玻色－爱因斯坦凝聚(BEC)探讨
成传明，龚 利，乔安钦
（郧阳师范高等专科学校，湖北 丹江口 442700）
【摘 要】近年来，有关玻色－爱因斯坦凝聚（Bose-Einstein Condensation简称 BEC）的实验和理论研究发展迅速，取得了一系列重大突破，Feshbach共振是BEC研究领域的热点。文章阐述了BEC的由来、BEC理论及形成条件，实验实现，探讨了BEC发展的广阔前景和超冷BEC凝聚体的应用。
【关键词】玻色－爱因斯坦凝聚(BEC)；Feshbach共振；原子激光 【中图分类号】O41
【文献标识码】A 【文章编号】1008-1151(2008)01-0158-03
黄克逊在这方面做了出色的工作。
上世纪80年代中期，激光冷却和原子捕陷的研究得到长足的进步，几个研究小组提出了冷却的碱金属原子可以形成只有很弱相互作用的BEC。在不断解决实现BEC的一系列技术难题后，1995年碱金属原子的BEC终于被实验实现了。7月13日，美国科罗拉多大学和国家标准局合办的实验天体物理
87
研究所将碱金属铷(Rb)蒸气冷却到170nK，观察到了BEC。8月底，休斯顿市Rice大学一个研究小组实现了7Li BEC。11月，麻省里工学院宣布，在23Na蒸气中实现了BEC。1998年自旋极化氢原子气体的BEC也被观察到。这使人们对量子简并气体的BEC研究进入了一个全新的阶段。为此，科罗拉多大学和国家标准局实验天体物理研究所的美国物理学家埃里克·康奈尔、卡尔·维曼和麻省理工学院的德国科学家沃尔夫冈·克特勒获得了2001年诺贝尔物理学奖。
我国科技工作者在BEC研究方面也取得了可喜的成就。 中国科学院上海光机所王育竹院士研究组、台湾国立中正大学物理系的韩殿君研究组、北京大学电子学系陈徐宗和王义遒研究组、山西大学量子光学与量子器件国家重点实验室张靖研究组分别于2002年3月、2003年9月、2004年3月、2007年7月在实验上实现了87Rb原子的BEC。
2006年夏天，凝聚态物理又带给大家一个“高温”捷报。有两支独立的研究小组分别在Nature发表文章报告，他们在比以往高得多的温度条件下得到了BEC。其中一个研究小组得到的BEC的温度是19K，文章索引号是443409，而另外一个研究组居然宣布他们在室温下观察到了BEC！文章索引号是443430。当然，立刻就有很多人置疑他们观测到的东西是否是真正的BEC。
（一）BEC的由来及实验实现
1924年，印度物理教师玻色用光子的状态计数，试图不依赖经典电动力学推导出了普朗克（黑体辐射）公式的系数
3
8πν2。爱因斯坦意识到玻色工作的重要性，立即着手研究这一问题，于1924年和1925年发表了两篇论文，将玻色对光子的统计方法推广到某类原子，并预言当这类原子的温度足够低时，所有的原子就会突然聚集在一种尽可能低的能量状态，这就是BEC。
早在1905年，爱因斯坦在关于光电效应的著名论文中，第一次把普朗克的“能量子”概念推广到光。玻色推导的关键是用光子状态计数，而不是用光子计数。爱因斯坦就是把状态计数的思想用到组成理想气体的原子，指出遵从这种统计的气体将在一定的转变温度下发生凝聚，部分原子将落人动能为零的最低量子态，其他原子则组成“饱和理想气体”。当时两种量子统计的存在、统计同多粒子波函数在粒子交换下对称性的关系以及对称和自旋的关系等都尚未认识，相变也没有被作为一类深刻的物理问题，所以人们自然就意识不到BEC乃是首次由统计物理学推出的一种相变现象。
在自然界中，粒子分为玻色（Bose）子和费米(Fermi)子，自旋为整数的粒子，如光子、π介子和α粒子是玻色子，玻色子服从玻色－爱因斯坦统计；自旋为半整数的粒子，如电子、质子、中子和μ介子是费米子，费米子服从费米－狄拉克统计。当时人们也不知道到哪里去寻求这类凝聚现象，直到1938年，法国的伦敦把超流态液氦和超导现象看作是BEC的凝聚体系。不过这两类现象发生在强相互作用的体系中，后来才知道，超流液氦中只有约10%的原子凝聚。超导与BEC的关系要经过电子配对，涉及更复杂的相互作用。由于粒子间强相互作用而导致BEC相变的纯量子统计特性复杂化，很难看成是纯的BEC。这种情况促使人们去寻求在稀薄的、弱相互作用下的玻色气体中实现BEC。1959年有人提出自旋极化氢原子气体可能是BEC的候选者。1980年，氧化亚铜中的激子被提出，经过10多年的努力，1993年在实验上观察到了激子的BEC现象。由于复杂的相互作用过程，BEC特性仍然得不到很好的研究。在上世纪50年代，物理学家们发展了很多弱相互作用玻色系统的理论，华人物理学家杨振宁、李政道和
（二）玻色－爱因斯坦凝聚
设在体积为V的容器中存在有N个全同近独立的玻色子组成的气体，讨论BEC就是分析在不同温度下玻色子在不处于能级为εi的粒子数ni同能态的分布。在已知温度T时，遵守玻色－爱因斯坦统计分布，即
