高三文科数学立体几何专题
一、选择题：（本大题12个小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知三条直线l 、m 、n ，三个平面α、β、γ，有以下四个命题：
①α⊥β、β⊥γ⇒α⊥γ ②l ⊥m 、l ⊥n ⇒m //n
m //β, n //β⎫
③⎬⇒α//β m ⊂α, n ⊂α⎭
④α β=l , β γ=m , γ α=n ⇒l //m //n 或l 、m 、n 交于一点
（ ） C ．③④
D ．④
其中正确命题的序号为
A ．①②
B ．①②③
2
如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的
余弦值为 ( )
A ．
1234
B ．C ． D ．5 5 55
3
长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中， AB =1，AA 1=2，E 是侧棱BB 1中点．则直线AA 1与平面
A 1D 1E 所成角的大小是( )
A．30
o
B ．45 C ．60 D ．90
o o o
4
正四面体ABCD 中，E ．F 分别是棱BC ．AD 的中点，则直线DE 与平面BCF 所成
角的正弦值为( )
A
．
3
B ．
3
C ．
6 3
D ．
2 2
5设m , n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（ ）
A ．若m ⊥n ，m ⊥α, n ⊄α，则n ∥α C ．若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β
B ．若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α或m ⊂α D ．若m ⊥n ，m ⊥α, n⊥β，则α⊥β
6
，其余边长均为2，则此四面体的外接球半径为( )
（A
）
3
（B
（C
）
3
（D
）
5
7
如图，三棱锥P -ABC 中∠ABC =90, PA =PB =PC ，则下列说法正确
的是( )
A ．平面PAC ⊥平面ABC C ．PB ⊥平面ABC
B ．平面PAB ⊥平面PBC D ．BC ⊥平面PAB
8
如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面A 1ABB 1⊥BC ，且A 1C 与底面成45°角，
AB =BC =2，则该棱柱体积的最小值为 （ ） A ．4 B ．3 C ．4 D ．3
9已知m , n 为直线，a , b 为平面，给出下列命题：⎧m ⊂αm ⊥αm ⊥βm ⊥α⎧⎧⎧⎪
⇒n //α ②⎨⇒m //n ③⎨⇒α//β ④⎨n ⊂β⇒m //n ①⎨
⎩m ⊥n ⎩n ⊥β⎩m ⊥β⎪α//β
⎩
其中的正确命题序号是( )A ．③④ B ．②③
C ．①②
D ．①②③④
10, 在平行六面体ABCD －A B C D 中, 若AA ＝AB ＝AD ＝1
1111
1
1
∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝60°, ∠BAD ＝90°, 则直线A 1D 1到平面ABCD 的距离为
A 、1 3C 、
3
B 、
2 2
6
D 、
3
11
在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ．F 分别是线段A 1B 1B 1C 1上的不与端点重合的动点，如果A 1E =B 1F ，下面四个结论：①EF ⊥A A 1 ②EF ∥AC ③EF 与AC 异面 ④EF ∥平面ABCD ，其中一定正确的是 ( ) A ．①②
B ．②③
C ．②④ D．①④
12．设球O 的半径是l ，A 、B 、C 是球面上三点，已知A 点到B 、C 两点的球面距离都是
ππ
，且二面角B —OA —C 的大小为，则从A 点沿球面经B ，C 两点再回到A 点的最短23
距离是( )
7π5π
B. 644π3πC. D ．
32
A ．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13已知正方体A 1B 1C 1D 1—ABCD 的内切球的体积为
的边长为________，
这个正方体的外接球的表面积为_________。
4π，则这个正方体3
D A 1
· O A
B 1
C 1
14．如图，已知球O 是棱长为1 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的内切球，
则平面ACD 1截球O 的截面面积为
C
15三棱锥P -ABC 的四个顶点在同一球面上，若PA ⊥底面ABC ，底
面ABC 是直角三角形，PA =2，AC =AB =1，则此球的表面积为 。
16将棱长为3的正四面体以各顶点截去四个棱长为1的小正四面体（使截面平行于底面），
所得几何体的表面积是 .
