关于中国人口老龄化问题的分析与预测
浙江农林大学 陈婷、徐丽丽、陈晓静
目 录
一、问题的提出............................................................................................................ 2 二、模型构建前的准备................................................................................................ 3 （一）数据的来源、变量说明和预处理 ................................................................ 4 （二）若干假设 ........................................................................................................ 5 三、人口老龄化模型的构建与求解............................................................................ 5 （一）相关分析 ........................................................................................................ 5 1、相关分析简介................................................................................................... 5 2、相关分析的分析结果....................................................................................... 6 （二）回归分析及多元线性回归模型 .................................................................... 7 1、回归参数的估计............................................................................................... 7 2、回归方程的显著性检验................................................................................... 8 3、多元线性回归分析的输出结果分析............................................................... 9 （三）老年人口总数和老龄化系数的预测 .......................................................... 11 1、灰色数列预测简介......................................................................................... 11 2、模型的预测结果............................................................................................. 13 四、模型评价及政策建议.......................................................................................... 14 参考文献...................................................................................................................... 15 附录.............................................................................................................................. 17
摘要：本文研究了中国人口老龄化问题。用相关分析法，从0~14岁人口总数、15~64岁人口总数、总人口数、人口出生率、人口死亡率、人口自然增长率、卫生总费用、人均GDP 、城市化水平、总育龄妇女人数这10个影响因素中找出对老年人口总数和老龄化系数显著影响的因素，结果只有人口死亡率对对老年人口总数和老龄化系数没有显著影响。用回归分析法，建立老年人口总数和老龄化系数分别关于0~14岁人口总数、15~64岁人口总数、总人口数、人口出生率、人口自然增长率、卫生总费用、人均GDP 、城市化水平、总育龄妇女人数的数学表达式，通过各项检验后，最终得到了老年人口总数和老龄化系数分别关于0~14岁人口总数和总育龄妇女人数的回归模型，而其他因素通过0~14岁人口总数和总育龄妇女人数间接对老年人口总数和老龄化系数产生影响。用灰色数列预测法，预测出2010年~2050年0~14岁人口总数和总育龄妇女人数，将其代入回归模型，得到2010年~2050年老年人口总数和老龄化系数的预测数据。从预测数据可知，我国老龄化程度在逐年递增；由回归模型可知，增加0~14岁人口总数，可以减缓我国人口老龄化程度，因而建议国家对现有的计划生育政策进行调整。 关键词：人口老龄化 相关分析 回归分析 灰色数列预测
一、问题的提出
人口老龄化给社会和经济发展带来的影响是巨大的。它既有积极的一面，也有消极的一面。积极的一面是人口老化遏制了人口的过快增长，有利于人口素质的提高等；消极的一面是劳动力抚养系数的增大，国家财政负担加重，劳动力供给不足等。同时，人口老龄化还会对产业结构的调整产生重大影响，会对现行的养老保险制度、社会福利制度等提出新的要求。因此，如何能准确地预测人口老龄化的发展趋势，掌握人口变化发展的规律，以便赢取更多的时间来应对因人口老龄化所带来的一系列社会、经济等问题，就显得尤为重要了。
