习题6
1. 对模拟信号m (t )=sin(200πt ) /200t 进行抽样。试问：（1）无失真恢复所要求的最小抽样频率为多少？（2）在用最小抽样频率抽样时，1分钟有多少抽样值。
→rect (解：(1) 由表2.1.2，有BSa (πBt ) ←−
F
f B
), B >0
m (t )=
M
∴
sin(200πt )
200t
π
=
πsin(200πt )
200πt
，B =200
(f )
π⎛f ⎫⎛f ⎫
=rect ⎪=rect ⎪ B ⎝B ⎭200⎝200⎭
f H =100H z
∴无失真最小抽样频率
f S =2f H =
200H z
(2) 一分钟抽样值的数目为
2. 已知信号m
f S ⨯60=200*60=12000个
(t )的频谱为：
M
()
f
⎧f
, ⎪1-
=⎨1000⎪0, ⎩
f
(1) 假设以1500H z 的速率对它进行抽样，试画出已抽样信号m S 图。
(2) 若用f S =3000H z 的速率抽样，重做(1)小题 解：(1)
∞
(t ) 频谱
m S (t )=m (t )
∑δ(t -n T )
S
n =-∞
4-1
M S
(f )=
M
(f )⨯
1T S
∞
∑δ(f
k =-∞
-kf S )=
1T S
∑M (f
k
-kf S
)
（2）
Hz )
3. 4. 5.
6. 求下面中频信号最小抽样频率 (1)中心频率为60MHz ，带宽为5MHz (2)中心频率为30MHz ，带宽为6.5MHz (3)中心频率为70MHz ，带宽为2MHz
解：带通抽样定理：f H 是B 的整数倍时，取f S =2B 无混叠。f H 不是B 的整数倍时，设带通信号的上截止频率为
f H ，下截止频率为f L ，则其带宽
B =f H -f L ，此时无混叠的采样所需要的最低频率f S 应满足：
f S =2(f H
k ⎫k ⎫⎛⎛
-f L ) 1+⎪=2B 1+⎪
n ⎭n ⎭⎝⎝
k =
f H f H -f L
-n
⎢⎥⎢f H ⎥f H
n =⎢⎥=⎢⎥(f -f ) B ⎣⎦⎣H L ⎦
4-2
n 是f H B 是整数部分，k
是f H
B 的小数部分。
(1) f H =62.5M H z ，B =5M H z ，
n =12, k =0.5，f S =10.417M H z
(2) f H =33.25M H z ，B =6.5M H z ，
n =5, k =0.115，f S =13.3M H z
(3)
f H =71M Hz ，B =2M H z ，
n =35, k =0.5，f S =4.057M Hz
7.
8. 在要求量化误差不超过量化器输入范围的P %时，试说明均匀量化器的位数应满足n
≥3.32log 10(50P )
证明：对于均匀量化器，量化误差有：e q ≤
∆2
，
其中∆=
2V M
, M =2，由题
n
∆/22V
=
(2V /2
2V
n
n
)/2
=
12⨯2
n
≤
P 100
⎛50⎫⇒≤2⇒log 2 ⎪≤n
P ⎝P ⎭
50
50⇒≤n ⇒3.32log 10≤n log 102P ∴n ≥3.32log 10
50P
log 10
50
9. 10.
