会求出某些简单的离散型随机变量的概念分布
过程与方法：使学生初步学会利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法，并能用所学知识解决一些实际问题，进一步体会概率模型的作用，初步形成用随机观念
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会求出某些简单的离散型随机变量的概念分布
过程与方法：使学生初步学会利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法，并能用所学知识解决一些实际问题，进一步体会概率模型的作用，初步形成用随机观念
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“离散型随机变量”的教学设计之我见
人民教育出版社中数室 田载今
随机变量是因随机试验结果的变化而变化的量．由于随机试验的结果是事先无法确定的，所以表示随机试验结果的量要因结果的不同而变化，这样的量当然属于随机变量．随机变量的本质是定义在样本空间Ω上的一个映射，它把试验结果映为实数，即
中，且对任意实数x ，由满足R ，其的基本事件所组成的集合也是一个事件．
引入随机变量的概念，其作用不仅是把随机试验的结果数量化从而带来表示方法的简化，更重要的是把对随机现象统计规律的研究数学化，从而可以利用数学方法研究随机现象的规律性，其中对随机变量的概率分布的研究是实现这种转化的关键．
如果样本空间是可数的，即
变量的取值或，则随机也可以一一列出，这样的随机变量即离散型随机变量．离散型随机变量比连续型随机变量更容易理解，它是高中数学学习的主要随机变量类型．
一般地，关于离散型随机变量的教学目标大多规定为：
通过具体实例，归纳概括离散型随机变量的特征，得出离散型随机变量的概念；
体会引入随机变量的作用；
渗透将实际问题转化为数学问题进行随机分析的思想方法．
目前的高中数学教材中，离散型随机变量和离散型随机变量的分布列大都先后出现在两个小节中的内容．从教师教学用书中所附的教学设计案例和一般的实际教学过程看，将这两个内容分在两节课中学习是一般的教学安排．在这部分内容的第一课时中，通常只安排关于离散型随机变量概念的内容，而不涉及离散型随机变量的分布列．笔者认为，这样安排是有
一定道理的：第一，离散型随机变量是基础概念，离散型随机变量的分布列是针对离散型随机变量而定义的，从逻辑关系上说两者有先后之分；第二，两个概念的第一次出现分在不同课时内，学习内容单一，目标明确，可以将其分别解决，避免认识不清而产生混淆，从而使基本概念学得更扎实牢固；第三，这样处理与现行教材的课文、练习、习题的安排顺序保持基本一致，便于学生自学和做作业．
兵法曰：兵无常态，水无常势．这就是说解决问题的方法不是一成不变的，应根据实际情况权衡利弊相机行事．同样地，教学有法，教无定法．一种教学设计难以方方面面都能兼顾，往往在保证了一些方面有利的同时，也存在另一些方面的不足．如前所述，引入离散型随机变量的概念，体会引入随机变量的作用，渗透将实际问题转化为数学问题进行随机分析的思想方法，是本部分的教学目标，三者是相互联系的一个整体（三位一体）．如果只是引入离散型随机变量的概念，而不能较明显地体现为什么要引入它，则会影响对其作用和相关思想方法的体会．要体现引入随机变量的作用，渗透将实际问题转化为数学问题进行随机分析的思想方法，显然离不开对离散型随机变量的概率分布的研究，这是把对随机现象统计规律的研究数学化的关键．从这个角度看，如果能在同一课时中引入离散型随机变量后，紧接着出现分布列，使两者更密切地联系起来，可能更有利于教学目标的实现．
笔者考察实际教学发现，在一节课中仅讨论离散型随机变量，内容上显得比较单薄，时间上显得比较宽余，效果上显得比较拖沓，从提高教学效率考虑似还有潜力可挖．更重要的是，如果只引入随机变量而不涉及概率分布，这节课至多只能使人感到随机变量是对试验结果的一种数量化表示，而无法认识这种表示与随机度量（即可能性大小）的密切联系，这使得体会随机变量作用的效果大打折扣．在高中数学教材的向量部分，曾指出“如果没有运算，向量只是一个‘路标’，因为有了运算，向量的力量无限．”与此类似，如果不涉及概率分布，随机变量只是一种“表示”，因为有了概率分布，随机变量才能在研究随机现象时发挥作用．
笔者认为，将离散型随机变量和其分布列更紧密地联系起来，在实际教学中具有可行性．为说明这一点，笔者不揣冒昧地提出如下一种教学过程的设计草案，敬请读者指正．
离散型随机变量及其分布列第一课时的教学过程草案
一、描述随机变量
试验结果经常可以用表示计数或度量的量来表示，例如出现某种现象的次数，某物理量的长度，等等．即使是定性的试验结果，也可以数量化表示．例如掷硬币时，正面向上记为1，反面向上记为0．表示随机试验结果的量，其取值事先不能确定，它随着试验结果随机确定．一般地，随着试验结果的变化而变化的量叫做随机变量（random variable）．随机变量通常用表示．
二、考虑随机试验案例及相关问题
请看下面的随机试验，并考虑相关问题．
随机试验1 掷一枚质地均匀的骰子．
（1）用X 表示掷出的点数，要表示试验的全部可能结果，X 应取哪些值？
掷骰子时，掷出的点数可能是1，2，3，4，5，6中的一个，但事先不能确定，结果是随机产生的．用X 表示掷出的点数，X 的值应随机地取1，2，3，4，5，6中的某个．
（2）X 取到每一个值的概率各是多少？
由古典概型可知，X 取1，2，3，4，5，6中每一个值的概率都是
