第一部分 集合
集合的含义与表示
1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.
2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为{a 1, a 2, a 3, ⋅⋅⋅, a n }，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{x ∈A |P (x ) }，既要关注代表元素x ，也要把握其属性P (x ) ，适用于无限集.
3. 通常用大写拉丁字母A , B , C , ⋅⋅⋅表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集N *或N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R .
4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（not belong to ），分别用符号∈、∉表示，例如3∈N ，-2∉N .
【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：
（1）由方程x (x 2-2x -3) =0的所有实数根组成的集合；
（2）大于2且小于7的整数.
解：（1）用描述法表示为：{x ∈R |x (x 2-2x -3) =0}；
用列举法表示为{0,-1,3}.
（2）用描述法表示为：{x ∈Z |2
用列举法表示为{3,4,5,6}.
【例2】用适当的符号填空：已知A ={x |x =3k +2, k ∈Z }，B ={x |x =6m -1, m ∈Z }，则有： 17 A ； －5 A ； 17 B .
解：由3k +2=17，解得k =5∈Z ，所以17∈A ；
7由3k +2=-5，解得k =∉Z ，所以-5∉A ； 3
由6m -1=17，解得m =3∈Z ，所以17∈B .
【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6 练习题2， P 13 A 组题4）
（1）一次函数y =x +3与y =-2x +6的图象的交点组成的集合；
（2）二次函数y =x 2-4的函数值组成的集合；
2（3）反比例函数y =的自变量的值组成的集合. x
⎧y =x +3}={(1,4)}. 解：（1）{(x , y ) |⎨y =-2x +6⎩
（2）{y |y =x 2-4}={y |y ≥-4}.
2（3）{x |y =}={x |x ≠0}. x
点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量. 在解题中不能把点的坐标混淆为{1, 4}，也注意对比（2）与（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心.
x +a *【例4】已知集合A ={a |2=1有唯一实数解}，试用列举法表示集合A ． x -2
x +a 解：化方程2=1为：x 2-x -(a +2) =0．应分以下三种情况：
x -2
91⑴方程有等根且不是 △=0，得a =-，此时的解为x =，合．
42
⑵方程有一解为
，而另一解不是
：将x =
代入得a =，此时另一解
x =1-
⑶方程有一解为
x =
代入得a =
，此时另一解为x =1，合．
9综上可知，A ={-, ． 4
点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示. 注意分式方程易造成增根的现象.
集合间的基本关系
1. 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A 是集合B 的子集（subset ），记作A ⊆B （或B ⊇A ），读作“A 含于B ”（或“B 包含A ”）.
2. 如果集合A 是集合B 的子集（A ⊆B ），且集合B 是集合A 的子集（B ⊇A ），即集合A 与集合B 的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，记作A =B .
3. 如果集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B ，且x ∉A ，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ），记作A ⊂B （或B ⊃≠A ）.
4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set），记作∅，并规定空集是任何集合的子集.
5. 性质：A ⊆A ；若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；
若A B =A ，则A ⊆B ；若A B =A ，则B ⊆A .
【例1】用适当的符号填空：
（1）{菱形} {平行四边形}； {等腰三角形} {等边三角形}.
（2）∅ {x ∈R |x 2+2=0}； 0 {0}； ∅ {0}； N {0}.
解：（1
）， ；
（2）=， ∈， ，. n 1【例2】设集合A ={x |x =, n ∈Z}, B ={x |x =n +, n ∈Z }，则下列图形能表示A 与22
B 关系B A B A B 的是
） . A ． B ． C ． D ．
（
3113解：简单列举两个集合的一些元素，A ={⋅⋅⋅, --1, -,0, ,1, , ⋅⋅⋅}，2222
3113B ={⋅⋅⋅, -, -, , , ⋅⋅⋅}， 2222
易知B ⊂A ，故答案选A ． ≠≠
2n +1, n ∈Z }，易知B ⊂A ，故答案选A ． ≠2
【例3】若集合M =x |x 2+x -6=0, N ={x |ax -1=0}，且N ⊆M ，求实数a 的值. 另解：由B ={x |x ={}
解：由x 2+x -6=0⇒x =2或-3，因此，M ={2, -3}.
（i ）若a =0时，得N =∅，此时，N ⊆M ；
11111（ii ）若a ≠0时，得N ={. 若N ⊆M , 满足=2或=-3，解得a =或a =-. a a a 23
11故所求实数a 的值为0或或-. 23
点评：在考察“A ⊆B ”这一关系时，不要忘记“∅” ，因为A =∅时存在A ⊆B . 从
而需要分情况讨论. 题中讨论的主线是依据待定的元素进行.
2【例4】已知集合A ={a , a +b , a +2b }，B ={a , ax , ax }. 若A =B ，求实数x 的值.
