数形结合思想方法在教学中的应用
——记“解一元二次不等式”教学
上海市第二中学 朱真佶
数学思维从属于一般的人类思维，但在诸方面有其自身的特点。数学思维是数学科学与思维科学高度融合的产物。数学思维是关于数学对象的理性认识过程。一般来说，数学思维就是数学活动中的思维，更确切地说，数学思维是人脑和数学对象交互作风，并借助数学语言以抽象和概括为特点，对客观事物的数学结构和模型的间接概括的反映。
高中阶段的数学学习，是培养和发展学生数学思维的重要时期，最为一名高中数学教师，我也一直在朝着培养学生思维的道路摸索和前进。这次重回大学课堂，听了张院长的“数学方法论”，尤其是其中的“数学思维、数学中的非逻辑思维与创造性思维”这两个部分的内容，让我不禁联想自己的教学实践，受益颇多。
在数学思想中，有一类思想是体现基础数学中的具有奠基性和总结性的思维成果，这些思想可以称之为基本数学思想。中学阶段的基本数学思想包括：分类讨论的思想、数形结合的思想、变换与转化的思想、整体思想、函数与方程的思想、抽样统计思想、极限思想等等。中学数学教学中处处渗透着基本数学思想，如果能使它落实到学生学习和运用数学的思维活动上，它就能在发展学生的数学能力方面发挥出一种方法论的功能。在这些数学思想方法中数形结合思想是一种很重要的方法，它贯穿于整个中学数学的教学课程。
下面，我就“数形结合”这一数学思维方法在“解一元二次不等式”教学中的应用谈谈我的体会。
我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离。” 数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。
复习与引入：
初中阶段对于一元二次函数y =ax +bx +c (a ≠0) 的学习，主要就是通过“以数解2
形”，通过研究函数解析式中的字母a , b , c 对图像的影响来研究函数的各种性质，包括函数的开口方向，函数与x 轴的位置关系，函数的对称轴以及顶点坐标等等。学生能够比较熟练地掌握二次函数的图像，也具备基本的分析图像的能力。
在本节课开始之初，我便带领学生一起复习回顾了二次函数的图像以及基本性质。随后抛出了第一个问题：如何通过研究函数图像来得出一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 根的情况？这与学生以往接触到的有关一元二次方程根的情况有所不同，以往只要求学生学会求解一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) ，在判别方程是否有实数根之后，通过因式分解法、求根公式法等不同方法将一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 的根求出。换言之，只是单纯计算，并不要求联系函数图像。
通过对图像的分析，学生发现二次函数与二次方程有着密不可分的联系：（这里仅以a >0为例进行说明）
这个问题旨在通过简单而又熟悉的内容，把“数”的问题转化为形状的性质去解决，具有直观性，易于理解与接受，带领学生接触“以形助数”这样一种数形结合的思想方法，领略数学思维方法的精妙。
新知识教学
在复习与引入的过程中，学生已经复习巩固了二次函数图像和性质，同时也初步感受了数形结合带来的思维上的便捷，也为接下来研究一元二次不等式的解集提供了新的思路和方法。接着抛出第二个问题：如何通过研究函数图像来得出一元二次不等式
ax 2+bx +c >0(a ≠0) 、ax 2+bx +c
通过前面的复习，学生对于运用数形结合来分析问题有了直观的认识，对于这样一种研究问题的新方法充满了好奇，同时经过复习时的板书演示讲解，学生能够模仿前一个问题的分析思路和方法，通过观察二次函数图像的不同特征，简单运用数形结合分析不等式的解集和二次函数图像之间的关系，并且得出如下结论：（这里仅以a >0为例进行说明）
2同理可以比较容易让学生自行得出关于一元二次不等式ax +bx +c >0、
ax 2+bx +c
在这个过程中，学生对于数形结合这个方法有了最基本的了解，也学会使用数形结合解决一些常见问题。让学生经历在函数中把数量关系的问题转化为图形特征的问题的探索过程，时刻体会数与形的密切联系，充分应用到解决问题的过程中，发展数形结合意识、掌握数形结合思想。
