不可压缩流体动力学基础
1．已知平面流场的速度分布为u x =x 2+xy ，u y =2xy 2+5y 。求在点（1，-1）处流体微团的线变形速度，角变形速度和旋转角速度。
解：（1）线变形速度：θx
θy =
∂u y ∂y
=4xy +5
=
∂u x
=2x +y ∂x
角变形速度：εz
1⎛∂u y ∂u x ⎫12
⎪= +=2y +x ⎪2⎝∂x ∂y ⎭2
() )
=3/2；ωz =1/2
=2x +3y 。
1⎛∂u y ∂u x ⎫12⎪旋转角速度：ωz = -=2y -x ⎪22 ∂x ∂x ⎝⎭
(
将点（1，-1）代入可得流体微团的θx =1，εz θy =1；
2．已知有旋流动的速度场为u x =2y +32，u z u y =2z +3x ，试求旋转角速度，角变形速度。 解：旋转角速度：ωx
ωy =
1⎛∂u x ∂u z ⎫1
-⎪= 2⎝∂z ∂x ⎭2
∂u ⎫
1
=
1⎛∂u z ∂u y ⎫1
⎪-= ⎪2⎝∂y ∂z ⎭2
x
⎪ωz = -= ⎪2⎝∂x ∂y ⎭2
1⎛∂u y
1⎛∂u z ∂u y ⎫5
⎪角变形速度：εx = += ⎪2⎝∂y ∂z ⎭2
εy =
1⎛∂u x ∂u z ⎫5
-⎪= 2⎝∂z ∂x ⎭2
1⎛∂u y ∂u x ⎫5
⎪εz = -= ⎪2⎝∂x ∂y ⎭2
5．试确定下列各流场是否满足不可压缩流体的连续性条件？
答：不可压缩流体连续性方程
∂u x ∂u y ∂u z
直角坐标：++=0
∂x ∂y ∂z
（1）
（1）u x =kx , u y =-ky , u z 足
=0 代入（1） 满
（2）u x =y +z , u y =z +x , u z
=x +y 代入（1） 满足
=0
（3）u x k (x 2+xy -y 2), u y =k (x 2+y 2), u z （4）u x =k sin xy , u y =-k sin xy , u z 足
=0
代入（1） 不满足
代入（1） 不满
6．已知流场的速度分布为u x =x 2y ，u y =-3y ，u z 1，2）点上流体质点的加速度。 解
a x =
=2z 2。求（3，
：
∂u x ∂u ∂u ∂u
+u x x +u y x +u z x =0+x 2y ⋅2xy -3y ⋅x 2+0=2x 3y 2-3x 2y ∂t ∂x ∂y ∂z
a y =
∂u y ∂t
+u x
∂u y ∂x
+u y
∂u y ∂y
+u z
∂u y ∂z
=9y
a z =
∂u z ∂u ∂u ∂u
+u x z +u y z +u z z =8z 2 ∂t ∂x ∂y ∂z
将质点（3，1，2）代入a x 、a y 、a z 中分别得：
a x =27，a y =9，a z =64
10. 描绘出下列流速场 解：流线方程：
dx dy =u x u y
4
（a ）u x =4，u y =3，代入流线方程，积分：y =3
x +c
直线族
（b ）u x =4，u y =3x ，代入流线方程，积分：y =3
x 2+c
8
抛物线族
（c ）u x =4y ，u y =0，代入流线方程，积分：y =
c
直线族
（d ）u x =4y ，u y =3，代入流线方程，积分：x =2
y 2+c
3
抛物线族
（e ）u x =4y ，u y =-3x ，代入流线方程，积分：3
x 2+4y 2=c
椭圆族
（f ）u x =4y ，u y =4x ，代入流线方程，积分：x 2
-y 2=c
双曲线族
（g ）u x =4y ，u y =-4x ，代入流线方程，积分：x 2
+y 2=c
同心圆
（h ）u x =4，u y =0，代入流线方程，积分：y =
c
直线族
x 2
（i ）u x =4，u y =-4x ，代入流线方程，积分：y =-+c
2
抛物线族
（j ）u x =4x ，u y =0，代入流线方程，积分：y =
c
直线族
（k ）u x =4xy ，u y =0，代入流线方程，积分：y =
c
直线族
c
（l ）u θu r =，
r
u x =u r cos θ-u θsin θ，由换算公式：=0，u y =u r sin θ+u θcos θ
u x =
c x cx
-0=2r r x +y 2
，u y =c y +0=
r r cy
x 2+y 2
代入流线方程积分：x =
c
直线族 （m ）u r =0，u θ
=
c
r ，代入流线方程积分：
同心圆
y
u c x x =0-r r =-cy x 2+y
2
，x 2
+y 2=c
u cx
y =0+c x r r =
x 2+y 2
