矩阵的特征值与特征向量分析及应用毕业论文
摘 要
特征值和特征向量是高等代数中的一个重要概念，为对角矩阵的学习奠定了基础. 本文在特征值和特征向量定义的基础上进一步阐述了特征值和特征向量的关系. 本文还研究矩阵的特征值和特征向量的求解方法. 再列举了特征值和特征向量相关的性质. 最后给出了阵的特征值与特征向量在生活中的运用，并应用于实例.
关键词：矩阵 特征值 特征向量
Abstract
Eigenvalues and eigenvectors are important concepts of advanced algebra which laid
the foundation for the diagonal matrix learning. This paper, on the basis of the definition of eigenvalues and eigenvectors, study the relationship of them. This also study the solution method of eigenvalues and eigenvectors. And then lists the related properties of eigenvalues and eigenvectors. Finally, use the matrix eigenvalues and eigenvectors in ordinary live, and application in real examples.
Keywords : matrix ; eigenvalue ; eigenvector
目 录
引言
第一章、本征值和本征向量的关系
1.1 本征值与本征向量的定义 1.2 求解本征值与本征向量的方法探索
第二章、矩阵的特征多项式和特征根
2.1 矩阵的特征多项式和特征根的定义 2.2 求解特征根和特征向量的方法 2.3 线性变换的特征根与特征向量的求法
第三章、特征值和特征向量在生活中的应用
3.1 经济发展与环境污染的增长模型 3.2 莱斯利（Leslie ）种群模型
四、结论
引言
矩阵是高等代数课程的一个基本概念， 是研究高等代数的基本工具. 。线性空间、线性变换等, 、都是以矩阵作为手段； 由此演绎出丰富多彩的理论画卷. 。求解矩阵的特征值和特征向量, ，是高等数学中经常碰到的问题。一般的线性代数教材中，都是先计算特征多项式，然后求得特征值， 再通过解线性方程组得到对应的特征向量。特征多项式和特征根在整个矩阵理论体系中具有举足轻重的作用，并且在于生活现实中的应用也很广泛。
第一章 本征值和本征向量的关系
1.1本征值与本征向量的定义
定义1 设σ是数域F 上线性空间V 的一个线性变换．如果对应F 中的一个数λ，存在V 中的非零向量ξ，使得σ（ξ）=λξ （1） 那么λ就叫做σ的一个本征值，而ξ叫做σ的属于特征根λ的一个本征向量．
显然，如果ξ是α∈F 的属于本征值λ的一个本征向量，那么对于任意α∈F, 都有
σ（αξ）=ασ（ξ）=λ（αξ）
这样，如果ξ是σ的一个本征向量，那么由ξ所生成的一维子空间U=｛αξ|α∈F ｝在σ之下不变；反过来，如果V 的一个一维子空间U 在σ之下不变，那么U 中每一个非零向量都是σ的属于同一本征值的本征向量。①
其中（1）式的几何意义是：本征向量ξ与它在σ下的象σ（ξ）保持在同一直线L （ξ）上，λ＞0时方向相同，λ＜0时方向相反，λ＝0时，σ（ξ）= 0．
例1 在V3中，σ是关于过原点的平面H 的反 射，它是一个线性变换．那么H 中的每个非零 向量都是σ的属于本征值1的本征向量，V λ 就是平面H ．与H 垂直的非零向量都是σ的
属于本征值 -1的本征向量，即V-1就是直 线L （见图1） 见图1
例2 设V 表示定义在实数域上的可微分任意次的实函数的全体构成的线性空间．令
σ(f(x))= f ′(x), σ是V 的线性变换．对于每个实数λ，有σ(eλx)=λe λx. 所以，λ是σ的本征值，而e λx 是σ的属于λ的本征向量．
1.2求解本征值与本征向量的方法探索
问题的转化
直接由定义来求线性变换的本征值与本征向量往往是困难的，我们可用线性变换的矩阵来解决这个问题．
设V 是数域F 上的n 维线性空间，取定它的基｛α1，α2，…，αn ｝，令线性变换σ在这个基下的矩阵是A ＝（α那么，
⎛k 1⎫
⎪ k 2⎪
σ（ξ）关于基｛α1，α2，…，αn ｝的坐标是A ⎪而λξ的坐标是λ
⎪ k ⎪⎝n ⎭⎛k 1⎫ ⎪ k 2⎪
这样，就有 A ⎪=λ
⎪ k ⎪⎝n ⎭
⎛k 1⎫ ⎪ k 2⎪ ⎪ ⎪ k ⎪⎝n ⎭
⎛k 1⎫ ⎪ k 2⎪ ⎪ ⎪ k ⎪⎝n ⎭
ij ）.
