第２９卷第９期系统工程理论与实践
ＳｙｓｔｅｍｓＶｄ．２９．Ｎｏ．９Ｓｅｐｔ．，２００９２００睥９月Ｅｎ西ｎｅｅｒｉｎｇ—Ｔｈｅｏｒｙ＆Ｐｒａｃｔｉｃｅ
文章编号：１０００－６７８８（２００９）０９一００７８一０６
基于排队论的一个物流模型
吴锦标ｔ，刘再明ｔ，尹小玲２，付延冰３
（１．中南大学概率统计研究所，长沙４１００７５；２．中山大学数学与计算科学学院，广州５１０２７５；３．中南大学交通运输工程学院，长沙４１００７５）
摘要利用排队论研究了一个物流模型．货物到达货运站形成一复合泊松过程．每辆货车每次装载货物数量必须刚好为Ⅳ．求得了系统稳态存在的充分必要条件，利用补充变量法求得了任意时刻货运站内的平均货物量以及货车刚到达货运站时货运站内待运的平均货物量．最后给出了一个数值实例．
关键词随机运筹学；排队论；物流；批到达；批服务
中图分类号０１２２文献标志码Ａ
Ｌｏｇｉｓｔｉｃ８ｍｏｄｅｌｂａｓｅｄ
ＬＩＵｏｎｑｕｅｕｅｉｎｇｔｈｅｏｒｙｗｕＪｎｂｉａ０１，
ａｎｄｚ罅ｎｌｉｎ９１，ⅥＮｘｉ瓣ｌｉｎ９２，ＦｕＹａｍｂｉｎ矿ｎａｍｃ蛐ｄｎ衄８ｐｏｒｔａｔｉｏｎ（１．Ｉｎ８ｔｉｔｕｔｅｏｆＰｒｏｂａｂｉｌｉ锣ａｎｄＳｔａｔｉ８ｔｉｃｓ，ＣｅｎｔｒａｌＳｏｕｔｈＵｎｉＶｅ鹅ｉ锄Ｃｈａｎ即ｈａ４１００７５，Ｃｈｉｎａ；２・ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉ馏Ｓｃｉｅｎｔｉｎｃｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ，Ｓｕｎ、，ａｔ－蹲ｎＵｎｉｖｅｒ８ｉｔｙ＇Ｇｕ锄ｇｚｈｏｕ５１０２７５，Ｃｈｉｎａ；３．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆ
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ＦｂｒｔｈｉｓａｃｏＩｌ８ｉｄｅｒａｌｏｇｉｓｔｉｃ８ｍｏｄｅｌｂａ８ｅｄｏｎｑｕｅｕｅｉｎｇｔｈｅｏ眄．Ｔｈｅ肺ｉｇｈｔ８甜ｒｉｖｅｔｏｔｈｅ舭ｉｇｈｔｔｅｍｉｎａｌｃｏｍｐｏｕｎｄＰｏｉ８８０ｎｐｒｏｃｅ晒．Ａ行ｅｉｇｈｔｖｅｈｉｃｌｅｍ１１ｓｔｃ８ｒ巧ｊｌｌｓｔＮｐｉｅｃｅ８ｏｆ如ｉｇｈｔｓ
ｗｉ乞ｈａｔａｔｉｍｅ．ｍｏｄｅｌ，ｔｈｅｎｅｃｅ硝ａｒｙａｎｄ８ｕｍｃｉｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｆｏｒｔｈｅ８ｙｓｔｅｍｓｔａｂｉＨｔｙｉｓｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｗ宅ｃＩｅｒｉＶｅｔｈｅａｔａｍｅａｎ砌ｏｕｎｔｓｏｆ＆ｅ逗ｈｔｓ
Ｋｅｙｗｏｒｄｓｒａｎｄｏｍ印ｏｃｈａａｓｗｅＵａ８ａ七ａ矗ｅｉｇｈｔｖｅｈｉｃｌｅａｒｒｉｖ出印ｏｃｈｔｈｅⅢｅｔｈｏｄｏｆ８ｕｐｐｌｅｍｅｎｔ踟了ｖａｒｉａｂｌ馏．Ａｔｌａｓｔｗｅ百ｖｅｎｕｍｅｒｉｃａｌｅｘ锄ｐｌｅ．ｔｈｅ０盯；１０百８ｔｉｃ８；ｂｕｋａｒｒｉｖｅ．ｂｕｌｋ一∞ｒ、ｒｉｃｅｓｔｏｃｈ嬲ｔｉｃｏｐｅｒａｔｉｏｎｓｒｅ∞ａｕｒｃｈ；ｑｕｅｕｅｉｎｇ
１引言
排队论被广泛应用于交通物流领域，特别是批到达、批服务排队模型可以很好地模拟一些交通、货运、物流等现象．对于批到达排队模型，文献【ｌ＿６】进行了详细的研究．本文基于排队论，对一个货运站建立排队模型，研究了货物的到达形成一复合泊松过程，每辆货车每次限载货物数量为Ⅳ．不允许货车超载，也不允许不满载就发车，且具有一般分布装车时间的一个物流模型．
２模型描述
１）到达货运站的货物形成—个复合齐次泊松过程，即货物的到达形成一参数为入的泊松过程，在同一时收稿日期：２００８－０７－１８