据联合国统计[1]，1950—2000年期间世界老年人口增长为176%，而中国则为217%；据联合国预测[1]，2000—2025年，世界老年人口增长为90%，中国增长为111%。美国有关统计表明[1]，65岁及以上人口比例从7%上升到14%需要的时间是：法国为85年，美国为66年，英国为45年，中国老龄人口达到这一比例大约只要25年。据联合国预测[2]，我国老年人口增长将分为三个阶段：第一个阶段是平缓加速阶段（2000~2028年），65岁及以上人口将从不足1亿增加到并超过2亿，平均每年增加近400万；第二个阶段是急速增加阶段（2028~2038年），65岁及以上人口将由2亿增加到并超过3亿，平均每年增加1000万；第三个阶段是基本平稳阶段（2038~2050）年，65岁及以上人口将由3亿增加到3.34亿，平均每年增加280万。
从上世纪末开始，人口老龄化问题不断受到我国学者的关注。曲海波[3]（1989）用模拟的方法研究了生育、死亡和初始年龄结构对中国人口老龄化的作用，研究表明：生育率下降是中国人口老龄化的根本原因。杜鹏[4]（1992）应用人口预测方法对出生率、死亡率和人口年龄结构在中国人口老龄化过程中各自所起的作用进行量化分析，研究表明：生育率下降对中国人口年龄结构的变动有突出的作用；死亡率的下降对老年人口上升的影响逐步加大；期初人口年龄结构构成对中国人口年龄结构变动有很大影响。乔晓春[5]（1999）认为，中国人口老龄化的根本原因是生育率的迅速下降和人均寿命的延长。乔晓春通过对人口老化模型研究认为，在分析人口老化影响因素时不能只看到出生率、死亡率，而看不到现实人口
年龄结构对人口老化的巨大作用。从现实看，年龄结构对人口老化的作用可能比出生率和死亡率的作用还要大（虽然历史上年龄结构最终也是由出生率和死亡率决定的）。过去往往只重视出生率、死亡率对人口老化的影响，而忽视了现实存在着的年龄结构的作用。由此可知杜鹏和曲海波研究的方法虽然不同，但是把人口年龄结构作为研究人口老龄化的影响因素是合理的。
在有关老龄化的预测方面，国内外学者从不同角度对预测模型进行了研究。Lutz [6]等建立年龄移算模型，通过设定不同综合生育率水平来预测总人口数；邱旭辉、吕盛鸽[7]通过格兰杰因果检验，建立V AR 模型来预测人口老龄化系数，他认为老龄化系数的变动趋势与老年人口基本同步。石琳，刘甜[8]通过建立微分方程人口控制模型，采用实际人口数据，利用MATLAB 数学软件和数值计算方法对中国人口增长趋势和年龄结构变化作出分析和预测，预计老龄化指数将在本世纪40年代形成老龄人口高峰平台，且中国老年人规模比例在迅速上升，但是该文只考虑了出生、死亡和迁移，没有考虑其他的因素。张柏琴[9]等利用最小二乘法构造了我国人口老龄化的二元回归预测模型，得到2005~2050年我国老龄化系数，并以此预测出我国老年人口数量多、老龄化速度快、高龄趋势明显的特点，但是该文根据经验模型，建立数学模型，用最小二乘法求得系数后，并未对各系数进行显著性检验。以上虽然用不同的方法来预测人口老龄化，但是结论有一个共同点，就是人口老龄化正在加速。
在对社会、经济等的影响方面，廖晓燕[10]认为人口老龄化会导致人口短缺和劳动适龄人口比率下降。郑勇[11]在其论文中指出，老龄化使医疗保障供给减少，支出增加，使养老金费用加大并使保险基金不堪重负。宁宇[12]等认为老龄化的加速会使疾病谱发生较大变化，大约80%的老年人口至少患有一种慢性疾病，包括呼吸系统疾病、脑血管疾病、恶性肿瘤和心脏病。但是李小平[13]认为中国人口老龄化恰恰是一件大好事，它会加速人均收入水平的提高，并将产生多方面有利的社会经济效果。人口老龄化是中国的福音，也是世界的福音。加速人口老龄化就是加速优化人口年龄结构，有助于提高老年保障水平。
二、模型构建前的准备
人口老龄化对国家的经济、医疗保险等政策都有一定的影响，一些学者通过
各种方法来研究人口老龄化程度，但由于数据来源不同，建立的模型不同，得出的结论也不完全相同。曲海波和杜鹏认为出生率、死亡率和人口结构是影响人口老龄化的主要因素，张柏琴、高孝成等认为时间对人口老龄化有影响。我们根据对文献资料的分析，并结合有关的统计资料数据，我们在下面建立统计模型分析人口老龄化问题时，着重考虑出生率、死亡率和人口结构、卫生总费用、人均GDP 、城市化水平和总育龄人数等有可能影响人口老龄化的因素。
根据前面的分析，在收集相关数据时，有些数据有所缺失，故做了以下的变量说明、预处理以及若干假设。
（一）数据的来源、变量说明和预处理
本文使用数据主要来自中国统计年鉴（2010）中1990~2009年的各项数据。由于60岁以上人口数和其占总人口比重难以统计，因此选取65岁及以上人口数和占总人口比重作为研究指标。考虑到前面所介绍的模型没有考虑外部因素的老龄化的影响作用，我们选取0~14岁人口数、14~64岁人口数、总人口数、出生率、死亡率、卫生总费用、人均GDP 、城市化水平和总育龄人数作为自变量。其中总育龄人数的数据来自人口与劳动绿皮书[13]。
y 1表示我国各年65岁及以上人口总数（万人）
y 2表示我国各年老龄化系数——65岁及以上人口占总人口的比重（%） x 1表示我国各年0~14岁人口总数（万人） x 2表示我国各年15~64岁人口总数（万人）
x 3表示我国各年总人口数（万人）
x 4表示我国各年人口出生率（%）
x 5表示我国各年人口死亡率（%） x 6表示我国各年人口自然增长率（%）
x 7表示我国各年医疗卫生水平——卫生总费用（亿元） x 8表示我国各年人均GDP （元）
x 9表示我国各年城市化水平——城镇人口占总人口的比重（%） x 10
表示我国各年总育龄妇女人数（亿人）
考虑到65岁及以上人口总数、65岁及以上人口占总人口的比重、0~14岁人口总数、15~64岁人口总数在1991年到1994年有缺失，总育龄妇女人数在2006年到2009年有缺失，卫生总费用在2009年也有缺失，故分析时利用线性趋势法和线性插值法对缺失值进行替换。 （二）若干假设
在对影响老年人口数和老龄化系数变化的因素进进行分析时，用到了相关分析和回归分析的方法，因此，对一些变量做如下假设：
（1）对于有缺失值的解释变量矩阵，我们通过SPSS 软件进行替换缺失值，假设经过填补的数值能够正确地反映发展趋势；
（2）各影响因素均服从正态分布； （3）选取的样本间相互独立；
（4）随机干扰项 i 服从均值为零的正态分布。
三、人口老龄化模型的构建与求解
（一）相关分析 1、相关分析简介
“相关”是指两个测量点数据或随机变量的波动方式是否一致[14]。相关分析主要研究的是两个变量之间的不准确、不稳定的线性关系，这种关系即称为相关关系。要考察两个变量之间的线性关系，就要从两个方面来分析，一是相关的强度；二是相关的方向。
在实际中，我们通常采用相关系数r 来判断两个随机变量之间的线性相关关系，它的取值范围在-1~+1之间。从r 的正、负号以及绝对值的大小可以表示两个变量的变化方向及密切程度。正号表示变化方向一致，即正相关；负号表示变化相反，即负相关。r 的绝对值表示两个变量之间的相关强度，绝对值越接近于