不可压缩流体动力学基础
1．已知平面流场的速度分布为u x =x 2+xy ，u y =2xy 2+5y 。求在点（1，-1）处流体微团的线变形速度，角变形速度和旋转角速度。
解：（1）线变形速度：θx
θy =
∂u y ∂y
=4xy +5
=
∂u x
=2x +y ∂x
角变形速度：εz
1⎛∂u y ∂u x ⎫12
⎪= +=2y +x ⎪2⎝∂x ∂y ⎭2
() )
=3/2；ωz =1/2
=2x +3y 。
1⎛∂u y ∂u x ⎫12⎪旋转角速度：ωz = -=2y -x ⎪22 ∂x ∂x ⎝⎭
(
将点（1，-1）代入可得流体微团的θx =1，εz θy =1；
2．已知有旋流动的速度场为u x =2y +32，u z u y =2z +3x ，试求旋转角速度，角变形速度。 解：旋转角速度：ωx
ωy =
1⎛∂u x ∂u z ⎫1
-⎪= 2⎝∂z ∂x ⎭2
∂u ⎫
1
=
1⎛∂u z ∂u y ⎫1
⎪-= ⎪2⎝∂y ∂z ⎭2
x
⎪ωz = -= ⎪2⎝∂x ∂y ⎭2
1⎛∂u y
1⎛∂u z ∂u y ⎫5
⎪角变形速度：εx = += ⎪2⎝∂y ∂z ⎭2
εy =
1⎛∂u x ∂u z ⎫5
-⎪= 2⎝∂z ∂x ⎭2
1⎛∂u y ∂u x ⎫5
⎪εz = -= ⎪2⎝∂x ∂y ⎭2
5．试确定下列各流场是否满足不可压缩流体的连续性条件？
答：不可压缩流体连续性方程
∂u x ∂u y ∂u z
直角坐标：++=0
∂x ∂y ∂z
（1）
（1）u x =kx , u y =-ky , u z 足
=0 代入（1） 满
（2）u x =y +z , u y =z +x , u z
=x +y 代入（1） 满足
=0
（3）u x k (x 2+xy -y 2), u y =k (x 2+y 2), u z （4）u x =k sin xy , u y =-k sin xy , u z 足
=0
代入（1） 不满足
代入（1） 不满
6．已知流场的速度分布为u x =x 2y ，u y =-3y ，u z 1，2）点上流体质点的加速度。 解
a x =
=2z 2。求（3，
：
∂u x ∂u ∂u ∂u
+u x x +u y x +u z x =0+x 2y ⋅2xy -3y ⋅x 2+0=2x 3y 2-3x 2y ∂t ∂x ∂y ∂z
a y =
∂u y ∂t
+u x
∂u y ∂x
+u y
∂u y ∂y
+u z
∂u y ∂z
=9y
a z =
∂u z ∂u ∂u ∂u
+u x z +u y z +u z z =8z 2 ∂t ∂x ∂y ∂z
将质点（3，1，2）代入a x 、a y 、a z 中分别得：
a x =27，a y =9，a z =64
10. 描绘出下列流速场 解：流线方程：
dx dy =u x u y
4
（a ）u x =4，u y =3，代入流线方程，积分：y =3
x +c
直线族
（b ）u x =4，u y =3x ，代入流线方程，积分：y =3
x 2+c
8
抛物线族
（c ）u x =4y ，u y =0，代入流线方程，积分：y =
c
直线族
（d ）u x =4y ，u y =3，代入流线方程，积分：x =2
y 2+c
3
抛物线族
（e ）u x =4y ，u y =-3x ，代入流线方程，积分：3
x 2+4y 2=c
椭圆族
（f ）u x =4y ，u y =4x ，代入流线方程，积分：x 2
-y 2=c
双曲线族
（g ）u x =4y ，u y =-4x ，代入流线方程，积分：x 2
+y 2=c
同心圆
（h ）u x =4，u y =0，代入流线方程，积分：y =
c
直线族
x 2
（i ）u x =4，u y =-4x ，代入流线方程，积分：y =-+c
2
抛物线族
（j ）u x =4x ，u y =0，代入流线方程，积分：y =
c
直线族
（k ）u x =4xy ，u y =0，代入流线方程，积分：y =
c
直线族
c
（l ）u θu r =，
r
u x =u r cos θ-u θsin θ，由换算公式：=0，u y =u r sin θ+u θcos θ
u x =
c x cx
-0=2r r x +y 2
，u y =c y +0=
r r cy
x 2+y 2
代入流线方程积分：x =
c
直线族 （m ）u r =0，u θ
=
c
r ，代入流线方程积分：
同心圆
y
u c x x =0-r r =-cy x 2+y
2
，x 2
+y 2=c
u cx
y =0+c x r r =
x 2+y 2