13 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17（12分）已知在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD=1，
AB=2，E 、F 分别是AB 、PD 的中点。 （1）求PC 与平面ABCD 所成角的余弦值； （2）求证：AF//平面PEC 。
18（本题满分12分）
- 如图，已知在直四棱柱A B C D
1
A 1B 1C 中，1D
AD ⊥DC ，AB //DC ，DC =DD 1=2AD =2AB =2．
（I ）求证：DB ⊥平面B 1BCC 1； （II ）求二面角A 1-BD -C 1的余弦值．
D 1
C 1
1A 1
19本小题满分14分）
A
D
B
如图，四面体ABCD 中，O 是BD 的中点，ΔABD 和ΔBCD 均为等边三角形， AB =2 , AC =6．
（I ）求证：AO ⊥平面BCD ；
（II ）求二面角A -BC - D 的大小；
B
C
20（本小题满分14分）
如
图
,
在
直
三
棱
柱
1
ABC -A 1B 1C 1
A 中, AC =3, BC =4, AB =5, AA 1=4, D 为AB 中点. (Ⅰ) 求证:AC ⊥BC 1; (Ⅱ) 求证: AC 1∥平面CDB 1 ; (Ⅲ) 求二面角C 1-AB -C 的大小.
B
21（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥S —ABCD 中，△SAD 是边长为a 的正三角形，平面SAD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，∠DAB =60°，P 为AD 的中点，Q 为SB 的中点.
（Ⅰ）求证：PQ ∥平面SCD ； （Ⅱ）求二面角B —PC —Q 的大小.
22（本小题共14分）
直三棱A 1B 1C 1—ABC 中，AC ⊥CB ，D 为AB 中点，CB = 1，AC =，A 1A =。 （Ⅰ）求证：BC 1∥平面A 1CD ； （Ⅱ）求二面角A —A 1C —D 的大小。
答案:
1.D 2.D 3.B 4.B 5.C 6.C 7.A 8.C 9.B 10.B 11.D 12.C
π
15 . 6
16 6
sin C
17．解：（1） tan C =37, 即=37. （2分）
cos C
13． 2，12π 14.
1
又
sin 2C +cos 2C =1, 解得cos C =±.
81
tan C >0, ∴C 是锐角. ∴cos C =. (6分)
8
(4分)
（2） CB ⋅CA =
55
, ∴ab cos C =, ∴ab =20. （8分） 22
(10分)
(12分)
又 a +b =9, ∴a 2+2ab +b 2=81. ∴a 2+b 2=41. ∴c =a +b -2ab cos C =36, ∴c =6.
18（本题满分12分） 解法一：
2
2
2
（I ）设E 是DC 的中点，连结BE ，则四边形DABE 为正方形，
∴BE ⊥CD ．故BD =2，B C =2，CD =2，∴∠DBC =90 ，即BD ⊥BC ．
又BD ⊥BB 1，B 1B BC =B .
D 1
H
C 1
∴BD ⊥平面BCC 1B 1，
（II ）由（I ）知DB ⊥平面BCC 1B 1， 又BC 1⊂平面BCC 1B 1，∴BD ⊥BC 1，
A 11D B
取DB 的中点F , 连结A 1F ，又A 1D =A 1B ，则A 1F ⊥BD ． A 取DC 1的中点M ，连结FM ，则FM ∥BC 1, ∴FM ⊥BD ．
∴∠A 1FM 为二面角A 1-BD -C 1的平面角．
连结A 1M ，在△
A 1FM 中，A 1F =
1=， FM =BC 1=
2取D 1C 1的中点H ，连结A 1H ，HM ， 在Rt △
A 1HM 中， A 1H =
2
2
HM =
1，∴A 1M =．
2
93+-3
A 1F +FM -A 1M ． ∴cos ∠A 1FM ===
2A 1F ⋅FM ∴二面角A 1-BD -
C 1的余弦值为
解法二：
． 3
（I ）以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的
0，2) ，B 1(11，，2) , C (0,2,0)．空间直角坐标系，则D (0， 0，0) ，B (11，，0) ，C 1(0,2,2)，A 1(1，
DB =(11，，0) ，BC =(-1, 1, 0) , BB 1=(0, 0, 2)
BD ⋅BC =-1+1=0⇒BD ⊥BC ⋅BB 1=0⇒⊥BB 1
又因为B 1B BC =B . 所以，DB ⊥平面B 1BCC 1． （II ）设n =(x ，y ，z ) 为平面A 1BD 的一个法向量．
n ⊥DA 由，，0) 1，n ⊥DB ，DA 1=(1,0,2),DB =(11
⎧x +2z =0，得⎨ 取z =1，则n =(-2． ，2，1)
x +y =0. ⎩
2，2) ，DB =(11，，0) ，设m =(x 1，y 1，z 1) 为平面C 1BD 的一个法向量， 又DC 1=(0，
⎧2y 1+2z 1=0，
由m ⊥DC 1，m ⊥DB ，得⎨取z 1=1，则m =(1，-11) ，，
⎩x 1+y 1=0.