【收稿日期】2007-11-29
【作者简介】成传明（1971－），男，郧阳师范高等专科学校物理与电子工程系讲师，理学硕士，主要从事热力学与统计物理、大学物理等课程的教学与研究工作。 - 158 -
ni=
ωi
e+i−1
=
ωi
e(i−)kT−1
(i=0,1,2,3,⋅⋅⋅) （1）
其中μ为粒子的化学势，k为玻耳兹曼常数，ωi为粒子分布的简并度，则系统的总粒子数为：
∫
∞
xdε=⋅2.612 （8）
2ex−1
（
1
2
可得对给定的粒子数n，临界温度Tc为
N=∑ni=∑
ωi
e(εi−μ)−1
（2）
h2n3
Tc=( （9）
2πmk2.612
如果进一步降低温度，使T
2
分布函数表明，在外参量固定时，εi，ωi不随温度T变化，为找出ni随T的变化规律，需要知道μ随T如何变化，因为分布的粒子数ni
≥0，ωi又不可能为负，所以必然有
(i=0,1,2,3,⋅⋅⋅) （3）
∂μ∂T
式得出，n随温度的下降而减少，这就与粒子数守恒相矛盾。 问题出在由求和到积分的转换中，将最低能级ε子数N0忽略了。
在μ
e(εi−μ)>1
因此有μ就有μ
=0上的粒
ε2dε
e(ε−μ)
kT
化学势必然低于任何能级的能量。当取ε0为能量的零点时，
→0的条件下，ε→0时的积分
∫
∞
−1
在给定粒子数n=N的情况下，依据粒子数恒定的
ωi1N
==n （4） ∑Ve(εi−μ)−1V
的被积函数为
条件，有
不定式，由洛必达法则求其比值为零，因此0
N0=0。在温度足够高时，处在ε=0的粒子数与总粒子
数相比是一个可忽略的小量，当T粒子向最低能级集聚，到T
从式中可看出μ是T及粒子数密度n的函数，其中的
≤Tc时，随着温度的降低
时，所有粒子都集聚到最
εi和ωi都与温度T无关。那么在粒子数密度n给定的情况
下，温度愈低，上式确定的μ必然升高，就是μ的绝对值减小。玻色气体的化学势随温度的减小而增加（∂μ∂T
对于宏观的玻色气体，其能级可近似认为是连续变化的，
=0K
低能级上。在足够低的温度下，玻色气体在最低能级上的粒子数不能忽略，上面的积分只能代表ε和，因此，在T
>0各能级粒子数的
2π
(2m)h3
32
→0时，e−μkT→1，则在计算粒子数密度n的求和中可用积分代替。在ε→ε+dε变化范围内，自由玻色子的可能状态数ω(ε)dε为：
31
2πV
ω(ε)dε=3(2m)2ε2dε （5）
当μ
n(T)=n0(T)+
∫
∞
eεkT−1
εdε （10）
12
n0(T)是在温度为T时，处在ε=0上的粒子数密度，第二项为处在激发能级ε>0的粒子数密度nε>0，式中μ已经
取0。
现在计算nε>0，作代换x
h
则粒子数密度的积分表达式为：
∞εdεN2π2 n= （6） =3(2m)∫εkTC0Vhe−1
3
1
2
=εkT，则
1
nε>0
33
∞εdε∞x2dx2π2π 22=3(2m)∫ε=3(2m)(kT)2∫x00e−1hhe−1
（11）
3
1
2
积分式中的Tc表示化学势开始变为零时的温度，也就是临界温度，对积分作变量代换，令x为：
将（11）式与（7）进行比较可得出：
=εkTc，则积分可化
nε>0T
=(nTc
2
n=
N2π
=3(2mkTc)Vh
3
2
∫
∞
xdε （7） ex−1
12
n0(T)=n[1−(
由（12）式知，当T
T32
)] （12） Tc
由积分公式：
0，粒子凝聚在
- 159 -
动量、能量、压强为零的基态，出现 BEC。和水蒸气在坐标空间的凝结不同，BEC是在动量空间的“凝结”。当T
=0K
时，就会形成比较纯的凝聚体，所有粒子处在同一量子态，具有相同的相位，体系可用一个宏观的玻函数描述。BEC是一
种相变，Tc是转变温度，在T
N(Tc)2个粒子组成；另一相是凝聚相，由集聚在基态
32
的N−N(Tc)个粒子组成。
将（9）式的临界温度表达式进行一下变形得，
h2n3NTc=()=β0() （13）
2πmk2.612V
13，对于同样的温度T，我们定义一h2
其中β0=()
2πmk2.612
个临界密度nc，
n=(N)=2.612(2πmkT)3
cc2
2
2
2
Vh
=(
T
β0
3 （14）
由此可得形成BEC的条件为：
T
T
N2 （15） V
n>nc=(
β0
)3 （16）
即可以从两个途径实现BEC，一是降低系统的温度，使其低于给定密度下的临界温度，二是提高系统的粒子密度，使其超过给定温度下的临界密度。
将（9）式改写为用德布罗意波长和粒子数密度的关系：
λdbn=(2.612)=λdbn−=(2.612)
（17）