1，表示两个变量的关系越密切越接近于0，则表示两个变量之间的关系越不密切。
2、相关分析的分析结果
利用SPSS 软件对各个变量进行相关分析，从x 1~x 10中找出对y 1，y 2有影响的因素，结果见表一。
表一：Pearson 相关系数矩阵
从表一中可看出，x 5对y 1、y 2的影响不显著，其他自变量对y 1、y 2的影响显著，所以接下来的分析中，只考虑x 1，x 2，x 3，x 4，x 6，x 7，x 8，x 9和x 10对
y 1、y 2的影响作用。
（二）回归分析及多元线性回归模型
回归分析起源于生物学研究，是由英国生物学家兼统计学家高尔顿研究遗传学特征时首先提出，并在其1889年发表的著作《自然的遗传》中提出了回归分析，此后很快应用到经济学领域来。回归分析是处理变量x 与y 之间的关系的一种统计方法和技术，它研究的主要是回归模型的参数估计、假设检验、模型选择等理论和有关计算方法。根据
设随机变量y 与一般变量x 1，x 2，…，x p 的线性回归模型为
y t =β0+β1x t 1+β2x t 2+ +βp x tp +εt （1）
其中，β0，β1，…，βp 是p +1个未知系数，β0称为回归常数，β1，…，βp 称为回归系数。 1、回归参数的估计
对于矩阵形式表示的多元回归模型y =X β+ε，所谓最小二乘法，就是寻找参数β0，β1，…，βp 的估计值
n
∧
β0
，
∧
β1
，…，
2
∧
β
p
，使离差平方和
∧
Q (β0, β1, , βp ) =
i =1
∧
(y i -β0-β1x i 1-β2x i 2-βp x ip )
达到极小，即寻找β0，β1，…，
∧
β
p
满足
∧
∧
∧
n
Q (β0, β1, , βp ) =
∑(y
i =1
∧i
∧∧2
∧
-β0-β1x i 1-β
n
x i 2- -β
p
x ip )
2
2
=
∧
∧
β0, β1, β2, , βp
min
∑(y
i =1
i
-β0-β1x i 1-β2x i 2- -βp x ip )
（2）
依据（2）式求出的β0，β，…，βp 就称为回归参数β0，β1，…，βp 的最小二
1
∧
乘估计。
这些回归参数应满足下列方程组
⎧∂Q ⎪⎪∂β0⎪∂Q ⎪⎪∂β1⎪
⎨∂Q
⎪∂β
2
⎪⎪⎪∂Q ⎪⎪∂βp ⎩
n
∧
=-2∑(y i -β0-β1x i 1-β
∧∧∧∧
2
x i 2- -β
∧
p
x ip ) =0x ip ) ⋅x i 1=0x ip ) ⋅x i 2=0
β0=β
i =1n
∧
=-2∑(y i -β0-β1x i 1-β
i =1n
∧∧∧
2
x i 2- -β
∧
2
p
β1=β1
∧
=-2∑(y i -β0-β1x i 1-β
2
∧∧∧
x i 2- -β
（3）
p
β2=β
i =1
n
∧
=-2∑(y i -β0-β1x i 1-β
i =1
p
∧∧∧∧
2
x i 2- -β
p
x ip ) ⋅x ip =0
βp =β
以上方程组经整理后，得用矩阵形式表示的正规方程组X '(y-X β) =0，移项得
'X X β=X 'y 。当(X 'X
)-1存在时，即得回归参数的最小二乘估计为
)-1X 'y （4）
β=(X 'X
称
y =β0+β1x 1+β2x 2+ +βp x p （5）
为经验回归方程。
2、回归方程的显著性检验 （1）F 检验
n
n
i
它利用总离差平方和的分解式，即
∑(y
i =1
-y ) =
2
∑
i =1
2
(y i -y ) +
n
∑(y
i =1
i
2-y i )
，
简写为SST=SSR+SSE。构建F 统计量如下
F =
SSR /p SSE /(n -p -1)
~F α(p , n -p -1) （6）
当F >F α(p , n -p -1) 时，拒绝原假设H 0，认为在显著性水平α下，y 对x 1，
x 2，…，x p 有显著的线性关系，也即回归方程是显著的；反之，当
F ≤F α(p , n -p -1) ，则认为回归方程不显著。
（2）回归系数的显著性检验
由于如下：
2-1β~N (β, σ(X 'X ) )
，记(X 'X )=(c ij ) ，i , j =0, 1, 2, , p 。构造t 统计量
-1
t j =
β
j
c jj σ
（7）
其中
σ=
1n -p -1
n
∑
i =1
e i
2
=
1n -p -1
n
∑
i =1
2
(y i -y i ) （8）
是回归标准差。
当t j ≥t α/2时拒绝原假设H 0j ，认为βj 显著不为零，自变量x j 对因变量y 的线性效果显著；当t j
利用样本决定系数R 2的大小进行拟合优度检验，决定系数R 2反映了因变量的变异中能用自变量解释的比例。
n
R
2
=
SSR SST
∑
=
i =1n i =1
2(y i -y )
（9）
i
∑(y
-y )
2
其数值在0~1之间，如果决定系数R 2越接近于1，说明因变量不确定性的绝大部分能由回归方程解释，即回归方程的拟合优度就好；反之，如果R 2不大，说明回归方程的效果不好，应进行修改，可以考虑增加新的变量或者使用曲线回归。 3、多元线性回归分析的输出结果分析
根据相关分析的结果，虽然能够说明哪些因素对老龄化系数和老年人口总数产生影响，但由于变量间存在共线性现象，难以解释到底是哪几个变量的变化引起了这两项指标的改变，因此分别建立关于y 1与x 1，x 2，x 3，x 4，x 6，x 7，x 8，
x 9，x 10
和y 2与x 1，x 2，x 3，x 4，x 6，x 7，x 8，x 9，x 10之间的回归方程，其
间采用逐步回归方法剔除不显著的变量，用方差扩大因子法消除变量间的共线性
并用迭代法消除自相关，得到的输出结果见表二。
表二：模型的输出结果
表三：Spearman 等级相关系数矩阵
从表二的输出结果可以看出，模型通过了F 检验和T 检验，也有较高的拟合优度。根据回归方程所得到的等级相关系数见表三，这些结果说明模型中不存在多重共线性、自相关和异方差，说明模型拟合效果较好。因此，我们最终得到可用
于预测的模型为：
（1）预测老年人口总数的模型：
y 1=-3. 362x 1+34. 814x 10 （10）
（2）预测老龄化系数的模型：
y 2=-3. 746x 1+23. 751x 10 （11）
（三）老年人口总数和老龄化系数的预测