资助项目：国家自然科学基金（６０５７４００２）；湖南省研究生创新基金（３３４０－７４２３６０００００Ｉ）；中南大学研究生学位论文创新基金（３９６０－７１１３１１００００３）作者简介：吴锦标（１９８２－），男，湖南株洲人，博士研究生，主要从事排队系统与库存控制方面的研究－
第９期吴锦标，等：基于排队论的—个物流模型
刻到达的货物数量（批量）是一正整数值随机变量ｘ，其分布是Ｐ伍＝ｉ）＝ｑ，ｌ＝ｌ，２，…，且Ｅｘ２＜ｏｏ．各批到达的货物数量相互独立．
２）每辆货车每次装载的货物数量限为Ⅳ．不允许超载也不允许不满载就发车．若货车到达货运站时，货运站内待运的货物数量大于或等于Ⅳ，则该货车装运前Ⅳ件货物离开货运站；若货运站内待运的货物数量小于Ⅳ，则该货车在货运站等待，直到货运站内的货物数萤大于等于Ⅳ时才装运前Ⅳ件货物离开货运站．
３）货车到达货运站时且货运站内待运的货物数量大于等于Ⅳ时，开始装车，装车时间Ｓ服从一般分布，其分布函数、密度函数、风险率函数分别记为Ａ＠），口（茁），叩＠）＝Ｔ墨杰。ｓ有有限的一阶矩和二阶矩。
４）前一辆货车离开货运站到后—辆货车到达货运站的时间间隔Ｂ服从一般分布，其分布函数、密度函数、风险率函数分别记为Ｂ（ｚ），６（ｚ），ｐ（ｚ）＝Ｔ兰警裔．Ｂ有有限的一阶矩和二阶矩．
５）以上各随机变量相互独立．
以下我们记Ｆ（ｚ）＝１一Ｆ＠），Ｆ＋（８）＝．ｆ≯ｅ“２ｄＦ扛）．
３系统稳态存在的充分必要条件
将前一辆货车离开货运站时刻看做服务开始时刻，后一辆货车到达货运站时刻看做服务结束时刻，则本模型相当于一个Ｍ／Ｇ／１排队系统，而Ｍ／Ｇ／１排队系统的再生点为顾客服务完离开系统时刻，故考虑货车到达货运站时刻嵌入马氏链．令｛‰，铭∈Ⅳ｝表示第佗辆货车到达货运站时刻，则｛Ｍ；＝Ⅳ（ｔ。＋Ｏ），铭∈Ⅳ｝为状态空间Ⅳ上的嵌入马氏链（见文献［７】）．
定理ｌ以｛Ⅳｋ，他∈Ⅳ｝表示第礼辆货车到达货运站时货运站内待运的货物数量，则｛Ⅳｔ；，竹∈Ⅳ）是遍历的，当且仅当不等式ｐ＝ＡＥｘ（ＥＳ＋ＥＢ）＜Ⅳ成立．
证明由文献【７】可知｛Ⅳｔ。，佗∈Ⅳ）为一个不可约、非周期的马氏链，由Ｆｏｒ８ｔｅｒ【８】准则：—个不可约、非周期的马氏链是遍历的，当且仅当存在一个非负函数，Ｕ），Ｊ∈Ⅳ及￡＞ｏ，使得：
％＝Ｅ【，（％＋１）一，（帆）１％＝Ｊ】
对所有的自然数歹∈Ⅳ有限，除有限个自然数外几乎所有的歹∈Ⅳ都有巧≤一￡．
令，◇）＝』，则有：
一ＪＡＥｘ（Ｅｓ＋ＥＢ）一Ⅳ，Ｊ＝１，２，…
４’一１ＡＥｘ（Ｅｓ＋ＥＢ），Ｊ＝ｏ
故若不等式入Ｅｘ（Ｅｓ＋ＥＢ）＜Ⅳ成立，由Ｆｏｒ８ｔｅｒ准则知，嵌入马氏链｛＾ｋ，ｎ∈Ⅳ）为遍历链．
若嵌入马氏链满足Ｋａｐｌａｎ【８ｌ条件，且对任意Ｊ∈Ⅳ，有％＜ｏｏ，存在Ｊｏ∈Ⅳ，当Ｊ≥Ｊｏ时有吻≥ｏ，则嵌入马氏链｛Ⅳｒ；，礼∈Ⅳ｝为非遍历链．由于存在七＝１使得当歹＜ｉ一而，ｌ＞ｏ时，有％＝ｏ，其中Ｒ＝（ｎＪ）为｛Ｍ；，佗∈Ⅳ）的一步转移概率矩阵，故满足Ｋ印ｌａｎ条件．若有不等式ＡＥｘ（ＥＳ＋ＥＢ）≥Ⅳ成立，则显然对任意的Ｊ≥１，有巧＜∞且存在—个如∈Ⅳ对任意Ｊ≥如有巧≥０，故马氏链｛Ⅳｔ¨佗∈Ⅳ）为非遍历链，因此若马氏链｛＾ｋ，竹∈Ⅳ）为遍历链，则不等式ＡＥｘ（Ｅｓ＋Ｅ日）＜Ⅳ成立．证毕．
注即要使系统稳态存在，必须相邻两辆货车离开货运站的时间间隔内新产生的平均待运货物数量小于运输车辆最大装载量．
４模型求解
令Ⅳ（ｔ）为时刻ｔ货运站的货物总数量（包括装车时车上的货物量）．令Ｃ（ｔ）为系统在时刻ｔ所处的状态．Ｃ（ｔ）＝ｏ表示时刻ｔ货车在货运站等待货物的到来；Ｃ（ｔ）＝１表示时刻ｔ在装货；Ｇ（ｔ）＝２表示时刻ｔ上—辆货车已发车，货物在等待下—辆货车的到来．
定义∈（￡）如下：
１）若ｃ∽＝１，ｆ（￡）表示已逝去的装车时间；
２）若Ｃ（ｔ）＝２，毒（ｔ）表示已逝去的运输时间，则｛ｃ（ｔ），Ⅳ（ｔ），∈（ｔ），ｔ≥ｏ）是—个向量马氏过程（见文献【９】）．
系统工程理论与实践第２９卷
记
