数列通项公式的几种求法
注：一道题中往往会同时用到几种方法求解，要学会灵活运用。
一、公式法
a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d (n ∈N *)
a n =a 1q
n -1
=
a 1n
⋅q (n ∈N *) q
二、累加法 a n +1=a n +f (n )
例 1 已知数列{a n }满足a n +1=a n +2n +1，a 1=1，求数列{a n }的通项公式。 a n =n 2 。
例2 已知数列{a n }满足a n +1=a n +2⨯3n +1，a 1=3，求数列{a n }的通项公式。（a n =3n +n -1. ）
三、累乘法 a n +1=f (n ) a n
例3 已知数列{a n }满足a n +1=2(n +1)5n ⨯a n ，a 1=3，求数列{a n }的通项公式。
n (n -1) 2
（a n =3⨯2
n -1
⨯5⨯n !. ）
评注：本题解题的关键是把递推关系a n +1=2(n +1)5n ⨯a n 转化为
a n +1
进而求=2(n +1)5n ，
a n
出
a n a n -1a a ⋅⋅ ⋅3⋅2⋅a 1，即得数列{a n }的通项公式。 a n -1a n -2a 2a 1
例4 （2004年全国I 第15题，原题是填空题）
已知数列{a n }满足a 1=1，a n =a 1+2a 2+3a 3+ +(n -1) a n -1(n ≥2) ，求{a n }的通项公式。（a n =
评注：本题解题的关键是把递推关系式a n +1=(n +1) a n (n ≥2) 转化为
n !
. ） 2
a n +1
=n +1(n ≥2) ，a n
进而求出
a n a n -1a ⋅⋅ ⋅3⋅a 2，从而可得当n ≥2时，a n 的表达式，最后再求出数列{a n }的a n -1a n -2a 2
通项公式。
四、待定系数法 a n +1=pa n +q a n +1=pa n +f (n ) a n +2=pa n +1+qa n
（其中p ，q 均为常数）。
例5 已知数列{a n }满足a n +1=2a n +3⨯5n ，a 1=6，求数列{a n }的通项公式。（a n =2n -1+5n ）
评注：本题解题的关键是把递推关系式a n +1=2a n +3⨯5n 转化为a n +1-5n +1=2(a n -5n ) ，从而可知数列{a n -5n }是等比数列，进而求出数列{a n -5n }的通项公式，最后再求出数列
{a n }的通项公式。
例6 已知数列{a n }满足a n +1=3a n +5⨯2n +4，a 1=1，求数列{a n }的通项公式。 （a n =13⨯3n -1-5⨯2n -2）
评注：本题解题的关键是把递推关系式a n +1=3a n +5⨯2+4转化为
n
a n +1+5⨯2n +1+2=3(a n +5⨯2n +2) ，从而可知数列{a n +5⨯2n +2}是等比数列，进而求
出数列{a n +5⨯2+2}的通项公式，最后再求数列{a n }的通项公式。
n
例7 已知数列{a n }满足a n +1=2a n +3n 2+4n +5，a 1=1，求数列{a n }的通项公式。 （a n =2n +4-3n 2-10n -18）
评注：本题解题的关键是把递推关系式a n +1=2a n +3n 2+4n +5转化为
a n +1+3(n +1) 2+10(n +1) +18=2(a n +3n 2+10n +18) ，从而可知数列
进而求出数列{a n +3n 2+10n +18}的通项公式，最后再{a n +3n 2+10n +18}是等比数列，求出数列{a n }的通项公式。
五、递推公式为S n 与a n 的关系式(或S n =f (a n ) )
解法：这种类型一般利用a n =⎨
⎧S 1⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅(n =1)
⎩S n -S n -1⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅(n ≥2)
12n -2
. （1）求a n +1与a n 的关系；（2）求通项公
例8已知数列{a n }前n 项和S n =4-a n -式a n .