设m 与n 的夹角为α，二面角A 1-BD -C 1为θ，显然θ为锐角，
19（本小题满分14分）
解法一： 证明：连结OC,
∆ABD 为等边三角形，O 为BD 的中点,
∴AO ⊥BD ． ----------------------------------------------------------------------------------2分
∆ABD 和∆CBD 为等边三角形，O 为BD 的中点, AB =2, AC =6，
∴AO =CO =． ------------------------------------------------------4分 在∆AOC 中， AO +CO =AC ,
o
2
2
2
∴∠AOC =90, 即AO ⊥OC . -------------------------------------------------------------5分
BD OC =O ,
∴
平
面
AO ⊥
BCD ． ---------------------------------------------------------------------------6分
（II ）过O 作OE ⊥BC 于E ，连结AE ，
AO ⊥平面BCD ,
∴AE 在平面BCD 上的射影为OE ． ∴AE ⊥BC ．
B
C
∴ ∠AEO 为二面角A -BC -D 的平面角． -----------------------------------------10分
在Rt ∆AEO 中，AO =
∴∠AEO =arctan 2．
, OE =
3AO , tan ∠AEO ==2， 2OE
∴二面角A-BC-D 的大小为arctan 2． ---------------------------------------------------14分
解法二：
（I ）同解法一．
（II ）解：以O 为原点，如图建立空间直角坐标系， 则
O (0, 0, 0), A (0, 0, 3),
B (0, 1, 0), C (, 0, 0), D (0, -1, 0)
-------------------------------------------------8分
AO ⊥平面BCD ，
∴平面BCD 的法向量AO =． -------------------------------------------------10分
设平面ABC 的法向量=(x , y , z ) ，
AB =(0, 1, -) ，BC =(, -1, 0) ，
⎧⎪⋅=0⎧⎪y -3z =0由⎨----------------------------------------12分 ⇒⎨⇒n =(1, , 1) ．⎪⎩x -y =0⎩n ⋅BC =0⎪
设n 与AO 夹角为θ，
则cos θ=
=
． 5
∴二面角A-BC-D 的大小为arccos
5
． -----------------------------------------------14分 5
20（本小题满分14分）
解法一: (Ⅰ) 在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中, CC 1⊥底面ABC , BC 1在底面上的射影为CB .
由AC =3, BC =4, AB =5, 可得AC ⊥CB . 所以AC ⊥BC 1. ………………..4分
(Ⅱ) 设BC 1与CB 1交于点O , 则O 为BC 1中点. 在∆ABC 1中, 连结OD , D , O 分别为AB , BC 1的中点, 故OD 为∆ABC 1的中位线,
A 1
B
∴OD ∥AC 1, 又AC 1⊄平面CDB 1, OD ⊂平面CDB 1,
∴AC 1∥平面CDB 1. ………………9分
(Ⅲ) 过C 作CE ⊥AB 于E , 连结C 1E . 由CC 1⊥底面ABC 可得C 1E ⊥AB . 故∠CEC 1为二面角C 1-AB -C 的平面角. 在∆ABC 中, CE =
12, 5
45=, 1235
在Rt ∆CC 1E 中, tan C 1EC =
5
∴二面角C 1-AB -C 的大小为arctan . ……………………………………14分
3
解法二 直三棱柱ABC -A 1B 1C 1, 底面三边长AC =3, BC =4, AB =5,
∴AC , BC , CC 1两两垂直.
如图以C 为坐标原点, 建立空间直角坐标系C -xyz , 则
C (0, 0, 0), A (3, 0, 0), C 1(0, 0, 4), B (0, 4, 0), B 1(0, 4, 4) .
(Ⅰ) =(-3, 0, 0), BC 1=(0, -4, 4) ,
∴⋅BC 1=0, 故AC ⊥BC 1. …………….4分
(Ⅱ) 同解法一 …………………………………………………………….. ………..9分 (Ⅲ) 平面ABC 的一个法向量为m =(0,0,1), 设平面C 1AB 的一个法向量为n =(x 0, y 0, z 0) ,
AC 1=(-3, 0, 4) , AB =(-3, 4, 0) ,
⎧⎪n ⋅AC 1=0, ⎧-3x 0+4z 0=0, 由⎨ 得⎨
-3x +4y =0, 00⎪⎩n ⋅AB =0, ⎩
令x 0
=4, 则z 0=3,
y 0=3. 则n =(4,3,3).
故cos ＜m,n ＞
=∴二面角C 1-AB -C 的大小为 ……………………………….14分
21解：（Ⅰ）证明：取SC 的中点R ，连QR ，DR .
