初三数学 圆易错题
例1 如图23-2，已知AB 为⊙O 直径，C 为上一点，CD ⊥AB 于D ，∠OCD 的平分线CP 交⊙O 于P ，试判断P 点位置是否随C 点位置改变
而改变？
分析：要确定P 点位置，我们可采用尝试的办法，在上
再取几个符合条件的点试一试，观察P 点位置的变化，然
后从中观察规律．
解：
连结OP ，
P 点为中点．
小结：此题运用垂径定理进行推断．
例2 下列命题正确的是( )
A ．相等的圆周角对的弧相等
B ．等弧所对的弦相等
C ．三点确定一个圆
D ．平分弦的直径垂直于弦．
解：
A ．在同圆或等圆中相等的圆周角所对的劣弧相等，所以A 不正确．
B ．等弧就是在同圆或等圆中能重合的弧，因此B 正确．
C ．三个点只有不在同一直线上才能确定一个圆．
D ．平分弦(不是直径) 的直径垂直于此弦．
故选B ．
例3 四边形ABCD 内接于⊙O ，∠A ︰∠B ︰∠C ＝1︰2︰3，求∠D ．
分析：圆内接四边形对角之和相等，圆外切四边形对边之和相等．
解：
设∠A ＝x ，∠B ＝2x ，∠C ＝3x ，则∠D ＝∠A ＋∠C －∠B ＝2x ．
x ＋2x ＋3x ＋2x ＝360°，
x ＝45°．
∴∠D ＝90°．
小结：此题可变形为：四边形ABCD 外切于⊙O ，周长为20，且AB ︰BC ︰CD ＝1︰2︰3，求AD 的长．
例4 为了测量一个圆柱形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度
尺，用如图23-4所示方法得到相关数据，进而可以
求得铁环半径．若测得PA ＝5cm ，则铁环的半径是
__________cm．
分析：测量铁环半径的方法很多，本题主要考查切
线长性质定理、切线性质、解直角三角形的知识进行
合作解决，即过P 点作直线OP ⊥PA ，再用三角板画
一个顶点为A 、一边为AP 、大小为60°的角，这个
角的另一边与OP 的交点即为圆心O ，再用三角函数知识求解．
解：
．
小结：应用圆的知识解决实际问题，应将实际问题变成数学问题，建立数学模型． 例5 已知相交于A 、B 两点，的半径是10，的半径是17，公共弦AB ＝16，求两圆的圆心距．
解：分两种情况讨论：
(1)若位于AB 的两侧(如图23-8) ，
设与AB 交于C ，连结又∵AB ＝16
∴AC ＝8． 在在故
(2)若，则垂直平分AB ，∴ ． 中，中，． ． ． 位于AB 的同侧(如图23-9) ，设
．
的延长线与AB 交于C ，连结
∵垂直平分AB ，
∴．
又∵AB ＝16，
∴AC ＝8． 在在故中，中，． ． ． 注意：在圆中若要解两不等平行弦的距离、两圆相切、两圆相离、一个点到圆上各点的最大距离和最小距离、相交两圆圆心距等问题时，要注意双解或多解问题． 三、相关定理：
1. 相交弦定理
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）
说明：几何语言： 若弦AB 、CD 交于点P ，则PA ·PB=PC·PD （相交弦定理） 例1． 已知P 为⊙O 内一点，
P 任作一弦AB ，设为 。 ，，⊙O
半径为，过，则关于的函数关系式
解：由相交弦定理得，即，其中
2. 切割线定理
推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
说明：几何语言：若AB 是直径，CD 垂直AB 于点P ，则PC^2=PA·PB
例2． 已知PT 切⊙O 于T ，PBA 为割线，交OC 于D ，CT 为直径，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB 长。
解：设TD=，BP=
，由相交弦定理得：
即
由切割线定理，
理，
∴
∴
，（舍） 由勾股定∴
四、辅助线总结
1. 圆中常见的辅助线
1）．作半径，利用同圆或等圆的半径相等．
2）．作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明．
3）．作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算．
4）．作弦构造同弧或等弧所对的圆周角．
5) ．作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角．
6) ．遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角．
7) ．遇到切线，作过切点的半径，构造直角．
8) ．欲证直线为圆的切线时，分两种情况：(1)若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直；(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径．
9) ．遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点．
10) ．遇到三角形的内心，常作：(1)内心到三边的垂线；(2)连结内心和三角形的顶点．
11) ．遇相交两圆，常作：(1)公共弦；(2)连心线．
12) ．遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线．