下： 这可以列表表示如
（3）X
X
（4）如果多次重复掷一枚骰子，那么掷出点数的平均值最可能是多少？
每次掷出的点数无法事先确定，因此多次掷出的点数的平均值也无法事先确定．但是，我们可以依据“大量重复试验时频率稳定于概率”对此进行估计．由于点数1，2，3，4，5
，
6出现的频率都会稳定于，所以多次重复掷骰子时点数的平均值最可能是
随机试验2 同时掷两枚质地均匀的硬币．
（1）用X 表示掷出正面的个数，要表示试验的全部可能结果，X 应取哪些值？
掷两枚硬币时，掷出正面的个数可能是0，1，2中的一个，但事先不能确定，结果是随机产生的．用X 表示掷出正面的个数，X 的值应随机地取0，1，2中的某个．
（2）X 取到每一个值的概率各是多少？
由古典概型可知，X 取0，1，2中每一个值的概率可以列表表示如下：
（3）X0各表示什么？它们对应的概率各是多少？
X0表示事件“正面个数大于0”，即事件“正面个数为1或2”．它扪的概率分别为和
．
（4）如果多次重复这个试验，那么掷出正面个数的平均值最可能是多少？
每次掷出的结果无法事先确定，因此多次掷出的正面个数的平均值也无法事先确定．但是，我们可以依据“大量重复试验时频率稳定于概率”对此进行估计．由于点数0，1，2出现的频率分别会稳定于，和，所以多次重复试验时正面个数的平均值最可能是
三、引出离散型随机变量及其分布列
思考1 上面两个X 是随机变量吗？它们的取值形式有什么特点？这些取值与试验结果有什么关系？
在上述试验及相关问题中，两个X 分别表示“点数”和“正面个数”，它们都是表示随机试验的结果的量，都随试验结果的变化而变化，因此都是随机变量．这两个随机变量的所有可能取值都可以一一列出，即分别为1，2，3，4，5，6和0，1，2．每一列数都对应着一个试验的所有可能结果．
一般地，所有可能取值能够一一列出的随机变量，叫做离散型随机变量（discrete random variable）．
思考2 上面两个表格的形式有什么特点？它们表示了什么内容？
上面问题中的表格，分两行列出随机变量X 的可取值，以及各值对应的概率．它不仅表示出离散型随机变量X 的变化范围，而且表示出各种变化的可能性大小，即从变化内容及其可能性这两方面全面地刻画了离散型随机变量X ．
一般地，表示离散型随机变量X 的所有可能值及取各个值的概率的表格
叫做X 的分布列（distribution series）．X 的分布列也可以表示为
容易发现，由于
概率的和
思考3 初步体会离散型随机变量及其分布列的作用．
从上面的问题可以看出，对于研究随机试验问题，例如估计多次重复试验结果的平均值，离散型随机变量及其分布列是非常有用的工具．由此可以觉察，引入随机变量给定量地表示和研究随机性问题带来方便；有了离散型随机变量及其分布列，就可以对许多随机试验的结果从变化范围和变化可能性两方面有更清晰的认识．
四、例题
与随机试验的全部可能结果一一对应，所以它们所对应的 ，
此处例题为巩固与加深对离散型随机变量及其分布列的一般认识而安排, 二项分布、超几何分布等内容安排在后续课时．
例 用随机变量X 表示掷两枚骰子的试验结果, 并写出X 的分布列．
解：设X 表示两枚骰子的点数之和，则X 的分布列为
根据X 的分布列，可以求出有关事件的概率．例如，
,
五、小结
1. 回顾离散型随机变量及其分布列的概念；
2. 初步体会离散型随机变量及其分布列在研究随机试验问题时的作用．
前面已经说过，教学有法，教无定法．教材和教学的设计方案具有多样性，不同方案各有长短．选择方案的关键在于从实际出发，在保证重点，突出要实现的主要教学目标的前提下，力求教学效果的最大化．笔者提出上述意见及教学设计，只是一孔之见，意在抛砖引玉，能为改进教材和教学的讨论提供参考．
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《离散型随机变量及其分布列》教学反思
一、教学内容、要求以及完成情况的再认识
《离散型随机变量的分布列》在近几年高考的推波助澜下愈发突显出其应用性和问题设计的新颖和创造性，如火如荼的新课改时时刻刻在提醒我们“思路决定出路”，们明确教学设计应是为了“学生的学而设计教”，不是为了 “老师的教而设计学”。
1. 学的重点应是离散型随机变量的分布列的含义与性质而非如何求概率
看过《离散型随机变量的分布列》的几个视频，大多采用“一个定义、三项注意、变式训练”的传授型数学概念教学模式，定义匆匆过，训练变式多，学生表示随机变量的分布列时错误不断。这些错误集中指向是某些事件的概率求错，从而导致分布列的表示错误，老师又纠错，学生还犯错。整堂课反映出的教学重点是求随机事件的概率。孰不知学生出错的根本原因是在思维的过程中没有有意识的将分布列问题转化为求互斥事件的概率。正所如皮之不存、毛之焉附，历经离散型随机变量的分布列的概念的教学过程并形成解题时将分布列问题转化为求互斥事件的概率的意识理应成为教学的重点。
2. 数学概念的教学应是从创设概念的生长点的问题情境切入探究而不是抛给学生
“一个定义、三项注意、变式训练”的“抛式”数学概念教学模式，犹如过眼云烟，未建立在学生已有的认知基础上的数学概念的理解犹如空中楼阁，未建立在思维的最近发展区内进行的类比归纳的正迁移思维犹如断了翅膀的鸟，未历经数学概念的探究而进行的变式训练亦不过是模仿解题。“问题是数学的心脏”，数学活动是由“情景问题”驱动的，“问题解决”是其主要的活动形式，创设可以连续变式的正多面体的问题情境，提出从低纬度向高纬度发展的问题是历经数学概念再创造的好的开始。