由题意知：PD ∥BC 且PD =
11
BC ；QR ∥BC 且QR =BC ， 22
∴QR ∥PD 且QR =PD . ∴四边形PQRD 是平行四边形，
∴PQ ∥DR ，又DR ⊂面SCD ，PQ ⊄面SCD ，∴PQ ∥面SCD . （6分） （Ⅱ）解法一：∵SP ⊥AD ，面SAD ⊥面ABCD ，∴SP ⊥面ABCD . 取PB 的中点H ，连QH
，得QH ∥SP ，
∴QH ⊥面ABCD ，过H 作HG ⊥PC 于G ，连QG ， 由三垂线定理知：QG ⊥PC ，∴∠QGH 即为所求二面角的平面
角，
而QH =113SP=a =a 4222
3a ，BC =a ，∴PC =a 22
27a ， 在三角形PBC 中，∠PBC =90°，PB =∴HG =PH ·sin ∠CPB =a ⨯4a 7a 2=
3a QH 4∴tan ∠QGH = ==HG 23a 27
∴二面角B —PC —Q 的大小为arctan 7. （12分） 2
解法二：以P 为坐标原点，PA 为x 轴，PS 为z 轴建立空间直角坐标系，
则S （0，0，3333，B （0，，C （－a ，，Q （0，， a ）a ，0）a ，0）a ，a ）44222
3，设n =(x , y , z ) 为面PQC 的一个法向量， a ）2面PBC 的法向量为=（0，0，
⎧33ay +az =0⎪⎧3⎪n ∙PQ
=0⎪44由⎨⇒⎨⇒n =(, 3, -) 2⎪⎩n ∙=0⎪-ax +ay =0⎪2⎩
-
cos =3a 22
2 11333a ⨯22=-=-
注意到B —PC —Q 为锐角，故二面角B —PC —Q 的大小为arccos 2. （12分） 11
22（本小题共14分）
解：（Ⅰ）证明：连接AC 1，设AC 1∩A 1C = E ，连接DE ………… 1分 ∵A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，且AC = AA 1 =3
∴AA 1C 1C 是正方形，E 是AC 1中点， 又D 为AB 中点 ∴ED ∥BC 1 ………………………… 3分 又ED ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ∴BC 1∥平面A 1CD ………………………………………… 5分 （Ⅱ）法一：设H 是AC 中点，F 是EC 中点，连接DH ，HF ，FD …… 6分 ∵D 为AB 中点， ∴DH ∥BC ，同理可证HF ∥AE ，又AC ⊥CD ，故DH ⊥AC
又侧棱AA 1⊥平面ABC ，
∴AA 1⊥DH ∴DH ⊥平面AA 1C 1C …………………… 8分 由（Ⅰ）得AA 1C 1C 是正方形，则A 1C 1⊥AE ∴A 1C
⊥HF
∵HF 是DF 在平面AA 1C 1C 上的射影，
∴DF ⊥A 1C
∴∠DFH 是二面角A —A 1C —D 的平面角…10分
又DH =AE AC 161==，HF =… 12分 2442
1
6∴在直角三角形DFH 中，tan DFH ==…1336
4
分
∴二面角A —A 1C —D 的大小为arctan …………………… 14分 3
法二：在直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，∵AC ⊥CB ∴分别以CA ，CB ，CC 1所在的直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系C – xyz .因为BC = 1 , AA 1 = AC =3，则C ( 0 , 0 , 0 ) , A (3, 0 , 0 ) , B ( 0 , 1 , 0 ) , D
设平面A 1DC 的法向量为n = ( x , y , z ) , 则 ⎛1⎫⎪ 2, 2, 0⎪，………… 7分 ⎝⎭⎧⎪n ⋅=0 ⎨⎪⎩n ⋅CA 1=0
∵CD = …………………… 8分 ⎛1⎫⎪ 2, 2, 0⎪，CA = (3, 0 ,3), ⎝⎭
⎧31⎧y =-3x x +y =0⎪∴⎨2 则⎨…9分 2⎩z =-x ⎪x +3z =0⎩
取x = 1 ,得平面A 1DC 的一个法向量为n = ( 1 ,-3, – 1 ) ………… 10分 m == ( 0 , 1 , 0 )为平面CAA 1C 1的一个法向量。…………………… 11分 cos =m ⋅n -3==-………………………… 12分 |m |⋅|n |1⨯5
由图可知，二面角A —A 1C —D 的大小为arccos ……………… 14分
5
高三文科数学立体几何专题
一、选择题：（本大题12个小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知三条直线l 、m 、n ，三个平面α、β、γ，有以下四个命题：
