000
5.在区间[-1,-1]上任取两实数a,b，则二次方程x2+2ax+b2=0的两根都为实数的概率
1/2 .
6. 如下图，在一个边长为a,b（a＞b＞0）的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为a
1
3
与
15a，高为b，向该矩形内随机投一点,则所投的点落在梯形内部的概率为
122
1ab
1aa
7．某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站，求任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率（假定车到来后每人都能上）．
解：可以认为人在任何时刻到站是等可能的.设上一班车离站时刻为a，则该人到站的时刻的一切可能为Ω=(a,a+5)，若在该车站等车时间少于3分钟，则到站的时刻为g=(a+2,a+5)，P(A)=g的长度3=. Ω的长度5
8．一个路口的红绿灯,红灯的时间为30秒,黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为40秒,当你到达路口时看见下列三种情况的概率各是多少?
(1) 红灯 (2) 黄灯 (3) 不是红灯
解：总的时间长度为30+5+40=75秒，设红灯为事件A，黄灯为事件B，
（1）出现红灯的概率P(A)=构成事件A的时间长度302== 总的时间长度755
构成事件B的时间长度51== 总的时间长度7515（2）出现黄灯的概率P(B)=
（3）不是红灯的概率P(A)=1-P(A)=1-23= 55
9. 一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽20 m的长方形，求海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率.
解：对于几何概型，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率.如下图，区域Ω是长30 m、宽20 m的长方形.图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在下图中阴影部分的概率.由于区域Ω的面积为30×20=600（m2），阴影A的面积为30×20－26×16=184（m2） .∴P（A）=18423=.
60075
2
10.两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去.求两人能会面的概率.
【解】以7点钟作为计算时间的起点，设甲、乙分别在x分钟和y分钟到达，则样本空间为 D={(x,y)0≤x≤60,0≤y≤60},画成图为如图所示的正方形. 会面的充要条件是x-y≤20，即事件A={可以会面}所对应的区域是图中的阴影部分. 所
d的面积
以，P(A)=
D的面积602-4025＝=. 2609
60
20
20 60 互斥事件及其概率
【考点导读】
1.了解互斥事件及对立事件的概念，能判断某两个事件是否是互斥事件，进而判断它们
是否是对立.
2.了解互斥事件概率的加法公式，了解对立事件概率之和为1的结论，会利用相关公式
进行简单的概率计算.
【基础练习】
1.两个事件互斥是这两个事件对立的条件（充分不必要、必要不充分、充要
条件、
既不充分也不必要）
2.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是①至少有1个白球，都是红球 ②至少有1个白球，至多有1个红球
③恰有1个白球，恰有2个白球 ④至多有1个白球，都是红球
3．从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是 ④ . ①3个都是正品 ②至少有1个是次品 ③ 3个都是次品 ④至少有1个是正品
4.从一批羽毛球产品中任取一个，质量小于4.8 g的概率是0.3，质量不小于4.85 g的概率是
0.32，那么质量在［4.8，4.85）g范围内的概率是
5.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙二人下成和棋的
概率为 50% .
【范例解析】
例1．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，
判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件.
（1）恰好有1件次品恰好有2件次品；
（2）至少有1件次品和全是次品；
（3）至少有1件正品和至少有1件次品；
（4）至少有1件次品和全是正品.
解：依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一定试验中不会同时发生知：（1）恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，但它们不是对立事件，同理可以判断：（2）（3）中的2个事件不是互斥事件，也不是对立事件.（4）中的2个事件既是互斥事件也是对立事件
点评 解决此类问题，应结合互斥事件和对立事件的定义.
例2．某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在一次射击中：
（1）射中10环或9环的概率；
（2）少于7环的概率.
解：（1）该射手射中10环与射中9环的概率是射中10环的概率与射中9环的概率的和，即为P=0.21+0.23=0.44.
（2）射中不少于7环的概率恰为射中10环、9环、8环、7环的概率的和，即为0.21+0.23+0.25+0.28=0.97，而射中少于7环的事件与射中不少于7环的事件为对立事件，所以射中少于7环的概率为P=1－0.97=0.03.
例3 一盒中装有各色小球共12只，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.现从中随机取出1球，求：
（1） 取出1球是红球或黑球的概率；
（2） 取出1球是红球或黑球或白球的概率.
解：记事件A1={任取一球为红球}，A2={任取一球为黑球}，A3={任取一球为白球}， A4={任
5421,P(A2)=,P(A3)=,P(A4)= 12121212
543+= （1）P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=12124
11（2）P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= 12
111=） （或P(A1+A2+A3)=1-P(A4)=1-1212取一球为绿球}，则P(A1)=
点评 （1）解决此类问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件和对立事件，再决定用哪一个公式
（2）要注意分类讨论和等价转化数学思想的运用.
【反馈演练】
1. 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件?
事件A：命中环数大于7环； 事件B：命中环数为10环；
事件C：命中环数小于6环； 事件D：命中环数为6、7、8、9、10环. 分析：要判断所给事件是对立还是互斥，首先将两个概念的联系与区别弄清楚，互斥事件是指不可能同时发生的两事件，而对立事件是建立在互斥事件的基础上，两个事件中一个
不发生，另一个必发生.
解：A与C互斥（不可能同时发生），B与C互斥，C与D互斥，C与D是对立事件（至少一个发生）
2．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是 1 23．某产品分为甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03,出现丙级品的概率为0.01,则对产品抽查一次抽得正品的概率是 0.96 .
4.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是115，乙获胜的概率是，则是 ② . 236
①乙获胜的概率 ②乙不输的概率 ③甲胜的概率 ④甲不输的概率
5．如果事件A，B互斥，那么 . ①A+B是必然事件 ②A+B是必然事件 ③ A与B互斥 ④A与B独立
6. 在所有的两位数中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是 2 37.一个口袋内装有大小相同的红、蓝球各一个，采取有放回地每次摸出一个球并记下颜色为一次实验，实验共进行3次，则至少摸到一次红球的概率是 7 8
8．已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是112，从中取出2粒都是白子的概率是，现从中任意取出2粒恰好是同一735
色的概率是 17 359.同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿1张贺年卡.则至少一人拿到自己所写贺年卡的概率为5 8
10.有三个人，每个人都以相同的可能性被分配到四个房间中的某一间，求：
（1）三个人都分配到同一个房间的概率；
（2）至少两个人分配到同一个房间的概率.
答案 （1）15； （2）. 168
11. 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为155，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、31212
得到黄球、得到绿球的概率各是多少？
分析：利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解．
解：从袋中任取一球，记事件“摸到红球”、“摸到黑球”、“摸到黄球”、“摸到绿球”为A、
B、C、D，则有P(B+C)=P(B)+P(C)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=1
解得P(B)=551；P(C+D)=P(C)+P(D)=； 又P(A)=, 12123111,P(C)=,P(D)= 644
答：得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是
111、、. 464