上式说明，当粒子的德布罗意波长λdb与粒子间的平均距离相近时，粒子的波包彼此重叠，体系表现为不可分辨的玻色气体，玻色子发生量子力学相变，在Tc时体系出现宏观粒子占据同一基态的状态，即发生BEC。
（三）BEC的发展及前景展望
BEC在实验上的进展，重新引起了物理学家们对BEC研究的广泛兴趣。在最近的十几年里，BEC领域一直是物理学中发展最快的一个领域，国内外已有大量的研究文章及实验结果发表。实验上实现了BEC之后，研究工作朝着两个方向发展。一方面是继续完善实验技术，实现稳定连续的物质波相干放大输出，以便开发新的应用领域，完善对凝聚体的检测手段。实验上的进展是惊人的，成果是丰硕的。自凝聚产生以来，完成了物质波干涉实验、原子激光的实现、物质波的四波混频、芯片BEC实验、更多元素的BEC得到了实验实现、分子BEC的实现、费米原子对凝聚体的实现等。另一方面是关注与BEC的相关基础理论研究。有关BEC理论的研究工作是大量而广泛的。自1995年起，就有大量的文章如系统温度、基态和 - 160 -
激发态、原子散射长度的突变、外势的作用、空间维数、粒
子的运动特性等各个方面对BEC现象做了不同的探讨和研究。由于求解弱相互作用下的玻色气体的非线形薛定谔方程的准确解析解较困难，所以就发展了多种近似计算和数值计算方法，如赝势法、自洽场方法、平均场方法、格林函数法、重整化群方法等。近期人们还致力于研究凝聚体的激发性质和相干性质，从而促进了原子物质波量子干涉效应－非线形原子光学的研究。
BEC只在玻色体系才能发生，对于费米体系，不会发生所有粒子全部占据基态的现象，它违背泡利不相容原理。如果费米子形成分子或结成费米原子对，体系变成玻色体系就可以形成BEC。目前研究费米原子组成的分子和费米原子对的BEC 的重要工具是Feshbach共振，Feshbach共振是通过调节加在系统上的磁场来达到的，在共振时可以任意调节原子之间的相互作用，使之成为吸引和排斥。利用Feshbach共振技术在实验上实现BEC是2004年物理学的重要成就之一。 Feshbach共振现象是BEC领域的一个热点，Feshbach共振技术也是目前国际物理学界研究多体物理学的有效工具，有望利用此方法解决多体物理学的普适性问题！
用Feshbach共振技术研究有强相互作用的玻色子气体和费米气体的超流态进展很快，竞争也非常激烈。热力学是普适的，理论上如何对相变温度、相变级次等这样的量子现象和低温效应做出解释，还没有找到正确的方法。幺正极限热力学是个典型的问题，但目前国际上还没有找到处理此问题的根本方法，传统的平均场理论和微扰近似都不能用， 所以对这个问题的处理变得非常迫切，竞争也异常激烈。华中师范大学陈继胜教授用经典汤姆孙问题求解幺正极限下的Fermi-Dirac系统的量子基态，得出了比较有趣的结果，和文献上的部分量子蒙特卡罗模拟和实验结果一样。把经典的方法用于处理量子统计的强相互作用无穷大问题，可能是一个较好的方法，这当然需要物理学界的普遍认可！
现在对有关BEC的许多基本问题认识还十分模糊，有些甚至还是个谜。如，凝聚态是如何形成的，粒子间的相互作用对凝聚体的性质是如何影响的，凝聚相变的特性，凝聚的超流性，凝聚体与光的相互作用，凝聚体对声速的作用等都还需要继续探讨。
BEC相对于通常物质，就好像激光光束相对于普通光束，它是一种相位相干态。处于这种状态下，量子力学的微观规律支配着一个宏观系统的行为。BEC的研究不仅广泛应用于物理学的众多领域之中，从超导到超流、从气态到固态、从金属到半导体、从核物理到中子星甚至高能物理。同时BEC对技术科学和应用研究，如高真空技术、激光稳频技术、激光频率精密控制技术、磁阱技术、射频技术、多路信号时序控制技术、集成原子光学、高精密测量、量子信息等都有着积极地推动作用。BEC在实验上的实现，开辟了研究宏观量子现象的新天地，并且由于原子的波长远小于光波的波长，可以将产生BEC的源扩大到不同的原子和其他组态，做出最亮的光源，一个真正原子激光。
现在最引人注目的理论化产业是原子激光，也就是类似于激光的相干原子束输出。以E.W. Hagley博士为首的美国国家标准与技术研究所激光研究组在组长——1997年诺贝尔物理学奖获得者W.D. Phillips博士的领导下，成功地研制出了世界上第一台全可控、可调谐的物质（下转第144页）
这既是发展学生主体性的需要，又使教师从一些繁琐的事务中解脱出来，把精力用在更好地提高教育效益上。
（三）要建立师生互动教育活动的新概念