①α⊥β、β⊥γ⇒α⊥γ ②l ⊥m 、l ⊥n ⇒m //n
m //β, n //β⎫
③⎬⇒α//β m ⊂α, n ⊂α⎭
④α β=l , β γ=m , γ α=n ⇒l //m //n 或l 、m 、n 交于一点
（ ） C ．③④
D ．④
其中正确命题的序号为
A ．①②
B ．①②③
2
如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的
余弦值为 ( )
A ．
1234
B ．C ． D ．5 5 55
3
长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中， AB =1，AA 1=2，E 是侧棱BB 1中点．则直线AA 1与平面
A 1D 1E 所成角的大小是( )
A．30
o
B ．45 C ．60 D ．90
o o o
4
正四面体ABCD 中，E ．F 分别是棱BC ．AD 的中点，则直线DE 与平面BCF 所成
角的正弦值为( )
A
．
3
B ．
3
C ．
6 3
D ．
2 2
5设m , n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（ ）
A ．若m ⊥n ，m ⊥α, n ⊄α，则n ∥α C ．若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β
B ．若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α或m ⊂α D ．若m ⊥n ，m ⊥α, n⊥β，则α⊥β
6
，其余边长均为2，则此四面体的外接球半径为( )
（A
）
3
（B
（C
）
3
（D
）
5
7
如图，三棱锥P -ABC 中∠ABC =90, PA =PB =PC ，则下列说法正确
的是( )
A ．平面PAC ⊥平面ABC C ．PB ⊥平面ABC
B ．平面PAB ⊥平面PBC D ．BC ⊥平面PAB
8
如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面A 1ABB 1⊥BC ，且A 1C 与底面成45°角，
AB =BC =2，则该棱柱体积的最小值为 （ ） A ．4 B ．3 C ．4 D ．3
9已知m , n 为直线，a , b 为平面，给出下列命题：⎧m ⊂αm ⊥αm ⊥βm ⊥α⎧⎧⎧⎪
⇒n //α ②⎨⇒m //n ③⎨⇒α//β ④⎨n ⊂β⇒m //n ①⎨
⎩m ⊥n ⎩n ⊥β⎩m ⊥β⎪α//β
⎩
其中的正确命题序号是( )A ．③④ B ．②③
C ．①②
D ．①②③④
10, 在平行六面体ABCD －A B C D 中, 若AA ＝AB ＝AD ＝1
1111
1
1
∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝60°, ∠BAD ＝90°, 则直线A 1D 1到平面ABCD 的距离为
A 、1 3C 、
3
B 、
2 2
6
D 、
3
11
在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ．F 分别是线段A 1B 1B 1C 1上的不与端点重合的动点，如果A 1E =B 1F ，下面四个结论：①EF ⊥A A 1 ②EF ∥AC ③EF 与AC 异面 ④EF ∥平面ABCD ，其中一定正确的是 ( ) A ．①②
B ．②③
C ．②④ D．①④
12．设球O 的半径是l ，A 、B 、C 是球面上三点，已知A 点到B 、C 两点的球面距离都是
ππ
，且二面角B —OA —C 的大小为，则从A 点沿球面经B ，C 两点再回到A 点的最短23
距离是( )
7π5π
B. 644π3πC. D ．
32
A ．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13已知正方体A 1B 1C 1D 1—ABCD 的内切球的体积为
的边长为________，
这个正方体的外接球的表面积为_________。
4π，则这个正方体3
D A 1
· O A
B 1
C 1
14．如图，已知球O 是棱长为1 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的内切球，
则平面ACD 1截球O 的截面面积为
C
15三棱锥P -ABC 的四个顶点在同一球面上，若PA ⊥底面ABC ，底
面ABC 是直角三角形，PA =2，AC =AB =1，则此球的表面积为 。
16将棱长为3的正四面体以各顶点截去四个棱长为1的小正四面体（使截面平行于底面），
所得几何体的表面积是 .