这是本节课的重点之所在，利用图形，结合实际例子，更好的引入概念，进行知识讲解；在讲解知识方法时，充分揭示数形结合思想，使学生置身于具体直观的环境中，经历直观图形、形象概括、本质抽象的过程，充分享受数形结合的好处，既深化了对数学问题的认识，又掌握了新知识，也加深了对数学学习的兴趣。
应用与巩固
现代学习理论要求学习的目标之一是学生能够做到举一反三，能够运用所学知识解决类似或同类课题。我认为数学的应用往往也是一种知识同化的过程，是在一定背景下的下位学习过程。
在学生理解了二次不等式的解集后，我接着让学生加以应用和熟练，力争熟练掌握二次不等式的解法。同时更进一步，利用数形结合解决二次函数“大于0”、“小于0”恒成立等问题，对知识进行加深强化。
⎧a >0得出：一元二次不等式ax +bx +c >0恒成立的充要条件：⎨； 2∆=b -4ac
一元二次不等式ax +bx +c ≥0恒成立的充要条件：⎨2⎧a >0； 2⎩∆=b -4ac ≤0
⎧a
⎧a
数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想
分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围
总之，在教学中要注重数形结合思想方法的培养，在培养学生数形结合思想的过程中, 要充分挖掘教材内容, 将数形结合思想渗透于具体的问题中, 在解决问题中让学生正确理解 “数”与 “形” 的相对性, 使之有机地结合起来。当然, 要掌握好数形结合的思想方法并能灵活运用, 就要熟悉某些问题的图形背景, 熟悉有关数学式中各参数的几何意义, 建立结合图形思考问题的习惯, 在学习中不断摸索, 积累经验, 加深和加强对数形结合思想方法的理解和运用。用数学思想指导知识，方法的灵活运用，培养思维的深刻性、抽象性；通过组织引导对解法的简洁性的反思评估、不断优化思维品质、培养思维的严谨性、批判性。丰富的合理的联想，是对知识的深刻理解及类比、转化、数形结合、函数与方程等数学思想运用的必然。 数学方法、数学思想的自学运用往往使我们运算简捷、推理机敏，是提高数学能力的必由之路。“授之以鱼 ,不如授之以渔” ，方法的掌握、思想的形成 ,才能最终使学生受益终生。
数形结合思想方法在教学中的应用
——记“解一元二次不等式”教学
上海市第二中学 朱真佶
数学思维从属于一般的人类思维，但在诸方面有其自身的特点。数学思维是数学科学与思维科学高度融合的产物。数学思维是关于数学对象的理性认识过程。一般来说，数学思维就是数学活动中的思维，更确切地说，数学思维是人脑和数学对象交互作风，并借助数学语言以抽象和概括为特点，对客观事物的数学结构和模型的间接概括的反映。
高中阶段的数学学习，是培养和发展学生数学思维的重要时期，最为一名高中数学教师，我也一直在朝着培养学生思维的道路摸索和前进。这次重回大学课堂，听了张院长的“数学方法论”，尤其是其中的“数学思维、数学中的非逻辑思维与创造性思维”这两个部分的内容，让我不禁联想自己的教学实践，受益颇多。
在数学思想中，有一类思想是体现基础数学中的具有奠基性和总结性的思维成果，这些思想可以称之为基本数学思想。中学阶段的基本数学思想包括：分类讨论的思想、数形结合的思想、变换与转化的思想、整体思想、函数与方程的思想、抽样统计思想、极限思想等等。中学数学教学中处处渗透着基本数学思想，如果能使它落实到学生学习和运用数学的思维活动上，它就能在发展学生的数学能力方面发挥出一种方法论的功能。在这些数学思想方法中数形结合思想是一种很重要的方法，它贯穿于整个中学数学的教学课程。
下面，我就“数形结合”这一数学思维方法在“解一元二次不等式”教学中的应用谈谈我的体会。
我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离。” 数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。
复习与引入：
初中阶段对于一元二次函数y =ax +bx +c (a ≠0) 的学习，主要就是通过“以数解2
形”，通过研究函数解析式中的字母a , b , c 对图像的影响来研究函数的各种性质，包括函数的开口方向，函数与x 轴的位置关系，函数的对称轴以及顶点坐标等等。学生能够比较熟练地掌握二次函数的图像，也具备基本的分析图像的能力。