4-3
11. 对于具有256个量化电平的均匀量化器，试求下面几种输出信噪比 (1)峰值信噪比
(2)高斯分布随机信号的最大信噪比 (3)均匀分布随机信号的最大信噪比 解：
M =256,
n =8
2
⎛S ⎫
⎪=3M (1) 峰值信噪比：
⎝N ⎭pk
⎛S ⎫
≈6. 0n 2+
或 N ⎪
⎝⎭pk
4. dB 77
⎛S ⎫ ⎪≈6.02⨯8+4.77=52.93dB ⎝N ⎭pk
(2) f (
x )=
12
⎛x -2
2σx ⎝
⎫
⎪ ⎭
小
xm ax
σx
2
大→
S N
大 σx 2小→
S N
但是为了不过载，应使3σx （根据契比雪夫不等式P
≤V ， σ
≤
V 3
）
{X
V 3V
-m 99.74%
D
m ax
=
σ
x m ax
V
==
13
，
20lg D =-20lg 3=-9.54
⎛S ⎫ ⎪=6.02n +4.77-9.54=43.39dB ⎝N ⎭
⎛S ⎫
=6.02n =6.02⨯8=48.16dB ⎪（3）
⎝N ⎭Arv
12. 已知一个正弦信号的动态范围为45dB ，量化信噪比不能低于26dB ，求线性PCM 的编码位数
4-4
解：
10lg
σx m ax 22
=45
→10lg σ
2
x m ax
-10lg σ
2x m in
=45
σ
x m in
2
210lg
σx m ax /V σ
22
x m in
/V
=45
20lg D max -20lg D min =45
x (t )max =V sin ωt
→
P 2
x =
V /2
20lg D m ax =20lg
V /V
=-3.01
(20lg D )min =-3.01-45=-48.01
⎛S ⎫N ⎪=6.02n +4.77+20lg D ≥26⎝⎭
6.02n +4.77-48.01≥26
n ≥11.5
, 取
n =12
13. 在A 律PCM 系统中，当(归一化) 输入信号抽样值为0.12，0.3， 与0.7时，
4-5
输出二进制码组是多少。
解：Ａ律折线近似各段特性
∆=
当
12048
x =0.12，属于第4段，
0.12-0.06258⨯
12048
x -0.0625
8∆
==14.72
所以二进制码是 1 100 1110 当
x =0.3，属于第6段，
=
0.0532⨯
12048
=3.2
0.3-0.2532∆
所以二进制码是 1 110 0011 当
4-6
x =-0.7
，属于第7段，
0.7-0.564∆
=
0.264⨯
12048
=6.4
所以二进制码是 0 111 0110
14. 单路语音信号最高频率为4kHz ，抽样速率为8kHz ， 以PCM 方式传输，假设用单极性NRZ 矩形脉冲传输，试问
(1)采用7比特量化时，PCM 基带信号(第一零点) 带宽为多少? (2)采用8比特量化时，结果又是多少 解： (1)
R b =f S *n =8k *7=56kbps ，
对于NRZ ，(2)
B =R b =56kHz
，
R b =f S *n =8k *8=64kbps
B =R b =64kHz
对于NRZ ，
15. 假定标准PCM 语音信号通过误码率为10模拟信号可能达到的峰值信噪比。
-5
的信道传输，试估计恢复出的
解：标准PCM 信号采样率为8000Hz ，量化比特数为8bit ，
由公式
(
S N
) pk out =
3M 1+4(M 3⨯256
2
2
22
-1) P e
-5
(
S N
) pk out =
1+4(256-1) ⨯10
=54291=47.35dB
16. 已知某线性PCM 通信系统的线路误码率为10
-4
，模拟信号的最高频率为
3kHz ，如果要求接收端恢复的模拟信号达到30dB 的峰值信噪比，试问： (1)PCM量化器的比特数至少是多少 (2)传输系统的带宽至少是多少 解：(1)
4-7
⎛S ⎫10
=10=1000 ⎪
⎝N ⎭out
30
3M ⎛S ⎫
⎪=2由 N 1+4M (-⎝⎭out
2
1P ) e
3M
1+4(M
得到
2
2
-4
-1) ⨯10
≥1000
M >19. 6取 M =20
每个样值所用的比特数n =5
所以至少需要5位 (2)
f S =2f H =6kH z 12
R b =15kH z
，
R b =f S *5=30kHz
所以最小带宽
B =
17. 18. 19.
20. 遥感探测系统中包括4个输入信号：s i 和
(t ), i =1, 2, 3, 4。其中s (t )
s 3(t )和s 4(t )
1
s 2(t )
的带宽均为250Hz ，另外两个信号的带宽均为
(t )和s 4(t )以每秒2400个样值的速率进行抽样。将此抽
样速率除以4后作为s 1(t )和s (t )的抽样速率.