从回归分析中，我们得出人口年龄结构和育龄妇女人数对老年人口总数和老龄化系数的影响显著，并给出了相应的预测模型。若要预测老年人口总数和老龄化系数，就必须先预测出其后若干年的人口年龄结构和育龄妇女人数的变化。我们通过灰色数列来预测这两个变量的变化情况。
1、灰色数列预测简介
灰色数列预测模型[15~18]（Grey Dynam-ics Model, GM）是以时间序列性为基础，用数列建立方程，将无规律的原始数列经过转换，使之成为较有规律的生成数列后再建模的一种预测方法。
设由n +1个原始数据组成的原始数列为X t (t =0, 1, 2, , n ) ，其模型的建立步骤如下：
1、累加生成
通常原始数据呈现离乱现象，灰色理论将无规律的原始数据按（12）式累加生成，使其变为较有规律的生成数列Y t 。
t
Y t =
∑X （t =0, 1, 2, n ) （12）
i
i =0
2、移动平均数生成
对累加生成数据Y t 按（12）式作移动平均数生成Z t 。 Z t =
12
(Y t -Y t -1)
(t =1, 2, , n ) （13）
3、建立GM （1,1）模型
Y t 的一阶线性微分方程：
d Y t dt
+αY t =μ （14）
此式即为GM(1,1)模型，按微分方程的求解方程得到： Y t =(X 0-
μα
) e
-αt
+
μα
（t =0, 1, 2, n ) （15）
式中X 0为初始时刻（t =0时）的原始数据，μ、α为待定系数，根据最小二乘法估计参数向量，按矩阵运算法则得到其表达式为：
n n
⎡n ⎤α=⎢(∑X t )(∑Z t ) -n (∑Z t X t ) ⎥/D
t =1t =1⎣t =1⎦
（16）
n n n
⎡n ⎤2
μ=⎢(∑Z t )(∑X t ) -(∑Z t )(∑Z t X t ) ⎥/D
t =1t =1t =1⎣t =1⎦
（17）
n
2
t
n
其中D =n (∑Z ) -(∑Z t ) 2
t =1
t =1
4、计算
X t 的估计值X t X t =Y t -Y t -1
(t =1, 2, , n ) （18）
5、计算后验差比值C 和小误差概率p
若数列X t 和残差数列δt =X t -X t (t =1, 2, , n ) 的标准差分别为s 1和s 2：
n
n
∑(X
s 1=
t =1
t
-X )
2
∑
（其中X =
t =1
X t n
n
n
） （19）
n
∑(δ
s 2=
t =1
t
-δ)
2
∑δ
（其中δ=
t =1
t
n n
） （20）
则C =s 2/s 1，p =p δt -δ
∑k （其中K 为∑n
t
-δ
总倒数）。一般来说，C 值越小，P 值越大，则模型的精度就越高。
6、外推预测
根据C 、P 值的计算结果，按表四的方法进行预测精度的等级判定。若预测精度的等级达到一定要求，可按下式进行外推预测：
X t =Y t -Y t -1
（t =n +1, n +2, , n +k ） (21)
表四 预测精度的等级判定
Degree of predicted presion Good Eligible Basic eligibility Disqualification
P >0.95 >0.8 >0.7 ≤0.7
C
从GM(1，1) 模型的外推预测可以看出，P 值比较大，C 值比较小，说明用该模型预测2010~2050年的我国各年0~14岁人口总数和各年总育龄妇女人数精度是较高的。
2、模型的预测结果
在Excel 中输入原始数据，即1990~2009年的0~14岁人口总数和育龄妇女人数及对应的年份，分别计算出这两个变量的变化情况，将得到的数据分别代入已给出的回归方程（10）及（11），即得到2010~2050年的老年人口总数和老龄化系数如表五。从表五中可以看到未来40年内，中国的人口老龄化将一直保持上升趋势。从1990年到2009年，以及预测的数据可以看出，老年人口总数和老龄化系数有递增的趋势，为了有效减少老年人口总数和降低老龄化系数，国家应该制定相关法律，采取相应措施，主要严格控制我国各年0~14岁人口总数我国各年总育龄妇女人数这两个显著影响人口老龄化的因素，当然也要适当注意其他影响因素。
表五 我国2010~2050年老年人口总数及老龄化系数
年份
老年人口总数（万人） 老龄化系数（%） 年份
老年人口总数（万人） 老龄化系数（%）
2010 11725.2 8.68 2035 24330.8 14.99
2015 13568.4 9.68 2040 28155.5 16.73
2020 15701.3 10.80 2045 32581.4 18.67
2025 18169.5 12.04 2050 37703.1 20.82
2030 21025.6 13.44
四、模型评价及政策建议
根据前面的统计分析可知，显著影响人口老龄化程度的因素是0~14岁人口总数和总育龄妇女人数，且从模型（10）与（11）得到进一步的结论：随着0~14岁人口总数的增加，老年人口总数和老龄化系数会减少；随着育龄妇女人数的增加，老年人口总数和老龄化系数会增加。从表一的相关性分析结果可以看出x 2，x 3，x 4，x 6，x 7，x 8，x 9与x 1和x 10存在线性相关，所以15~64岁人口总数、总人口数、人口出生率、城市化水平、人口自然增长率、卫生总费用、人均GDP 、人口死亡率对老年人口总数和老龄化系数会的影响是间接通过0~14岁人口总数和龄妇女人数体现出来。
我们用灰色数列模型预测了2010~2050年0~14岁人口总数和育龄妇女人数，进而对老年人口总数和老龄化系数进行预测，这样会对预测的准确度有一定的影响。
由于找到的数据中间有部分缺失，通过缺失值替换，存在一定的误差，从而一定程度上影响了数据的可靠性；由于时间仓促，本文选用的是65岁及以上人口总数作为老年人口总数。一般情况下，我国实行的是60岁退休制，因此，如果采用60岁及以上人口总数为老年人口总数，会使模型更有实际意义。
从得出的预测数据可以看出，从2010~2050年，我国老年人口总数和老龄化系数有逐年递增的趋势，从回归方程（10）及（11）可知，要有效地减少时刻
t 的老年人口总数和降低老龄化系数，需增加t 时刻
0~14岁人口总数和减少总育
龄妇女人数，而现有的总育龄妇女人数是无法改变的，且t 时刻0~14岁人口总数直接影响了t 时刻后若干年的育龄妇女人数，因此，建议国家对目前的计划生育政策作出相应的调整，增加0~14岁人口总数，从而减缓我国的人口老龄化程度。进而优化社会结构，减少社会矛盾，增加人民福利。
参考文献
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附录
附录A. 原始数据：