⎧a +b =ax 22解：若⎨a +ax -2ax =0, 所以a (x -1) =0，即a =0或x =1. ⇒2⎩a +2b =ax
当a =0时，集合B 中的元素均为0，故舍去；
当x =1时，集合B 中的元素均相同，故舍去.
⎧a +b =ax 2
2若⎨⇒2ax -ax -a =0.
⎩a +2b =ax
12因为a ≠0，所以2x -x -1=0, 即(x -1)(2x +1)=0. 又x ≠1，所以只有x =-. 2
1经检验，此时A =B 成立. 综上所述x =-. 2
点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论. 融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.
集合的基本运算（一）
集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解
【例1】设集合U =R , A ={x |-1≤x ≤5},B ={x |3
解：在数轴上表示出集合A 、B ，如右图所示：
A B ={x |3
C U (A B ) ={x |x
（1）A (B
解：
（1）又B C ) ； （2）A ðA (B C ) . A ={-6, -5, -4, -3, -2, -1,0,1,2,3,4,5,6}. C ={3}，∴A (B C ) ={3}；
（2）又B C ={1,2,3,4,5,6}，
得C A (B C ) ={-6, -5, -4, -3, -2, -1,0}.
∴ A C A (B C ) ={-6, -5, -4, -3, -2, -1,0}.
【例3】已知集合A ={x |-2
解：由A B =A ，可得A ⊆B .
在数轴上表示集合A 与集合B ，如右图所示： 由图形可知，m ≥4. 点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关
系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题.
【例4】已知全集U ={x |x
B ) ={6,7,9}. B ) ，解：由A
由A B ={1,2,3,4,5,8}，则C U (A
B ={5,8}，则C U (A B ) ={1,2,3,4,6,7,9}
由C U A ={1,3,6,7,9}，C U B ={2,4,6,7,9}，
则(C U A )
(C U A )
(C U A ) (C U B ) ={6,7,9}， (C U B ) ={1,2,3,4,6,7,9}. B ) ， (C U B ) =C U (A B ) .
B ) ，在由计算结果可以知道，(C U A ) (C U B ) =C U (A 另解：作出Venn 图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果. 点评：可用Venn 图研究(C U A ) (C U B ) =C U (A B ) 与(C U A ) (C U B ) =C U (A
理解的基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.
集合的基本运算（二）
1. 含两个集合的Venn 图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过Venn 图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图
C U (A B ) =(C U A ) (C U B ) , C U (A B ) =(C U A ) (C U B ) . 形，我们还可以发现一些集合性质：
2. 集合元素个数公式：n (A B ) =n (A ) +n (B ) -n (A B ) .
3. 在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考查创新思维.
【例1】设集合A =-4,2a -1, a 2, B ={9, a -5,1-a }，若A
解：由于A =-4,2a -1, a 2, B ={9, a -5,1-a }，且A {}B ={9}，求实数a 的值. {}B ={9}，则有：
解得a ＝5，此时A ={－4, 9, 25}，B ={9, 0, －4}，不合题意，故舍去； 当2a -1＝9时，
当a 2＝9时，解得a ＝3或－3.
a ＝3时， A ={－4,5,9}， B ={9,－2, －2}，不合题意，故舍去；
a ＝－3，A ={－4, －7， 9}，B ={9, －8, 4}，合题意.
所以，a ＝－3.
【例2】设集合A ={x |(x -3)(x -a ) =0, a ∈R }，B ={x |(x -4)(x -1) =0}，求A B , A B . （教材P 14 B 组题2）
解：B ={1,4}.
当a =3时，A ={3}，则A B ={1,3,4}，A B =∅；
当a =1时，A ={1,3}，则A B ={1,3,4}，A B ={1}；
当a =4时，A ={3,4}，则A B ={1,3,4}，A B ={4}；
当a ≠3且a ≠1且a ≠4时，A ={3,a }，则A B ={1,3,4, a }，A B =∅.
点评：集合A 含有参数a ，需要对参数a 进行分情况讨论. 罗列参数a 的各种情况时，需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则.
【例3】设集合A ={x |x 2+4x =0}， B ={x |x 2+2(a +1) x +a 2-1=0，a ∈R }，若A B =B ，求实数a 的值．
解：先化简集合A ={-4,0}. 由A B =B ，则B ⊆A ，可知集合B 可为∅，或为{0}，或{－4}，或{-4,0}.
(i ) 若B =∅，则∆=4(a +1) 2-4(a 2-1)
(ii ) 若0∈B ，代入得a 2-1=0⇒a =1或a =-1，
当a =1时，B =A ，符合题意；
当a =-1时，B ={0}⊆A ，也符合题意．
(iii ) 若－4∈B ，代入得a 2-8a +7=0⇒a =7或a =1，
当a =1时，已经讨论，符合题意；
当a =7时，B ={－12，－4}，不符合题意．
综上可得，a =1或a ≤-1．
点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用. 通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法．解该题时，特别容易出现的错误是遗漏了A =B 和B =∅的情形，从而造成错误．这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.