如果ξ＝k 1α1+ k2α2+…+ kn αn 是线性变换σ的属于特征根λ的一个特征向量，
⎛k 1⎫⎛0⎫ ⎪ ⎪ k 2⎪ 0⎪
或（2） （λI-A ） ⎪= ⎪
⎪ ⎪ k ⎪ 0⎪⎝n ⎭⎝⎭
为ξ≠0，所以齐次线性方程（2）有非零解。因而系数行列式
λ-a 11
（3） λI-A=
-a 21 -a n 1
-a 12 -a n 2
-a 1n
-a 2n
=0
λ-a 22
λ-a nn
反过来，如果λ∈F ，满足等式（3），则齐次线性方程组（2）有非零解（k 1，k 2，…，k n ）， ξ＝k 1α1+ k2α2+…+ kn α的属于本征值λ的本征向量。
n
满足等式（1），λ是σ的一个本征值，ξ就是σ
由上面的分析，可以得到以下的结论：
1）λ∈F 是σ的本征值的充分必要条件是它满足方程（3）；
2）对于本征值λ子空间V λ中一切向量在｛α1，α2，…，αn ｝下的坐标正好构成齐次线性方程组（λI-A ）X=0的在F 上的解空间．实际上V λ与（λI-A ）X=0的解空间同构. Vλ的一个基｛β1，β2，…，βn ｝可由齐次线性方程组（λI-A ）X= 0的一个基础解系｛η1，η2，…，ηn ｝给出. （其中βi =(α1，α2，…，αn ) ηi ,
i=1,2, …,r）；②
⎡12-14-3⎤
⎥的特征值和特征向量. 13-15-3例1：求矩阵A =⎢⎢⎥
⎢⎣-16205⎥⎦
λ-12
解：A 的特征多项式为：λE -A =-13
16
143
3=(λ+1)(λ-1)(λ-2) λ-5
λ+15
-20
A 有三个不同的特征值λ1=1，λ2=-1λ3=2
143⎤⎡X 1⎤⎡0⎤⎡λ-12
⎥⎢X ⎥=⎢0⎥ -13λ+153将λ1=1代入其次线性方程组⎢⎢⎥⎢2⎥⎢⎥
⎢-20λ-5⎥⎣16⎦⎢⎣X 3⎥⎦⎢⎣0⎥⎦⎡1⎤
⎥，则A 的属于λ=1全部特征向量为k ∂(k ≠0). 1得基础解系ε1=⎢1111⎢⎥⎢⎣-1⎥⎦143⎤⎡X 1⎤⎡0⎤⎡λ-12
⎥⎢X ⎥=⎢0⎥ -13λ+153将λ2=-1代入其次线性方程组⎢⎢⎥⎢2⎥⎢⎥
⎢-20λ-5⎥⎣16⎦⎢⎣X 3⎥⎦⎢⎣0⎥⎦⎡4⎤
⎥，则A 的属于λ=-1全部特征向量为k ∂(k ≠0). 5得基础解系ε2=⎢2222⎢⎥⎢⎣-6⎥⎦143⎤⎡X 1⎤⎡0⎤⎡λ-12
⎥⎢X ⎥=⎢0⎥ -13λ+153将λ3=2代入其次线性方程组⎢⎢⎥⎢2⎥⎢⎥
⎢-20λ-5⎥⎣16⎦⎢⎣X 3⎥⎦⎢⎣0⎥⎦⎡3⎤
⎥，则A 的属于3得基础解系ε3=⎢λ3=2全部特征向量为k 3∂3(k 3≠0) ⎢⎥⎢⎣-4⎥⎦
第二章 矩阵的特征多项式和特征根
2.1矩阵的特征多项式和特征根的定义
定义2 设A=(aij)是数域F 上的一个n 阶矩阵，行列式
χ-a 11
f A =χI-A=
-a 21 -a n 1
-a 12 -a n 2
-a 1n -a 2n
χ-a 22
χ-a nn
叫做矩阵A 的特征多项式．f A (x ) 在C 内的根叫做矩阵A 的特征根．