转变传统的认识观念。教师和学生应该有平等的地位。学生是知识的需要者和接受者。教师控制和操纵学生的学习活动。这样的活动过程是单向的，无平等可言。现代教学交往论认为：“教师和学生在知识面前是不平等的，但在人格上是平等的。因此，课堂教学是师生人生中一段主要的生命活动，是师生间的特殊交往活动。”据此提出“教学既相往”的教学本质观。我们认为要创设平等互助的教学情境，首先要重新认识教学的本质，这样才能真正实现师生之间的平等对话。所我们要建立民主平等的师生关系。但随着时代的进步与学生民主意识的增强，教师必然走下权威的金字塔顶，所以我们必须重视课堂上师生间的情感交流。教师要以乐教精神来启动学生的乐学兴趣。在教学中，教态要亲切，语言要有感染力，把微笑带进课堂，把激励带给学生，要不断激发学生的强烈求知欲，鼓励学生敢于发表自己的见解，激励学生克服学习中的困难，为学生的自主学习创设一种平等、民主、轻松、愉快的气氛。
对许多学校来说，要真正确立学生的主体地位，在师生之间建立民主平等、相互尊重的关系，要帮助学生克服一个障碍，这就是对权威的崇拜。这是的权威主要是指教师和教材。有了对教师和教材等权威的崇拜，学生在学校中体会更多的是服从，是不加批判地接受、模仿、学习，在其内心中便很难形成一种独立、自主、创新的意识和勇气。而一旦打破这种盲目的崇拜，学生的自信心、自主性和创造性就将会有一个质的飞跃，他们面前将出现一个崭新的广阔天地。打破对教师权威的崇拜是指学生不能迷信教师的权威，并不是说教师不需要威信和权威。教师威信的确立不能以损害学生的主体精神为代价，更不能采取高压强制等手段。教师的威信完全可以凭借自己的常识和人格，在与学生的平等交往中自然而然地形成。树立教师威信与提倡师生间的民主平等、
（上接第160页）波激光器，并成功地实现了世界上第一个物质波混频实验，不仅实现了物质波激光器研制领域的重大突破，并且也开创了一门崭新的现代化物理学研究领域：非线性原子光学。
原子激光的获得可望有效地提高现有原子钟的准确度：相干原子束的平均速度很低，有利于减小与多普勒效应有关的不准确度，同时原子的平均速率低，还可以有效的增加其与微波相互作用的时间、压窄谱线的宽度，这对于提高原子钟的准确度是有利的。高亮度、高相干性物质波将对半导体光刻技术提供理想的工具，可应用原子激光代替现行的用于微电子线路的感光印刷术，从而将大规模减小集成电路的尺寸，进而大规模提高计算机的速度，制造出更小更高效的计算机芯片。也可以将原子激光应用于测量用的干涉仪，这种干涉仪能比普通激光干涉仪精确得多，并对现有原子光学产生革命性的推进。
原子激光的另一个可能应用领域是纳米技术。目前，纳米技术是利用扫描隧道显微镜和原子力显微镜来搬运原子或光刻蚀的方法来产生微小的特征量。由于原子激光可以聚焦并且像普通激光一样准直，因此可望利用原子激光通过适当变换直接形成所需的花样。此外，原子激光具有明显的干涉效应，原 - 144 -
允许学生质疑，产不矛盾。
教师的教育应采用多种手段，采用多种教学方法，因材施教，最忌讳强行灌输和包办代替，教育最需要让学生学会自我教育，学生的知识是自己学到的，而不是老师灌进去的，多给学生提供独立思考的机会，让学生真正参与到知识的形成过程中去，从扶着学生一步步过河，到让学生趟着石头过河。学生的能力、品德孔是自己练出来的，而不是老师教会的。所以教师可以运用分层教学、个别指导等方法，在课堂上讲得很少，但是他抓住了最关键的部分，引导学生自己去思考、去练习。这就好像为学生搭建了很好的舞台，让学生尽情地去表演，教师自己则从台上走到台下，甚至走到幕后。越是学习比较差的学生，越是不能进行单向灌输，因为灌输不可能从根本上解决这些学生学习困难的问题，帮其找到适合个人的学习方法，方为上策，如果能做到：分对象，抓关键，教方法，激情意，那我们一定能收到良好的教育效果。
从教育的目的来理解主体性教育思想，可以把它界定为“发展学生的整体素质，培养学生的主体型人格”，主体精神的培育和解放，需要有一个比较宽松的、个性化的、富有激励性的环境，要给学生留下自主选择和自主发展的空间。然而限于种种客观条件，目前要完全达到这样的要求是非常困难的。但这也是我们教师在教育过程中以此作为一种努力的方向。
【参考文献】
[1] 邢永富.现代教育思想.中央广播电视大学出版社. [2] 孙喜亭.“人的主体性内涵与人的主体性教育”《教育研
究》.
[3] 陈理宣.主体教育思想研究述评.山东师大学报:社会科
学版,1999(5).
[4] 童康,皮文彬.当代国外教师教育的发展趋势[J].教学与
管理,2002.
子本身又具有非零静质量、有自旋和内能态等特点，因此原子激光还可以极大地提高重力加速度及其变化和其他一些物理常数地测量精度。相信BEC的实现和由此产生的相干原子激光，必将给未来的科学技术带来丰富多彩的应用前景。
玻色－爱因斯坦凝聚的研究还将促使人们对物理学一些基本问题的重新认识、完善和探索新的规律。
【参考文献】
[1] S.N Bose,1924 Plancks gesetz und lichtquantenhypothese.
Zeitschrift f¨ur Physik,26:178-181.