【例4】对集合A 与B ，若定义A -B ={x |x ∈A , 且x ∉B }，当集合A ={x |x ≤8, x ∈N *}，集合B ={x |x (x -2)(x -5)(x -6) =0}时，有A -B = . （由教材P 12 补集定义“集合A 相对于全集U 的补集为C U A ={x |x ∈, 且x ∉A }”而拓展）
解：根据题意可知，A ={1,2,3,4,5,6,7,8}，B ={0,2,5,6}
由定义A -B ={x |x ∈A , 且x ∉B }，则
A -B ={1,3,4,7,8}.
点评：运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种创新思维的训练，关键是理解定义的实质性内涵，这里新定义的含义是从A 中排除B 的元素. 如果再给定全集U ，则A -B 也相当于A (C U B ) .
第二部分 常用逻辑用语
一、知识导学
1．逻辑联结词：“且”、“或”、 “非”分别用符号“∧”“∨”“⌝”表示.
2．命题：能够判断真假的陈述句．
3．简单命题：不含逻辑联结词的命题
4．复合命题：由简单命题和逻辑联结词构成的命题，复合命题的基本形式：p 或q ；p 且q ；非p
5．四种命题的构成：原命题：若p 则q ； 逆命题：若q 则p ；否命题：若p 则q ；逆否命题：若q 则p.
6．原命题与逆否命题同真同假，是等价命题，即“若p 则q ”“若q 则p ” .
7．反证法：欲证“若p 则q ”，从“非q ”出发，导出矛盾，从而知“若p 则非q ”为假，即“若p 则q ”为真 .
8．充分条件与必要条件 ：
①p q ：p 是q 的充分条件；q 是p 的必要条件；
②p q ：p 是q 的充要条件 .
9．常用的全称量词：“对所有的”、“ 对任意一个”“ 对一切”“ 对每一个”“任给”等；并用符号“∀” 表示. 含有全称量词的命题叫做全称命题.
10．常用的存在量词：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、 “有的”、“对某个”； 并用符号“∃”表示. 含有存在量词的命题叫做特称命题.
二、疑难知识导析
1．基本题型及其方法
（1）由给定的复合命题指出它的形式及其构成；
（2）给定两个简单命题能写出它们构成的复合命题，并能利用真值表判断复合命题的真假；
（3）给定命题，能写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并能运用四种命题的相互关系，特别
是互为逆否命题的等价性判断命题的真假. 注意：否命题与命题的否定是不同的.
（4）判断两个命题之间的充分、必要、充要关系；
方法：利用定义
（5）证明p 的充要条件是q ；
方法：分别证明充分性和必要性
（6）反证法证题的方法及步骤：反设、归谬、结论. 反证法是通过证明命题的结论的反面不成立而肯定命题的一种数学证明方法，是间接证法之一.
全称命题p:∀x ∈M , p (x ) , 它的否定⌝p :∃x ∈M , ⌝p (x ) ；特称命题p:∃x ∈M , p (x ) , 它的否定⌝p :∀x ∈M , ⌝p (x ) ；即全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题. 否定一个全称命题可以通过“举反例”来说明.
三、经典例题导讲
[例1] 把命题“全等三角形一定相似”写成“若p 则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题.
错解：原命题可改写成：若两个三角形全等，则它们一定相似.
逆命题：若两个三角形相似，则它们全等.
否命题：若两个三角形不一定全等，则它们不一定相似.
逆否命题：若两个三角形不一定相似，则它们不一定全等.
错因：对“一定”的否定把握不准，“一定”的否定 “一定不”，在逻辑知识中求否定相当于求补集，而“不一定”含有“一定”的意思. 对这些内容的学习要多与日常生活中的例子作比较，注意结合集合知识. 因而否命题与逆否命题错了.
正解：否命题：若两个三角形不全等，则它们不相似.
逆否命题：若两个三角形不相似，则它们不全等.
[例2] 将下列命题改写成“若p 则q ”的形式，并写出否命题.a>o时，函数y=ax+b的值随x 值的增加而增加.
错解：原命题改为：若a>o时，x 的值增加，则函数y=ax+b的值也随着增加.
错因：如果从字面上分析最简单的方法是将a>o看作条件，将“随着”看作结论，而x 的值增加，y 的值也增加看作研究的对象，那么原命题改为若a>o时，则函数y=ax+b的值随着x 的值增加而增加，其否命题为若a ≤o 时，则函数y=ax+b的值不随x 值的增加而增加. 此题错解在注意力集中在“增加”两个字上，将x 值的增加当做条件，又不把a>o看作前提，就变成两个条件的命题，但写否命题时又没按两个条件的规则写，所以就错了.