设λ0∈C 是矩阵A 的特征根，而x 0∈C n 是一个非零的列向量，使A x 0=λ就是说，x 0是齐次线性方程组(λ0I -A ) X =0的一个非零解．我们称于特征根λ
0的特征向量。③
00 ,
x
x 0是矩阵A 的属
2.2线性变换的本征值与矩阵的特征根的关系
1）如果σ关于某个基的矩阵是A , 那么σ的本征值一定是A 的特征根，但A 的特征根却不一定是σ的本征值，A 的n 个特征根中属于数域F 的数才是σ的本征值； （2）σ的本征向量是V 中满足（1）式的非零向量ξ，而A 的本征向量是C n 中的满足 Ax 0=λ
x 0的非零列向量x 0
3）若λ∈F 是A 的特征根，则A 的F n 中属于λ的就是σ的λ属于的特征向量关于给定基的坐标．
2.3线性变换的特征根与特征向量的求法
现在把求线性变换σ的特征根和特征向量的步
骤归纳如下：
1）在线性空间V 中取一个基｛α1，α2，…，αn ｝，求出σ在这个基下的矩阵A ； 2) 计算特征多项式f A (x )=|XI -A |,求出它的属于数域F 的根λ1，λ2，…，λs ； 3) 对每个λi (i =1,2, …,s ) 求齐次线性方程组(λi I -A ) X =0的基础解系； 4) 以上面求出的基础解系为坐标，写出V 中对应的向量组，它就是特征子空间
V λi 的一个基，从而可确定σ的特征向量．
例4 设R 上的三维线性空间V 的线性变换σ在基｛α1，α2，α3｝下
60⎫⎛4
⎪
的矩阵是 -3-50⎪ 求σ的特征根和对应的特征向量．
-3-61⎪⎝⎭
解 σ的矩阵A 已给出，先求特征多项式和特征根．
χ-4
f A =χI-A=
3
3
-60
0=(χ-1)(χ+2) χ-2
χ+5
6
f A (x ) 的根为λ1＝1（二重根），λ2＝-2都是σ的特征根．对特征根λ1＝1，解齐次线性方程组（1·I -A ）X =0，即
⎧-3χ1-6χ2=0
⎪
⎨3χ1+6χ2=0 ⎪3χ+6χ=0
2⎩1
得基础解系ξ1＝（-2，1，0），ξ2＝（0，0，1）对应的特征向量组是｛-2α1+α
α3｝，它是特征子空间V 1的一个基，所以V 1＝L （-2α1+α2，α3）．而σ的属于
特征根1的一切特征向量为k 1（-2α1+α2）+k 2α3，k 1，k 2∈R ，不全为0．
2,
对特征根λ2＝-2，解齐次线性方程组
⎛-6-60⎫⎛χ1⎫⎛0⎫ ⎪ ⎪ ⎪
30⎪ χ2⎪= 0⎪ 3
3 ⎪ ⎪6-3⎪⎝⎭⎝χ3⎭⎝0⎭
得基础解系ξ3＝（-1，1，1），对应的σ的特征向量是-α1+α2+α3，它可构成V -2的一个基，所以 V -2＝L （-α1+α2+α3）．因此σ的属于特征根-2的一切特征向量为 k （-α1+α2+α3），k ∈R ，k ≠0．④
注意：求A 的特征根时，要考虑给定的数域，若没有指定数域，就在C 内讨论；表示属于某个特征根的特征向量(关于基础解系) 组合系数要取自指定的数域F (或C ) ，且不全为零
第三章 特征值和特征向量在生活中的应用
矩阵的特征值和特征向量理论在经济分析、生命科学和环境保护等领域都有着广泛而重要的应用. 其中，经济发展与环境污染的增长模型，莱斯利（Leslie ）种群模型这两种模型，矩阵的特征值和特征向量在其应用起着重要的作用。