[2] Einstein,A.1924. Quantentheorie des einatomigen idealen
gases.Sitzungsberichte derPreussischen Akademie der Wissenschaften,Physik-Mathematik, 1924:261-267.
[3] A.Einstein,1925.Quantentheorie des einatomigen idealen gases.
Zweite abhandlung. Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften， Physik- Mathematik, 1925:3-14.
[4] Anderson M. H. et. Al.Science,1995:269,198-201. [5] Bradley e.c.,et.al.Phys.Rev. Lett.,1995:75,1687-1690.
玻色－爱因斯坦凝聚(BEC)探讨
成传明，龚 利，乔安钦
（郧阳师范高等专科学校，湖北 丹江口 442700）
【摘 要】近年来，有关玻色－爱因斯坦凝聚（Bose-Einstein Condensation简称 BEC）的实验和理论研究发展迅速，取得了一系列重大突破，Feshbach共振是BEC研究领域的热点。文章阐述了BEC的由来、BEC理论及形成条件，实验实现，探讨了BEC发展的广阔前景和超冷BEC凝聚体的应用。
【关键词】玻色－爱因斯坦凝聚(BEC)；Feshbach共振；原子激光 【中图分类号】O41
【文献标识码】A 【文章编号】1008-1151(2008)01-0158-03
黄克逊在这方面做了出色的工作。
上世纪80年代中期，激光冷却和原子捕陷的研究得到长足的进步，几个研究小组提出了冷却的碱金属原子可以形成只有很弱相互作用的BEC。在不断解决实现BEC的一系列技术难题后，1995年碱金属原子的BEC终于被实验实现了。7月13日，美国科罗拉多大学和国家标准局合办的实验天体物理
87
研究所将碱金属铷(Rb)蒸气冷却到170nK，观察到了BEC。8月底，休斯顿市Rice大学一个研究小组实现了7Li BEC。11月，麻省里工学院宣布，在23Na蒸气中实现了BEC。1998年自旋极化氢原子气体的BEC也被观察到。这使人们对量子简并气体的BEC研究进入了一个全新的阶段。为此，科罗拉多大学和国家标准局实验天体物理研究所的美国物理学家埃里克·康奈尔、卡尔·维曼和麻省理工学院的德国科学家沃尔夫冈·克特勒获得了2001年诺贝尔物理学奖。
我国科技工作者在BEC研究方面也取得了可喜的成就。 中国科学院上海光机所王育竹院士研究组、台湾国立中正大学物理系的韩殿君研究组、北京大学电子学系陈徐宗和王义遒研究组、山西大学量子光学与量子器件国家重点实验室张靖研究组分别于2002年3月、2003年9月、2004年3月、2007年7月在实验上实现了87Rb原子的BEC。
2006年夏天，凝聚态物理又带给大家一个“高温”捷报。有两支独立的研究小组分别在Nature发表文章报告，他们在比以往高得多的温度条件下得到了BEC。其中一个研究小组得到的BEC的温度是19K，文章索引号是443409，而另外一个研究组居然宣布他们在室温下观察到了BEC！文章索引号是443430。当然，立刻就有很多人置疑他们观测到的东西是否是真正的BEC。
（一）BEC的由来及实验实现
1924年，印度物理教师玻色用光子的状态计数，试图不依赖经典电动力学推导出了普朗克（黑体辐射）公式的系数
3
8πν2。爱因斯坦意识到玻色工作的重要性，立即着手研究这一问题，于1924年和1925年发表了两篇论文，将玻色对光子的统计方法推广到某类原子，并预言当这类原子的温度足够低时，所有的原子就会突然聚集在一种尽可能低的能量状态，这就是BEC。
早在1905年，爱因斯坦在关于光电效应的著名论文中，第一次把普朗克的“能量子”概念推广到光。玻色推导的关键是用光子状态计数，而不是用光子计数。爱因斯坦就是把状态计数的思想用到组成理想气体的原子，指出遵从这种统计的气体将在一定的转变温度下发生凝聚，部分原子将落人动能为零的最低量子态，其他原子则组成“饱和理想气体”。当时两种量子统计的存在、统计同多粒子波函数在粒子交换下对称性的关系以及对称和自旋的关系等都尚未认识，相变也没有被作为一类深刻的物理问题，所以人们自然就意识不到BEC乃是首次由统计物理学推出的一种相变现象。
