文章编号:1673-2103(2006)05-0020-04
矩阵的特征值和特征向量的应用研究
邵丽丽
Ξ
(菏泽学院计算机与信息工程系,山东菏泽274015)
摘 要:通过对n阶矩阵的特征值和特征向量的研究,针对了3个方面的探讨,关键词:矩阵;特征值;特征向量中图分类号:O151.21 对矩阵的特征值和特征向量的定义为[1]:设A为n阶矩阵,若存在数λ和非零向量x,使Ax=λx则称数λ为A的特征值,非零向量x为A对应于特征值λ的特征向量.现设k,a,b均为常数,m为正整数,那么如何求n阶矩阵kA,aA+bI,Am,A-1(若A可逆),A3(若A可逆),f(A)(A的多项式)的特征值和特征向量?及如何巧妙求出n阶矩阵A的高次幂Ak?还有在一定的限定条件下,如何根据矩阵的特征值和特征向量信息来决定矩阵中的元素,即求解矩阵特征值的反问题.
1 n阶矩阵kA,aA+bI,Am,A-1,A3,f(A)的特征值和特征向量
m
λ,aλ+b,λ 若λ是n阶矩阵A的特征值,非零向量x为A对应于特征值λ的特征向量,则k,1/λ,
)是kA,aA+bI,Am,A-1,A3,f(A)的特征值;非零向量x是kA,aA+bI,Am,A-1,A3,f(A)A/λ,f(λ
m
λ,aλ+b,λ)的特征向量.对应于特征值k,1/λ,/λ,f(λ
证 由于λ是A的特征值,x是A对应于λ的特征向量,则有
Ax=λx,(1)
那么:
λλ)x.所以kλ是方阵kA的特征值,且向量1)在(1)式两端同时左乘系数k得kAx=kx,即(kA)x=(kλ的特征向量.x是方阵kA对应于特征值k
λx+bx=(aλ+b)x,所以aλ+b是方阵aA+bI的特征值,且2)由于(aA+bI)x=aAx+bx=a
λ+b的特征向量.向量x是方阵aA+bI对应于特征值a
2
3)由于A2x=A(Ax)=A(λx)=λ(Ax)=λ(λx)=λx,
322223Ax=A(Ax)=A(λx)=λ(Ax)=λ(λx)=λx,
…
Ax=A(A
m
m-1
x)=A(λ
m-1
x)=λ
m-1
m-1m
(Ax)=λ(λx)=λx.
mm
所以λ是方阵Am的特征值,且向量x是方阵Am对应于特征值λ的特征向量.
-1-1
4)在(1)式两端同时左乘A-1得A-1Ax=A-1λx,即x=λ(Ax),有Ax=
λ
x成立.所以
λ是方
3
阵A-1的特征值,且向量x是方阵A-1对应于特征值λ的特征向量.
3
5)在(1)式两端同时左乘A3得A3Ax=A3λx,由于A=
AA
-1
,那么AAx=
3
Ax=λ(Ax),
即有A3x=λx成立.所以λ是方阵Am的特征值,且向量x是方阵Am对应于特征值λ的特征向量.
Ξ
收稿日期:2006-03-20
作者简介:邵丽丽(1979-),女,山东曹县人,硕士,研究方向:软件工程与人工智能.
20
6)设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,则f(A)=anAn+an-1An-1+…+a1A+a0,
nn-1λ f(A)x=anAnx+an-1An-1x+…+a1Ax+a0x=anx+an-1λx+…+a1λx+a0x=
nn-1λan+an-1λ+…+a1
λ+ax=f(λ)x.
)x可知f(λ)是f(A)的特征值,且向量x是f(A)对应上面的证明用到了3)的结论,由f(A)x=f(λ
)的特征向量.于特征值f(λ
12例1 已知矩阵A=212,求:A5-4A4-2A+I的特征值和特征向量.
22分析 本题是求矩阵A,A的5次幂并进行多项式运算,再求其特征值和特征向量,计算量非常大).
解 矩阵A的特征多项式det(A-λI)-λ)
(1+λ)2
.I1-2=(5-λ
2
2
1-
λ
令det(A-λI)=,A的特征值为λ1=5,λ2=λ3=-1.当λ=5时,解齐次方程(A-5I)x=0,
即
-4
2
-4
22
-x1x2=x00
.22
2
得其通解为[x1,
x2,x3]
T=t[1,1,1]T,其基础解系中只含有一个解向量x1=[1,1,1]T,x1即为特征值λ=5所对应的特征向量.