13 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17（12分）已知在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD=1，
AB=2，E 、F 分别是AB 、PD 的中点。 （1）求PC 与平面ABCD 所成角的余弦值； （2）求证：AF//平面PEC 。
18（本题满分12分）
- 如图，已知在直四棱柱A B C D
1
A 1B 1C 中，1D
AD ⊥DC ，AB //DC ，DC =DD 1=2AD =2AB =2．
（I ）求证：DB ⊥平面B 1BCC 1； （II ）求二面角A 1-BD -C 1的余弦值．
D 1
C 1
1A 1
19本小题满分14分）
A
D
B
如图，四面体ABCD 中，O 是BD 的中点，ΔABD 和ΔBCD 均为等边三角形， AB =2 , AC =6．
（I ）求证：AO ⊥平面BCD ；
（II ）求二面角A -BC - D 的大小；
B
C
20（本小题满分14分）
如
图
,
在
直
三
棱
柱
1
ABC -A 1B 1C 1
A 中, AC =3, BC =4, AB =5, AA 1=4, D 为AB 中点. (Ⅰ) 求证:AC ⊥BC 1; (Ⅱ) 求证: AC 1∥平面CDB 1 ; (Ⅲ) 求二面角C 1-AB -C 的大小.
B
21（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥S —ABCD 中，△SAD 是边长为a 的正三角形，平面SAD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，∠DAB =60°，P 为AD 的中点，Q 为SB 的中点.
（Ⅰ）求证：PQ ∥平面SCD ； （Ⅱ）求二面角B —PC —Q 的大小.
22（本小题共14分）
直三棱A 1B 1C 1—ABC 中，AC ⊥CB ，D 为AB 中点，CB = 1，AC =，A 1A =。 （Ⅰ）求证：BC 1∥平面A 1CD ； （Ⅱ）求二面角A —A 1C —D 的大小。
答案:
1.D 2.D 3.B 4.B 5.C 6.C 7.A 8.C 9.B 10.B 11.D 12.C
π
15 . 6
16 6
sin C
17．解：（1） tan C =37, 即=37. （2分）
cos C
13． 2，12π 14.
1
又
sin 2C +cos 2C =1, 解得cos C =±.
81
tan C >0, ∴C 是锐角. ∴cos C =. (6分)
8
(4分)
（2） CB ⋅CA =
55
, ∴ab cos C =, ∴ab =20. （8分） 22
(10分)
(12分)
又 a +b =9, ∴a 2+2ab +b 2=81. ∴a 2+b 2=41. ∴c =a +b -2ab cos C =36, ∴c =6.
18（本题满分12分） 解法一：
2
2
2
（I ）设E 是DC 的中点，连结BE ，则四边形DABE 为正方形，
∴BE ⊥CD ．故BD =2，B C =2，CD =2，∴∠DBC =90 ，即BD ⊥BC ．
又BD ⊥BB 1，B 1B BC =B .
D 1
H
C 1
∴BD ⊥平面BCC 1B 1，
（II ）由（I ）知DB ⊥平面BCC 1B 1， 又BC 1⊂平面BCC 1B 1，∴BD ⊥BC 1，
A 11D B
取DB 的中点F , 连结A 1F ，又A 1D =A 1B ，则A 1F ⊥BD ． A 取DC 1的中点M ，连结FM ，则FM ∥BC 1, ∴FM ⊥BD ．
∴∠A 1FM 为二面角A 1-BD -C 1的平面角．
连结A 1M ，在△
A 1FM 中，A 1F =
1=， FM =BC 1=
2取D 1C 1的中点H ，连结A 1H ，HM ， 在Rt △
A 1HM 中， A 1H =
2
2
HM =
1，∴A 1M =．
2
93+-3
A 1F +FM -A 1M ． ∴cos ∠A 1FM ===
2A 1F ⋅FM ∴二面角A 1-BD -
C 1的余弦值为
解法二：
． 3
（I ）以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的
0，2) ，B 1(11，，2) , C (0,2,0)．空间直角坐标系，则D (0， 0，0) ，B (11，，0) ，C 1(0,2,2)，A 1(1，
DB =(11，，0) ，BC =(-1, 1, 0) , BB 1=(0, 0, 2)
BD ⋅BC =-1+1=0⇒BD ⊥BC ⋅BB 1=0⇒⊥BB 1
又因为B 1B BC =B . 所以，DB ⊥平面B 1BCC 1． （II ）设n =(x ，y ，z ) 为平面A 1BD 的一个法向量．
n ⊥DA 由，，0) 1，n ⊥DB ，DA 1=(1,0,2),DB =(11
⎧x +2z =0，得⎨ 取z =1，则n =(-2． ，2，1)
x +y =0. ⎩
2，2) ，DB =(11，，0) ，设m =(x 1，y 1，z 1) 为平面C 1BD 的一个法向量， 又DC 1=(0，
⎧2y 1+2z 1=0，
由m ⊥DC 1，m ⊥DB ，得⎨取z 1=1，则m =(1，-11) ，，
⎩x 1+y 1=0.