在自然界中，粒子分为玻色（Bose）子和费米(Fermi)子，自旋为整数的粒子，如光子、π介子和α粒子是玻色子，玻色子服从玻色－爱因斯坦统计；自旋为半整数的粒子，如电子、质子、中子和μ介子是费米子，费米子服从费米－狄拉克统计。当时人们也不知道到哪里去寻求这类凝聚现象，直到1938年，法国的伦敦把超流态液氦和超导现象看作是BEC的凝聚体系。不过这两类现象发生在强相互作用的体系中，后来才知道，超流液氦中只有约10%的原子凝聚。超导与BEC的关系要经过电子配对，涉及更复杂的相互作用。由于粒子间强相互作用而导致BEC相变的纯量子统计特性复杂化，很难看成是纯的BEC。这种情况促使人们去寻求在稀薄的、弱相互作用下的玻色气体中实现BEC。1959年有人提出自旋极化氢原子气体可能是BEC的候选者。1980年，氧化亚铜中的激子被提出，经过10多年的努力，1993年在实验上观察到了激子的BEC现象。由于复杂的相互作用过程，BEC特性仍然得不到很好的研究。在上世纪50年代，物理学家们发展了很多弱相互作用玻色系统的理论，华人物理学家杨振宁、李政道和
（二）玻色－爱因斯坦凝聚
设在体积为V的容器中存在有N个全同近独立的玻色子组成的气体，讨论BEC就是分析在不同温度下玻色子在不处于能级为εi的粒子数ni同能态的分布。在已知温度T时，遵守玻色－爱因斯坦统计分布，即
【收稿日期】2007-11-29
【作者简介】成传明（1971－），男，郧阳师范高等专科学校物理与电子工程系讲师，理学硕士，主要从事热力学与统计物理、大学物理等课程的教学与研究工作。 - 158 -
ni=
ωi
e+i−1
=
ωi
e(i−)kT−1
(i=0,1,2,3,⋅⋅⋅) （1）
其中μ为粒子的化学势，k为玻耳兹曼常数，ωi为粒子分布的简并度，则系统的总粒子数为：
∫
∞
xdε=⋅2.612 （8）
2ex−1
（
1
2
可得对给定的粒子数n，临界温度Tc为
N=∑ni=∑
ωi
e(εi−μ)−1
（2）
h2n3
Tc=( （9）
2πmk2.612
如果进一步降低温度，使T
2
分布函数表明，在外参量固定时，εi，ωi不随温度T变化，为找出ni随T的变化规律，需要知道μ随T如何变化，因为分布的粒子数ni
≥0，ωi又不可能为负，所以必然有
(i=0,1,2,3,⋅⋅⋅) （3）
∂μ∂T
式得出，n随温度的下降而减少，这就与粒子数守恒相矛盾。 问题出在由求和到积分的转换中，将最低能级ε子数N0忽略了。
在μ
e(εi−μ)>1
因此有μ就有μ
=0上的粒
ε2dε
e(ε−μ)
kT
化学势必然低于任何能级的能量。当取ε0为能量的零点时，
→0的条件下，ε→0时的积分
∫
∞
−1
在给定粒子数n=N的情况下，依据粒子数恒定的
ωi1N
==n （4） ∑Ve(εi−μ)−1V
的被积函数为
条件，有
不定式，由洛必达法则求其比值为零，因此0
N0=0。在温度足够高时，处在ε=0的粒子数与总粒子
数相比是一个可忽略的小量，当T粒子向最低能级集聚，到T
从式中可看出μ是T及粒子数密度n的函数，其中的
≤Tc时，随着温度的降低
时，所有粒子都集聚到最
εi和ωi都与温度T无关。那么在粒子数密度n给定的情况
下，温度愈低，上式确定的μ必然升高，就是μ的绝对值减小。玻色气体的化学势随温度的减小而增加（∂μ∂T
对于宏观的玻色气体，其能级可近似认为是连续变化的，
=0K
低能级上。在足够低的温度下，玻色气体在最低能级上的粒子数不能忽略，上面的积分只能代表ε和，因此，在T
>0各能级粒子数的
2π
(2m)h3
32
→0时，e−μkT→1，则在计算粒子数密度n的求和中可用积分代替。在ε→ε+dε变化范围内，自由玻色子的可能状态数ω(ε)dε为：
31
2πV
ω(ε)dε=3(2m)2ε2dε （5）
当μ
n(T)=n0(T)+
∫
∞
eεkT−1
εdε （10）
12
n0(T)是在温度为T时，处在ε=0上的粒子数密度，第二项为处在激发能级ε>0的粒子数密度nε>0，式中μ已经
取0。
现在计算nε>0，作代换x
h
则粒子数密度的积分表达式为：
∞εdεN2π2 n= （6） =3(2m)∫εkTC0Vhe−1
3
1
2
=εkT，则
1
nε>0
33
∞εdε∞x2dx2π2π 22=3(2m)∫ε=3(2m)(kT)2∫x00e−1hhe−1
（11）
3
1
2
积分式中的Tc表示化学势开始变为零时的温度，也就是临界温度，对积分作变量代换，令x为：
将（11）式与（7）进行比较可得出：
=εkTc，则积分可化
nε>0T
=(nTc
2
n=
N2π
=3(2mkTc)Vh
3
2
∫
∞
xdε （7） ex−1
12
n0(T)=n[1−(
由（12）式知，当T
T32
)] （12） Tc
由积分公式：
0，粒子凝聚在
- 159 -
动量、能量、压强为零的基态，出现 BEC。和水蒸气在坐标空间的凝结不同，BEC是在动量空间的“凝结”。当T
=0K
时，就会形成比较纯的凝聚体，所有粒子处在同一量子态，具有相同的相位，体系可用一个宏观的玻函数描述。BEC是一
种相变，Tc是转变温度，在T
N(Tc)2个粒子组成；另一相是凝聚相，由集聚在基态
32
的N−N(Tc)个粒子组成。
将（9）式的临界温度表达式进行一下变形得，
h2n3NTc=()=β0() （13）
2πmk2.612V
13，对于同样的温度T，我们定义一h2
其中β0=()
2πmk2.612
个临界密度nc，
n=(N)=2.612(2πmkT)3