引例1：某人抛一颗骰子，出现的点数有几种情况？如何表示？各种结果出现的概率分别是多少？
引例2：100件产品中有10件次品，任取其中的4件，出现次品的情况有几种？如何表示？各种结果出现的概率分别是多少？
引例3：扔一枚硬币，出现的结果有几种？能用数表示吗？如果可以，如何表示？各种结果出现的概率分别是多少？
以上三个问题，集中指向了先是随机变量取不同值时对应概率的表示，更加如何简洁的表示，而离散型随机变量的分布列也是概率的一种表示形式，古典概率就是离散型随机变量的分布列的知识生长点。这就是将数学概念的引入情境化、顺其自然、不强加于人，是要合乎学生的认知规律、不苛求与形式。
3．数学概念的含义和性质是剥洋葱皮式的探究而不是变式训练的强化
学生对数学概念的理解出现偏差，往往是学生站的认识问题的角度不合理、维度不全面，所以我借助于问题串、采用“剥洋葱皮”的方式从数学概念的外延出发探寻概念的内涵。问是深入思考的开始、是质疑探究的延续。
离散型随机变量的分布列的性质是概念的外延，而离散型随机变量的概率分布列的内涵是一个必然事件分解成有限个互斥事件的概率的另一种表示形式，更主要的是应在概念的生成中形成解决问题的思维方法。
问题1. 通过以上简单的离散型随机变量的分布列，归纳出离散型随机变量的分布列具有哪些性质？(学生发现性质 )
性质2的理解是本节课的一个难点，设置如下问题串：
问题2. 性质2的含义是什么？
问题3. 每一个分布列有多少个随机事件？
问题4. 随机事件之间是什么关系？
问题5. 这些随机事件构成的复杂事件又表示什么事件？
通过以上问题串的探究，就是要学生历经离散型随机变量分布列的本质的认识过程，从而形成求解离散型随机变量的分布列的方法和步骤：
①明确随机变量的含义、确定随机变量的取值
②判定随机事件的关系、计算随机事件的概率
③列表表示分布列、检验是否构成必然事件
这样设计的目的是想避免学生在没有对数学概念和思想方法有基本了解的情况下就盲目进行大运动量的变式解题操练，导致教学缺乏必要的根基，是要培养学生数学用数学思维来解决问题。
在教学设计上要做整体的把握，应该从基本点出发，形成交汇点，进而达到制高点。教学的基本点就是“双基”： 数学基础知识和基本技能。从双基出发，使得基础知识形成网络、基本技能形成规律。教学的交汇点就是数学活动，在数学活动中形成基本思想方法和基本活动经验。
制高点是什么？制高点是重点，是可以达到必要深度的部分，但又不仅仅是重点。重点只是数学的结果，不指向如何应对；而制高点致力于探寻问题解决的基本思路，形成解决问题的方法和规律。站在制高点上进行教学设计，就是首先要准备贯彻什么样的教学理念、采用什么样的教学方法为支撑下的教学设计。所以我在教学设计时重视情境预设、更重视思维的发展历程，关注知识的内化、更关注形成知识的方法的理性建构。
数学思维的培养成长于每一节课堂、成败于每一点基础、影响于每一个细节，让每一节数学课堂都真正在有利于学生发展为本的道路上改革，牢牢把握这个制高点，成功就水到渠成了。
二、 值得注意的地方
在教学过程中要充分发挥学生的主体地位。在课堂上，无论是新教师还是老教师，通常会把自己当做课堂上的主人而过多的会忽略学生的主体地位；或者学生会因为长时间的习惯于听老师来讲解而忘记自己是课堂的主人。在建立新知的过程中，教师力求引导、启发，让学生逐步应用所学的知识来分析问题、解决问题，以形成比较系统和完整的知识结构。每个问题在设计时，充分考虑了学生的具体情况，力争提问准确到位，便于学生思考和回答。使思考和提问持续在学生的最近发展区内，学生的思考有价值，对知识的理解和掌握在不断的思考和讨论中完善和加深。但由于时间的把握，以及对学生的放手程度上„实施落实的可能还不到位，有待改进。
总之，在今后的教学工作中，需不断总结、反思。作为数学教师，一方面要激发学生学习数学的兴趣，让学生感觉到每解决一个数学问题，就有一种成就感；另一方面，更重要
的是教师本人要不断提高自己的专业水平。在总结、反思中不断提升自己的教学水平，做一名真正合格的人民教师。
抛色子中的数学
作者: | 上传时间:2011年05月31日 | 点击数： 35 | 【收藏本文】 | 【打印文章】
最近，听一位青年教师执教活动课《色子中的数学》，其引领学生充分经历探究过程，揭示游戏背后的规律，给听者留下深刻的印象。
片段一：掷色子比赛
［出示规则］
1．用两颗色子同时掷20次。
2．把点数之和分成两组，第一组：5、6、7、8、9，第二组：2、3、4、10、11、12。
3．双方各选一组，每次掷出的点数和在哪一组，该方赢；最终，赢的次数多的一方获胜。
师：你准备选哪一组？
生：我选第一组，第二组有6个和，出现的机率会大一些。（绝大多数同学同意） 生：我选第一组，我觉得掷出的点数之和是第二组中6个数的可能性不会太大。（只有5个同学同意）
师：好！选第二组的同学敢于坚持自己的想法，老师和你们并肩作战，给你们增加点人气！公说公有理，婆说婆有理，到底谁有理，我们还是掷色子比一比！
双方各选两人到前面进行比赛，每人掷5次，下面的同学报出点数之和，指名两人用画正字的方法统计双方赢的次数，结果第一组赢14次，第二组赢6次。选第二组的同学不服输，说一轮比赛不能说明什么问题，应该再多比几次！
片段二：游戏验证
［活动要求］
1．两人一组，一人同时掷两颗色子，一人记录。和是几就在几的上面涂一格。（图如下文中的表格）
2．5分钟后，观察统计图，看看哪些和出现的次数多，哪些和出现的次数比较少。 学生活动后，教师请三组展示统计图并交流自己的发现。
生：6、7、8出现的次数比较多。
生：越往中间的和出现的次数越多，越往两边的和出现的次数越少。