六
例9已知数列{a n }满足a n +1=3a n +2⨯3n +1，a 1=3，求数列{a n }的通项公式。 解：a n +1=3a n +2⨯3n +1两边除以3则
n +1
，得
a n +1a n 21
=++， 3n +13n 33n +1
a n +1a n 21
-=+，故 3n +13n 33n +1
a n a n a n -1a n -1a n -2a n -2a n -3a 2a 1a 1
=(-) +(-) +(-) + +(-1) +n n n -2n -2n -3233a n -1a n -[**************]3=(+n ) +(+n -1) +(+n -2) + +(+2) +3333333332(n -1) 11111=+(n +n +n -1+n -2+ +2) +1
333333
1n -1
(1-3)
a n 2(n -1) n 2n 11因此n =， ++1=+-
331-3322⨯3n
则a n =
211
⨯n ⨯3n +⨯3n -. 322
a n +1a n 21
-=+，n +1n n +1
3333
评注：本题解题的关键是把递推关系式a n +1=3a n +2⨯3n +1转化为进而求出(
a n a n -1a n -1a n -2a n -2a n -3a 2a 1a 1⎧a n ⎫
-) +(-) +(-) + +(-) +，即得数列⎨n ⎬3n 3n -13n -13n -23n -23n -332313⎩3⎭
的通项公式，最后再求数列{a n }的通项公式。
七、对数变换法 （当通项公式中含幂指数时适用）
5
例10 已知数列{a n }满足a n +1=2⨯3n ⨯a n ，a 1=7，求数列{a n }的通项公式。
解：因为a n +1=2⨯3⨯a n ，a 1=7，所以a n >0，a n +1>0。在a n +1=2⨯3⨯a n 式两边取常用对数得lg a n +1=5lg a n +n lg3+lg2 设lg a n +1+x (n +1) +y =5(lga n +xn +y )
⑩ 11 ○
n 5n 5
将⑩式代入○11式，得5lg a n +n lg 3+lg +2x n (+
+1) y =
5(lga n +xn +y ，两边消去
5lg a n 并整理，得(lg3+x ) n +x +y +lg 2=5xn +5y ，则
lg 3⎧x =⎪⎧lg3+x =5x ⎪4，故 ⎨⎨
lg 3lg 2x +y +lg 2=5y ⎩⎪y =+⎪164⎩
代入○11式，得lg a n +1+由lg a 1+得lg a n +
lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2
(n +1) ++=5(lga n +n ++) ○12 41644164
lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2
⨯1++=lg 7+⨯1++≠0及○12式， 41644164lg 3lg 3lg 2n ++≠0， 4164
lg a n +1+
则
lg3lg3lg 2
(n +1) ++=5， lg3lg3lg 2lg a n +n ++
4164
lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2
++n ++是以lg 7+为首项，以5为公比的等41644164
lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2n -1
n ++=(lg7+++)5，因此比数列，则lg a n +41644164
所以数列{lga n +
lg a n =(lg7+
lg 3lg 3lg 2n -1lg 3lg 3lg 2++)5-n --4164464
1
4
16
14
n -1n 4
=(lg7+lg 3+lg 3+lg 2)5=[lg(7⋅3⋅3⋅2)]5
14
116
14
14
116
14
n -1
-lg 3-lg 3-lg 2
116
14
n 411614
-lg(3⋅3⋅2)
n 4
116
14
=lg(7⋅3⋅3⋅2)5n -1-lg(3⋅3⋅2) =lg(75n -1⋅3=lg(75n -1⋅3
n -1
5n -1-n 4
⋅3
5n -1-116
⋅2)
5n -1-14
)
5n -4n -116
⋅2
5n -1-14
则a n =75⨯3
5n -4n -116
⨯2
5n -1-14
。
n
5
评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式a n +1=2⨯3⨯a n 转化为
lg a n +1+
lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2
(n +1) ++=5(lga n +n ++) ，从而可知数列41644164
{lga n +
lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2
n ++是等比数列，进而求出数列{lga n +n ++}的通项41644164
公式，最后再求出数列{a n }的通项公式。
八、迭代法
3(n +1)2
例11 已知数列{a n }满足a n +1=a n ，a 1=5，求数列{a n }的通项公式。
n
3(n +1)23n ⋅2解：因为a n +1=a n ，所以a n =a n
-1
n n -1
3(n -1) ⋅2=[a n ]3n ⋅2 -2
n -2n -1
3(n -1) ⋅n ⋅2
=a n -2
2(n -2) +(n -1)
3(n -2) ⋅2=[a n ]3(n -1) ⋅n ⋅2-33(n -2)(n -1) n ⋅2=a n -3