cc2
2
2
2
Vh
=(
T
β0
3 （14）
由此可得形成BEC的条件为：
T
T
N2 （15） V
n>nc=(
β0
)3 （16）
即可以从两个途径实现BEC，一是降低系统的温度，使其低于给定密度下的临界温度，二是提高系统的粒子密度，使其超过给定温度下的临界密度。
将（9）式改写为用德布罗意波长和粒子数密度的关系：
λdbn=(2.612)=λdbn−=(2.612)
（17）
上式说明，当粒子的德布罗意波长λdb与粒子间的平均距离相近时，粒子的波包彼此重叠，体系表现为不可分辨的玻色气体，玻色子发生量子力学相变，在Tc时体系出现宏观粒子占据同一基态的状态，即发生BEC。
（三）BEC的发展及前景展望
BEC在实验上的进展，重新引起了物理学家们对BEC研究的广泛兴趣。在最近的十几年里，BEC领域一直是物理学中发展最快的一个领域，国内外已有大量的研究文章及实验结果发表。实验上实现了BEC之后，研究工作朝着两个方向发展。一方面是继续完善实验技术，实现稳定连续的物质波相干放大输出，以便开发新的应用领域，完善对凝聚体的检测手段。实验上的进展是惊人的，成果是丰硕的。自凝聚产生以来，完成了物质波干涉实验、原子激光的实现、物质波的四波混频、芯片BEC实验、更多元素的BEC得到了实验实现、分子BEC的实现、费米原子对凝聚体的实现等。另一方面是关注与BEC的相关基础理论研究。有关BEC理论的研究工作是大量而广泛的。自1995年起，就有大量的文章如系统温度、基态和 - 160 -
激发态、原子散射长度的突变、外势的作用、空间维数、粒
子的运动特性等各个方面对BEC现象做了不同的探讨和研究。由于求解弱相互作用下的玻色气体的非线形薛定谔方程的准确解析解较困难，所以就发展了多种近似计算和数值计算方法，如赝势法、自洽场方法、平均场方法、格林函数法、重整化群方法等。近期人们还致力于研究凝聚体的激发性质和相干性质，从而促进了原子物质波量子干涉效应－非线形原子光学的研究。
BEC只在玻色体系才能发生，对于费米体系，不会发生所有粒子全部占据基态的现象，它违背泡利不相容原理。如果费米子形成分子或结成费米原子对，体系变成玻色体系就可以形成BEC。目前研究费米原子组成的分子和费米原子对的BEC 的重要工具是Feshbach共振，Feshbach共振是通过调节加在系统上的磁场来达到的，在共振时可以任意调节原子之间的相互作用，使之成为吸引和排斥。利用Feshbach共振技术在实验上实现BEC是2004年物理学的重要成就之一。 Feshbach共振现象是BEC领域的一个热点，Feshbach共振技术也是目前国际物理学界研究多体物理学的有效工具，有望利用此方法解决多体物理学的普适性问题！
用Feshbach共振技术研究有强相互作用的玻色子气体和费米气体的超流态进展很快，竞争也非常激烈。热力学是普适的，理论上如何对相变温度、相变级次等这样的量子现象和低温效应做出解释，还没有找到正确的方法。幺正极限热力学是个典型的问题，但目前国际上还没有找到处理此问题的根本方法，传统的平均场理论和微扰近似都不能用， 所以对这个问题的处理变得非常迫切，竞争也异常激烈。华中师范大学陈继胜教授用经典汤姆孙问题求解幺正极限下的Fermi-Dirac系统的量子基态，得出了比较有趣的结果，和文献上的部分量子蒙特卡罗模拟和实验结果一样。把经典的方法用于处理量子统计的强相互作用无穷大问题，可能是一个较好的方法，这当然需要物理学界的普遍认可！
现在对有关BEC的许多基本问题认识还十分模糊，有些甚至还是个谜。如，凝聚态是如何形成的，粒子间的相互作用对凝聚体的性质是如何影响的，凝聚相变的特性，凝聚的超流性，凝聚体与光的相互作用，凝聚体对声速的作用等都还需要继续探讨。
BEC相对于通常物质，就好像激光光束相对于普通光束，它是一种相位相干态。处于这种状态下，量子力学的微观规律支配着一个宏观系统的行为。BEC的研究不仅广泛应用于物理学的众多领域之中，从超导到超流、从气态到固态、从金属到半导体、从核物理到中子星甚至高能物理。同时BEC对技术科学和应用研究，如高真空技术、激光稳频技术、激光频率精密控制技术、磁阱技术、射频技术、多路信号时序控制技术、集成原子光学、高精密测量、量子信息等都有着积极地推动作用。BEC在实验上的实现，开辟了研究宏观量子现象的新天地，并且由于原子的波长远小于光波的波长，可以将产生BEC的源扩大到不同的原子和其他组态，做出最亮的光源，一个真正原子激光。
现在最引人注目的理论化产业是原子激光，也就是类似于激光的相干原子束输出。以E.W. Hagley博士为首的美国国家标准与技术研究所激光研究组在组长——1997年诺贝尔物理学奖获得者W.D. Phillips博士的领导下，成功地研制出了世界上第一台全可控、可调谐的物质（下转第144页）
这既是发展学生主体性的需要，又使教师从一些繁琐的事务中解脱出来，把精力用在更好地提高教育效益上。
（三）要建立师生互动教育活动的新概念