2
2
x1x2=x0.当λ=-1时,解齐次方程(A+Ix)=0,即222
22得通解为[x1,x2,x3]T=t1[-1,1,0]T+t2[-1,0,1]T,其基础解系中含有两个线性无关的解向量:x2=
T3T
[-1,1,0],x=[-1,0,1],即为特征值λ2=λ3=-1所对应的特征向量.
54
)=λ设 f(A)=A5-4A4-2A+I,则f(λ-4λ-2λ+1,即为f(A)的特征值.
)1=616;当λ)2,3=-2当λ1=5时,f(λ2=λ3=-1时,f(λ
于是A5-4A4-2A+I的特征值为616,-2,-2,对应的特征向量为仍然是x1,x2,x3.
2 n阶矩阵的高次幂的求解
当n阶矩阵A可对角化时,即矩阵A可与对角阵相似时,计算其高次幂Ak有简单的方法,当
n阶矩阵
ΛP-1,A满足下面的四个条件之一时,即可对角化,即A=P
①n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量;②n阶矩阵A有n个互不相等的特征值;③n阶矩阵A的每个特征值λ,均有ρλ=mλ,即特征值的几何常数等于其代数常数;④A为实对称矩阵.
对于A=PΛP-1,P=x1,x2,…,xn是由A的n个特征向量组成的矩阵.Λ=diag(λ1,λ2,…,λn)是由A的n个特征值构成的对角阵.那么有:
Ak=(PP-1)k=PP-1・PΛP-1…PΛP-1=PΛ(P-1P)Λ(P-1P)Λ
…(P-1P)ΛP-1=PΛkP-1,
kkkkkkk-1
Λk=diagλ其中 .1,λ2,…,λn,故A=Pdiagλ1,λ2,…,λnP
12
22
21
例2 已知矩阵A=212,求Ak(其中k为正整数).
分析 矩阵的高次幂的求解一般是有技巧的,这里因矩阵A为实对称矩阵,故可对角化,可按上面讨论的方法求之.
解 因为AT=A,所以矩阵A为实对称矩阵,故矩阵A可对角化为Λ.
123
由例1知:矩阵A的3个特征值为λ1=λ2=-1,λ3=5,其对应的特征向量为x,x,x.故对角阵Λ=diag(-1,-1,5),
1
P=
x′ x
x
2
01
-1
1
1,且P-1=0
-1
=3
2
-1
-11
-.
21
1又P-1AP=Λ=diag(-1,-1,5),那么有A=PΛP-1,则 Ak=PΛkP-1=
3
10
-01
k
11+5
kkk
(-1)
k
(-k
5k
k
-1
--1-1=
00
(-1)(-1)
21
k+1k
1
k+1k+1k
1
3
2-1)
(-1)(-1)
+5+5+5
(-1)(-1)
+5+5+5
kk
k+1k+1
+5+5
2(-1)
kk
.
k+1
2(-1)
k
3 矩阵特征值反问题的求解
矩阵特征值反问题的求解[2],即根据矩阵的特征值和特征向量的信息来决定矩阵中的元素.当矩阵A有n个互不相等的特征值时,A必有n个线性无关的特征向量,那么矩阵A必可对角化,故A=PΛP-1,其中相似变换矩阵P由A的n
个线性无关的特征向量组成.
1
例3 设3阶方阵A的特征值为λ2 2]T,x21=1,λ2=0,λ3=-1,对应的特征向量分别是:x=[1
=[2 -2 1]T,x3=[-2 -1 2]T,求A.
分析 此题给出了矩阵的3个不相同的特征值及其对应的特征向量,那么矩阵可对角化,显然是矩阵特征值的反问题,可按上面讨论的方法求之.
i解 由于xi(i=1,2,3)是方阵A对应于特征值λxi,i(i=1,2,3)的特征向量,于是有:Ax=λ
12
-2
-2
-1,那么P-1=
令P=[x1 x2 x3]=2
21
12
9
12
-2
2
-2-1
21,则有AP=PΛ,其中Λ=
--1
.
