巧解三元一次方程组
江苏 韩恒阳
对于一些特殊的三元一次方程组可采取一些特殊的方法来求解，笔者举出数例来说明。
一、整体代入法
例1 解方程组
x－z=－4 （1）
z－2y=－1 （2）
x+ y－z =－1 （3）
解：将（1）代入（3）得，y=3，将y=3代入（2）得，z=5，再将其代入（1）得x=1
x=1 y=3
z=5
二、整体相加法
例2 解方程组
x+y=1 （1）
y+z=6 （2）
（3）
分析：将三个方程组相加再除以2可得，x+y+z=5，将此方程与原方程组的各个方程作差就可得到x、y、z的值。
解：（1）+（2）+（3）得，2（x+y+z）=10
即x+y+z=5 （4）
（4）－（1）得，z=4；（4）－（2）得x=－1
（4）－（3）得，y=2，因此原方程组的解为
x=－1
y=2
z=4
三、比值法
例3：解方程组
：y=5：3 （1）
x：z=7：3 （2）
－y－z=34 （3）
分析（1）、（2）为比例式，启示我们可应用比值消元法。
解：由（1）、（2）可设x=35k y=21k z=15k 将其代入（3）得，k=1 x=35
因此原方程组的解为y=21
四、对称消元法
3x+2y+4z=8 (1)
例4 解方程组2x+3y+4z=8 (2)
5x+5y+6z=22 (3)
解：∵x、y互换方程组不变，即方程组关于x、y对称，∴x=y 方程组可化为 5x+4z=8 x=4
解得5x+3z=11 z=－3
x=4
y=4
z=－3
巧解三元一次方程组
江苏 韩恒阳
对于一些特殊的三元一次方程组可采取一些特殊的方法来求解，笔者举出数例来说明。
一、整体代入法
例1 解方程组
x－z=－4 （1）
z－2y=－1 （2）
x+ y－z =－1 （3）
解：将（1）代入（3）得，y=3，将y=3代入（2）得，z=5，再将其代入（1）得x=1
x=1 y=3
z=5
二、整体相加法
例2 解方程组
x+y=1 （1）
y+z=6 （2）
（3）
分析：将三个方程组相加再除以2可得，x+y+z=5，将此方程与原方程组的各个方程作差就可得到x、y、z的值。
解：（1）+（2）+（3）得，2（x+y+z）=10
即x+y+z=5 （4）
（4）－（1）得，z=4；（4）－（2）得x=－1
（4）－（3）得，y=2，因此原方程组的解为
x=－1
y=2
z=4
三、比值法
例3：解方程组
：y=5：3 （1）
x：z=7：3 （2）
－y－z=34 （3）
分析（1）、（2）为比例式，启示我们可应用比值消元法。
解：由（1）、（2）可设x=35k y=21k z=15k 将其代入（3）得，k=1 x=35
因此原方程组的解为y=21
四、对称消元法
3x+2y+4z=8 (1)
例4 解方程组2x+3y+4z=8 (2)
5x+5y+6z=22 (3)
解：∵x、y互换方程组不变，即方程组关于x、y对称，∴x=y 方程组可化为 5x+4z=8 x=4
解得5x+3z=11 z=－3
x=4
y=4
z=－3