设m 与n 的夹角为α，二面角A 1-BD -C 1为θ，显然θ为锐角，
19（本小题满分14分）
解法一： 证明：连结OC,
∆ABD 为等边三角形，O 为BD 的中点,
∴AO ⊥BD ． ----------------------------------------------------------------------------------2分
∆ABD 和∆CBD 为等边三角形，O 为BD 的中点, AB =2, AC =6，
∴AO =CO =． ------------------------------------------------------4分 在∆AOC 中， AO +CO =AC ,
o
2
2
2
∴∠AOC =90, 即AO ⊥OC . -------------------------------------------------------------5分
BD OC =O ,
∴
平
面
AO ⊥
BCD ． ---------------------------------------------------------------------------6分
（II ）过O 作OE ⊥BC 于E ，连结AE ，
AO ⊥平面BCD ,
∴AE 在平面BCD 上的射影为OE ． ∴AE ⊥BC ．
B
C
∴ ∠AEO 为二面角A -BC -D 的平面角． -----------------------------------------10分
在Rt ∆AEO 中，AO =
∴∠AEO =arctan 2．
, OE =
3AO , tan ∠AEO ==2， 2OE
∴二面角A-BC-D 的大小为arctan 2． ---------------------------------------------------14分
解法二：
（I ）同解法一．
（II ）解：以O 为原点，如图建立空间直角坐标系， 则
O (0, 0, 0), A (0, 0, 3),
B (0, 1, 0), C (, 0, 0), D (0, -1, 0)
-------------------------------------------------8分
AO ⊥平面BCD ，
∴平面BCD 的法向量AO =． -------------------------------------------------10分
设平面ABC 的法向量=(x , y , z ) ，
AB =(0, 1, -) ，BC =(, -1, 0) ，
⎧⎪⋅=0⎧⎪y -3z =0由⎨----------------------------------------12分 ⇒⎨⇒n =(1, , 1) ．⎪⎩x -y =0⎩n ⋅BC =0⎪
设n 与AO 夹角为θ，
则cos θ=
=
． 5
∴二面角A-BC-D 的大小为arccos
5
． -----------------------------------------------14分 5
20（本小题满分14分）
解法一: (Ⅰ) 在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中, CC 1⊥底面ABC , BC 1在底面上的射影为CB .
由AC =3, BC =4, AB =5, 可得AC ⊥CB . 所以AC ⊥BC 1. ………………..4分
(Ⅱ) 设BC 1与CB 1交于点O , 则O 为BC 1中点. 在∆ABC 1中, 连结OD , D , O 分别为AB , BC 1的中点, 故OD 为∆ABC 1的中位线,
A 1
B
∴OD ∥AC 1, 又AC 1⊄平面CDB 1, OD ⊂平面CDB 1,
∴AC 1∥平面CDB 1. ………………9分
(Ⅲ) 过C 作CE ⊥AB 于E , 连结C 1E . 由CC 1⊥底面ABC 可得C 1E ⊥AB . 故∠CEC 1为二面角C 1-AB -C 的平面角. 在∆ABC 中, CE =
12, 5
45=, 1235
在Rt ∆CC 1E 中, tan C 1EC =
5
∴二面角C 1-AB -C 的大小为arctan . ……………………………………14分
3
解法二 直三棱柱ABC -A 1B 1C 1, 底面三边长AC =3, BC =4, AB =5,
∴AC , BC , CC 1两两垂直.
如图以C 为坐标原点, 建立空间直角坐标系C -xyz , 则
C (0, 0, 0), A (3, 0, 0), C 1(0, 0, 4), B (0, 4, 0), B 1(0, 4, 4) .
(Ⅰ) =(-3, 0, 0), BC 1=(0, -4, 4) ,
∴⋅BC 1=0, 故AC ⊥BC 1. …………….4分
(Ⅱ) 同解法一 …………………………………………………………….. ………..9分 (Ⅲ) 平面ABC 的一个法向量为m =(0,0,1), 设平面C 1AB 的一个法向量为n =(x 0, y 0, z 0) ,
AC 1=(-3, 0, 4) , AB =(-3, 4, 0) ,
⎧⎪n ⋅AC 1=0, ⎧-3x 0+4z 0=0, 由⎨ 得⎨
-3x +4y =0, 00⎪⎩n ⋅AB =0, ⎩
令x 0
=4, 则z 0=3,
y 0=3. 则n =(4,3,3).
故cos ＜m,n ＞
=∴二面角C 1-AB -C 的大小为 ……………………………….14分
21解：（Ⅰ）证明：取SC 的中点R ，连QR ，DR .