3.1 经济发展与环境污染的增长模型
经济发展与环境污染是当今世界亟待解决的两个突出问题. 为研究某地区的经济发展与环境污染之间的关系，可建立如下数学模型：
设x 0, y 0分别为某地区目前的环境污染水平与经济发展水平，x 1, y 1分别为该地区若干年后的环境污染水平和经济发展水平，且有如下关系：
⎧x 1=3x 0+y 0 ⎨y =2x +2y 00⎩1 令 ⎛x 0⎫⎛x 1⎫
A = α0= y ⎪⎪ y ⎪⎪, α1=
⎝1⎭ ⎝0⎭
则上述关系的矩阵形式为 α=
1
⎛3 2⎝1⎫⎪2⎪⎭
A α0.
此式反映了该地区当前和若干年后的环境污染水平和经济发展水平之间的关系.
x 0⎫⎛1⎫如 α=⎛ 0 1⎪⎪ y ⎪⎪=
0⎭⎝⎭⎝
⎛3则由上式得 α1=A α0= 2
⎝
1⎫⎛1⎫⎛4⎫⎛1⎫⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪=4 ⎪ ⎪ ⎪=4α02⎭⎝1⎭⎝4⎭1⎝⎭
由此可预测该地区若干年后的环境污染水平和经济发展水平.
一般地，若令x t , y t 分别为该地区t 年后的环境污染水平与经济发展水平，则经济发展与环境污染的增长模型为
⎧x t =3x t -1+y t -1
⎨
⎩y t =2x t -1+2y t -1
(t =1, 2, , k )
x t ⎫
令 αt =⎛ y ⎪⎪
⎝t ⎭
则上述关系的矩阵形式为 αt 由此，有
=A αt -1, t =1, 2, , k
1
2
α=A α=A α0, 21
α3=A α2=A 3α0,
t
αt =A αt -1= =A α0.
α=A α,
(*)
由此可预测该地区t 年后的环境污染水平和经济发展水平. 下面作进一步地讨论： 由矩阵A 的特征多项式
得A 的特征值为 λ1
|λE -A |=
λ-3
-2-1
=(λ-4)(λ-1) λ-2
=4, λ2=1
⎛1⎫
对度λ1=4 ，解方程(4E -A ) X =0得特征向量 η1= 1⎪⎪
⎝⎭
1⎫⎛(E -A ) X =0λ=1对1，解方程得特征向量 η2= -2⎪⎪⎝⎭
显然, η1, η2线性无关
下面分三种情况分析：
Case 1 α0=η1= ⎪⎪
一个性质:若α是矩阵A 的属于特征值λ的特征向, 则α也是A 的属于特征值λ的特
k
⎛1⎫
⎝1⎭
k
征向量度 (*) 由(*)及特征值与特征向量的性质知，
⎛1⎫
αt =A α0=A η1=λη1=4 1⎪⎪
⎝⎭
t
t
t 1
t
⎛x t ⎫t ⎛1⎫ ⎪ =4 1⎪⎪或 x t 即 y ⎪
⎝⎭⎝t ⎭
=y t =4t
矩阵的特征值与特征向量分析及应用毕业论文
摘 要
特征值和特征向量是高等代数中的一个重要概念，为对角矩阵的学习奠定了基础. 本文在特征值和特征向量定义的基础上进一步阐述了特征值和特征向量的关系. 本文还研究矩阵的特征值和特征向量的求解方法. 再列举了特征值和特征向量相关的性质. 最后给出了阵的特征值与特征向量在生活中的运用，并应用于实例.