由上式可得A=PΛP-1
=3
012
2
2,即为所求.02
4 结语
矩阵的特征值和特征向量有许多具体应用,依据上面所讨论的,可以方便地求得n阶矩阵A的逆矩阵、伴随矩阵、及A的多项式等的特征值和特征向量,并可巧妙地求出A的高次幂.关于矩阵特征值的反问题,本文仅做了初步探讨,但确是一个重要的研究方向,在数学物理反问题的离散化,粒子物理的核光谱学、振动反问题等领域上都有着具体的应用.22
参考文献:
[1] 谢国瑞.线性代数及应用[M].北京:高等教育出版社,1999.
[2] 戴华.矩阵特征值反问题的若干进展[J].南京航空航天大学学报,1995,27(3):400-413.
AResearchontheApplicationofEigenvalueandEigenvectorofMatrix
SHAOLi2li
(ComputerandInformationEngineeringDepartment,Heze,,)
Abstract:Bythestudyingofeigenvalueanddiscussestheapplicationoftheirthreeas2pectsduetoeigenvalueand,onstrationofinterrelatedpropositionandtherelevantexamplesareintroduced.
Keywords:matrix(上接第14页)
AStudyonProgrammingModelofHumanResources
inReservoirManagement
SONGJie2kun1,ZHANGZai2xu1,ZHANGYu2
(1.SchoolofEconomicsandManagement,UniversityofPetroleumofChina,Dongying,Shandong257061,China;2.FinancialAssetsCenterofDongxinProductionUnit,ShengliOilfield,Dongying,Shandong257091,China)
Abstract:Humanresourcesprogramisthekeytoreservoirmanagement.Astochasticchance-constrainedprogrammingmodelisputforwardforhumanresourcesprogram,whichusesthemaximumofoiloutputasobjectiveandtakesbothcostandhumanrequirementintoaccount,andtheprocessofitshybridintelligentalgorithmisprovidedatthesametime.Arealexampletestifiestheefficiencyofthismethod,whichprovidesascientificdecisionbasisforhumanresourcesprograminreservoirmanagement.
Keywords:reservoirmanagement;humanresources;stochasticchance-constrainedprogramming
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文章编号:1673-2103(2006)05-0020-04
矩阵的特征值和特征向量的应用研究
邵丽丽
Ξ
(菏泽学院计算机与信息工程系,山东菏泽274015)
摘 要:通过对n阶矩阵的特征值和特征向量的研究,针对了3个方面的探讨,关键词:矩阵;特征值;特征向量中图分类号:O151.21 对矩阵的特征值和特征向量的定义为[1]:设A为n阶矩阵,若存在数λ和非零向量x,使Ax=λx则称数λ为A的特征值,非零向量x为A对应于特征值λ的特征向量.现设k,a,b均为常数,m为正整数,那么如何求n阶矩阵kA,aA+bI,Am,A-1(若A可逆),A3(若A可逆),f(A)(A的多项式)的特征值和特征向量?及如何巧妙求出n阶矩阵A的高次幂Ak?还有在一定的限定条件下,如何根据矩阵的特征值和特征向量信息来决定矩阵中的元素,即求解矩阵特征值的反问题.
1 n阶矩阵kA,aA+bI,Am,A-1,A3,f(A)的特征值和特征向量
m
λ,aλ+b,λ 若λ是n阶矩阵A的特征值,非零向量x为A对应于特征值λ的特征向量,则k,1/λ,
)是kA,aA+bI,Am,A-1,A3,f(A)的特征值;非零向量x是kA,aA+bI,Am,A-1,A3,f(A)A/λ,f(λ
m
λ,aλ+b,λ)的特征向量.对应于特征值k,1/λ,/λ,f(λ
证 由于λ是A的特征值,x是A对应于λ的特征向量,则有
Ax=λx,(1)
那么:
λλ)x.所以kλ是方阵kA的特征值,且向量1)在(1)式两端同时左乘系数k得kAx=kx,即(kA)x=(kλ的特征向量.x是方阵kA对应于特征值k
λx+bx=(aλ+b)x,所以aλ+b是方阵aA+bI的特征值,且2)由于(aA+bI)x=aAx+bx=a
λ+b的特征向量.向量x是方阵aA+bI对应于特征值a
2
3)由于A2x=A(Ax)=A(λx)=λ(Ax)=λ(λx)=λx,
322223Ax=A(Ax)=A(λx)=λ(Ax)=λ(λx)=λx,
…
Ax=A(A
m
m-1
x)=A(λ
m-1
x)=λ
m-1
m-1m
(Ax)=λ(λx)=λx.
mm
所以λ是方阵Am的特征值,且向量x是方阵Am对应于特征值λ的特征向量.