关于中国人口老龄化问题的分析与预测
浙江农林大学 陈婷、徐丽丽、陈晓静
目 录
一、问题的提出............................................................................................................ 2 二、模型构建前的准备................................................................................................ 3 （一）数据的来源、变量说明和预处理 ................................................................ 4 （二）若干假设 ........................................................................................................ 5 三、人口老龄化模型的构建与求解............................................................................ 5 （一）相关分析 ........................................................................................................ 5 1、相关分析简介................................................................................................... 5 2、相关分析的分析结果....................................................................................... 6 （二）回归分析及多元线性回归模型 .................................................................... 7 1、回归参数的估计............................................................................................... 7 2、回归方程的显著性检验................................................................................... 8 3、多元线性回归分析的输出结果分析............................................................... 9 （三）老年人口总数和老龄化系数的预测 .......................................................... 11 1、灰色数列预测简介......................................................................................... 11 2、模型的预测结果............................................................................................. 13 四、模型评价及政策建议.......................................................................................... 14 参考文献...................................................................................................................... 15 附录.............................................................................................................................. 17
摘要：本文研究了中国人口老龄化问题。用相关分析法，从0~14岁人口总数、15~64岁人口总数、总人口数、人口出生率、人口死亡率、人口自然增长率、卫生总费用、人均GDP 、城市化水平、总育龄妇女人数这10个影响因素中找出对老年人口总数和老龄化系数显著影响的因素，结果只有人口死亡率对对老年人口总数和老龄化系数没有显著影响。用回归分析法，建立老年人口总数和老龄化系数分别关于0~14岁人口总数、15~64岁人口总数、总人口数、人口出生率、人口自然增长率、卫生总费用、人均GDP 、城市化水平、总育龄妇女人数的数学表达式，通过各项检验后，最终得到了老年人口总数和老龄化系数分别关于0~14岁人口总数和总育龄妇女人数的回归模型，而其他因素通过0~14岁人口总数和总育龄妇女人数间接对老年人口总数和老龄化系数产生影响。用灰色数列预测法，预测出2010年~2050年0~14岁人口总数和总育龄妇女人数，将其代入回归模型，得到2010年~2050年老年人口总数和老龄化系数的预测数据。从预测数据可知，我国老龄化程度在逐年递增；由回归模型可知，增加0~14岁人口总数，可以减缓我国人口老龄化程度，因而建议国家对现有的计划生育政策进行调整。 关键词：人口老龄化 相关分析 回归分析 灰色数列预测
一、问题的提出
人口老龄化给社会和经济发展带来的影响是巨大的。它既有积极的一面，也有消极的一面。积极的一面是人口老化遏制了人口的过快增长，有利于人口素质的提高等；消极的一面是劳动力抚养系数的增大，国家财政负担加重，劳动力供给不足等。同时，人口老龄化还会对产业结构的调整产生重大影响，会对现行的养老保险制度、社会福利制度等提出新的要求。因此，如何能准确地预测人口老龄化的发展趋势，掌握人口变化发展的规律，以便赢取更多的时间来应对因人口老龄化所带来的一系列社会、经济等问题，就显得尤为重要了。