关键词：矩阵 特征值 特征向量
Abstract
Eigenvalues and eigenvectors are important concepts of advanced algebra which laid
the foundation for the diagonal matrix learning. This paper, on the basis of the definition of eigenvalues and eigenvectors, study the relationship of them. This also study the solution method of eigenvalues and eigenvectors. And then lists the related properties of eigenvalues and eigenvectors. Finally, use the matrix eigenvalues and eigenvectors in ordinary live, and application in real examples.
Keywords : matrix ; eigenvalue ; eigenvector
目 录
引言
第一章、本征值和本征向量的关系
1.1 本征值与本征向量的定义 1.2 求解本征值与本征向量的方法探索
第二章、矩阵的特征多项式和特征根
2.1 矩阵的特征多项式和特征根的定义 2.2 求解特征根和特征向量的方法 2.3 线性变换的特征根与特征向量的求法
第三章、特征值和特征向量在生活中的应用
3.1 经济发展与环境污染的增长模型 3.2 莱斯利（Leslie ）种群模型
四、结论
引言
矩阵是高等代数课程的一个基本概念， 是研究高等代数的基本工具. 。线性空间、线性变换等, 、都是以矩阵作为手段； 由此演绎出丰富多彩的理论画卷. 。求解矩阵的特征值和特征向量, ，是高等数学中经常碰到的问题。一般的线性代数教材中，都是先计算特征多项式，然后求得特征值， 再通过解线性方程组得到对应的特征向量。特征多项式和特征根在整个矩阵理论体系中具有举足轻重的作用，并且在于生活现实中的应用也很广泛。
第一章 本征值和本征向量的关系
1.1本征值与本征向量的定义
定义1 设σ是数域F 上线性空间V 的一个线性变换．如果对应F 中的一个数λ，存在V 中的非零向量ξ，使得σ（ξ）=λξ （1） 那么λ就叫做σ的一个本征值，而ξ叫做σ的属于特征根λ的一个本征向量．
显然，如果ξ是α∈F 的属于本征值λ的一个本征向量，那么对于任意α∈F, 都有
σ（αξ）=ασ（ξ）=λ（αξ）
这样，如果ξ是σ的一个本征向量，那么由ξ所生成的一维子空间U=｛αξ|α∈F ｝在σ之下不变；反过来，如果V 的一个一维子空间U 在σ之下不变，那么U 中每一个非零向量都是σ的属于同一本征值的本征向量。①
其中（1）式的几何意义是：本征向量ξ与它在σ下的象σ（ξ）保持在同一直线L （ξ）上，λ＞0时方向相同，λ＜0时方向相反，λ＝0时，σ（ξ）= 0．
例1 在V3中，σ是关于过原点的平面H 的反 射，它是一个线性变换．那么H 中的每个非零 向量都是σ的属于本征值1的本征向量，V λ 就是平面H ．与H 垂直的非零向量都是σ的
属于本征值 -1的本征向量，即V-1就是直 线L （见图1） 见图1
例2 设V 表示定义在实数域上的可微分任意次的实函数的全体构成的线性空间．令
σ(f(x))= f ′(x), σ是V 的线性变换．对于每个实数λ，有σ(eλx)=λe λx. 所以，λ是σ的本征值，而e λx 是σ的属于λ的本征向量．
1.2求解本征值与本征向量的方法探索
问题的转化
直接由定义来求线性变换的本征值与本征向量往往是困难的，我们可用线性变换的矩阵来解决这个问题．
设V 是数域F 上的n 维线性空间，取定它的基｛α1，α2，…，αn ｝，令线性变换σ在这个基下的矩阵是A ＝（α那么，
⎛k 1⎫
⎪ k 2⎪
σ（ξ）关于基｛α1，α2，…，αn ｝的坐标是A ⎪而λξ的坐标是λ
⎪ k ⎪⎝n ⎭⎛k 1⎫ ⎪ k 2⎪
这样，就有 A ⎪=λ
⎪ k ⎪⎝n ⎭
⎛k 1⎫ ⎪ k 2⎪ ⎪ ⎪ k ⎪⎝n ⎭
⎛k 1⎫ ⎪ k 2⎪ ⎪ ⎪ k ⎪⎝n ⎭
ij ）.