转变传统的认识观念。教师和学生应该有平等的地位。学生是知识的需要者和接受者。教师控制和操纵学生的学习活动。这样的活动过程是单向的，无平等可言。现代教学交往论认为：“教师和学生在知识面前是不平等的，但在人格上是平等的。因此，课堂教学是师生人生中一段主要的生命活动，是师生间的特殊交往活动。”据此提出“教学既相往”的教学本质观。我们认为要创设平等互助的教学情境，首先要重新认识教学的本质，这样才能真正实现师生之间的平等对话。所我们要建立民主平等的师生关系。但随着时代的进步与学生民主意识的增强，教师必然走下权威的金字塔顶，所以我们必须重视课堂上师生间的情感交流。教师要以乐教精神来启动学生的乐学兴趣。在教学中，教态要亲切，语言要有感染力，把微笑带进课堂，把激励带给学生，要不断激发学生的强烈求知欲，鼓励学生敢于发表自己的见解，激励学生克服学习中的困难，为学生的自主学习创设一种平等、民主、轻松、愉快的气氛。
对许多学校来说，要真正确立学生的主体地位，在师生之间建立民主平等、相互尊重的关系，要帮助学生克服一个障碍，这就是对权威的崇拜。这是的权威主要是指教师和教材。有了对教师和教材等权威的崇拜，学生在学校中体会更多的是服从，是不加批判地接受、模仿、学习，在其内心中便很难形成一种独立、自主、创新的意识和勇气。而一旦打破这种盲目的崇拜，学生的自信心、自主性和创造性就将会有一个质的飞跃，他们面前将出现一个崭新的广阔天地。打破对教师权威的崇拜是指学生不能迷信教师的权威，并不是说教师不需要威信和权威。教师威信的确立不能以损害学生的主体精神为代价，更不能采取高压强制等手段。教师的威信完全可以凭借自己的常识和人格，在与学生的平等交往中自然而然地形成。树立教师威信与提倡师生间的民主平等、
（上接第160页）波激光器，并成功地实现了世界上第一个物质波混频实验，不仅实现了物质波激光器研制领域的重大突破，并且也开创了一门崭新的现代化物理学研究领域：非线性原子光学。
原子激光的获得可望有效地提高现有原子钟的准确度：相干原子束的平均速度很低，有利于减小与多普勒效应有关的不准确度，同时原子的平均速率低，还可以有效的增加其与微波相互作用的时间、压窄谱线的宽度，这对于提高原子钟的准确度是有利的。高亮度、高相干性物质波将对半导体光刻技术提供理想的工具，可应用原子激光代替现行的用于微电子线路的感光印刷术，从而将大规模减小集成电路的尺寸，进而大规模提高计算机的速度，制造出更小更高效的计算机芯片。也可以将原子激光应用于测量用的干涉仪，这种干涉仪能比普通激光干涉仪精确得多，并对现有原子光学产生革命性的推进。
原子激光的另一个可能应用领域是纳米技术。目前，纳米技术是利用扫描隧道显微镜和原子力显微镜来搬运原子或光刻蚀的方法来产生微小的特征量。由于原子激光可以聚焦并且像普通激光一样准直，因此可望利用原子激光通过适当变换直接形成所需的花样。此外，原子激光具有明显的干涉效应，原 - 144 -
允许学生质疑，产不矛盾。
教师的教育应采用多种手段，采用多种教学方法，因材施教，最忌讳强行灌输和包办代替，教育最需要让学生学会自我教育，学生的知识是自己学到的，而不是老师灌进去的，多给学生提供独立思考的机会，让学生真正参与到知识的形成过程中去，从扶着学生一步步过河，到让学生趟着石头过河。学生的能力、品德孔是自己练出来的，而不是老师教会的。所以教师可以运用分层教学、个别指导等方法，在课堂上讲得很少，但是他抓住了最关键的部分，引导学生自己去思考、去练习。这就好像为学生搭建了很好的舞台，让学生尽情地去表演，教师自己则从台上走到台下，甚至走到幕后。越是学习比较差的学生，越是不能进行单向灌输，因为灌输不可能从根本上解决这些学生学习困难的问题，帮其找到适合个人的学习方法，方为上策，如果能做到：分对象，抓关键，教方法，激情意，那我们一定能收到良好的教育效果。
从教育的目的来理解主体性教育思想，可以把它界定为“发展学生的整体素质，培养学生的主体型人格”，主体精神的培育和解放，需要有一个比较宽松的、个性化的、富有激励性的环境，要给学生留下自主选择和自主发展的空间。然而限于种种客观条件，目前要完全达到这样的要求是非常困难的。但这也是我们教师在教育过程中以此作为一种努力的方向。
【参考文献】
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学版,1999(5).
[4] 童康,皮文彬.当代国外教师教育的发展趋势[J].教学与
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子本身又具有非零静质量、有自旋和内能态等特点，因此原子激光还可以极大地提高重力加速度及其变化和其他一些物理常数地测量精度。相信BEC的实现和由此产生的相干原子激光，必将给未来的科学技术带来丰富多彩的应用前景。
玻色－爱因斯坦凝聚的研究还将促使人们对物理学一些基本问题的重新认识、完善和探索新的规律。
【参考文献】
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