据联合国统计[1]，1950—2000年期间世界老年人口增长为176%，而中国则为217%；据联合国预测[1]，2000—2025年，世界老年人口增长为90%，中国增长为111%。美国有关统计表明[1]，65岁及以上人口比例从7%上升到14%需要的时间是：法国为85年，美国为66年，英国为45年，中国老龄人口达到这一比例大约只要25年。据联合国预测[2]，我国老年人口增长将分为三个阶段：第一个阶段是平缓加速阶段（2000~2028年），65岁及以上人口将从不足1亿增加到并超过2亿，平均每年增加近400万；第二个阶段是急速增加阶段（2028~2038年），65岁及以上人口将由2亿增加到并超过3亿，平均每年增加1000万；第三个阶段是基本平稳阶段（2038~2050）年，65岁及以上人口将由3亿增加到3.34亿，平均每年增加280万。
从上世纪末开始，人口老龄化问题不断受到我国学者的关注。曲海波[3]（1989）用模拟的方法研究了生育、死亡和初始年龄结构对中国人口老龄化的作用，研究表明：生育率下降是中国人口老龄化的根本原因。杜鹏[4]（1992）应用人口预测方法对出生率、死亡率和人口年龄结构在中国人口老龄化过程中各自所起的作用进行量化分析，研究表明：生育率下降对中国人口年龄结构的变动有突出的作用；死亡率的下降对老年人口上升的影响逐步加大；期初人口年龄结构构成对中国人口年龄结构变动有很大影响。乔晓春[5]（1999）认为，中国人口老龄化的根本原因是生育率的迅速下降和人均寿命的延长。乔晓春通过对人口老化模型研究认为，在分析人口老化影响因素时不能只看到出生率、死亡率，而看不到现实人口
年龄结构对人口老化的巨大作用。从现实看，年龄结构对人口老化的作用可能比出生率和死亡率的作用还要大（虽然历史上年龄结构最终也是由出生率和死亡率决定的）。过去往往只重视出生率、死亡率对人口老化的影响，而忽视了现实存在着的年龄结构的作用。由此可知杜鹏和曲海波研究的方法虽然不同，但是把人口年龄结构作为研究人口老龄化的影响因素是合理的。
在有关老龄化的预测方面，国内外学者从不同角度对预测模型进行了研究。Lutz [6]等建立年龄移算模型，通过设定不同综合生育率水平来预测总人口数；邱旭辉、吕盛鸽[7]通过格兰杰因果检验，建立V AR 模型来预测人口老龄化系数，他认为老龄化系数的变动趋势与老年人口基本同步。石琳，刘甜[8]通过建立微分方程人口控制模型，采用实际人口数据，利用MATLAB 数学软件和数值计算方法对中国人口增长趋势和年龄结构变化作出分析和预测，预计老龄化指数将在本世纪40年代形成老龄人口高峰平台，且中国老年人规模比例在迅速上升，但是该文只考虑了出生、死亡和迁移，没有考虑其他的因素。张柏琴[9]等利用最小二乘法构造了我国人口老龄化的二元回归预测模型，得到2005~2050年我国老龄化系数，并以此预测出我国老年人口数量多、老龄化速度快、高龄趋势明显的特点，但是该文根据经验模型，建立数学模型，用最小二乘法求得系数后，并未对各系数进行显著性检验。以上虽然用不同的方法来预测人口老龄化，但是结论有一个共同点，就是人口老龄化正在加速。
在对社会、经济等的影响方面，廖晓燕[10]认为人口老龄化会导致人口短缺和劳动适龄人口比率下降。郑勇[11]在其论文中指出，老龄化使医疗保障供给减少，支出增加，使养老金费用加大并使保险基金不堪重负。宁宇[12]等认为老龄化的加速会使疾病谱发生较大变化，大约80%的老年人口至少患有一种慢性疾病，包括呼吸系统疾病、脑血管疾病、恶性肿瘤和心脏病。但是李小平[13]认为中国人口老龄化恰恰是一件大好事，它会加速人均收入水平的提高，并将产生多方面有利的社会经济效果。人口老龄化是中国的福音，也是世界的福音。加速人口老龄化就是加速优化人口年龄结构，有助于提高老年保障水平。
二、模型构建前的准备
人口老龄化对国家的经济、医疗保险等政策都有一定的影响，一些学者通过
各种方法来研究人口老龄化程度，但由于数据来源不同，建立的模型不同，得出的结论也不完全相同。曲海波和杜鹏认为出生率、死亡率和人口结构是影响人口老龄化的主要因素，张柏琴、高孝成等认为时间对人口老龄化有影响。我们根据对文献资料的分析，并结合有关的统计资料数据，我们在下面建立统计模型分析人口老龄化问题时，着重考虑出生率、死亡率和人口结构、卫生总费用、人均GDP 、城市化水平和总育龄人数等有可能影响人口老龄化的因素。
根据前面的分析，在收集相关数据时，有些数据有所缺失，故做了以下的变量说明、预处理以及若干假设。
（一）数据的来源、变量说明和预处理
本文使用数据主要来自中国统计年鉴（2010）中1990~2009年的各项数据。由于60岁以上人口数和其占总人口比重难以统计，因此选取65岁及以上人口数和占总人口比重作为研究指标。考虑到前面所介绍的模型没有考虑外部因素的老龄化的影响作用，我们选取0~14岁人口数、14~64岁人口数、总人口数、出生率、死亡率、卫生总费用、人均GDP 、城市化水平和总育龄人数作为自变量。其中总育龄人数的数据来自人口与劳动绿皮书[13]。
y 1表示我国各年65岁及以上人口总数（万人）
y 2表示我国各年老龄化系数——65岁及以上人口占总人口的比重（%） x 1表示我国各年0~14岁人口总数（万人） x 2表示我国各年15~64岁人口总数（万人）
x 3表示我国各年总人口数（万人）
x 4表示我国各年人口出生率（%）
x 5表示我国各年人口死亡率（%） x 6表示我国各年人口自然增长率（%）
x 7表示我国各年医疗卫生水平——卫生总费用（亿元） x 8表示我国各年人均GDP （元）
x 9表示我国各年城市化水平——城镇人口占总人口的比重（%） x 10
表示我国各年总育龄妇女人数（亿人）
考虑到65岁及以上人口总数、65岁及以上人口占总人口的比重、0~14岁人口总数、15~64岁人口总数在1991年到1994年有缺失，总育龄妇女人数在2006年到2009年有缺失，卫生总费用在2009年也有缺失，故分析时利用线性趋势法和线性插值法对缺失值进行替换。 （二）若干假设
在对影响老年人口数和老龄化系数变化的因素进进行分析时，用到了相关分析和回归分析的方法，因此，对一些变量做如下假设：
（1）对于有缺失值的解释变量矩阵，我们通过SPSS 软件进行替换缺失值，假设经过填补的数值能够正确地反映发展趋势；
（2）各影响因素均服从正态分布； （3）选取的样本间相互独立；
（4）随机干扰项 i 服从均值为零的正态分布。
三、人口老龄化模型的构建与求解
（一）相关分析 1、相关分析简介
“相关”是指两个测量点数据或随机变量的波动方式是否一致[14]。相关分析主要研究的是两个变量之间的不准确、不稳定的线性关系，这种关系即称为相关关系。要考察两个变量之间的线性关系，就要从两个方面来分析，一是相关的强度；二是相关的方向。
在实际中，我们通常采用相关系数r 来判断两个随机变量之间的线性相关关系，它的取值范围在-1~+1之间。从r 的正、负号以及绝对值的大小可以表示两个变量的变化方向及密切程度。正号表示变化方向一致，即正相关；负号表示变化相反，即负相关。r 的绝对值表示两个变量之间的相关强度，绝对值越接近于