Ｋ＠）＝Ｐ｛Ｃ＠）＝Ｏ，Ⅳ（ｔ）＝竹，，ｔ≥０，０≤ｎ＜Ⅳ，
ｔ≥０，ⅣＳｎ，＆（ｚ，￡）ｄｔ＝Ｐ｛Ｃ（ｔ）＝１，Ⅳ（￡）＝扎，ｚ＜∈（ｔ）≤ｚ＋ｄｚ），
ｊｋ（ｚ，ｔ）ｄｔ＝Ｐ｛Ｇ０）＝２，Ⅳ（ｔ）＝扎，ｚ＜∈（ｔ）Ｓｚ＋ｄｚ），ｔ≥０，０≤佗．
由于货物的到达过程为Ｐｏｉ８ｓｏｎ流，由Ｂ１ｌｒｋｅ定理【１０】知，马尔可夫过程｛Ｃ（ｔ），Ⅳ（ｔ），专（如亡≥ｏ｝的稳态概率分布存在当且仅当ＡＥｘ（ＥＳ＋ＥＢ）＜Ⅳ成立．
当ＡＥｘ（ＥＳ十ＥＢ）＜Ⅳ时，我们记
％２熙Ｋ（ｔ），＆（ｚ）２。魄＆（ｚ，￡），Ｒ（ｚ）２。骢Ｒ（ｚ，ｔ）
根据过程的转移规律，可得到系统的稳态方程组：
Ａ％＝＆。≥１，∑蛔Ｋ—ｔ＋五Ｒ（。）ｐ（ｚ）血，ｏ≤佗＜Ⅳ
掣＝＿（Ａ州圳坼）＋如Ⅳ，葛ＡＱ鼬（巩扎≥Ⅳ
掣－＿（Ａ州圳砷）＋沁。莲Ａ色％㈤，ｎ≥ｏ
＆（ｏ）＝正Ｒ（ｚ）ｐ（ｚ）妇＋．，ｏ∑ＡＱＫ“礼≥Ⅳｔ：ｏ焉＋１
ｊ名（ｏ）＝／ｉ％＋Ⅳ（ｚ），７（ｚ）ｄｚ，ｎ≥ｏ
Ⅳ一１∞＾ｏｏｏ。，∞
三Ｋ＋，三Ｚ＆＠）如＋至上Ｒ（甸血＝ｌｎ＝０ｎ＝Ⅳｏ”ｎ＝０。”
Ⅳ一ｌ∞∞ｏｏ
ｙ（ｚ）＝∑严Ｋ，ｓ（ｚ，名）＝∑扩＆（ｚ），Ｆ（邓）＝∑ｚ”Ｒ（ｚ），ｃ（名）＝∑ｑ∥ｎ＝Ｏｎ＝Ⅳｆｌ＝０ｔ＝ｌ
望鱼菩≥三！＝一（Ａ＋叼（ｚ））ｓ（ｚ，石）＋久ｃ（ｚ）ｓ（ｚ，ｚ）
皇墨羞三叠皇＝－一（入＋ｐ（ｚ））Ｆ（ｚ，名）＋入ｃ（名）Ｆ（ｚ，ｚ）
Ｆ（ｏ，ｚ）ｚⅣ＝／ｓ（ｚ，ｚ）ｔ７（ｚ）ｄｚ
ｓ（ｏ，ｚ）＝队ｃ如）一刈ｙ０）＋／Ｆ０，ｚ）ｐ０）（ｋ
Ｓ＠，ｚ）＝Ｓ（ｏ，ｚ）唧“入ｃ（ｚ）一Ｎｚ，Ａ（ｚ）
Ｆ０，ｚ）＝Ｆ（ｏ，ｚ）唧“入ｃ（ｚ）一刈ｚ）百（ｚ）
Ｆ（Ｏ，ｚ）ｚⅣ＝Ｓ（０，ｚ）Ａ’Ｑ—Ａｃ０））
ｓ（０，ｚ）＝（ＡＣ０）一刈ｙ（ｚ）＋Ｆ（ｏ，２）口＋Ｑ—ＡＧ０））（１）（２）（３）（４）（５）（６）（７）（８）（９）（１０）（１１）（１２）（１３）（１４）为了解上述方程，我们定义下面的母函数：由（２）式得到：由（３）式得到：由（５）式得到：由（１）式和（４）式得到：解（７）式和（８）式分别得到：将（１１）式代入（９）式得到：将（１２）式代入（１０）式得到：
第９期吴锦标，等：基于排队论的—个物流模型８１联立（１３）式和（１４）式可解得：
脚，＝拦‰哉焉箫当‰
由（１３）式和（１５）式得到：
将（１５）式代入（１２）式得到：∞，㈣，
将（１６）式代入（１１）式得到：脚，＝避学拦蒜裂湍舞骘铲
％，＝唑若觜等黜等篙秽
Ｊ‰＝∑仇‰一七，ｎ＝ｏ，１，…，Ⅳ一１嘶）＝正高瓮恭篙‰硒∞，∞，下面我们求ｙ（ｚ）：记在货车等待货物期间，某批货物到达货运站时，货运站已有ｎ件货物的概率为‰，则‰满足：
Ｉ丌０：：爿
所以％，ｎ＝０，１，…，Ⅳ一１，满足：
％＝凰‰，佗＝Ｏ，１，…，Ⅳ一１．其中‰是归一化常数．为了确定梳，我们利用归一化条件（６）得到：‰＝—Ｔ｛芝｝１，其中ｐ＝入Ｅｘ（Ｅｓ＋ＥＢ）．
Ⅳ【点。叫
从而
（Ⅳ一ｐ）∑扩‰
ｙ（ｚ）＝（１９）
Ⅳｆ蔓１‰１Ｌｎ＝ｏＪ
将（１９）式代入（１７）式和（１８）式可分别得到：
ｓ（ｚ）＝／ｓ（ｚ，名）血
Ｆ（ｚ）＝／Ｆ（ｚ，ｚ）血
５相关指标＝＝茄一・箫—－－－－—－———————－－———————＝——－—－一・一＝＝搿一・箫———————————————————’・一Ａ＋（Ａ一入ｃ（ｚ））Ｂ＋（Ａ一入ｃ（ｚ））一ｚⅣ。，ｆ≮二１—１㈣，ＩＺＩ，－、＿叫Ａ＋（Ａ一入ｃ＠））Ｂ＋（入一入ｃ（ｚ））一名Ⅳ。，『。芒１．１㈣，、。叫●Ｚ＿ｌ
＝茄一・箫２万丙五瓦瓦两再可不脬‘—了辱丁∞，‘””Ｊ
８２系统工程理论与实践第２９卷
定理３在稳态下，货车刚到达货运站时，货运站内待运的货物数量分布的母函数
证明记Ⅱｊ是货车刚到达货运站时，货运站内待运的货物数鼍恰好等于歹的概率，则
’码＝三。铲乃（ｚ）ｐ（ｚ）ｄｚ，其中‰是归一化常数．由（１７）式得到：弘，＝氅帮一・脊∞，