正解：原命题改为： a>o时，若x 的值增加，则函数y=ax+b的值也随着增加.
否命题为： a>o时，若x 的值不增加，则函数y=ax+b的值也不增加.
原命题也可改为：当x 的值增加时，若a>o，，则函数y=ax+b的值也随着增加. 否命题为： 当x 增加时，若a ≤o ，则函数y=ax+b的值不增加.
[例3] 已知h>0，设命题甲为：两个实数a 、b 满足a -b
A．甲是乙的充分但不必要条件 B．甲是乙的必要但不充分条件
C ．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件
错解：a -b
故本题应选C.
错因：（1）对充分、必要、充要条件的概念分不清，无从判断，凭猜测产生错误；
（2）不能运用绝对值不等式性质作正确推理而产生错误.
⎧⎧-h
两式相减得-2h
即由命题甲成立推出命题乙成立，所以甲是乙的必要条件. 由于⎨
，因此，命题甲成立不能确定命题乙一定成立，所以甲不是乙的充分条件，故应选B.
[例4] 已知命题甲：a+b≠4, 命题乙:a≠1且b ≠3，则命题甲是命题乙的 .
错解：由逆否命题与原命题同真同假知，若a=1且b=3则a+b=4成立，所以命题甲是命题乙的充分不必要条件.
错因 ：对命题的否定不正确.a ≠1且b ≠3的否定是a=1或b=3.
正解：当a+b≠4时, 可选取a=1,b=5，故此时a ≠1且b ≠3不成立( a=1).
同样，a ≠1, 且b ≠3时，可选取a=2,b=2,a+b=4，故此时a+b=4.
因此，甲是乙的既不充分也不必要条件.
注：a ≠1且b ≠3为真时，必须a ≠1,b ≠3同时成立.
[例5] 已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的 ( )
A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 分析：本题考查简易逻辑知识.
因为p ⇒r ⇒s ⇒q 但r 成立不能推出p 成立，所以p ⇒q , 但q 成立不能推出p 成立，所以选A
解：选A
[例6] 已知关于x 的一元二次方程 (m∈Z)
222① mx －4x ＋4＝0 ② x －4mx ＋4m －4m －5＝0 ⎧⎪a -2
求方程①和②都有整数解的充要条件.
解：方程①有实根的充要条件是∆=16-4⨯4⨯m ≥0, 解得m ≤1.
方程②有实根的充要条件是∆=16m 2-4(4m 2-4m -5) ≥0，解得m ≥-5. 4
∴-5≤m ≤1. 而m ∈Z , 故m =－1或m =0或m =1. 4
当m =－1时，①方程无整数解. 当m=0时，②无整数解；
当m=1时，①②都有整数. 从而①②都有整数解m =1.反之，m =1①②都有整数解. ∴①②都有整数解的充要条件是m =1.
2[例7] 用反证法证明：若a 、b 、c ∈R ，且x =a -2b +1，y =b 2-2c +1，
z =c 2-2a +1，则x 、y 、z 中至少有一个不小于证明： 假设x 、y 、z 均小于0，即：
x =a -2b +1
y =b 2-2c +1
z =c -2a +1
①+②+③得x +y +z =(a -1) +(b -1) +(c -1)
这与(a -1) +(b -1) +(c -1) ≥0矛盾，
则假设不成立，
∴x 、y 、z 中至少有一个不小于22 [例8] 已知命题p :方程x ＋mx ＋1=0有两个不等的负根；命题q :方程4x ＋4(m －2) x ＋1
＝0无实根．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求m 的取值范围．
分析：“p 或q ”为真，则命题p 、q 至少有一个为真，“p 且q ”为假，则命题p 、q 至少有一为假，因此，两命题p 、q 应一真一假，即命题p 为真，命题q 为假或命题p 为假，命题q 为真. 22222222
⎧∆=m 2-4>0解： 若方程x ＋mx ＋1=0有两不等的负根，则⎨解得m ＞2，
⎩m >0
即命题p ：m ＞2
2若方程4x ＋4(m －2) x ＋1＝0无实根，
22则Δ＝16(m －2) －16＝16(m －4m ＋3) ＜0
解得：1＜m ＜3. 即q ：1＜m ＜3.
因“p 或q ”为真，所以p 、q 至少有一为真，
又“p 且q ”为假，所以命题p 、q 至少有一为假，
因此，命题p 、q 应一真一假，即命题p 为真，命题q 为假或命题p 为假，命题q 为真. ⎧m >2⎧m ≤2∴⎨ 或⎨1
解得：m ≥3或1＜m ≤2.