1kHz 。分别对s 3
2
(1)试设计一个TDM 系统，将这四路信号复合成一个数字序列 (2)如果采用8比特量化，给出TDM 的传输数据率 解：(1)
s 1(t )与s 2(t )采样率为600Hz ，s 3(t )与s 4(t )的采样率为2400Hz 。
4-8
s3
(2) R b =600(1+1+4+4)*8=48kbps
4-9
习题6
1. 对模拟信号m (t )=sin(200πt ) /200t 进行抽样。试问：（1）无失真恢复所要求的最小抽样频率为多少？（2）在用最小抽样频率抽样时，1分钟有多少抽样值。
→rect (解：(1) 由表2.1.2，有BSa (πBt ) ←−
F
f B
), B >0
m (t )=
M
∴
sin(200πt )
200t
π
=
πsin(200πt )
200πt
，B =200
(f )
π⎛f ⎫⎛f ⎫
=rect ⎪=rect ⎪ B ⎝B ⎭200⎝200⎭
f H =100H z
∴无失真最小抽样频率
f S =2f H =
200H z
(2) 一分钟抽样值的数目为
2. 已知信号m
f S ⨯60=200*60=12000个
(t )的频谱为：
M
()
f
⎧f
, ⎪1-
=⎨1000⎪0, ⎩
f
(1) 假设以1500H z 的速率对它进行抽样，试画出已抽样信号m S 图。
(2) 若用f S =3000H z 的速率抽样，重做(1)小题 解：(1)
∞
(t ) 频谱
m S (t )=m (t )
∑δ(t -n T )
S
n =-∞
4-1
M S
(f )=
M
(f )⨯
1T S
∞
∑δ(f
k =-∞
-kf S )=
1T S
∑M (f
k
-kf S
)
（2）
Hz )
3. 4. 5.
6. 求下面中频信号最小抽样频率 (1)中心频率为60MHz ，带宽为5MHz (2)中心频率为30MHz ，带宽为6.5MHz (3)中心频率为70MHz ，带宽为2MHz
解：带通抽样定理：f H 是B 的整数倍时，取f S =2B 无混叠。f H 不是B 的整数倍时，设带通信号的上截止频率为
f H ，下截止频率为f L ，则其带宽
B =f H -f L ，此时无混叠的采样所需要的最低频率f S 应满足：
f S =2(f H
k ⎫k ⎫⎛⎛
-f L ) 1+⎪=2B 1+⎪
n ⎭n ⎭⎝⎝
k =
f H f H -f L
-n
⎢⎥⎢f H ⎥f H
n =⎢⎥=⎢⎥(f -f ) B ⎣⎦⎣H L ⎦
4-2
n 是f H B 是整数部分，k
是f H
B 的小数部分。
(1) f H =62.5M H z ，B =5M H z ，
n =12, k =0.5，f S =10.417M H z
(2) f H =33.25M H z ，B =6.5M H z ，
n =5, k =0.115，f S =13.3M H z
(3)
f H =71M Hz ，B =2M H z ，
n =35, k =0.5，f S =4.057M Hz
7.
8. 在要求量化误差不超过量化器输入范围的P %时，试说明均匀量化器的位数应满足n
≥3.32log 10(50P )
证明：对于均匀量化器，量化误差有：e q ≤
∆2
，
其中∆=
2V M
, M =2，由题
n
∆/22V
=
(2V /2
2V
n
n
)/2
=
12⨯2
n
≤
P 100
⎛50⎫⇒≤2⇒log 2 ⎪≤n
P ⎝P ⎭
50
50⇒≤n ⇒3.32log 10≤n log 102P ∴n ≥3.32log 10
50P
log 10
50
9. 10.