生：第一组和数出现的次数比第二组多很多！
师：有没有哪一组不是这样的情况？
生：我们小组出现第二组和的次数比出现第一组和的次数多1。
师：31组中有30组都是第一组和出现的次数多，这是偶然的吗？（生：不是！）那是不是说选第二组和的同学就不可能赢？
生：不一定！但这种可能性很小！
师：为什么选第一组和赢的可能性就大呢？
生：和越小，相加的数越少（指和的组成）；和越大，相加的数就越多。
生：不对！12只有6＋6。
生：中间的几个和数，组成的情况可能多一些！
师：看来，同学们都意识到这和出现次数的多少与数的组成有关。
片段三：探索奥秘
师：4人小组合作研究点数之和的不同组成情况，填写表格时注意有序和合理。 师：从表格中，你发现了什么？
生：和的组成依次从1种增加到6种，再依次减少到1种。像楼梯一样，先是上楼梯，再下楼梯。
生：我觉得像一个塔形。不算就知道点数之和第一组的组成情况比第二组多！
生：第一组和数组成有24种，而第二组和数组成只有12种。所以选第一组数赢的可能性比第二组大！
师：同时掷两颗色子一次，选第一组数赢的可能性有多大？
生：一共有36种情况，而第一组有24种情况，所以第一组赢的可能性为2/3。
师：第一组赢的可能性为2/3是不是意味着进行若干次比赛，第一组赢的次数一定占总次数的2/3？
生：不一定！我们组实验的结果就是第一组和数出现的次数占总次数的31/50。 师：汇总一下刚才各组掷色子的情况，看看第一组赢了多少次？第二组呢？ 生：第一组赢了962次，第二组赢491次。
生：第一组赢的次数大约占总次数的2/3，并不正好占总次数的2/3。
……
【思考】
一、巧妙设计概率游戏，引发思维冲突
数学家阿蒂亚曾说：“代数是有序的逻辑，而概率是无序的逻辑。”教师正是抓住了随机思维与确定性思维的不同，精心设计了并“导演”了“和的个数多，但赢的次数少”这样一出与逻辑思维矛盾但却符合概率规律的“悖论”式游戏，将学生卷入思维的漩涡，使学生欲罢不能。但学生已有的初步随机思维让他们也产生了一些有益于问题展开的想法，如“掷出的点数之和是第二组中6个数的可能性不会太大”、“不能以一轮比赛决胜负”，而这些想法也正是教师精心预设的。概率说理如果仅用口头说教的方式是难以改变学生直觉的，如果学生缺乏对随机现象的体验，往往很难建立相应的观念。因此，教师顺水推舟，让学生饶有兴趣地继续投入到充满游戏色彩的概率实验中去，积累对随机现象的经验。
二、统计分析实验结果，指引规律猜测
统计与概率是密不可分的。就概率教学而言，通过频率研究概率需要多次的重复实验，需要收集、整理、分析实验数据，所以概率离不开统计。上述教学中，教师创设了掷色子比赛的情境，鼓励学生用真实的数据和直观的模拟实验去检查、修正自己对概率的认识，体会统计与概率思想。教师没有采用统计表而是采用了更具直观性的统计图，让学生随着实验次数的增加不断丰富对随机现象的体验。而统计图又与稍后研究和的组成使用的表格暗合，巧妙地将实验结果的统计与逻辑思维分析的结果不着痕迹地联系起来，更有利于体会随机现象统计结果的背后受必然规律的支配。大量实验统计结果的一致性直接促使学生“不得不”去思考背后是否隐藏着必然规律。教师的设计思路与学生的思维进程可谓“天衣无缝”，达到了“润物细无声”般的“无痕”境界。
三、揭示随机中的必然，发展随机思维
学生对支配随机事件发生概率的规律探索真所谓“水到渠成”。值得一提的是，此前教师曾敏锐地抓住仅有的一个特例帮助学生理解可能性很小并不意味着不可能，增强了对随机思想的认识。在对“和的组成”的逻辑分析中，教师的引导又彰显了确定性思维的有序。这事实上也就在对比中突出了随机事件无序背后隐藏的必然规律。讨论概率的大小自然离不开逻辑上的理性分析，但量化并不意味用讲究因果关系的逻辑思维代替随机思维。教师通过汇总实验结果，着重让学生体会试验次数增加时，某事件发生的频率总是稳定于某一个数值附近，而且偏离的幅度很小，从而认识到频率具有稳定性这一事实说明刻画可能性大小的量——概率的客观存在性。又注意引导学生理解频率与概率的区别：事件A 出现的概率是事件A 的一种属性，有的可以通过理论计算获得，而频率只是概率的近似值。这就在很大程度上培养了学生用概率的眼光来分析问题，而不是以一成不变的思维方式去理解问题，促进了随机思维的发展。
（二）、两点分布的应用
两点分布列的应用非常广泛．如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布列来研究． 论坛上举出的其他例子：
（1）、在100瓶饮料中任意抽取5瓶标有600ml 的饮料是一个离散型随机变量，它的所有可能取值是0，1，2......5 。
有600ml 的饮料大于3个设为1，小于等于3个设为0.
分布列：
X 1 0
P 1/2 1/2
（2）、从某一学校随机选一学生，测量他的身高. 我们可以身高看作随机变量X,X 的取值范围在【1.5，1.9】
设[1.5-1.7]为1，（1.7-1.9]为0
分布列：
X 1 0
P p 1-p
从中得到该学校同学的身高数据，以了解学生的发育情况等
三、同学们在学习两点分布时遇到的问题
1、有同学在论坛提问：随机试验的结果设1和2可以么？
经过讨论后得出：可以随机变量只是把随机试验可能发生的结果数量化。我认为甚至可以设为98和[**************]01。
2、服从两点分布的随机变量，可能发生的结果不是1就是0，那他们发生的概率就一定是1/2吗？
回答：不对吧. 比如有十颗豆子,9颗红的,1颗绿的, 虽然也是两点分布的随机变量, 但概率一个是9/10,一个是1/10,不相等.
