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第5模块第1节

[知能演练]

一、选择题

1．已知数列{an}的通项公式是an＝

3n＋1

( )

B．递减数列 D．常数列 2n＋12n

解法一：∵an＋1－an＝

3n＋1＋13n＋1

， [3n＋1＋1]3n＋1

∴an＋1>an，数列{an}为递增数列．

解法二：研究函数f(x)x>0)的单调性，

3x＋12222

2x＋3333x＋1－3

222x

3∴f(x)＝(0，＋∞)上单调递增， f(x)33x＋13x＋13x＋13x＋1

∴f(n＋1)>f(n)，故an＋1>an，数列{an}为递增数列．答案：A

2．数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N*，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5等于

( )

2561

9A.16

3125

15C.16

解法一：由已知得a1·a2＝22，∴a2＝4.

a1·a2·a3＝32，∴a3＝4

a1·a2·a3·a4＝42，∴a4＝9

a1·a2·a3·a4·a5＝52，∴a51692561

∴a3＋a541616n2

(n≥2)，解法二：由a1·a2·a3·…·an＝n2，得a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2，∴an＝n－1

3561

∴a3＋a5＝22＋(42＝16答案：A

3．若数列{an}的通项公式anf(n)＝2(1－a1)·(1－a2)…(1－an)，试通过计算

n＋1f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出f(n)为

( )

n＋3n＋1

A.n

n＋1

A．递增数列 C．摆动数列

n＋2C. n＋1

n＋3

n＋2

31＋2

解析：f(1)＝2(1－a1)2

1＋1

1142＋2

f(2)＝2(1－4－9＝3

2＋1

f(3)＝2(1－a1)(1－a2)(1－a3)

1153＋21

＝2(1－4－916＝43＋1

n＋2

可猜测f(n)n＋1

答案：C

4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5

( )

A．9 B．8 C．7 D．6 解析：∵Sn＝n2－9n，

∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－10. 又当n＝1时，a1＝S1＝－8也适合上式，

∴an＝2n－10，又5

5．数列{an}满足an＋1________．

＝1

－1， 2a2a

12an， 0≤an

a1＝5，则数列的第2008项为

解析：∵a15∴a2＝2a1－1＝5 24

∴a3＝2a2＝5∴a4＝2a3＝5 31

a5＝2a4－1＝5a6＝2a5－1＝5， 4

∴该数列的周期为T＝4.∴a2008＝a454答案：56．已知数列{an}中，a1＝1，(n＋1)an＝nan＋1，则数列{an}的一个通项公式an＝________. 解法一：由a1＝1，(n＋1)an＝nan＋1，可得a2＝2，a3＝3，a4＝4， ∴数列的通项公式an＝n.

验证：当an＝n时，(n＋1)an＝nan＋1成立．

an＋1n＋1

解法二：由(n＋1)an＝nan＋1可得ann

an－1n－1na3aa…，a2a2. ∴当n≥2时，

an－1n－1an－2n－221

aan，∴an＝n，而n＝1时也适合．

∴数列的通项公式为an＝n. 答案：n

三、解答题

7．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足log2(1＋Sn)＝n＋1，求数列的通项公式．

＋

解：Sn满足log2(1＋Sn)＝n＋1，∴1＋Sn＝2n1，

＋

∴Sn＝2n1－1.

＋

∴a1＝3，an＝Sn－Sn－1＝(2n1－1)－(2n－1)＝2n(n≥2)，

3 n＝1，

∴{an}的通项公式为an＝n

2 n≥2.11

n≥2，n∈N*)，数列{an}的前n项和为Sn. 8．在数列{an}中，a12an＝1an－1

(1)求证：an＋3＝an； (2)求a2008.

(1)证明：an＋3＝111an＋2

1－an＋1

1－＝1－11

111an－1

nan11

＝1－1－aan－1－an

1an－1an－11

＝1－1－(1－an)＝an.∴an＋3＝an.

－1an－1

(2)解：由(1)知数列{an}的周期T＝3，

a12a2＝－1，a3＝2.

又∵a2008＝a3×669＋1＝a1＝2∴a20082[高考·模拟·预测]

1．(2009·佛山一模)记数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则a2＝

( )

A．4 B．2 C．1 D．－2

解析：取n＝1得a1＝2(a1－1)，所以a1＝2，再由n＝2得2＋a2＝2(a2－1)，所以a2＝

答案：A

2．(2009·沈阳监测二)在数列{an}中，若a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N*)，则通项an是

( )

n＋22n＋1

3A.3

11C. 2n－13n－2

1113a0解析：将3anan－1＋an－an－1＝0的两边同时除以anan－1(anan－1≠0)得：anan－1n

1111－3，故数列a是首项为1，公差为3aa(n－1)×3＝3n－2，故an－1nn1

3n－2答案：D

3．(2009·深圳二调)已知数列{an}的前n项和Sn＝n(20－n)，则当anan＋1

解析：由Sn＝n(20－n)得，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n(20－n)－(n－1)[20－(n－1)]＝－2n＋21；当n＝1时，a1＝S1＝1×(20－1)＝19＝－2×1＋21. 故数列{an}的通项公式为an＝－2n＋21.

1921

由an·an＋1＝(－2n＋21)[－2(n＋1)＋21]＝(－2n＋21)(－2n＋19)

答案：10

an＋22

4．(2009·重庆高考)设a1＝2，an＋1bn＝|，n∈N*，则数列{bn}的通项bn

an＋1an－1

＝________.

2＋1aa＋2＋nn1＝

解析：∵bn＋1＝＝ 2an＋1－11

an＋1

2an＋2an＋12an＋2＝2b，∴b＝2b.

＝nn＋1n

－an－1an－1an＋1

－＋

又b1＝4，∴bn＝4·2n1＝2n1.

＋

答案：2n1

5．(2009·全国Ⅱ)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. (1)设bn＝an＋1－2an，证明数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式．

解：(1)由已知有a1＋a2＝4a1＋2，

解得a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3.

又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－(4an＋2)＝4an＋1－4an，于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，即bn＋1＝2bn. 因此数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．

an＋1a－

(2)由(1)知等比数列{bn}中b1＝3，公比q＝2，所以an＋1－2an＝3×2n1，于是＋22

a13a13313

{(n－1)×－an＝(3n244442224

n－2

－1)·2.

[备选精题]

n＋11

6．(2009·全国Ⅰ)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(1nan2a(1)设bn＝n{bn}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和Sn.

an＋1a1

解：(1)由已知得b1＝a1＝1n＋1n2

即bn＋1＝bn2b2＝b12 通项an



b3＝b22 …… bn＝bn－1＋

n≥2)，

111

于是bn＝b1＋22…＋2

＝2－n≥2)．

又b1＝1，故所求的通项公式bn＝22

(2)由(1)知，an＝n(2＝2n22令Tn＝

k＝1n

2Tn＝

k＝1

于是Tn＝2Tn－Tn ＝

k＝0nn－1

－－4－－1n

n＋22

又 (2k)＝n(n＋1)，

k＝1

所以Sn＝n(n＋1)＋

n＋2