在本节课开始之初，我便带领学生一起复习回顾了二次函数的图像以及基本性质。随后抛出了第一个问题：如何通过研究函数图像来得出一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 根的情况？这与学生以往接触到的有关一元二次方程根的情况有所不同，以往只要求学生学会求解一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) ，在判别方程是否有实数根之后，通过因式分解法、求根公式法等不同方法将一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 的根求出。换言之，只是单纯计算，并不要求联系函数图像。
通过对图像的分析，学生发现二次函数与二次方程有着密不可分的联系：（这里仅以a >0为例进行说明）
这个问题旨在通过简单而又熟悉的内容，把“数”的问题转化为形状的性质去解决，具有直观性，易于理解与接受，带领学生接触“以形助数”这样一种数形结合的思想方法，领略数学思维方法的精妙。
新知识教学
在复习与引入的过程中，学生已经复习巩固了二次函数图像和性质，同时也初步感受了数形结合带来的思维上的便捷，也为接下来研究一元二次不等式的解集提供了新的思路和方法。接着抛出第二个问题：如何通过研究函数图像来得出一元二次不等式
ax 2+bx +c >0(a ≠0) 、ax 2+bx +c
通过前面的复习，学生对于运用数形结合来分析问题有了直观的认识，对于这样一种研究问题的新方法充满了好奇，同时经过复习时的板书演示讲解，学生能够模仿前一个问题的分析思路和方法，通过观察二次函数图像的不同特征，简单运用数形结合分析不等式的解集和二次函数图像之间的关系，并且得出如下结论：（这里仅以a >0为例进行说明）
2同理可以比较容易让学生自行得出关于一元二次不等式ax +bx +c >0、
ax 2+bx +c
在这个过程中，学生对于数形结合这个方法有了最基本的了解，也学会使用数形结合解决一些常见问题。让学生经历在函数中把数量关系的问题转化为图形特征的问题的探索过程，时刻体会数与形的密切联系，充分应用到解决问题的过程中，发展数形结合意识、掌握数形结合思想。
这是本节课的重点之所在，利用图形，结合实际例子，更好的引入概念，进行知识讲解；在讲解知识方法时，充分揭示数形结合思想，使学生置身于具体直观的环境中，经历直观图形、形象概括、本质抽象的过程，充分享受数形结合的好处，既深化了对数学问题的认识，又掌握了新知识，也加深了对数学学习的兴趣。
应用与巩固
现代学习理论要求学习的目标之一是学生能够做到举一反三，能够运用所学知识解决类似或同类课题。我认为数学的应用往往也是一种知识同化的过程，是在一定背景下的下位学习过程。
在学生理解了二次不等式的解集后，我接着让学生加以应用和熟练，力争熟练掌握二次不等式的解法。同时更进一步，利用数形结合解决二次函数“大于0”、“小于0”恒成立等问题，对知识进行加深强化。
⎧a >0得出：一元二次不等式ax +bx +c >0恒成立的充要条件：⎨； 2∆=b -4ac
一元二次不等式ax +bx +c ≥0恒成立的充要条件：⎨2⎧a >0； 2⎩∆=b -4ac ≤0
⎧a
⎧a
数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想
分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围
总之，在教学中要注重数形结合思想方法的培养，在培养学生数形结合思想的过程中, 要充分挖掘教材内容, 将数形结合思想渗透于具体的问题中, 在解决问题中让学生正确理解 “数”与 “形” 的相对性, 使之有机地结合起来。当然, 要掌握好数形结合的思想方法并能灵活运用, 就要熟悉某些问题的图形背景, 熟悉有关数学式中各参数的几何意义, 建立结合图形思考问题的习惯, 在学习中不断摸索, 积累经验, 加深和加强对数形结合思想方法的理解和运用。用数学思想指导知识，方法的灵活运用，培养思维的深刻性、抽象性；通过组织引导对解法的简洁性的反思评估、不断优化思维品质、培养思维的严谨性、批判性。丰富的合理的联想，是对知识的深刻理解及类比、转化、数形结合、函数与方程等数学思想运用的必然。 数学方法、数学思想的自学运用往往使我们运算简捷、推理机敏，是提高数学能力的必由之路。“授之以鱼 ,不如授之以渔” ，方法的掌握、思想的形成 ,才能最终使学生受益终生。