13) ．求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一条直角边．
2、圆中较特殊的辅助线
1) ．过圆外一点或圆上一点作圆的切线．
2) ．将割线、相交弦补充完整．
3) ．作辅助圆．
例1如图23-10，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，
如果AB ＝10，CD ＝8，那么AE 的长为( )
A ．2 B ．3
C ．4 D ．5
分析：连结OC ，由AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 知CD ＝DE ．设
AE ＝x ，则在Rt △CEO 中，
则，(舍去) ． ，即，答案：A ．
例2如图23-11，CA 为⊙O 的切线，切点为A ，点B 在⊙O
上，如果∠CAB ＝55°，那么∠AOB 等于( )
A ．35° B ．90°
C ．110° D ．120°
分析：由弦切角与所夹弧所对的圆心角的关系可以知道∠
AOB ＝2∠BAC ＝2×55°＝110°．答案：C ．
例3 如果圆柱的底面半径为4cm ，母线长为5cm ，那么侧面积等于( )
A ． B． C． D．
分析：圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的一边长等于圆柱的高，即圆柱的母线长；另一边长是底面圆的周长，所以圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高，即．答案：B ．
例4 如图23-12，在半径为4的⊙O 中，AB 、CD 是两条
直径，M 为OB 的中点，延长CM 交⊙O 于E ，且EM>MC，连
结OE 、DE ，．
求：EM 的长．
简析：(1)由DC 是⊙O 的直径，知DE ⊥EC
，于是
．设EM ＝x ，则AM ·MB ＝x(7－x) ，即．所以．而EM>MC，即EM ＝4．
例5如图23-13，AB 是⊙O 的直径，PB 切⊙O 于点B ，PA 交⊙O 于点C ，PF 分别交AB 、BC 于E 、D ，交⊙O 于F 、G ，且BE 、BD 恰好是关于x
的方程
(其中m 为实数) 的两根．
(1)求证：BE ＝BD ；
(2)若，求∠A 的度数．
简析：(1)由BE 、BD 是关于x
的方程
的两根，得
，则m
＝－2．所以，原方程为(2)由相交弦定理，得．得，即．故BE ＝BD ． ．而PB 切⊙O 于点B ，AB 为⊙O 的直径，得∠ABP ＝∠ACB ＝90°．又易证∠BPD ＝∠APE ，所以△PBD ∽△PAE ，△PDC ∽△PEB ，则，，
所以，所以．在Rt △ACB 中，
，故∠A ＝60°．
初三数学 圆易错题
例1 如图23-2，已知AB 为⊙O 直径，C 为上一点，CD ⊥AB 于D ，∠OCD 的平分线CP 交⊙O 于P ，试判断P 点位置是否随C 点位置改变
而改变？
分析：要确定P 点位置，我们可采用尝试的办法，在上
再取几个符合条件的点试一试，观察P 点位置的变化，然
后从中观察规律．
解：
连结OP ，
P 点为中点．
小结：此题运用垂径定理进行推断．
例2 下列命题正确的是( )
A ．相等的圆周角对的弧相等
B ．等弧所对的弦相等
C ．三点确定一个圆
D ．平分弦的直径垂直于弦．
解：
A ．在同圆或等圆中相等的圆周角所对的劣弧相等，所以A 不正确．
B ．等弧就是在同圆或等圆中能重合的弧，因此B 正确．
C ．三个点只有不在同一直线上才能确定一个圆．
D ．平分弦(不是直径) 的直径垂直于此弦．
故选B ．
例3 四边形ABCD 内接于⊙O ，∠A ︰∠B ︰∠C ＝1︰2︰3，求∠D ．
分析：圆内接四边形对角之和相等，圆外切四边形对边之和相等．
解：
设∠A ＝x ，∠B ＝2x ，∠C ＝3x ，则∠D ＝∠A ＋∠C －∠B ＝2x ．
x ＋2x ＋3x ＋2x ＝360°，
x ＝45°．
∴∠D ＝90°．
小结：此题可变形为：四边形ABCD 外切于⊙O ，周长为20，且AB ︰BC ︰CD ＝1︰2︰3，求AD 的长．
例4 为了测量一个圆柱形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度
尺，用如图23-4所示方法得到相关数据，进而可以
求得铁环半径．若测得PA ＝5cm ，则铁环的半径是
__________cm．
分析：测量铁环半径的方法很多，本题主要考查切
线长性质定理、切线性质、解直角三角形的知识进行
合作解决，即过P 点作直线OP ⊥PA ，再用三角板画
一个顶点为A 、一边为AP 、大小为60°的角，这个
角的另一边与OP 的交点即为圆心O ，再用三角函数知识求解．
解：
．
小结：应用圆的知识解决实际问题，应将实际问题变成数学问题，建立数学模型． 例5 已知相交于A 、B 两点，的半径是10，的半径是17，公共弦AB ＝16，求两圆的圆心距．
解：分两种情况讨论：
(1)若位于AB 的两侧(如图23-8) ，
设与AB 交于C ，连结又∵AB ＝16
∴AC ＝8． 在在故
(2)若，则垂直平分AB ，∴ ． 中，中，． ． ． 位于AB 的同侧(如图23-9) ，设
．
的延长线与AB 交于C ，连结
∵垂直平分AB ，
∴．
又∵AB ＝16，
∴AC ＝8． 在在故中，中，． ． ． 注意：在圆中若要解两不等平行弦的距离、两圆相切、两圆相离、一个点到圆上各点的最大距离和最小距离、相交两圆圆心距等问题时，要注意双解或多解问题． 三、相关定理：