如果ξ＝k 1α1+ k2α2+…+ kn αn 是线性变换σ的属于特征根λ的一个特征向量，
⎛k 1⎫⎛0⎫ ⎪ ⎪ k 2⎪ 0⎪
或（2） （λI-A ） ⎪= ⎪
⎪ ⎪ k ⎪ 0⎪⎝n ⎭⎝⎭
为ξ≠0，所以齐次线性方程（2）有非零解。因而系数行列式
λ-a 11
（3） λI-A=
-a 21 -a n 1
-a 12 -a n 2
-a 1n
-a 2n
=0
λ-a 22
λ-a nn
反过来，如果λ∈F ，满足等式（3），则齐次线性方程组（2）有非零解（k 1，k 2，…，k n ）， ξ＝k 1α1+ k2α2+…+ kn α的属于本征值λ的本征向量。
n
满足等式（1），λ是σ的一个本征值，ξ就是σ
由上面的分析，可以得到以下的结论：
1）λ∈F 是σ的本征值的充分必要条件是它满足方程（3）；
2）对于本征值λ子空间V λ中一切向量在｛α1，α2，…，αn ｝下的坐标正好构成齐次线性方程组（λI-A ）X=0的在F 上的解空间．实际上V λ与（λI-A ）X=0的解空间同构. Vλ的一个基｛β1，β2，…，βn ｝可由齐次线性方程组（λI-A ）X= 0的一个基础解系｛η1，η2，…，ηn ｝给出. （其中βi =(α1，α2，…，αn ) ηi ,
i=1,2, …,r）；②
⎡12-14-3⎤
⎥的特征值和特征向量. 13-15-3例1：求矩阵A =⎢⎢⎥
⎢⎣-16205⎥⎦
λ-12
解：A 的特征多项式为：λE -A =-13
16
143
3=(λ+1)(λ-1)(λ-2) λ-5
λ+15
-20
A 有三个不同的特征值λ1=1，λ2=-1λ3=2
143⎤⎡X 1⎤⎡0⎤⎡λ-12
⎥⎢X ⎥=⎢0⎥ -13λ+153将λ1=1代入其次线性方程组⎢⎢⎥⎢2⎥⎢⎥
⎢-20λ-5⎥⎣16⎦⎢⎣X 3⎥⎦⎢⎣0⎥⎦⎡1⎤
⎥，则A 的属于λ=1全部特征向量为k ∂(k ≠0). 1得基础解系ε1=⎢1111⎢⎥⎢⎣-1⎥⎦143⎤⎡X 1⎤⎡0⎤⎡λ-12
⎥⎢X ⎥=⎢0⎥ -13λ+153将λ2=-1代入其次线性方程组⎢⎢⎥⎢2⎥⎢⎥
⎢-20λ-5⎥⎣16⎦⎢⎣X 3⎥⎦⎢⎣0⎥⎦⎡4⎤
⎥，则A 的属于λ=-1全部特征向量为k ∂(k ≠0). 5得基础解系ε2=⎢2222⎢⎥⎢⎣-6⎥⎦143⎤⎡X 1⎤⎡0⎤⎡λ-12
⎥⎢X ⎥=⎢0⎥ -13λ+153将λ3=2代入其次线性方程组⎢⎢⎥⎢2⎥⎢⎥
⎢-20λ-5⎥⎣16⎦⎢⎣X 3⎥⎦⎢⎣0⎥⎦⎡3⎤
⎥，则A 的属于3得基础解系ε3=⎢λ3=2全部特征向量为k 3∂3(k 3≠0) ⎢⎥⎢⎣-4⎥⎦
第二章 矩阵的特征多项式和特征根
2.1矩阵的特征多项式和特征根的定义
定义2 设A=(aij)是数域F 上的一个n 阶矩阵，行列式
χ-a 11
f A =χI-A=
-a 21 -a n 1
-a 12 -a n 2
-a 1n -a 2n
χ-a 22
χ-a nn