1，表示两个变量的关系越密切越接近于0，则表示两个变量之间的关系越不密切。
2、相关分析的分析结果
利用SPSS 软件对各个变量进行相关分析，从x 1~x 10中找出对y 1，y 2有影响的因素，结果见表一。
表一：Pearson 相关系数矩阵
从表一中可看出，x 5对y 1、y 2的影响不显著，其他自变量对y 1、y 2的影响显著，所以接下来的分析中，只考虑x 1，x 2，x 3，x 4，x 6，x 7，x 8，x 9和x 10对
y 1、y 2的影响作用。
（二）回归分析及多元线性回归模型
回归分析起源于生物学研究，是由英国生物学家兼统计学家高尔顿研究遗传学特征时首先提出，并在其1889年发表的著作《自然的遗传》中提出了回归分析，此后很快应用到经济学领域来。回归分析是处理变量x 与y 之间的关系的一种统计方法和技术，它研究的主要是回归模型的参数估计、假设检验、模型选择等理论和有关计算方法。根据
设随机变量y 与一般变量x 1，x 2，…，x p 的线性回归模型为
y t =β0+β1x t 1+β2x t 2+ +βp x tp +εt （1）
其中，β0，β1，…，βp 是p +1个未知系数，β0称为回归常数，β1，…，βp 称为回归系数。 1、回归参数的估计
对于矩阵形式表示的多元回归模型y =X β+ε，所谓最小二乘法，就是寻找参数β0，β1，…，βp 的估计值
n
∧
β0
，
∧
β1
，…，
2
∧
β
p
，使离差平方和
∧
Q (β0, β1, , βp ) =
i =1
∧
(y i -β0-β1x i 1-β2x i 2-βp x ip )
达到极小，即寻找β0，β1，…，
∧
β
p
满足
∧
∧
∧
n
Q (β0, β1, , βp ) =
∑(y
i =1
∧i
∧∧2
∧
-β0-β1x i 1-β
n
x i 2- -β
p
x ip )
2
2
=
∧
∧
β0, β1, β2, , βp
min
∑(y
i =1
i
-β0-β1x i 1-β2x i 2- -βp x ip )
（2）
依据（2）式求出的β0，β，…，βp 就称为回归参数β0，β1，…，βp 的最小二
1
∧
乘估计。
这些回归参数应满足下列方程组
⎧∂Q ⎪⎪∂β0⎪∂Q ⎪⎪∂β1⎪
⎨∂Q
⎪∂β
2
⎪⎪⎪∂Q ⎪⎪∂βp ⎩
n
∧
=-2∑(y i -β0-β1x i 1-β
∧∧∧∧
2
x i 2- -β
∧
p
x ip ) =0x ip ) ⋅x i 1=0x ip ) ⋅x i 2=0
β0=β
i =1n
∧
=-2∑(y i -β0-β1x i 1-β
i =1n
∧∧∧
2
x i 2- -β
∧
2
p
β1=β1
∧
=-2∑(y i -β0-β1x i 1-β
2
∧∧∧
x i 2- -β
（3）
p
β2=β
i =1
n
∧
=-2∑(y i -β0-β1x i 1-β
i =1
p
∧∧∧∧
2
x i 2- -β
p
x ip ) ⋅x ip =0
βp =β
以上方程组经整理后，得用矩阵形式表示的正规方程组X '(y-X β) =0，移项得
'X X β=X 'y 。当(X 'X
)-1存在时，即得回归参数的最小二乘估计为
)-1X 'y （4）
β=(X 'X
称
y =β0+β1x 1+β2x 2+ +βp x p （5）
为经验回归方程。
2、回归方程的显著性检验 （1）F 检验
n
n
i
它利用总离差平方和的分解式，即
∑(y
i =1
-y ) =
2
∑
i =1
2
(y i -y ) +
n
∑(y
i =1
i
2-y i )
，
简写为SST=SSR+SSE。构建F 统计量如下
F =
SSR /p SSE /(n -p -1)
~F α(p , n -p -1) （6）
当F >F α(p , n -p -1) 时，拒绝原假设H 0，认为在显著性水平α下，y 对x 1，
x 2，…，x p 有显著的线性关系，也即回归方程是显著的；反之，当
F ≤F α(p , n -p -1) ，则认为回归方程不显著。
（2）回归系数的显著性检验
由于如下：
2-1β~N (β, σ(X 'X ) )
，记(X 'X )=(c ij ) ，i , j =0, 1, 2, , p 。构造t 统计量
-1
t j =
β
j
c jj σ
（7）
其中
σ=
1n -p -1
n
∑
i =1
e i
2
=
1n -p -1
n
∑
i =1
2
(y i -y i ) （8）
是回归标准差。
当t j ≥t α/2时拒绝原假设H 0j ，认为βj 显著不为零，自变量x j 对因变量y 的线性效果显著；当t j
利用样本决定系数R 2的大小进行拟合优度检验，决定系数R 2反映了因变量的变异中能用自变量解释的比例。
n
R
2
=
SSR SST
∑
=
i =1n i =1
2(y i -y )
（9）
i
∑(y
-y )
2
其数值在0~1之间，如果决定系数R 2越接近于1，说明因变量不确定性的绝大部分能由回归方程解释，即回归方程的拟合优度就好；反之，如果R 2不大，说明回归方程的效果不好，应进行修改，可以考虑增加新的变量或者使用曲线回归。 3、多元线性回归分析的输出结果分析
根据相关分析的结果，虽然能够说明哪些因素对老龄化系数和老年人口总数产生影响，但由于变量间存在共线性现象，难以解释到底是哪几个变量的变化引起了这两项指标的改变，因此分别建立关于y 1与x 1，x 2，x 3，x 4，x 6，x 7，x 8，
x 9，x 10
和y 2与x 1，x 2，x 3，x 4，x 6，x 7，x 8，x 9，x 10之间的回归方程，其
间采用逐步回归方法剔除不显著的变量，用方差扩大因子法消除变量间的共线性
并用迭代法消除自相关，得到的输出结果见表二。
表二：模型的输出结果
表三：Spearman 等级相关系数矩阵
从表二的输出结果可以看出，模型通过了F 检验和T 检验，也有较高的拟合优度。根据回归方程所得到的等级相关系数见表三，这些结果说明模型中不存在多重共线性、自相关和异方差，说明模型拟合效果较好。因此，我们最终得到可用
于预测的模型为：
（1）预测老年人口总数的模型：
y 1=-3. 362x 1+34. 814x 10 （10）
（2）预测老龄化系数的模型：
y 2=-3. 746x 1+23. 751x 10 （11）
（三）老年人口总数和老龄化系数的预测