第一部分 集合
集合的含义与表示
1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.
2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为{a 1, a 2, a 3, ⋅⋅⋅, a n }，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{x ∈A |P (x ) }，既要关注代表元素x ，也要把握其属性P (x ) ，适用于无限集.
3. 通常用大写拉丁字母A , B , C , ⋅⋅⋅表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集N *或N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R .
4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（not belong to ），分别用符号∈、∉表示，例如3∈N ，-2∉N .
【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：
（1）由方程x (x 2-2x -3) =0的所有实数根组成的集合；
（2）大于2且小于7的整数.
解：（1）用描述法表示为：{x ∈R |x (x 2-2x -3) =0}；
用列举法表示为{0,-1,3}.
（2）用描述法表示为：{x ∈Z |2
用列举法表示为{3,4,5,6}.
【例2】用适当的符号填空：已知A ={x |x =3k +2, k ∈Z }，B ={x |x =6m -1, m ∈Z }，则有： 17 A ； －5 A ； 17 B .
解：由3k +2=17，解得k =5∈Z ，所以17∈A ；
7由3k +2=-5，解得k =∉Z ，所以-5∉A ； 3
由6m -1=17，解得m =3∈Z ，所以17∈B .
【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6 练习题2， P 13 A 组题4）
（1）一次函数y =x +3与y =-2x +6的图象的交点组成的集合；
（2）二次函数y =x 2-4的函数值组成的集合；
2（3）反比例函数y =的自变量的值组成的集合. x
⎧y =x +3}={(1,4)}. 解：（1）{(x , y ) |⎨y =-2x +6⎩
（2）{y |y =x 2-4}={y |y ≥-4}.
2（3）{x |y =}={x |x ≠0}. x
点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量. 在解题中不能把点的坐标混淆为{1, 4}，也注意对比（2）与（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心.
x +a *【例4】已知集合A ={a |2=1有唯一实数解}，试用列举法表示集合A ． x -2
x +a 解：化方程2=1为：x 2-x -(a +2) =0．应分以下三种情况：
x -2
91⑴方程有等根且不是 △=0，得a =-，此时的解为x =，合．
42
⑵方程有一解为
，而另一解不是
：将x =
代入得a =，此时另一解
x =1-
⑶方程有一解为
x =
代入得a =
，此时另一解为x =1，合．
9综上可知，A ={-, ． 4
点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示. 注意分式方程易造成增根的现象.
集合间的基本关系
1. 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A 是集合B 的子集（subset ），记作A ⊆B （或B ⊇A ），读作“A 含于B ”（或“B 包含A ”）.
2. 如果集合A 是集合B 的子集（A ⊆B ），且集合B 是集合A 的子集（B ⊇A ），即集合A 与集合B 的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，记作A =B .
3. 如果集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B ，且x ∉A ，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ），记作A ⊂B （或B ⊃≠A ）.
4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set），记作∅，并规定空集是任何集合的子集.
5. 性质：A ⊆A ；若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；
若A B =A ，则A ⊆B ；若A B =A ，则B ⊆A .
【例1】用适当的符号填空：
（1）{菱形} {平行四边形}； {等腰三角形} {等边三角形}.
（2）∅ {x ∈R |x 2+2=0}； 0 {0}； ∅ {0}； N {0}.
解：（1
）， ；
（2）=， ∈， ，. n 1【例2】设集合A ={x |x =, n ∈Z}, B ={x |x =n +, n ∈Z }，则下列图形能表示A 与22
B 关系B A B A B 的是
） . A ． B ． C ． D ．
（
3113解：简单列举两个集合的一些元素，A ={⋅⋅⋅, --1, -,0, ,1, , ⋅⋅⋅}，2222
3113B ={⋅⋅⋅, -, -, , , ⋅⋅⋅}， 2222
易知B ⊂A ，故答案选A ． ≠≠
2n +1, n ∈Z }，易知B ⊂A ，故答案选A ． ≠2
【例3】若集合M =x |x 2+x -6=0, N ={x |ax -1=0}，且N ⊆M ，求实数a 的值. 另解：由B ={x |x ={}
解：由x 2+x -6=0⇒x =2或-3，因此，M ={2, -3}.
（i ）若a =0时，得N =∅，此时，N ⊆M ；
11111（ii ）若a ≠0时，得N ={. 若N ⊆M , 满足=2或=-3，解得a =或a =-. a a a 23
11故所求实数a 的值为0或或-. 23
点评：在考察“A ⊆B ”这一关系时，不要忘记“∅” ，因为A =∅时存在A ⊆B . 从
而需要分情况讨论. 题中讨论的主线是依据待定的元素进行.
2【例4】已知集合A ={a , a +b , a +2b }，B ={a , ax , ax }. 若A =B ，求实数x 的值.