4-3
11. 对于具有256个量化电平的均匀量化器，试求下面几种输出信噪比 (1)峰值信噪比
(2)高斯分布随机信号的最大信噪比 (3)均匀分布随机信号的最大信噪比 解：
M =256,
n =8
2
⎛S ⎫
⎪=3M (1) 峰值信噪比：
⎝N ⎭pk
⎛S ⎫
≈6. 0n 2+
或 N ⎪
⎝⎭pk
4. dB 77
⎛S ⎫ ⎪≈6.02⨯8+4.77=52.93dB ⎝N ⎭pk
(2) f (
x )=
12
⎛x -2
2σx ⎝
⎫
⎪ ⎭
小
xm ax
σx
2
大→
S N
大 σx 2小→
S N
但是为了不过载，应使3σx （根据契比雪夫不等式P
≤V ， σ
≤
V 3
）
{X
V 3V
-m 99.74%
D
m ax
=
σ
x m ax
V
==
13
，
20lg D =-20lg 3=-9.54
⎛S ⎫ ⎪=6.02n +4.77-9.54=43.39dB ⎝N ⎭
⎛S ⎫
=6.02n =6.02⨯8=48.16dB ⎪（3）
⎝N ⎭Arv
12. 已知一个正弦信号的动态范围为45dB ，量化信噪比不能低于26dB ，求线性PCM 的编码位数
4-4
解：
10lg
σx m ax 22
=45
→10lg σ
2
x m ax
-10lg σ
2x m in
=45
σ
x m in
2
210lg
σx m ax /V σ
22
x m in
/V
=45
20lg D max -20lg D min =45
x (t )max =V sin ωt
→
P 2
x =
V /2
20lg D m ax =20lg
V /V
=-3.01
(20lg D )min =-3.01-45=-48.01
⎛S ⎫N ⎪=6.02n +4.77+20lg D ≥26⎝⎭
6.02n +4.77-48.01≥26
n ≥11.5
, 取
n =12
13. 在A 律PCM 系统中，当(归一化) 输入信号抽样值为0.12，0.3， 与0.7时，
4-5
输出二进制码组是多少。
解：Ａ律折线近似各段特性
∆=
当
12048
x =0.12，属于第4段，
0.12-0.06258⨯
12048
x -0.0625
8∆
==14.72
所以二进制码是 1 100 1110 当
x =0.3，属于第6段，
=
0.0532⨯
12048
=3.2
0.3-0.2532∆
所以二进制码是 1 110 0011 当
4-6
x =-0.7
，属于第7段，
0.7-0.564∆
=
0.264⨯
12048
=6.4
所以二进制码是 0 111 0110
14. 单路语音信号最高频率为4kHz ，抽样速率为8kHz ， 以PCM 方式传输，假设用单极性NRZ 矩形脉冲传输，试问
(1)采用7比特量化时，PCM 基带信号(第一零点) 带宽为多少? (2)采用8比特量化时，结果又是多少 解： (1)
R b =f S *n =8k *7=56kbps ，
对于NRZ ，(2)
B =R b =56kHz
，
R b =f S *n =8k *8=64kbps
B =R b =64kHz
对于NRZ ，
15. 假定标准PCM 语音信号通过误码率为10模拟信号可能达到的峰值信噪比。
-5
的信道传输，试估计恢复出的
解：标准PCM 信号采样率为8000Hz ，量化比特数为8bit ，
由公式
(
S N
) pk out =
3M 1+4(M 3⨯256
2
2
22
-1) P e
-5
(
S N
) pk out =
1+4(256-1) ⨯10
=54291=47.35dB
16. 已知某线性PCM 通信系统的线路误码率为10
-4
，模拟信号的最高频率为
3kHz ，如果要求接收端恢复的模拟信号达到30dB 的峰值信噪比，试问： (1)PCM量化器的比特数至少是多少 (2)传输系统的带宽至少是多少 解：(1)
4-7
⎛S ⎫10
=10=1000 ⎪
⎝N ⎭out
30
3M ⎛S ⎫
⎪=2由 N 1+4M (-⎝⎭out
2
1P ) e
3M
1+4(M
得到
2
2
-4
-1) ⨯10
≥1000
M >19. 6取 M =20
每个样值所用的比特数n =5
所以至少需要5位 (2)
f S =2f H =6kH z 12
R b =15kH z
，
R b =f S *5=30kHz
所以最小带宽
B =
17. 18. 19.
20. 遥感探测系统中包括4个输入信号：s i 和
(t ), i =1, 2, 3, 4。其中s (t )
s 3(t )和s 4(t )
1
s 2(t )
的带宽均为250Hz ，另外两个信号的带宽均为
(t )和s 4(t )以每秒2400个样值的速率进行抽样。将此抽
样速率除以4后作为s 1(t )和s (t )的抽样速率.
1kHz 。分别对s 3
2
(1)试设计一个TDM 系统，将这四路信号复合成一个数字序列 (2)如果采用8比特量化，给出TDM 的传输数据率 解：(1)
s 1(t )与s 2(t )采样率为600Hz ，s 3(t )与s 4(t )的采样率为2400Hz 。
4-8
s3
(2) R b =600(1+1+4+4)*8=48kbps
4-9