1. 相交弦定理
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）
说明：几何语言： 若弦AB 、CD 交于点P ，则PA ·PB=PC·PD （相交弦定理） 例1． 已知P 为⊙O 内一点，
P 任作一弦AB ，设为 。 ，，⊙O
半径为，过，则关于的函数关系式
解：由相交弦定理得，即，其中
2. 切割线定理
推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
说明：几何语言：若AB 是直径，CD 垂直AB 于点P ，则PC^2=PA·PB
例2． 已知PT 切⊙O 于T ，PBA 为割线，交OC 于D ，CT 为直径，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB 长。
解：设TD=，BP=
，由相交弦定理得：
即
由切割线定理，
理，
∴
∴
，（舍） 由勾股定∴
四、辅助线总结
1. 圆中常见的辅助线
1）．作半径，利用同圆或等圆的半径相等．
2）．作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明．
3）．作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算．
4）．作弦构造同弧或等弧所对的圆周角．
5) ．作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角．
6) ．遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角．
7) ．遇到切线，作过切点的半径，构造直角．
8) ．欲证直线为圆的切线时，分两种情况：(1)若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直；(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径．
9) ．遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点．
10) ．遇到三角形的内心，常作：(1)内心到三边的垂线；(2)连结内心和三角形的顶点．
11) ．遇相交两圆，常作：(1)公共弦；(2)连心线．
12) ．遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线．
13) ．求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一条直角边．
2、圆中较特殊的辅助线
1) ．过圆外一点或圆上一点作圆的切线．
2) ．将割线、相交弦补充完整．
3) ．作辅助圆．
例1如图23-10，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，
如果AB ＝10，CD ＝8，那么AE 的长为( )
A ．2 B ．3
C ．4 D ．5
分析：连结OC ，由AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 知CD ＝DE ．设
AE ＝x ，则在Rt △CEO 中，
则，(舍去) ． ，即，答案：A ．
例2如图23-11，CA 为⊙O 的切线，切点为A ，点B 在⊙O
上，如果∠CAB ＝55°，那么∠AOB 等于( )
A ．35° B ．90°
C ．110° D ．120°
分析：由弦切角与所夹弧所对的圆心角的关系可以知道∠
AOB ＝2∠BAC ＝2×55°＝110°．答案：C ．
例3 如果圆柱的底面半径为4cm ，母线长为5cm ，那么侧面积等于( )
A ． B． C． D．
分析：圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的一边长等于圆柱的高，即圆柱的母线长；另一边长是底面圆的周长，所以圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高，即．答案：B ．
例4 如图23-12，在半径为4的⊙O 中，AB 、CD 是两条
直径，M 为OB 的中点，延长CM 交⊙O 于E ，且EM>MC，连
结OE 、DE ，．
求：EM 的长．
简析：(1)由DC 是⊙O 的直径，知DE ⊥EC
，于是
．设EM ＝x ，则AM ·MB ＝x(7－x) ，即．所以．而EM>MC，即EM ＝4．
例5如图23-13，AB 是⊙O 的直径，PB 切⊙O 于点B ，PA 交⊙O 于点C ，PF 分别交AB 、BC 于E 、D ，交⊙O 于F 、G ，且BE 、BD 恰好是关于x
的方程
(其中m 为实数) 的两根．
(1)求证：BE ＝BD ；
(2)若，求∠A 的度数．
简析：(1)由BE 、BD 是关于x
的方程
的两根，得
，则m
＝－2．所以，原方程为(2)由相交弦定理，得．得，即．故BE ＝BD ． ．而PB 切⊙O 于点B ，AB 为⊙O 的直径，得∠ABP ＝∠ACB ＝90°．又易证∠BPD ＝∠APE ，所以△PBD ∽△PAE ，△PDC ∽△PEB ，则，，
所以，所以．在Rt △ACB 中，
，故∠A ＝60°．