瓢力３篆‰Ｚ杩＠江（州一‰Ｚ脚∥ｍ（功如
利用归一化条件三（１）＝１，得到：Ｌｏ＝菇ｒ＿，将此表达式代入上式，立即得到（２３）式．
推论ｌ令Ｌ是稳态下，任意时刻货运站内待运的平均货物数量，则
Ｌ＝掣Ｌ幽（Ⅳ）＋脚肼
Ⅳ一ｌ咄学粉一・箫入ＥⅨ（ｘ一１）】（ＥＳ＋ＥＢ）＋入２（Ｅｘ）２（ＥＳ２＋ＥＢ２＋２Ｅ。ＳＥＢ）＋ｐ—ｐⅣ
∑Ｊｑ
∑口ｎ其中Ｌｏ（Ⅳ）＝专｝．ｎ＝０
推论２令Ｌ＋是稳态下，货车刚到达货运站时货运站内待运的平均货物数量，则
肚掣Ｌ幽（Ⅳ）＋酬ｘ－１）／２跚。舛
ＡＥ［ｘ（ｘ一１）】（Ｅｓ＋ＥＢ）＋入２（Ｅｘ）２（Ｅｓ２＋ＥＢ２＋２ＥｓＥＢ）一Ⅳ（Ⅳ一１）
６数值实例
首先假设货物批昔服从几何分布，即ｃ知＝（１一ｐ）ｐ知～，后≥１．则可得到它的母函数ｃ（ｚ）＝车碧．再假设ｓ和Ｂ都服从指数分布，其均值Ｅｓ＝击，Ｅ口＝击，有有限二阶矩Ｅｓ２＝寿，ＥＢ２＝磊．令ｐｌ＝１０，ｐ２＝１，ｐ：ｏ．５．则可得到Ｅｘ：２，Ｅｘ２＝６，Ｅｓ＝ｏ．１，Ｅｓ２＝ｏ。０２，刀Ｂ＝１，ＥＢ２＝２，％＝（≥）‘．
下面设入＝５，由于ｐ＝ＡＥＸ（ＥＳ＋ＥＢ）＝１１，所以为了满足ｐ＜Ⅳ，取Ⅳ＞１１．得到图１、图２．
图１图２
第９期吴锦标，等：基于排队论的—个物流模型
由图１可以看出，当１ｌ＜Ⅳ≤２２．５９６７时，任意时刻货运站内待运的平均货物数量厶随着Ⅳ的增长而急速减少；当Ⅳ＞２２．５９６７时，任意时刻货运站内待运的平均货物数量Ｌ随着Ⅳ的增长而增加；当Ⅳ＝２２．５９６７时，任意时刻货运站内待运的平均货物数量Ｌ最少陋≈１１．６１８）．
由图２可以看出，当Ⅳ比较小时，货车刚到达货运站时货运站内待运的平均货物数量Ｌ＋随着Ⅳ的增长而急剧减少；当Ⅳ比较大时，货车刚到达货运站时货运站内待运的平均货物数量Ｌ＋下降很平缓，且有Ⅳ＿∞Ｕｍ三＋＝６．
下面设Ⅳ＝５０，由于ｐ＝ＡＥｘ（Ｅｓ＋ＥＢ）＝２．２Ａ，所以为了满足ｐ＜Ⅳ，我们取Ａ≤２２．得到图３，图４．
＾（Ⅳ＝５０）Ａ（Ⅳ；５回
图３圈４
由图３可以看出，当Ａ≤６．００６１时，任意时刻货运站内待运的平均货物数量Ｌ随着Ａ的增长而缓慢减少；当Ａ＞６．００６１时，任意时刻货运站内待运的平均货物数量Ｌ随着Ⅳ的增长而增加；当Ａ＝６．００６１时，任意时刻货运站内待运的平均货物数量三最少（Ｌ≈２１．２０３３５）．
由图４可以看出货车刚到达货运站时货运站内待运的平均货物数量工＋随着Ａ的增长而增加．
参考文献
阻
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基于排队论的一个物流模型
作者：
作者单位：吴锦标， 刘再明， 尹小玲， 付延冰， WU Jin-biao， LIU Zai-ming， YIN Xiao-ling， FU Yan-bing吴锦标,刘再明,WU Jin-biao,LIU Zai-ming(中南大学,概率统计研究所,长沙,410075)， 尹
小玲,YIN Xiao-ling(中山大学,数学与计算科学学院,广州,510275)， 付延冰,FU Yan-
bing(中南大学,交通运输工程学院,长沙,410075)
系统工程理论与实践
SYSTEMS ENGINEERING—THEORY & PRACTICE
2009,29(9)
2次刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
参考文献(10条)
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本文读者也读过(2条)
1. 周智勇.陈峻.王炜.Zhou Zhiyong.Chen Jun.Wang Wei 基于排队论的出行车辆停放接受条件[期刊论文]-东南大学学报（自然科学版）2006,36(4)