会求出某些简单的离散型随机变量的概念分布
过程与方法：使学生初步学会利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法，并能用所学知识解决一些实际问题，进一步体会概率模型的作用，初步形成用随机观念
相关展示
会求出某些简单的离散型随机变量的概念分布
过程与方法：使学生初步学会利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法，并能用所学知识解决一些实际问题，进一步体会概率模型的作用，初步形成用随机观念
2、、、、
“离散型随机变量”的教学设计之我见
人民教育出版社中数室 田载今
随机变量是因随机试验结果的变化而变化的量．由于随机试验的结果是事先无法确定的，所以表示随机试验结果的量要因结果的不同而变化，这样的量当然属于随机变量．随机变量的本质是定义在样本空间Ω上的一个映射，它把试验结果映为实数，即
中，且对任意实数x ，由满足R ，其的基本事件所组成的集合也是一个事件．
引入随机变量的概念，其作用不仅是把随机试验的结果数量化从而带来表示方法的简化，更重要的是把对随机现象统计规律的研究数学化，从而可以利用数学方法研究随机现象的规律性，其中对随机变量的概率分布的研究是实现这种转化的关键．
如果样本空间是可数的，即
变量的取值或，则随机也可以一一列出，这样的随机变量即离散型随机变量．离散型随机变量比连续型随机变量更容易理解，它是高中数学学习的主要随机变量类型．
一般地，关于离散型随机变量的教学目标大多规定为：
通过具体实例，归纳概括离散型随机变量的特征，得出离散型随机变量的概念；
体会引入随机变量的作用；
渗透将实际问题转化为数学问题进行随机分析的思想方法．
目前的高中数学教材中，离散型随机变量和离散型随机变量的分布列大都先后出现在两个小节中的内容．从教师教学用书中所附的教学设计案例和一般的实际教学过程看，将这两个内容分在两节课中学习是一般的教学安排．在这部分内容的第一课时中，通常只安排关于离散型随机变量概念的内容，而不涉及离散型随机变量的分布列．笔者认为，这样安排是有
一定道理的：第一，离散型随机变量是基础概念，离散型随机变量的分布列是针对离散型随机变量而定义的，从逻辑关系上说两者有先后之分；第二，两个概念的第一次出现分在不同课时内，学习内容单一，目标明确，可以将其分别解决，避免认识不清而产生混淆，从而使基本概念学得更扎实牢固；第三，这样处理与现行教材的课文、练习、习题的安排顺序保持基本一致，便于学生自学和做作业．
兵法曰：兵无常态，水无常势．这就是说解决问题的方法不是一成不变的，应根据实际情况权衡利弊相机行事．同样地，教学有法，教无定法．一种教学设计难以方方面面都能兼顾，往往在保证了一些方面有利的同时，也存在另一些方面的不足．如前所述，引入离散型随机变量的概念，体会引入随机变量的作用，渗透将实际问题转化为数学问题进行随机分析的思想方法，是本部分的教学目标，三者是相互联系的一个整体（三位一体）．如果只是引入离散型随机变量的概念，而不能较明显地体现为什么要引入它，则会影响对其作用和相关思想方法的体会．要体现引入随机变量的作用，渗透将实际问题转化为数学问题进行随机分析的思想方法，显然离不开对离散型随机变量的概率分布的研究，这是把对随机现象统计规律的研究数学化的关键．从这个角度看，如果能在同一课时中引入离散型随机变量后，紧接着出现分布列，使两者更密切地联系起来，可能更有利于教学目标的实现．
笔者考察实际教学发现，在一节课中仅讨论离散型随机变量，内容上显得比较单薄，时间上显得比较宽余，效果上显得比较拖沓，从提高教学效率考虑似还有潜力可挖．更重要的是，如果只引入随机变量而不涉及概率分布，这节课至多只能使人感到随机变量是对试验结果的一种数量化表示，而无法认识这种表示与随机度量（即可能性大小）的密切联系，这使得体会随机变量作用的效果大打折扣．在高中数学教材的向量部分，曾指出“如果没有运算，向量只是一个‘路标’，因为有了运算，向量的力量无限．”与此类似，如果不涉及概率分布，随机变量只是一种“表示”，因为有了概率分布，随机变量才能在研究随机现象时发挥作用．
笔者认为，将离散型随机变量和其分布列更紧密地联系起来，在实际教学中具有可行性．为说明这一点，笔者不揣冒昧地提出如下一种教学过程的设计草案，敬请读者指正．
离散型随机变量及其分布列第一课时的教学过程草案
一、描述随机变量
试验结果经常可以用表示计数或度量的量来表示，例如出现某种现象的次数，某物理量的长度，等等．即使是定性的试验结果，也可以数量化表示．例如掷硬币时，正面向上记为1，反面向上记为0．表示随机试验结果的量，其取值事先不能确定，它随着试验结果随机确定．一般地，随着试验结果的变化而变化的量叫做随机变量（random variable）．随机变量通常用表示．
二、考虑随机试验案例及相关问题
请看下面的随机试验，并考虑相关问题．
随机试验1 掷一枚质地均匀的骰子．
（1）用X 表示掷出的点数，要表示试验的全部可能结果，X 应取哪些值？
掷骰子时，掷出的点数可能是1，2，3，4，5，6中的一个，但事先不能确定，结果是随机产生的．用X 表示掷出的点数，X 的值应随机地取1，2，3，4，5，6中的某个．
（2）X 取到每一个值的概率各是多少？
由古典概型可知，X 取1，2，3，4，5，6中每一个值的概率都是
下： 这可以列表表示如
（3）X
X
（4）如果多次重复掷一枚骰子，那么掷出点数的平均值最可能是多少？