从回归分析中，我们得出人口年龄结构和育龄妇女人数对老年人口总数和老龄化系数的影响显著，并给出了相应的预测模型。若要预测老年人口总数和老龄化系数，就必须先预测出其后若干年的人口年龄结构和育龄妇女人数的变化。我们通过灰色数列来预测这两个变量的变化情况。
1、灰色数列预测简介
灰色数列预测模型[15~18]（Grey Dynam-ics Model, GM）是以时间序列性为基础，用数列建立方程，将无规律的原始数列经过转换，使之成为较有规律的生成数列后再建模的一种预测方法。
设由n +1个原始数据组成的原始数列为X t (t =0, 1, 2, , n ) ，其模型的建立步骤如下：
1、累加生成
通常原始数据呈现离乱现象，灰色理论将无规律的原始数据按（12）式累加生成，使其变为较有规律的生成数列Y t 。
t
Y t =
∑X （t =0, 1, 2, n ) （12）
i
i =0
2、移动平均数生成
对累加生成数据Y t 按（12）式作移动平均数生成Z t 。 Z t =
12
(Y t -Y t -1)
(t =1, 2, , n ) （13）
3、建立GM （1,1）模型
Y t 的一阶线性微分方程：
d Y t dt
+αY t =μ （14）
此式即为GM(1,1)模型，按微分方程的求解方程得到： Y t =(X 0-
μα
) e
-αt
+
μα
（t =0, 1, 2, n ) （15）
式中X 0为初始时刻（t =0时）的原始数据，μ、α为待定系数，根据最小二乘法估计参数向量，按矩阵运算法则得到其表达式为：
n n
⎡n ⎤α=⎢(∑X t )(∑Z t ) -n (∑Z t X t ) ⎥/D
t =1t =1⎣t =1⎦
（16）
n n n
⎡n ⎤2
μ=⎢(∑Z t )(∑X t ) -(∑Z t )(∑Z t X t ) ⎥/D
t =1t =1t =1⎣t =1⎦
（17）
n
2
t
n
其中D =n (∑Z ) -(∑Z t ) 2
t =1
t =1
4、计算
X t 的估计值X t X t =Y t -Y t -1
(t =1, 2, , n ) （18）
5、计算后验差比值C 和小误差概率p
若数列X t 和残差数列δt =X t -X t (t =1, 2, , n ) 的标准差分别为s 1和s 2：
n
n
∑(X
s 1=
t =1
t
-X )
2
∑
（其中X =
t =1
X t n
n
n
） （19）
n
∑(δ
s 2=
t =1
t
-δ)
2
∑δ
（其中δ=
t =1
t
n n
） （20）
则C =s 2/s 1，p =p δt -δ
∑k （其中K 为∑n
t
-δ
总倒数）。一般来说，C 值越小，P 值越大，则模型的精度就越高。
6、外推预测
根据C 、P 值的计算结果，按表四的方法进行预测精度的等级判定。若预测精度的等级达到一定要求，可按下式进行外推预测：
X t =Y t -Y t -1
（t =n +1, n +2, , n +k ） (21)
表四 预测精度的等级判定
Degree of predicted presion Good Eligible Basic eligibility Disqualification
P >0.95 >0.8 >0.7 ≤0.7
C
从GM(1，1) 模型的外推预测可以看出，P 值比较大，C 值比较小，说明用该模型预测2010~2050年的我国各年0~14岁人口总数和各年总育龄妇女人数精度是较高的。
2、模型的预测结果
在Excel 中输入原始数据，即1990~2009年的0~14岁人口总数和育龄妇女人数及对应的年份，分别计算出这两个变量的变化情况，将得到的数据分别代入已给出的回归方程（10）及（11），即得到2010~2050年的老年人口总数和老龄化系数如表五。从表五中可以看到未来40年内，中国的人口老龄化将一直保持上升趋势。从1990年到2009年，以及预测的数据可以看出，老年人口总数和老龄化系数有递增的趋势，为了有效减少老年人口总数和降低老龄化系数，国家应该制定相关法律，采取相应措施，主要严格控制我国各年0~14岁人口总数我国各年总育龄妇女人数这两个显著影响人口老龄化的因素，当然也要适当注意其他影响因素。
表五 我国2010~2050年老年人口总数及老龄化系数
年份
老年人口总数（万人） 老龄化系数（%） 年份
老年人口总数（万人） 老龄化系数（%）
2010 11725.2 8.68 2035 24330.8 14.99
2015 13568.4 9.68 2040 28155.5 16.73
2020 15701.3 10.80 2045 32581.4 18.67
2025 18169.5 12.04 2050 37703.1 20.82
2030 21025.6 13.44
四、模型评价及政策建议
根据前面的统计分析可知，显著影响人口老龄化程度的因素是0~14岁人口总数和总育龄妇女人数，且从模型（10）与（11）得到进一步的结论：随着0~14岁人口总数的增加，老年人口总数和老龄化系数会减少；随着育龄妇女人数的增加，老年人口总数和老龄化系数会增加。从表一的相关性分析结果可以看出x 2，x 3，x 4，x 6，x 7，x 8，x 9与x 1和x 10存在线性相关，所以15~64岁人口总数、总人口数、人口出生率、城市化水平、人口自然增长率、卫生总费用、人均GDP 、人口死亡率对老年人口总数和老龄化系数会的影响是间接通过0~14岁人口总数和龄妇女人数体现出来。
我们用灰色数列模型预测了2010~2050年0~14岁人口总数和育龄妇女人数，进而对老年人口总数和老龄化系数进行预测，这样会对预测的准确度有一定的影响。
由于找到的数据中间有部分缺失，通过缺失值替换，存在一定的误差，从而一定程度上影响了数据的可靠性；由于时间仓促，本文选用的是65岁及以上人口总数作为老年人口总数。一般情况下，我国实行的是60岁退休制，因此，如果采用60岁及以上人口总数为老年人口总数，会使模型更有实际意义。
从得出的预测数据可以看出，从2010~2050年，我国老年人口总数和老龄化系数有逐年递增的趋势，从回归方程（10）及（11）可知，要有效地减少时刻
t 的老年人口总数和降低老龄化系数，需增加t 时刻
0~14岁人口总数和减少总育
龄妇女人数，而现有的总育龄妇女人数是无法改变的，且t 时刻0~14岁人口总数直接影响了t 时刻后若干年的育龄妇女人数，因此，建议国家对目前的计划生育政策作出相应的调整，增加0~14岁人口总数，从而减缓我国的人口老龄化程度。进而优化社会结构，减少社会矛盾，增加人民福利。
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附录
附录A. 原始数据：