2. 彭绪亚.刘长玮.刘国涛.伍翔.贾传兴.邓镓佳.陈志剑.PENG Xu-ya.LIU Chang-wei.LIU Guo-tao.WU Xiang.JIAChuan-xin.DENG Jia-jia.CHEN Zhi-jian 排队论在垃圾转运站设备优化配置中的应用[期刊论文]-重庆大学学报（自然科学版）2008,31(3)
引证文献(4条)
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2.孙亮.王晓原.周涛 随机需求下供应链持续盈利能力分析[期刊论文]-技术经济与管理研究 2011(11)
3.邓小瑜.李引珍.赵亚玲 港口航道通过能力研究综述[期刊论文]-水运工程 2011(3)
4.高文杰 基于灰概率的M/M/1/∞排队系统及应用研究[期刊论文]-天津师范大学学报（自然科学版） 2010(3)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_xtgcllysj200909011.aspx
第２９卷第９期系统工程理论与实践
ＳｙｓｔｅｍｓＶｄ．２９．Ｎｏ．９Ｓｅｐｔ．，２００９２００睥９月Ｅｎ西ｎｅｅｒｉｎｇ—Ｔｈｅｏｒｙ＆Ｐｒａｃｔｉｃｅ
文章编号：１０００－６７８８（２００９）０９一００７８一０６
基于排队论的一个物流模型
吴锦标ｔ，刘再明ｔ，尹小玲２，付延冰３
（１．中南大学概率统计研究所，长沙４１００７５；２．中山大学数学与计算科学学院，广州５１０２７５；３．中南大学交通运输工程学院，长沙４１００７５）
摘要利用排队论研究了一个物流模型．货物到达货运站形成一复合泊松过程．每辆货车每次装载货物数量必须刚好为Ⅳ．求得了系统稳态存在的充分必要条件，利用补充变量法求得了任意时刻货运站内的平均货物量以及货车刚到达货运站时货运站内待运的平均货物量．最后给出了一个数值实例．
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Ｅｎ舀ｎｅｅｒｉｎｇ，ｃｅｎｔｒａ卫ｓｏｕｔｈｕｎｉｖｅｒ８ｉｔｙ，ｃｈ蚰ｇＢｈａ４ｌ００７５，ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔ阳ｃｔＷｂ
ａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏ
ＦｂｒｔｈｉｓａｃｏＩｌ８ｉｄｅｒａｌｏｇｉｓｔｉｃ８ｍｏｄｅｌｂａ８ｅｄｏｎｑｕｅｕｅｉｎｇｔｈｅｏ眄．Ｔｈｅ肺ｉｇｈｔ８甜ｒｉｖｅｔｏｔｈｅ舭ｉｇｈｔｔｅｍｉｎａｌｃｏｍｐｏｕｎｄＰｏｉ８８０ｎｐｒｏｃｅ晒．Ａ行ｅｉｇｈｔｖｅｈｉｃｌｅｍ１１ｓｔｃ８ｒ巧ｊｌｌｓｔＮｐｉｅｃｅ８ｏｆ如ｉｇｈｔｓ
ｗｉ乞ｈａｔａｔｉｍｅ．ｍｏｄｅｌ，ｔｈｅｎｅｃｅ硝ａｒｙａｎｄ８ｕｍｃｉｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｆｏｒｔｈｅ８ｙｓｔｅｍｓｔａｂｉＨｔｙｉｓｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｗ宅ｃＩｅｒｉＶｅｔｈｅａｔａｍｅａｎ砌ｏｕｎｔｓｏｆ＆ｅ逗ｈｔｓ
Ｋｅｙｗｏｒｄｓｒａｎｄｏｍ印ｏｃｈａａｓｗｅＵａ８ａ七ａ矗ｅｉｇｈｔｖｅｈｉｃｌｅａｒｒｉｖ出印ｏｃｈｔｈｅⅢｅｔｈｏｄｏｆ８ｕｐｐｌｅｍｅｎｔ踟了ｖａｒｉａｂｌ馏．Ａｔｌａｓｔｗｅ百ｖｅｎｕｍｅｒｉｃａｌｅｘ锄ｐｌｅ．ｔｈｅ０盯；１０百８ｔｉｃ８；ｂｕｋａｒｒｉｖｅ．ｂｕｌｋ一∞ｒ、ｒｉｃｅｓｔｏｃｈ嬲ｔｉｃｏｐｅｒａｔｉｏｎｓｒｅ∞ａｕｒｃｈ；ｑｕｅｕｅｉｎｇ
１引言
排队论被广泛应用于交通物流领域，特别是批到达、批服务排队模型可以很好地模拟一些交通、货运、物流等现象．对于批到达排队模型，文献【ｌ＿６】进行了详细的研究．本文基于排队论，对一个货运站建立排队模型，研究了货物的到达形成一复合泊松过程，每辆货车每次限载货物数量为Ⅳ．不允许货车超载，也不允许不满载就发车，且具有一般分布装车时间的一个物流模型．