每次掷出的点数无法事先确定，因此多次掷出的点数的平均值也无法事先确定．但是，我们可以依据“大量重复试验时频率稳定于概率”对此进行估计．由于点数1，2，3，4，5
，
6出现的频率都会稳定于，所以多次重复掷骰子时点数的平均值最可能是
随机试验2 同时掷两枚质地均匀的硬币．
（1）用X 表示掷出正面的个数，要表示试验的全部可能结果，X 应取哪些值？
掷两枚硬币时，掷出正面的个数可能是0，1，2中的一个，但事先不能确定，结果是随机产生的．用X 表示掷出正面的个数，X 的值应随机地取0，1，2中的某个．
（2）X 取到每一个值的概率各是多少？
由古典概型可知，X 取0，1，2中每一个值的概率可以列表表示如下：
（3）X0各表示什么？它们对应的概率各是多少？
X0表示事件“正面个数大于0”，即事件“正面个数为1或2”．它扪的概率分别为和
．
（4）如果多次重复这个试验，那么掷出正面个数的平均值最可能是多少？
每次掷出的结果无法事先确定，因此多次掷出的正面个数的平均值也无法事先确定．但是，我们可以依据“大量重复试验时频率稳定于概率”对此进行估计．由于点数0，1，2出现的频率分别会稳定于，和，所以多次重复试验时正面个数的平均值最可能是
三、引出离散型随机变量及其分布列
思考1 上面两个X 是随机变量吗？它们的取值形式有什么特点？这些取值与试验结果有什么关系？
在上述试验及相关问题中，两个X 分别表示“点数”和“正面个数”，它们都是表示随机试验的结果的量，都随试验结果的变化而变化，因此都是随机变量．这两个随机变量的所有可能取值都可以一一列出，即分别为1，2，3，4，5，6和0，1，2．每一列数都对应着一个试验的所有可能结果．
一般地，所有可能取值能够一一列出的随机变量，叫做离散型随机变量（discrete random variable）．
思考2 上面两个表格的形式有什么特点？它们表示了什么内容？
上面问题中的表格，分两行列出随机变量X 的可取值，以及各值对应的概率．它不仅表示出离散型随机变量X 的变化范围，而且表示出各种变化的可能性大小，即从变化内容及其可能性这两方面全面地刻画了离散型随机变量X ．
一般地，表示离散型随机变量X 的所有可能值及取各个值的概率的表格
叫做X 的分布列（distribution series）．X 的分布列也可以表示为
容易发现，由于
概率的和
思考3 初步体会离散型随机变量及其分布列的作用．
从上面的问题可以看出，对于研究随机试验问题，例如估计多次重复试验结果的平均值，离散型随机变量及其分布列是非常有用的工具．由此可以觉察，引入随机变量给定量地表示和研究随机性问题带来方便；有了离散型随机变量及其分布列，就可以对许多随机试验的结果从变化范围和变化可能性两方面有更清晰的认识．
四、例题
与随机试验的全部可能结果一一对应，所以它们所对应的 ，
此处例题为巩固与加深对离散型随机变量及其分布列的一般认识而安排, 二项分布、超几何分布等内容安排在后续课时．
例 用随机变量X 表示掷两枚骰子的试验结果, 并写出X 的分布列．
解：设X 表示两枚骰子的点数之和，则X 的分布列为
根据X 的分布列，可以求出有关事件的概率．例如，
,
五、小结
1. 回顾离散型随机变量及其分布列的概念；
2. 初步体会离散型随机变量及其分布列在研究随机试验问题时的作用．
前面已经说过，教学有法，教无定法．教材和教学的设计方案具有多样性，不同方案各有长短．选择方案的关键在于从实际出发，在保证重点，突出要实现的主要教学目标的前提下，力求教学效果的最大化．笔者提出上述意见及教学设计，只是一孔之见，意在抛砖引玉，能为改进教材和教学的讨论提供参考．
3、、、、
《离散型随机变量及其分布列》教学反思
一、教学内容、要求以及完成情况的再认识
《离散型随机变量的分布列》在近几年高考的推波助澜下愈发突显出其应用性和问题设计的新颖和创造性，如火如荼的新课改时时刻刻在提醒我们“思路决定出路”，们明确教学设计应是为了“学生的学而设计教”，不是为了 “老师的教而设计学”。
1. 学的重点应是离散型随机变量的分布列的含义与性质而非如何求概率
看过《离散型随机变量的分布列》的几个视频，大多采用“一个定义、三项注意、变式训练”的传授型数学概念教学模式，定义匆匆过，训练变式多，学生表示随机变量的分布列时错误不断。这些错误集中指向是某些事件的概率求错，从而导致分布列的表示错误，老师又纠错，学生还犯错。整堂课反映出的教学重点是求随机事件的概率。孰不知学生出错的根本原因是在思维的过程中没有有意识的将分布列问题转化为求互斥事件的概率。正所如皮之不存、毛之焉附，历经离散型随机变量的分布列的概念的教学过程并形成解题时将分布列问题转化为求互斥事件的概率的意识理应成为教学的重点。
2. 数学概念的教学应是从创设概念的生长点的问题情境切入探究而不是抛给学生
“一个定义、三项注意、变式训练”的“抛式”数学概念教学模式，犹如过眼云烟，未建立在学生已有的认知基础上的数学概念的理解犹如空中楼阁，未建立在思维的最近发展区内进行的类比归纳的正迁移思维犹如断了翅膀的鸟，未历经数学概念的探究而进行的变式训练亦不过是模仿解题。“问题是数学的心脏”，数学活动是由“情景问题”驱动的，“问题解决”是其主要的活动形式，创设可以连续变式的正多面体的问题情境，提出从低纬度向高纬度发展的问题是历经数学概念再创造的好的开始。
引例1：某人抛一颗骰子，出现的点数有几种情况？如何表示？各种结果出现的概率分别是多少？
引例2：100件产品中有10件次品，任取其中的4件，出现次品的情况有几种？如何表示？各种结果出现的概率分别是多少？