叫做矩阵A 的特征多项式．f A (x ) 在C 内的根叫做矩阵A 的特征根．
设λ0∈C 是矩阵A 的特征根，而x 0∈C n 是一个非零的列向量，使A x 0=λ就是说，x 0是齐次线性方程组(λ0I -A ) X =0的一个非零解．我们称于特征根λ
0的特征向量。③
00 ,
x
x 0是矩阵A 的属
2.2线性变换的本征值与矩阵的特征根的关系
1）如果σ关于某个基的矩阵是A , 那么σ的本征值一定是A 的特征根，但A 的特征根却不一定是σ的本征值，A 的n 个特征根中属于数域F 的数才是σ的本征值； （2）σ的本征向量是V 中满足（1）式的非零向量ξ，而A 的本征向量是C n 中的满足 Ax 0=λ
x 0的非零列向量x 0
3）若λ∈F 是A 的特征根，则A 的F n 中属于λ的就是σ的λ属于的特征向量关于给定基的坐标．
2.3线性变换的特征根与特征向量的求法
现在把求线性变换σ的特征根和特征向量的步
骤归纳如下：
1）在线性空间V 中取一个基｛α1，α2，…，αn ｝，求出σ在这个基下的矩阵A ； 2) 计算特征多项式f A (x )=|XI -A |,求出它的属于数域F 的根λ1，λ2，…，λs ； 3) 对每个λi (i =1,2, …,s ) 求齐次线性方程组(λi I -A ) X =0的基础解系； 4) 以上面求出的基础解系为坐标，写出V 中对应的向量组，它就是特征子空间
V λi 的一个基，从而可确定σ的特征向量．
例4 设R 上的三维线性空间V 的线性变换σ在基｛α1，α2，α3｝下
60⎫⎛4
⎪
的矩阵是 -3-50⎪ 求σ的特征根和对应的特征向量．
-3-61⎪⎝⎭
解 σ的矩阵A 已给出，先求特征多项式和特征根．
χ-4
f A =χI-A=
3
3
-60
0=(χ-1)(χ+2) χ-2
χ+5
6
f A (x ) 的根为λ1＝1（二重根），λ2＝-2都是σ的特征根．对特征根λ1＝1，解齐次线性方程组（1·I -A ）X =0，即
⎧-3χ1-6χ2=0
⎪
⎨3χ1+6χ2=0 ⎪3χ+6χ=0
2⎩1
得基础解系ξ1＝（-2，1，0），ξ2＝（0，0，1）对应的特征向量组是｛-2α1+α
α3｝，它是特征子空间V 1的一个基，所以V 1＝L （-2α1+α2，α3）．而σ的属于
特征根1的一切特征向量为k 1（-2α1+α2）+k 2α3，k 1，k 2∈R ，不全为0．
2,
对特征根λ2＝-2，解齐次线性方程组
⎛-6-60⎫⎛χ1⎫⎛0⎫ ⎪ ⎪ ⎪
30⎪ χ2⎪= 0⎪ 3
3 ⎪ ⎪6-3⎪⎝⎭⎝χ3⎭⎝0⎭
得基础解系ξ3＝（-1，1，1），对应的σ的特征向量是-α1+α2+α3，它可构成V -2的一个基，所以 V -2＝L （-α1+α2+α3）．因此σ的属于特征根-2的一切特征向量为 k （-α1+α2+α3），k ∈R ，k ≠0．④
注意：求A 的特征根时，要考虑给定的数域，若没有指定数域，就在C 内讨论；表示属于某个特征根的特征向量(关于基础解系) 组合系数要取自指定的数域F (或C ) ，且不全为零