⎧a +b =ax 22解：若⎨a +ax -2ax =0, 所以a (x -1) =0，即a =0或x =1. ⇒2⎩a +2b =ax
当a =0时，集合B 中的元素均为0，故舍去；
当x =1时，集合B 中的元素均相同，故舍去.
⎧a +b =ax 2
2若⎨⇒2ax -ax -a =0.
⎩a +2b =ax
12因为a ≠0，所以2x -x -1=0, 即(x -1)(2x +1)=0. 又x ≠1，所以只有x =-. 2
1经检验，此时A =B 成立. 综上所述x =-. 2
点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论. 融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.
集合的基本运算（一）
集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解
【例1】设集合U =R , A ={x |-1≤x ≤5},B ={x |3
解：在数轴上表示出集合A 、B ，如右图所示：
A B ={x |3
C U (A B ) ={x |x
（1）A (B
解：
（1）又B C ) ； （2）A ðA (B C ) . A ={-6, -5, -4, -3, -2, -1,0,1,2,3,4,5,6}. C ={3}，∴A (B C ) ={3}；
（2）又B C ={1,2,3,4,5,6}，
得C A (B C ) ={-6, -5, -4, -3, -2, -1,0}.
∴ A C A (B C ) ={-6, -5, -4, -3, -2, -1,0}.
【例3】已知集合A ={x |-2
解：由A B =A ，可得A ⊆B .
在数轴上表示集合A 与集合B ，如右图所示： 由图形可知，m ≥4. 点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关
系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题.
【例4】已知全集U ={x |x
B ) ={6,7,9}. B ) ，解：由A
由A B ={1,2,3,4,5,8}，则C U (A
B ={5,8}，则C U (A B ) ={1,2,3,4,6,7,9}
由C U A ={1,3,6,7,9}，C U B ={2,4,6,7,9}，
则(C U A )
(C U A )
(C U A ) (C U B ) ={6,7,9}， (C U B ) ={1,2,3,4,6,7,9}. B ) ， (C U B ) =C U (A B ) .
B ) ，在由计算结果可以知道，(C U A ) (C U B ) =C U (A 另解：作出Venn 图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果. 点评：可用Venn 图研究(C U A ) (C U B ) =C U (A B ) 与(C U A ) (C U B ) =C U (A
理解的基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.
集合的基本运算（二）
1. 含两个集合的Venn 图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过Venn 图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图
C U (A B ) =(C U A ) (C U B ) , C U (A B ) =(C U A ) (C U B ) . 形，我们还可以发现一些集合性质：
2. 集合元素个数公式：n (A B ) =n (A ) +n (B ) -n (A B ) .
3. 在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考查创新思维.
【例1】设集合A =-4,2a -1, a 2, B ={9, a -5,1-a }，若A
解：由于A =-4,2a -1, a 2, B ={9, a -5,1-a }，且A {}B ={9}，求实数a 的值. {}B ={9}，则有：
解得a ＝5，此时A ={－4, 9, 25}，B ={9, 0, －4}，不合题意，故舍去； 当2a -1＝9时，
当a 2＝9时，解得a ＝3或－3.
a ＝3时， A ={－4,5,9}， B ={9,－2, －2}，不合题意，故舍去；
a ＝－3，A ={－4, －7， 9}，B ={9, －8, 4}，合题意.
所以，a ＝－3.
【例2】设集合A ={x |(x -3)(x -a ) =0, a ∈R }，B ={x |(x -4)(x -1) =0}，求A B , A B . （教材P 14 B 组题2）
解：B ={1,4}.
当a =3时，A ={3}，则A B ={1,3,4}，A B =∅；
当a =1时，A ={1,3}，则A B ={1,3,4}，A B ={1}；
当a =4时，A ={3,4}，则A B ={1,3,4}，A B ={4}；
当a ≠3且a ≠1且a ≠4时，A ={3,a }，则A B ={1,3,4, a }，A B =∅.
点评：集合A 含有参数a ，需要对参数a 进行分情况讨论. 罗列参数a 的各种情况时，需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则.
【例3】设集合A ={x |x 2+4x =0}， B ={x |x 2+2(a +1) x +a 2-1=0，a ∈R }，若A B =B ，求实数a 的值．
解：先化简集合A ={-4,0}. 由A B =B ，则B ⊆A ，可知集合B 可为∅，或为{0}，或{－4}，或{-4,0}.
(i ) 若B =∅，则∆=4(a +1) 2-4(a 2-1)
(ii ) 若0∈B ，代入得a 2-1=0⇒a =1或a =-1，
当a =1时，B =A ，符合题意；
当a =-1时，B ={0}⊆A ，也符合题意．
(iii ) 若－4∈B ，代入得a 2-8a +7=0⇒a =7或a =1，
当a =1时，已经讨论，符合题意；
当a =7时，B ={－12，－4}，不符合题意．
综上可得，a =1或a ≤-1．
点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用. 通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法．解该题时，特别容易出现的错误是遗漏了A =B 和B =∅的情形，从而造成错误．这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.