引例3：扔一枚硬币，出现的结果有几种？能用数表示吗？如果可以，如何表示？各种结果出现的概率分别是多少？
以上三个问题，集中指向了先是随机变量取不同值时对应概率的表示，更加如何简洁的表示，而离散型随机变量的分布列也是概率的一种表示形式，古典概率就是离散型随机变量的分布列的知识生长点。这就是将数学概念的引入情境化、顺其自然、不强加于人，是要合乎学生的认知规律、不苛求与形式。
3．数学概念的含义和性质是剥洋葱皮式的探究而不是变式训练的强化
学生对数学概念的理解出现偏差，往往是学生站的认识问题的角度不合理、维度不全面，所以我借助于问题串、采用“剥洋葱皮”的方式从数学概念的外延出发探寻概念的内涵。问是深入思考的开始、是质疑探究的延续。
离散型随机变量的分布列的性质是概念的外延，而离散型随机变量的概率分布列的内涵是一个必然事件分解成有限个互斥事件的概率的另一种表示形式，更主要的是应在概念的生成中形成解决问题的思维方法。
问题1. 通过以上简单的离散型随机变量的分布列，归纳出离散型随机变量的分布列具有哪些性质？(学生发现性质 )
性质2的理解是本节课的一个难点，设置如下问题串：
问题2. 性质2的含义是什么？
问题3. 每一个分布列有多少个随机事件？
问题4. 随机事件之间是什么关系？
问题5. 这些随机事件构成的复杂事件又表示什么事件？
通过以上问题串的探究，就是要学生历经离散型随机变量分布列的本质的认识过程，从而形成求解离散型随机变量的分布列的方法和步骤：
①明确随机变量的含义、确定随机变量的取值
②判定随机事件的关系、计算随机事件的概率
③列表表示分布列、检验是否构成必然事件
这样设计的目的是想避免学生在没有对数学概念和思想方法有基本了解的情况下就盲目进行大运动量的变式解题操练，导致教学缺乏必要的根基，是要培养学生数学用数学思维来解决问题。
在教学设计上要做整体的把握，应该从基本点出发，形成交汇点，进而达到制高点。教学的基本点就是“双基”： 数学基础知识和基本技能。从双基出发，使得基础知识形成网络、基本技能形成规律。教学的交汇点就是数学活动，在数学活动中形成基本思想方法和基本活动经验。
制高点是什么？制高点是重点，是可以达到必要深度的部分，但又不仅仅是重点。重点只是数学的结果，不指向如何应对；而制高点致力于探寻问题解决的基本思路，形成解决问题的方法和规律。站在制高点上进行教学设计，就是首先要准备贯彻什么样的教学理念、采用什么样的教学方法为支撑下的教学设计。所以我在教学设计时重视情境预设、更重视思维的发展历程，关注知识的内化、更关注形成知识的方法的理性建构。
数学思维的培养成长于每一节课堂、成败于每一点基础、影响于每一个细节，让每一节数学课堂都真正在有利于学生发展为本的道路上改革，牢牢把握这个制高点，成功就水到渠成了。
二、 值得注意的地方
在教学过程中要充分发挥学生的主体地位。在课堂上，无论是新教师还是老教师，通常会把自己当做课堂上的主人而过多的会忽略学生的主体地位；或者学生会因为长时间的习惯于听老师来讲解而忘记自己是课堂的主人。在建立新知的过程中，教师力求引导、启发，让学生逐步应用所学的知识来分析问题、解决问题，以形成比较系统和完整的知识结构。每个问题在设计时，充分考虑了学生的具体情况，力争提问准确到位，便于学生思考和回答。使思考和提问持续在学生的最近发展区内，学生的思考有价值，对知识的理解和掌握在不断的思考和讨论中完善和加深。但由于时间的把握，以及对学生的放手程度上„实施落实的可能还不到位，有待改进。
总之，在今后的教学工作中，需不断总结、反思。作为数学教师，一方面要激发学生学习数学的兴趣，让学生感觉到每解决一个数学问题，就有一种成就感；另一方面，更重要
的是教师本人要不断提高自己的专业水平。在总结、反思中不断提升自己的教学水平，做一名真正合格的人民教师。
抛色子中的数学
作者: | 上传时间:2011年05月31日 | 点击数： 35 | 【收藏本文】 | 【打印文章】
最近，听一位青年教师执教活动课《色子中的数学》，其引领学生充分经历探究过程，揭示游戏背后的规律，给听者留下深刻的印象。
片段一：掷色子比赛
［出示规则］
1．用两颗色子同时掷20次。
2．把点数之和分成两组，第一组：5、6、7、8、9，第二组：2、3、4、10、11、12。
3．双方各选一组，每次掷出的点数和在哪一组，该方赢；最终，赢的次数多的一方获胜。
师：你准备选哪一组？
生：我选第一组，第二组有6个和，出现的机率会大一些。（绝大多数同学同意） 生：我选第一组，我觉得掷出的点数之和是第二组中6个数的可能性不会太大。（只有5个同学同意）
师：好！选第二组的同学敢于坚持自己的想法，老师和你们并肩作战，给你们增加点人气！公说公有理，婆说婆有理，到底谁有理，我们还是掷色子比一比！
双方各选两人到前面进行比赛，每人掷5次，下面的同学报出点数之和，指名两人用画正字的方法统计双方赢的次数，结果第一组赢14次，第二组赢6次。选第二组的同学不服输，说一轮比赛不能说明什么问题，应该再多比几次！
片段二：游戏验证
［活动要求］
1．两人一组，一人同时掷两颗色子，一人记录。和是几就在几的上面涂一格。（图如下文中的表格）
2．5分钟后，观察统计图，看看哪些和出现的次数多，哪些和出现的次数比较少。 学生活动后，教师请三组展示统计图并交流自己的发现。
生：6、7、8出现的次数比较多。
生：越往中间的和出现的次数越多，越往两边的和出现的次数越少。
生：第一组和数出现的次数比第二组多很多！
师：有没有哪一组不是这样的情况？