第三章 特征值和特征向量在生活中的应用
矩阵的特征值和特征向量理论在经济分析、生命科学和环境保护等领域都有着广泛而重要的应用. 其中，经济发展与环境污染的增长模型，莱斯利（Leslie ）种群模型这两种模型，矩阵的特征值和特征向量在其应用起着重要的作用。
3.1 经济发展与环境污染的增长模型
经济发展与环境污染是当今世界亟待解决的两个突出问题. 为研究某地区的经济发展与环境污染之间的关系，可建立如下数学模型：
设x 0, y 0分别为某地区目前的环境污染水平与经济发展水平，x 1, y 1分别为该地区若干年后的环境污染水平和经济发展水平，且有如下关系：
⎧x 1=3x 0+y 0 ⎨y =2x +2y 00⎩1 令 ⎛x 0⎫⎛x 1⎫
A = α0= y ⎪⎪ y ⎪⎪, α1=
⎝1⎭ ⎝0⎭
则上述关系的矩阵形式为 α=
1
⎛3 2⎝1⎫⎪2⎪⎭
A α0.
此式反映了该地区当前和若干年后的环境污染水平和经济发展水平之间的关系.
x 0⎫⎛1⎫如 α=⎛ 0 1⎪⎪ y ⎪⎪=
0⎭⎝⎭⎝
⎛3则由上式得 α1=A α0= 2
⎝
1⎫⎛1⎫⎛4⎫⎛1⎫⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪=4 ⎪ ⎪ ⎪=4α02⎭⎝1⎭⎝4⎭1⎝⎭
由此可预测该地区若干年后的环境污染水平和经济发展水平.
一般地，若令x t , y t 分别为该地区t 年后的环境污染水平与经济发展水平，则经济发展与环境污染的增长模型为
⎧x t =3x t -1+y t -1
⎨
⎩y t =2x t -1+2y t -1
(t =1, 2, , k )
x t ⎫
令 αt =⎛ y ⎪⎪
⎝t ⎭
则上述关系的矩阵形式为 αt 由此，有
=A αt -1, t =1, 2, , k
1
2
α=A α=A α0, 21
α3=A α2=A 3α0,
t
αt =A αt -1= =A α0.
α=A α,
(*)
由此可预测该地区t 年后的环境污染水平和经济发展水平. 下面作进一步地讨论： 由矩阵A 的特征多项式
得A 的特征值为 λ1
|λE -A |=
λ-3
-2-1
=(λ-4)(λ-1) λ-2
=4, λ2=1
⎛1⎫
对度λ1=4 ，解方程(4E -A ) X =0得特征向量 η1= 1⎪⎪
⎝⎭
1⎫⎛(E -A ) X =0λ=1对1，解方程得特征向量 η2= -2⎪⎪⎝⎭
显然, η1, η2线性无关
下面分三种情况分析：
Case 1 α0=η1= ⎪⎪
一个性质:若α是矩阵A 的属于特征值λ的特征向, 则α也是A 的属于特征值λ的特
k
⎛1⎫
⎝1⎭
k
征向量度 (*) 由(*)及特征值与特征向量的性质知，
⎛1⎫
αt =A α0=A η1=λη1=4 1⎪⎪
⎝⎭
t
t
t 1
t
⎛x t ⎫t ⎛1⎫ ⎪ =4 1⎪⎪或 x t 即 y ⎪
⎝⎭⎝t ⎭
=y t =4t