２模型描述
１）到达货运站的货物形成—个复合齐次泊松过程，即货物的到达形成一参数为入的泊松过程，在同一时收稿日期：２００８－０７－１８
资助项目：国家自然科学基金（６０５７４００２）；湖南省研究生创新基金（３３４０－７４２３６０００００Ｉ）；中南大学研究生学位论文创新基金（３９６０－７１１３１１００００３）作者简介：吴锦标（１９８２－），男，湖南株洲人，博士研究生，主要从事排队系统与库存控制方面的研究－
第９期吴锦标，等：基于排队论的—个物流模型
刻到达的货物数量（批量）是一正整数值随机变量ｘ，其分布是Ｐ伍＝ｉ）＝ｑ，ｌ＝ｌ，２，…，且Ｅｘ２＜ｏｏ．各批到达的货物数量相互独立．
２）每辆货车每次装载的货物数量限为Ⅳ．不允许超载也不允许不满载就发车．若货车到达货运站时，货运站内待运的货物数量大于或等于Ⅳ，则该货车装运前Ⅳ件货物离开货运站；若货运站内待运的货物数量小于Ⅳ，则该货车在货运站等待，直到货运站内的货物数萤大于等于Ⅳ时才装运前Ⅳ件货物离开货运站．
３）货车到达货运站时且货运站内待运的货物数量大于等于Ⅳ时，开始装车，装车时间Ｓ服从一般分布，其分布函数、密度函数、风险率函数分别记为Ａ＠），口（茁），叩＠）＝Ｔ墨杰。ｓ有有限的一阶矩和二阶矩。
４）前一辆货车离开货运站到后—辆货车到达货运站的时间间隔Ｂ服从一般分布，其分布函数、密度函数、风险率函数分别记为Ｂ（ｚ），６（ｚ），ｐ（ｚ）＝Ｔ兰警裔．Ｂ有有限的一阶矩和二阶矩．
５）以上各随机变量相互独立．
以下我们记Ｆ（ｚ）＝１一Ｆ＠），Ｆ＋（８）＝．ｆ≯ｅ“２ｄＦ扛）．
３系统稳态存在的充分必要条件
将前一辆货车离开货运站时刻看做服务开始时刻，后一辆货车到达货运站时刻看做服务结束时刻，则本模型相当于一个Ｍ／Ｇ／１排队系统，而Ｍ／Ｇ／１排队系统的再生点为顾客服务完离开系统时刻，故考虑货车到达货运站时刻嵌入马氏链．令｛‰，铭∈Ⅳ｝表示第佗辆货车到达货运站时刻，则｛Ｍ；＝Ⅳ（ｔ。＋Ｏ），铭∈Ⅳ｝为状态空间Ⅳ上的嵌入马氏链（见文献［７】）．
定理ｌ以｛Ⅳｋ，他∈Ⅳ｝表示第礼辆货车到达货运站时货运站内待运的货物数量，则｛Ⅳｔ；，竹∈Ⅳ）是遍历的，当且仅当不等式ｐ＝ＡＥｘ（ＥＳ＋ＥＢ）＜Ⅳ成立．
证明由文献【７】可知｛Ⅳｔ。，佗∈Ⅳ）为一个不可约、非周期的马氏链，由Ｆｏｒ８ｔｅｒ【８】准则：—个不可约、非周期的马氏链是遍历的，当且仅当存在一个非负函数，Ｕ），Ｊ∈Ⅳ及￡＞ｏ，使得：
％＝Ｅ【，（％＋１）一，（帆）１％＝Ｊ】
对所有的自然数歹∈Ⅳ有限，除有限个自然数外几乎所有的歹∈Ⅳ都有巧≤一￡．
令，◇）＝』，则有：
一ＪＡＥｘ（Ｅｓ＋ＥＢ）一Ⅳ，Ｊ＝１，２，…
４’一１ＡＥｘ（Ｅｓ＋ＥＢ），Ｊ＝ｏ
故若不等式入Ｅｘ（Ｅｓ＋ＥＢ）＜Ⅳ成立，由Ｆｏｒ８ｔｅｒ准则知，嵌入马氏链｛＾ｋ，ｎ∈Ⅳ）为遍历链．
若嵌入马氏链满足Ｋａｐｌａｎ【８ｌ条件，且对任意Ｊ∈Ⅳ，有％＜ｏｏ，存在Ｊｏ∈Ⅳ，当Ｊ≥Ｊｏ时有吻≥ｏ，则嵌入马氏链｛Ⅳｒ；，礼∈Ⅳ｝为非遍历链．由于存在七＝１使得当歹＜ｉ一而，ｌ＞ｏ时，有％＝ｏ，其中Ｒ＝（ｎＪ）为｛Ｍ；，佗∈Ⅳ）的一步转移概率矩阵，故满足Ｋ印ｌａｎ条件．若有不等式ＡＥｘ（ＥＳ＋ＥＢ）≥Ⅳ成立，则显然对任意的Ｊ≥１，有巧＜∞且存在—个如∈Ⅳ对任意Ｊ≥如有巧≥０，故马氏链｛Ⅳｔ¨佗∈Ⅳ）为非遍历链，因此若马氏链｛＾ｋ，竹∈Ⅳ）为遍历链，则不等式ＡＥｘ（Ｅｓ＋Ｅ日）＜Ⅳ成立．证毕．
注即要使系统稳态存在，必须相邻两辆货车离开货运站的时间间隔内新产生的平均待运货物数量小于运输车辆最大装载量．
４模型求解
令Ⅳ（ｔ）为时刻ｔ货运站的货物总数量（包括装车时车上的货物量）．令Ｃ（ｔ）为系统在时刻ｔ所处的状态．Ｃ（ｔ）＝ｏ表示时刻ｔ货车在货运站等待货物的到来；Ｃ（ｔ）＝１表示时刻ｔ在装货；Ｇ（ｔ）＝２表示时刻ｔ上—辆货车已发车，货物在等待下—辆货车的到来．