-1-1
4)在(1)式两端同时左乘A-1得A-1Ax=A-1λx,即x=λ(Ax),有Ax=
λ
x成立.所以
λ是方
3
阵A-1的特征值,且向量x是方阵A-1对应于特征值λ的特征向量.
3
5)在(1)式两端同时左乘A3得A3Ax=A3λx,由于A=
AA
-1
,那么AAx=
3
Ax=λ(Ax),
即有A3x=λx成立.所以λ是方阵Am的特征值,且向量x是方阵Am对应于特征值λ的特征向量.
Ξ
收稿日期:2006-03-20
作者简介:邵丽丽(1979-),女,山东曹县人,硕士,研究方向:软件工程与人工智能.
20
6)设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,则f(A)=anAn+an-1An-1+…+a1A+a0,
nn-1λ f(A)x=anAnx+an-1An-1x+…+a1Ax+a0x=anx+an-1λx+…+a1λx+a0x=
nn-1λan+an-1λ+…+a1
λ+ax=f(λ)x.
)x可知f(λ)是f(A)的特征值,且向量x是f(A)对应上面的证明用到了3)的结论,由f(A)x=f(λ
)的特征向量.于特征值f(λ
12例1 已知矩阵A=212,求:A5-4A4-2A+I的特征值和特征向量.
22分析 本题是求矩阵A,A的5次幂并进行多项式运算,再求其特征值和特征向量,计算量非常大).
解 矩阵A的特征多项式det(A-λI)-λ)
(1+λ)2
.I1-2=(5-λ
2
2
1-
λ
令det(A-λI)=,A的特征值为λ1=5,λ2=λ3=-1.当λ=5时,解齐次方程(A-5I)x=0,
即
-4
2
-4
22
-x1x2=x00
.22
2
得其通解为[x1,
x2,x3]
T=t[1,1,1]T,其基础解系中只含有一个解向量x1=[1,1,1]T,x1即为特征值λ=5所对应的特征向量.
2
2
x1x2=x0.当λ=-1时,解齐次方程(A+Ix)=0,即222
22得通解为[x1,x2,x3]T=t1[-1,1,0]T+t2[-1,0,1]T,其基础解系中含有两个线性无关的解向量:x2=
T3T
[-1,1,0],x=[-1,0,1],即为特征值λ2=λ3=-1所对应的特征向量.
54
)=λ设 f(A)=A5-4A4-2A+I,则f(λ-4λ-2λ+1,即为f(A)的特征值.
)1=616;当λ)2,3=-2当λ1=5时,f(λ2=λ3=-1时,f(λ
于是A5-4A4-2A+I的特征值为616,-2,-2,对应的特征向量为仍然是x1,x2,x3.
2 n阶矩阵的高次幂的求解
当n阶矩阵A可对角化时,即矩阵A可与对角阵相似时,计算其高次幂Ak有简单的方法,当
n阶矩阵
ΛP-1,A满足下面的四个条件之一时,即可对角化,即A=P
①n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量;②n阶矩阵A有n个互不相等的特征值;③n阶矩阵A的每个特征值λ,均有ρλ=mλ,即特征值的几何常数等于其代数常数;④A为实对称矩阵.
对于A=PΛP-1,P=x1,x2,…,xn是由A的n个特征向量组成的矩阵.Λ=diag(λ1,λ2,…,λn)是由A的n个特征值构成的对角阵.那么有:
Ak=(PP-1)k=PP-1・PΛP-1…PΛP-1=PΛ(P-1P)Λ(P-1P)Λ
…(P-1P)ΛP-1=PΛkP-1,
kkkkkkk-1
Λk=diagλ其中 .1,λ2,…,λn,故A=Pdiagλ1,λ2,…,λnP
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22
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例2 已知矩阵A=212,求Ak(其中k为正整数).