【例4】对集合A 与B ，若定义A -B ={x |x ∈A , 且x ∉B }，当集合A ={x |x ≤8, x ∈N *}，集合B ={x |x (x -2)(x -5)(x -6) =0}时，有A -B = . （由教材P 12 补集定义“集合A 相对于全集U 的补集为C U A ={x |x ∈, 且x ∉A }”而拓展）
解：根据题意可知，A ={1,2,3,4,5,6,7,8}，B ={0,2,5,6}
由定义A -B ={x |x ∈A , 且x ∉B }，则
A -B ={1,3,4,7,8}.
点评：运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种创新思维的训练，关键是理解定义的实质性内涵，这里新定义的含义是从A 中排除B 的元素. 如果再给定全集U ，则A -B 也相当于A (C U B ) .
第二部分 常用逻辑用语
一、知识导学
1．逻辑联结词：“且”、“或”、 “非”分别用符号“∧”“∨”“⌝”表示.
2．命题：能够判断真假的陈述句．
3．简单命题：不含逻辑联结词的命题
4．复合命题：由简单命题和逻辑联结词构成的命题，复合命题的基本形式：p 或q ；p 且q ；非p
5．四种命题的构成：原命题：若p 则q ； 逆命题：若q 则p ；否命题：若p 则q ；逆否命题：若q 则p.
6．原命题与逆否命题同真同假，是等价命题，即“若p 则q ”“若q 则p ” .
7．反证法：欲证“若p 则q ”，从“非q ”出发，导出矛盾，从而知“若p 则非q ”为假，即“若p 则q ”为真 .
8．充分条件与必要条件 ：
①p q ：p 是q 的充分条件；q 是p 的必要条件；
②p q ：p 是q 的充要条件 .
9．常用的全称量词：“对所有的”、“ 对任意一个”“ 对一切”“ 对每一个”“任给”等；并用符号“∀” 表示. 含有全称量词的命题叫做全称命题.
10．常用的存在量词：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、 “有的”、“对某个”； 并用符号“∃”表示. 含有存在量词的命题叫做特称命题.
二、疑难知识导析
1．基本题型及其方法
（1）由给定的复合命题指出它的形式及其构成；
（2）给定两个简单命题能写出它们构成的复合命题，并能利用真值表判断复合命题的真假；
（3）给定命题，能写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并能运用四种命题的相互关系，特别
是互为逆否命题的等价性判断命题的真假. 注意：否命题与命题的否定是不同的.
（4）判断两个命题之间的充分、必要、充要关系；
方法：利用定义
（5）证明p 的充要条件是q ；
方法：分别证明充分性和必要性
（6）反证法证题的方法及步骤：反设、归谬、结论. 反证法是通过证明命题的结论的反面不成立而肯定命题的一种数学证明方法，是间接证法之一.
全称命题p:∀x ∈M , p (x ) , 它的否定⌝p :∃x ∈M , ⌝p (x ) ；特称命题p:∃x ∈M , p (x ) , 它的否定⌝p :∀x ∈M , ⌝p (x ) ；即全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题. 否定一个全称命题可以通过“举反例”来说明.
三、经典例题导讲
[例1] 把命题“全等三角形一定相似”写成“若p 则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题.
错解：原命题可改写成：若两个三角形全等，则它们一定相似.
逆命题：若两个三角形相似，则它们全等.
否命题：若两个三角形不一定全等，则它们不一定相似.
逆否命题：若两个三角形不一定相似，则它们不一定全等.
错因：对“一定”的否定把握不准，“一定”的否定 “一定不”，在逻辑知识中求否定相当于求补集，而“不一定”含有“一定”的意思. 对这些内容的学习要多与日常生活中的例子作比较，注意结合集合知识. 因而否命题与逆否命题错了.
正解：否命题：若两个三角形不全等，则它们不相似.
逆否命题：若两个三角形不相似，则它们不全等.
[例2] 将下列命题改写成“若p 则q ”的形式，并写出否命题.a>o时，函数y=ax+b的值随x 值的增加而增加.
错解：原命题改为：若a>o时，x 的值增加，则函数y=ax+b的值也随着增加.
错因：如果从字面上分析最简单的方法是将a>o看作条件，将“随着”看作结论，而x 的值增加，y 的值也增加看作研究的对象，那么原命题改为若a>o时，则函数y=ax+b的值随着x 的值增加而增加，其否命题为若a ≤o 时，则函数y=ax+b的值不随x 值的增加而增加. 此题错解在注意力集中在“增加”两个字上，将x 值的增加当做条件，又不把a>o看作前提，就变成两个条件的命题，但写否命题时又没按两个条件的规则写，所以就错了.