定义∈（￡）如下：
１）若ｃ∽＝１，ｆ（￡）表示已逝去的装车时间；
２）若Ｃ（ｔ）＝２，毒（ｔ）表示已逝去的运输时间，则｛ｃ（ｔ），Ⅳ（ｔ），∈（ｔ），ｔ≥ｏ）是—个向量马氏过程（见文献【９】）．
系统工程理论与实践第２９卷
记
Ｋ＠）＝Ｐ｛Ｃ＠）＝Ｏ，Ⅳ（ｔ）＝竹，，ｔ≥０，０≤ｎ＜Ⅳ，
ｔ≥０，ⅣＳｎ，＆（ｚ，￡）ｄｔ＝Ｐ｛Ｃ（ｔ）＝１，Ⅳ（￡）＝扎，ｚ＜∈（ｔ）≤ｚ＋ｄｚ），
ｊｋ（ｚ，ｔ）ｄｔ＝Ｐ｛Ｇ０）＝２，Ⅳ（ｔ）＝扎，ｚ＜∈（ｔ）Ｓｚ＋ｄｚ），ｔ≥０，０≤佗．
由于货物的到达过程为Ｐｏｉ８ｓｏｎ流，由Ｂ１ｌｒｋｅ定理【１０】知，马尔可夫过程｛Ｃ（ｔ），Ⅳ（ｔ），专（如亡≥ｏ｝的稳态概率分布存在当且仅当ＡＥｘ（ＥＳ＋ＥＢ）＜Ⅳ成立．
当ＡＥｘ（ＥＳ十ＥＢ）＜Ⅳ时，我们记
％２熙Ｋ（ｔ），＆（ｚ）２。魄＆（ｚ，￡），Ｒ（ｚ）２。骢Ｒ（ｚ，ｔ）
根据过程的转移规律，可得到系统的稳态方程组：
Ａ％＝＆。≥１，∑蛔Ｋ—ｔ＋五Ｒ（。）ｐ（ｚ）血，ｏ≤佗＜Ⅳ
掣＝＿（Ａ州圳坼）＋如Ⅳ，葛ＡＱ鼬（巩扎≥Ⅳ
掣－＿（Ａ州圳砷）＋沁。莲Ａ色％㈤，ｎ≥ｏ
＆（ｏ）＝正Ｒ（ｚ）ｐ（ｚ）妇＋．，ｏ∑ＡＱＫ“礼≥Ⅳｔ：ｏ焉＋１
ｊ名（ｏ）＝／ｉ％＋Ⅳ（ｚ），７（ｚ）ｄｚ，ｎ≥ｏ
Ⅳ一１∞＾ｏｏｏ。，∞
三Ｋ＋，三Ｚ＆＠）如＋至上Ｒ（甸血＝ｌｎ＝０ｎ＝Ⅳｏ”ｎ＝０。”
Ⅳ一ｌ∞∞ｏｏ
ｙ（ｚ）＝∑严Ｋ，ｓ（ｚ，名）＝∑扩＆（ｚ），Ｆ（邓）＝∑ｚ”Ｒ（ｚ），ｃ（名）＝∑ｑ∥ｎ＝Ｏｎ＝Ⅳｆｌ＝０ｔ＝ｌ
望鱼菩≥三！＝一（Ａ＋叼（ｚ））ｓ（ｚ，石）＋久ｃ（ｚ）ｓ（ｚ，ｚ）
皇墨羞三叠皇＝－一（入＋ｐ（ｚ））Ｆ（ｚ，名）＋入ｃ（名）Ｆ（ｚ，ｚ）
Ｆ（ｏ，ｚ）ｚⅣ＝／ｓ（ｚ，ｚ）ｔ７（ｚ）ｄｚ
ｓ（ｏ，ｚ）＝队ｃ如）一刈ｙ０）＋／Ｆ０，ｚ）ｐ０）（ｋ
Ｓ＠，ｚ）＝Ｓ（ｏ，ｚ）唧“入ｃ（ｚ）一Ｎｚ，Ａ（ｚ）
Ｆ０，ｚ）＝Ｆ（ｏ，ｚ）唧“入ｃ（ｚ）一刈ｚ）百（ｚ）
Ｆ（Ｏ，ｚ）ｚⅣ＝Ｓ（０，ｚ）Ａ’Ｑ—Ａｃ０））
ｓ（０，ｚ）＝（ＡＣ０）一刈ｙ（ｚ）＋Ｆ（ｏ，２）口＋Ｑ—ＡＧ０））（１）（２）（３）（４）（５）（６）（７）（８）（９）（１０）（１１）（１２）（１３）（１４）为了解上述方程，我们定义下面的母函数：由（２）式得到：由（３）式得到：由（５）式得到：由（１）式和（４）式得到：解（７）式和（８）式分别得到：将（１１）式代入（９）式得到：将（１２）式代入（１０）式得到：
第９期吴锦标，等：基于排队论的—个物流模型８１联立（１３）式和（１４）式可解得：
脚，＝拦‰哉焉箫当‰
由（１３）式和（１５）式得到：
将（１５）式代入（１２）式得到：∞，㈣，
将（１６）式代入（１１）式得到：脚，＝避学拦蒜裂湍舞骘铲
％，＝唑若觜等黜等篙秽
Ｊ‰＝∑仇‰一七，ｎ＝ｏ，１，…，Ⅳ一１嘶）＝正高瓮恭篙‰硒∞，∞，下面我们求ｙ（ｚ）：记在货车等待货物期间，某批货物到达货运站时，货运站已有ｎ件货物的概率为‰，则‰满足：
Ｉ丌０：：爿
所以％，ｎ＝０，１，…，Ⅳ一１，满足：
％＝凰‰，佗＝Ｏ，１，…，Ⅳ一１．其中‰是归一化常数．为了确定梳，我们利用归一化条件（６）得到：‰＝—Ｔ｛芝｝１，其中ｐ＝入Ｅｘ（Ｅｓ＋ＥＢ）．
Ⅳ【点。叫
从而
（Ⅳ一ｐ）∑扩‰
ｙ（ｚ）＝（１９）
Ⅳｆ蔓１‰１Ｌｎ＝ｏＪ
将（１９）式代入（１７）式和（１８）式可分别得到：
ｓ（ｚ）＝／ｓ（ｚ，名）血
Ｆ（ｚ）＝／Ｆ（ｚ，ｚ）血
５相关指标＝＝茄一・箫—－－－－—－———————－－———————＝——－—－一・一＝＝搿一・箫———————————————————’・一Ａ＋（Ａ一入ｃ（ｚ））Ｂ＋（Ａ一入ｃ（ｚ））一ｚⅣ。，ｆ≮二１—１㈣，ＩＺＩ，－、＿叫Ａ＋（Ａ一入ｃ＠））Ｂ＋（入一入ｃ（ｚ））一名Ⅳ。，『。芒１．１㈣，、。叫●Ｚ＿ｌ