由题意知：PD ∥BC 且PD =
11
BC ；QR ∥BC 且QR =BC ， 22
∴QR ∥PD 且QR =PD . ∴四边形PQRD 是平行四边形，
∴PQ ∥DR ，又DR ⊂面SCD ，PQ ⊄面SCD ，∴PQ ∥面SCD . （6分） （Ⅱ）解法一：∵SP ⊥AD ，面SAD ⊥面ABCD ，∴SP ⊥面ABCD . 取PB 的中点H ，连QH
，得QH ∥SP ，
∴QH ⊥面ABCD ，过H 作HG ⊥PC 于G ，连QG ， 由三垂线定理知：QG ⊥PC ，∴∠QGH 即为所求二面角的平面
角，
而QH =113SP=a =a 4222
3a ，BC =a ，∴PC =a 22
27a ， 在三角形PBC 中，∠PBC =90°，PB =∴HG =PH ·sin ∠CPB =a ⨯4a 7a 2=
3a QH 4∴tan ∠QGH = ==HG 23a 27
∴二面角B —PC —Q 的大小为arctan 7. （12分） 2
解法二：以P 为坐标原点，PA 为x 轴，PS 为z 轴建立空间直角坐标系，
则S （0，0，3333，B （0，，C （－a ，，Q （0，， a ）a ，0）a ，0）a ，a ）44222
3，设n =(x , y , z ) 为面PQC 的一个法向量， a ）2面PBC 的法向量为=（0，0，
⎧33ay +az =0⎪⎧3⎪n ∙PQ
=0⎪44由⎨⇒⎨⇒n =(, 3, -) 2⎪⎩n ∙=0⎪-ax +ay =0⎪2⎩
-
cos =3a 22
2 11333a ⨯22=-=-
注意到B —PC —Q 为锐角，故二面角B —PC —Q 的大小为arccos 2. （12分） 11
22（本小题共14分）
解：（Ⅰ）证明：连接AC 1，设AC 1∩A 1C = E ，连接DE ………… 1分 ∵A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，且AC = AA 1 =3
∴AA 1C 1C 是正方形，E 是AC 1中点， 又D 为AB 中点 ∴ED ∥BC 1 ………………………… 3分 又ED ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ∴BC 1∥平面A 1CD ………………………………………… 5分 （Ⅱ）法一：设H 是AC 中点，F 是EC 中点，连接DH ，HF ，FD …… 6分 ∵D 为AB 中点， ∴DH ∥BC ，同理可证HF ∥AE ，又AC ⊥CD ，故DH ⊥AC
又侧棱AA 1⊥平面ABC ，
∴AA 1⊥DH ∴DH ⊥平面AA 1C 1C …………………… 8分 由（Ⅰ）得AA 1C 1C 是正方形，则A 1C 1⊥AE ∴A 1C
⊥HF
∵HF 是DF 在平面AA 1C 1C 上的射影，
∴DF ⊥A 1C
∴∠DFH 是二面角A —A 1C —D 的平面角…10分
又DH =AE AC 161==，HF =… 12分 2442
1
6∴在直角三角形DFH 中，tan DFH ==…1336
4
分
∴二面角A —A 1C —D 的大小为arctan …………………… 14分 3
法二：在直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，∵AC ⊥CB ∴分别以CA ，CB ，CC 1所在的直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系C – xyz .因为BC = 1 , AA 1 = AC =3，则C ( 0 , 0 , 0 ) , A (3, 0 , 0 ) , B ( 0 , 1 , 0 ) , D
设平面A 1DC 的法向量为n = ( x , y , z ) , 则 ⎛1⎫⎪ 2, 2, 0⎪，………… 7分 ⎝⎭⎧⎪n ⋅=0 ⎨⎪⎩n ⋅CA 1=0
∵CD = …………………… 8分 ⎛1⎫⎪ 2, 2, 0⎪，CA = (3, 0 ,3), ⎝⎭
⎧31⎧y =-3x x +y =0⎪∴⎨2 则⎨…9分 2⎩z =-x ⎪x +3z =0⎩
取x = 1 ,得平面A 1DC 的一个法向量为n = ( 1 ,-3, – 1 ) ………… 10分 m == ( 0 , 1 , 0 )为平面CAA 1C 1的一个法向量。…………………… 11分 cos =m ⋅n -3==-………………………… 12分 |m |⋅|n |1⨯5
由图可知，二面角A —A 1C —D 的大小为arccos ……………… 14分
5