正解：原命题改为： a>o时，若x 的值增加，则函数y=ax+b的值也随着增加.
否命题为： a>o时，若x 的值不增加，则函数y=ax+b的值也不增加.
原命题也可改为：当x 的值增加时，若a>o，，则函数y=ax+b的值也随着增加. 否命题为： 当x 增加时，若a ≤o ，则函数y=ax+b的值不增加.
[例3] 已知h>0，设命题甲为：两个实数a 、b 满足a -b
A．甲是乙的充分但不必要条件 B．甲是乙的必要但不充分条件
C ．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件
错解：a -b
故本题应选C.
错因：（1）对充分、必要、充要条件的概念分不清，无从判断，凭猜测产生错误；
（2）不能运用绝对值不等式性质作正确推理而产生错误.
⎧⎧-h
两式相减得-2h
即由命题甲成立推出命题乙成立，所以甲是乙的必要条件. 由于⎨
，因此，命题甲成立不能确定命题乙一定成立，所以甲不是乙的充分条件，故应选B.
[例4] 已知命题甲：a+b≠4, 命题乙:a≠1且b ≠3，则命题甲是命题乙的 .
错解：由逆否命题与原命题同真同假知，若a=1且b=3则a+b=4成立，所以命题甲是命题乙的充分不必要条件.
错因 ：对命题的否定不正确.a ≠1且b ≠3的否定是a=1或b=3.
正解：当a+b≠4时, 可选取a=1,b=5，故此时a ≠1且b ≠3不成立( a=1).
同样，a ≠1, 且b ≠3时，可选取a=2,b=2,a+b=4，故此时a+b=4.
因此，甲是乙的既不充分也不必要条件.
注：a ≠1且b ≠3为真时，必须a ≠1,b ≠3同时成立.
[例5] 已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的 ( )
A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 分析：本题考查简易逻辑知识.
因为p ⇒r ⇒s ⇒q 但r 成立不能推出p 成立，所以p ⇒q , 但q 成立不能推出p 成立，所以选A
解：选A
[例6] 已知关于x 的一元二次方程 (m∈Z)
222① mx －4x ＋4＝0 ② x －4mx ＋4m －4m －5＝0 ⎧⎪a -2
求方程①和②都有整数解的充要条件.
解：方程①有实根的充要条件是∆=16-4⨯4⨯m ≥0, 解得m ≤1.
方程②有实根的充要条件是∆=16m 2-4(4m 2-4m -5) ≥0，解得m ≥-5. 4
∴-5≤m ≤1. 而m ∈Z , 故m =－1或m =0或m =1. 4
当m =－1时，①方程无整数解. 当m=0时，②无整数解；
当m=1时，①②都有整数. 从而①②都有整数解m =1.反之，m =1①②都有整数解. ∴①②都有整数解的充要条件是m =1.
2[例7] 用反证法证明：若a 、b 、c ∈R ，且x =a -2b +1，y =b 2-2c +1，
z =c 2-2a +1，则x 、y 、z 中至少有一个不小于证明： 假设x 、y 、z 均小于0，即：
x =a -2b +1
y =b 2-2c +1
z =c -2a +1
①+②+③得x +y +z =(a -1) +(b -1) +(c -1)
这与(a -1) +(b -1) +(c -1) ≥0矛盾，
则假设不成立，
∴x 、y 、z 中至少有一个不小于22 [例8] 已知命题p :方程x ＋mx ＋1=0有两个不等的负根；命题q :方程4x ＋4(m －2) x ＋1
＝0无实根．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求m 的取值范围．
分析：“p 或q ”为真，则命题p 、q 至少有一个为真，“p 且q ”为假，则命题p 、q 至少有一为假，因此，两命题p 、q 应一真一假，即命题p 为真，命题q 为假或命题p 为假，命题q 为真. 22222222
⎧∆=m 2-4>0解： 若方程x ＋mx ＋1=0有两不等的负根，则⎨解得m ＞2，
⎩m >0
即命题p ：m ＞2
2若方程4x ＋4(m －2) x ＋1＝0无实根，
22则Δ＝16(m －2) －16＝16(m －4m ＋3) ＜0
解得：1＜m ＜3. 即q ：1＜m ＜3.
因“p 或q ”为真，所以p 、q 至少有一为真，
又“p 且q ”为假，所以命题p 、q 至少有一为假，
因此，命题p 、q 应一真一假，即命题p 为真，命题q 为假或命题p 为假，命题q 为真. ⎧m >2⎧m ≤2∴⎨ 或⎨1
解得：m ≥3或1＜m ≤2.