＝茄一・箫２万丙五瓦瓦两再可不脬‘—了辱丁∞，‘””Ｊ
８２系统工程理论与实践第２９卷
定理３在稳态下，货车刚到达货运站时，货运站内待运的货物数量分布的母函数
证明记Ⅱｊ是货车刚到达货运站时，货运站内待运的货物数鼍恰好等于歹的概率，则
’码＝三。铲乃（ｚ）ｐ（ｚ）ｄｚ，其中‰是归一化常数．由（１７）式得到：弘，＝氅帮一・脊∞，
瓢力３篆‰Ｚ杩＠江（州一‰Ｚ脚∥ｍ（功如
利用归一化条件三（１）＝１，得到：Ｌｏ＝菇ｒ＿，将此表达式代入上式，立即得到（２３）式．
推论ｌ令Ｌ是稳态下，任意时刻货运站内待运的平均货物数量，则
Ｌ＝掣Ｌ幽（Ⅳ）＋脚肼
Ⅳ一ｌ咄学粉一・箫入ＥⅨ（ｘ一１）】（ＥＳ＋ＥＢ）＋入２（Ｅｘ）２（ＥＳ２＋ＥＢ２＋２Ｅ。ＳＥＢ）＋ｐ—ｐⅣ
∑Ｊｑ
∑口ｎ其中Ｌｏ（Ⅳ）＝专｝．ｎ＝０
推论２令Ｌ＋是稳态下，货车刚到达货运站时货运站内待运的平均货物数量，则
肚掣Ｌ幽（Ⅳ）＋酬ｘ－１）／２跚。舛
ＡＥ［ｘ（ｘ一１）】（Ｅｓ＋ＥＢ）＋入２（Ｅｘ）２（Ｅｓ２＋ＥＢ２＋２ＥｓＥＢ）一Ⅳ（Ⅳ一１）
６数值实例
首先假设货物批昔服从几何分布，即ｃ知＝（１一ｐ）ｐ知～，后≥１．则可得到它的母函数ｃ（ｚ）＝车碧．再假设ｓ和Ｂ都服从指数分布，其均值Ｅｓ＝击，Ｅ口＝击，有有限二阶矩Ｅｓ２＝寿，ＥＢ２＝磊．令ｐｌ＝１０，ｐ２＝１，ｐ：ｏ．５．则可得到Ｅｘ：２，Ｅｘ２＝６，Ｅｓ＝ｏ．１，Ｅｓ２＝ｏ。０２，刀Ｂ＝１，ＥＢ２＝２，％＝（≥）‘．
下面设入＝５，由于ｐ＝ＡＥＸ（ＥＳ＋ＥＢ）＝１１，所以为了满足ｐ＜Ⅳ，取Ⅳ＞１１．得到图１、图２．
图１图２
第９期吴锦标，等：基于排队论的—个物流模型
由图１可以看出，当１ｌ＜Ⅳ≤２２．５９６７时，任意时刻货运站内待运的平均货物数量厶随着Ⅳ的增长而急速减少；当Ⅳ＞２２．５９６７时，任意时刻货运站内待运的平均货物数量Ｌ随着Ⅳ的增长而增加；当Ⅳ＝２２．５９６７时，任意时刻货运站内待运的平均货物数量Ｌ最少陋≈１１．６１８）．
由图２可以看出，当Ⅳ比较小时，货车刚到达货运站时货运站内待运的平均货物数量Ｌ＋随着Ⅳ的增长而急剧减少；当Ⅳ比较大时，货车刚到达货运站时货运站内待运的平均货物数量Ｌ＋下降很平缓，且有Ⅳ＿∞Ｕｍ三＋＝６．
下面设Ⅳ＝５０，由于ｐ＝ＡＥｘ（Ｅｓ＋ＥＢ）＝２．２Ａ，所以为了满足ｐ＜Ⅳ，我们取Ａ≤２２．得到图３，图４．
＾（Ⅳ＝５０）Ａ（Ⅳ；５回
图３圈４
由图３可以看出，当Ａ≤６．００６１时，任意时刻货运站内待运的平均货物数量Ｌ随着Ａ的增长而缓慢减少；当Ａ＞６．００６１时，任意时刻货运站内待运的平均货物数量Ｌ随着Ⅳ的增长而增加；当Ａ＝６．００６１时，任意时刻货运站内待运的平均货物数量三最少（Ｌ≈２１．２０３３５）．
由图４可以看出货车刚到达货运站时货运站内待运的平均货物数量工＋随着Ａ的增长而增加．
参考文献
阻
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基于排队论的一个物流模型
作者：
作者单位：吴锦标， 刘再明， 尹小玲， 付延冰， WU Jin-biao， LIU Zai-ming， YIN Xiao-ling， FU Yan-bing吴锦标,刘再明,WU Jin-biao,LIU Zai-ming(中南大学,概率统计研究所,长沙,410075)， 尹
小玲,YIN Xiao-ling(中山大学,数学与计算科学学院,广州,510275)， 付延冰,FU Yan-
bing(中南大学,交通运输工程学院,长沙,410075)
系统工程理论与实践
SYSTEMS ENGINEERING—THEORY & PRACTICE
2009,29(9)
2次刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
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