分析 矩阵的高次幂的求解一般是有技巧的,这里因矩阵A为实对称矩阵,故可对角化,可按上面讨论的方法求之.
解 因为AT=A,所以矩阵A为实对称矩阵,故矩阵A可对角化为Λ.
123
由例1知:矩阵A的3个特征值为λ1=λ2=-1,λ3=5,其对应的特征向量为x,x,x.故对角阵Λ=diag(-1,-1,5),
1
P=
x′ x
x
2
01
-1
1
1,且P-1=0
-1
=3
2
-1
-11
-.
21
1又P-1AP=Λ=diag(-1,-1,5),那么有A=PΛP-1,则 Ak=PΛkP-1=
3
10
-01
k
11+5
kkk
(-1)
k
(-k
5k
k
-1
--1-1=
00
(-1)(-1)
21
k+1k
1
k+1k+1k
1
3
2-1)
(-1)(-1)
+5+5+5
(-1)(-1)
+5+5+5
kk
k+1k+1
+5+5
2(-1)
kk
.
k+1
2(-1)
k
3 矩阵特征值反问题的求解
矩阵特征值反问题的求解[2],即根据矩阵的特征值和特征向量的信息来决定矩阵中的元素.当矩阵A有n个互不相等的特征值时,A必有n个线性无关的特征向量,那么矩阵A必可对角化,故A=PΛP-1,其中相似变换矩阵P由A的n
个线性无关的特征向量组成.
1
例3 设3阶方阵A的特征值为λ2 2]T,x21=1,λ2=0,λ3=-1,对应的特征向量分别是:x=[1
=[2 -2 1]T,x3=[-2 -1 2]T,求A.
分析 此题给出了矩阵的3个不相同的特征值及其对应的特征向量,那么矩阵可对角化,显然是矩阵特征值的反问题,可按上面讨论的方法求之.
i解 由于xi(i=1,2,3)是方阵A对应于特征值λxi,i(i=1,2,3)的特征向量,于是有:Ax=λ
12
-2
-2
-1,那么P-1=
令P=[x1 x2 x3]=2
21
12
9
12
-2
2
-2-1
21,则有AP=PΛ,其中Λ=
--1
.
由上式可得A=PΛP-1
=3
012
2
2,即为所求.02
4 结语
矩阵的特征值和特征向量有许多具体应用,依据上面所讨论的,可以方便地求得n阶矩阵A的逆矩阵、伴随矩阵、及A的多项式等的特征值和特征向量,并可巧妙地求出A的高次幂.关于矩阵特征值的反问题,本文仅做了初步探讨,但确是一个重要的研究方向,在数学物理反问题的离散化,粒子物理的核光谱学、振动反问题等领域上都有着具体的应用.22
参考文献:
[1] 谢国瑞.线性代数及应用[M].北京:高等教育出版社,1999.
[2] 戴华.矩阵特征值反问题的若干进展[J].南京航空航天大学学报,1995,27(3):400-413.
AResearchontheApplicationofEigenvalueandEigenvectorofMatrix
SHAOLi2li
(ComputerandInformationEngineeringDepartment,Heze,,)
Abstract:Bythestudyingofeigenvalueanddiscussestheapplicationoftheirthreeas2pectsduetoeigenvalueand,onstrationofinterrelatedpropositionandtherelevantexamplesareintroduced.
Keywords:matrix(上接第14页)
AStudyonProgrammingModelofHumanResources
inReservoirManagement
SONGJie2kun1,ZHANGZai2xu1,ZHANGYu2
(1.SchoolofEconomicsandManagement,UniversityofPetroleumofChina,Dongying,Shandong257061,China;2.FinancialAssetsCenterofDongxinProductionUnit,ShengliOilfield,Dongying,Shandong257091,China)
Abstract:Humanresourcesprogramisthekeytoreservoirmanagement.Astochasticchance-constrainedprogrammingmodelisputforwardforhumanresourcesprogram,whichusesthemaximumofoiloutputasobjectiveandtakesbothcostandhumanrequirementintoaccount,andtheprocessofitshybridintelligentalgorithmisprovidedatthesametime.Arealexampletestifiestheefficiencyofthismethod,whichprovidesascientificdecisionbasisforhumanresourcesprograminreservoirmanagement.
Keywords:reservoirmanagement;humanresources;stochasticchance-constrainedprogramming
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