生：我们小组出现第二组和的次数比出现第一组和的次数多1。
师：31组中有30组都是第一组和出现的次数多，这是偶然的吗？（生：不是！）那是不是说选第二组和的同学就不可能赢？
生：不一定！但这种可能性很小！
师：为什么选第一组和赢的可能性就大呢？
生：和越小，相加的数越少（指和的组成）；和越大，相加的数就越多。
生：不对！12只有6＋6。
生：中间的几个和数，组成的情况可能多一些！
师：看来，同学们都意识到这和出现次数的多少与数的组成有关。
片段三：探索奥秘
师：4人小组合作研究点数之和的不同组成情况，填写表格时注意有序和合理。 师：从表格中，你发现了什么？
生：和的组成依次从1种增加到6种，再依次减少到1种。像楼梯一样，先是上楼梯，再下楼梯。
生：我觉得像一个塔形。不算就知道点数之和第一组的组成情况比第二组多！
生：第一组和数组成有24种，而第二组和数组成只有12种。所以选第一组数赢的可能性比第二组大！
师：同时掷两颗色子一次，选第一组数赢的可能性有多大？
生：一共有36种情况，而第一组有24种情况，所以第一组赢的可能性为2/3。
师：第一组赢的可能性为2/3是不是意味着进行若干次比赛，第一组赢的次数一定占总次数的2/3？
生：不一定！我们组实验的结果就是第一组和数出现的次数占总次数的31/50。 师：汇总一下刚才各组掷色子的情况，看看第一组赢了多少次？第二组呢？ 生：第一组赢了962次，第二组赢491次。
生：第一组赢的次数大约占总次数的2/3，并不正好占总次数的2/3。
……
【思考】
一、巧妙设计概率游戏，引发思维冲突
数学家阿蒂亚曾说：“代数是有序的逻辑，而概率是无序的逻辑。”教师正是抓住了随机思维与确定性思维的不同，精心设计了并“导演”了“和的个数多，但赢的次数少”这样一出与逻辑思维矛盾但却符合概率规律的“悖论”式游戏，将学生卷入思维的漩涡，使学生欲罢不能。但学生已有的初步随机思维让他们也产生了一些有益于问题展开的想法，如“掷出的点数之和是第二组中6个数的可能性不会太大”、“不能以一轮比赛决胜负”，而这些想法也正是教师精心预设的。概率说理如果仅用口头说教的方式是难以改变学生直觉的，如果学生缺乏对随机现象的体验，往往很难建立相应的观念。因此，教师顺水推舟，让学生饶有兴趣地继续投入到充满游戏色彩的概率实验中去，积累对随机现象的经验。
二、统计分析实验结果，指引规律猜测
统计与概率是密不可分的。就概率教学而言，通过频率研究概率需要多次的重复实验，需要收集、整理、分析实验数据，所以概率离不开统计。上述教学中，教师创设了掷色子比赛的情境，鼓励学生用真实的数据和直观的模拟实验去检查、修正自己对概率的认识，体会统计与概率思想。教师没有采用统计表而是采用了更具直观性的统计图，让学生随着实验次数的增加不断丰富对随机现象的体验。而统计图又与稍后研究和的组成使用的表格暗合，巧妙地将实验结果的统计与逻辑思维分析的结果不着痕迹地联系起来，更有利于体会随机现象统计结果的背后受必然规律的支配。大量实验统计结果的一致性直接促使学生“不得不”去思考背后是否隐藏着必然规律。教师的设计思路与学生的思维进程可谓“天衣无缝”，达到了“润物细无声”般的“无痕”境界。
三、揭示随机中的必然，发展随机思维
学生对支配随机事件发生概率的规律探索真所谓“水到渠成”。值得一提的是，此前教师曾敏锐地抓住仅有的一个特例帮助学生理解可能性很小并不意味着不可能，增强了对随机思想的认识。在对“和的组成”的逻辑分析中，教师的引导又彰显了确定性思维的有序。这事实上也就在对比中突出了随机事件无序背后隐藏的必然规律。讨论概率的大小自然离不开逻辑上的理性分析，但量化并不意味用讲究因果关系的逻辑思维代替随机思维。教师通过汇总实验结果，着重让学生体会试验次数增加时，某事件发生的频率总是稳定于某一个数值附近，而且偏离的幅度很小，从而认识到频率具有稳定性这一事实说明刻画可能性大小的量——概率的客观存在性。又注意引导学生理解频率与概率的区别：事件A 出现的概率是事件A 的一种属性，有的可以通过理论计算获得，而频率只是概率的近似值。这就在很大程度上培养了学生用概率的眼光来分析问题，而不是以一成不变的思维方式去理解问题，促进了随机思维的发展。
（二）、两点分布的应用
两点分布列的应用非常广泛．如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布列来研究． 论坛上举出的其他例子：
（1）、在100瓶饮料中任意抽取5瓶标有600ml 的饮料是一个离散型随机变量，它的所有可能取值是0，1，2......5 。
有600ml 的饮料大于3个设为1，小于等于3个设为0.
分布列：
X 1 0
P 1/2 1/2
（2）、从某一学校随机选一学生，测量他的身高. 我们可以身高看作随机变量X,X 的取值范围在【1.5，1.9】
设[1.5-1.7]为1，（1.7-1.9]为0
分布列：
X 1 0
P p 1-p
从中得到该学校同学的身高数据，以了解学生的发育情况等
三、同学们在学习两点分布时遇到的问题
1、有同学在论坛提问：随机试验的结果设1和2可以么？
经过讨论后得出：可以随机变量只是把随机试验可能发生的结果数量化。我认为甚至可以设为98和[**************]01。
2、服从两点分布的随机变量，可能发生的结果不是1就是0，那他们发生的概率就一定是1/2吗？
回答：不对吧. 比如有十颗豆子,9颗红的,1颗绿的, 虽然也是两点分布的随机变量, 但概率一个是9/10,一个是1/10,不相等.