3
n -32(n -2) +(n -1)
(n -3) +(n -2) +(n -1)
= =a 13=a
n -1
⋅2⋅3 (n -2) ⋅(n -1) ⋅n ⋅21+2+ +(n -3) +(n -2) +(n -1)
n (n -1)
2
3n -1⋅n ! ⋅21
又a 1=5，所以数列{a n }的通项公式为a n =5
3n -1⋅n ! ⋅2
n (n -1) 2
。
n
3(n +1)2
评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式a n +1=a n
两边取常用对数得lg a n +1=3(n +1) ⨯2n ⨯lg a n ，即
lg a n +1
=3(n +1)2n ，再由累乘法可推知lg a n
n (n -1) 2
n -1lg a n lg a n -1lg a 3lg a 2
lg a n =⋅⋅ ⋅⋅⋅lg a 1=lg53⋅n ! ⋅2
lg a n -1lg a n -2lg a 2lg a 1
，从而a n =5
3n -1⋅n ! ⋅2
n (n -1)
2
。
九、数学归纳法
例12 已知数列{a n }满足a n +1=a n +
8(n +1) 8
，a =，求数列{a n }的通项公式。 1
(2n +1) 2(2n +3) 29
解：由a n +1=a n +
88(n +1)
a =及，得 122
9(2n +1) (2n +3)
8(1+1) 88⨯224
=+=
(2⨯1+1) 2(2⨯1+3) 299⨯2525
8(2+1) 248⨯348
a 3=a 2+=+=
(2⨯2+1) 2(2⨯2+3) 22525⨯4949
8(3+1) 488⨯480
a 4=a 3+=+=
(2⨯3+1) 2(2⨯3+3) 24949⨯8181a 2=a 1+
(2n +1) 2-1
由此可猜测a n =，往下用数学归纳法证明这个结论。 2
(2n +1) (2⨯1+1) 2-18
（1）当n =1时，a 1==，所以等式成立。 2
(2⨯1+1) 9
(2k +1) 2-1
（2）假设当n =k 时等式成立，即a k =，则当n =k +1时， 2
(2k +1)
8(k +1)
22
(2k +1) (2k +3)
a k +1=a k +
(2k +1) 2-18(k +1) =+(2k +1) 2(2k +1) 2(2k +3) 2[(2k +1) 2-1](2k +3) 2+8(k +1) =
(2k +1) 2(2k +3) 2
(2k +1) 2(2k +3) 2-(2k +3) 2+8(k +1) =
(2k +1) 2(2k +3) 2=
(2k +1) (2k +3) -(2k +1)
(2k +1) 2(2k +3) 2
2
2
2
(2k +3) 2-1=
(2k +3) 2[2(k +1) +1]2-1=
[2(k +1) +1]2
由此可知，当n =k +1时等式也成立。
根据（1），（2）可知，等式对任何n ∈N 都成立。
评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。
*
十、换元法
例13 已知数列{a
n }满足a n +1=
1
(1+4a n ，a 1=1，求数列{a n }的通项公式。
1612
(b n -1) 24
解：令b n =a n =故a n +1=
121
(b n +1-
1) ，代入a n +1=(1+4a n +得 2416
12112
(b n +1-1) =[1+4(b n -1) +b n ] 241624
22即4b n +1=(b n +3)
因为b n =≥
0，故b n +1=≥0 则2b n +1=b n +3，即b n +1=可化为b n +1-3=
13
b n +， 22
1
(b n -3) ， 2
1
为公比的等比数2
所以{b n -
3}是以b 1-3=3=3=2为首项，以列，因此b n -3=2()
12
n -1
111
=() n -2，则b n =() n -2+
3=() n -2+3，得
222
a n =
21n 1n 1
() +() +。
3423
b n ，使得所给递推关系式转化
b n +1=
13
b n +形式，从而可知数列{b n -3}为等比数列，进而求出数列{b n -3}的通项公式，22
最后再求出数列{a n }的通项公式。
课后习题
1:已知数列{a n }满足a 1=
2:已知数列{a n }满足a 1=
3:已知a 1=3，a n +1=
11，a n +1=a n +2，求a n 。 2n +n
2n
a n ，求a n 。 ，a n +1=
3n +1
3n -1
a n (n ≥1) ，求a n 。 3n +2
4:已知数列{a n }中，a 1=1，a n +1=2a n +3，求a n .
5:已知数列{a n }中，a 1=
6:数列{a n }：3a n +2-5a n +1+2a n =0(n ≥0, n ∈N ) ， a 1=a , a 2=b ，求数列{a n }的通项公式。 511n +1, a n +1=a n +() ，求a n 。 632
11
数列通项公式的几种求法
注：一道题中往往会同时用到几种方法求解，要学会灵活运用。
一、公式法
a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d (n ∈N *)
a n =a 1q
n -1
=
a 1n
⋅q (n ∈N *) q
二、累加法 a n +1=a n +f (n )
例 1 已知数列{a n }满足a n +1=a n +2n +1，a 1=1，求数列{a n }的通项公式。 a n =n 2 。
例2 已知数列{a n }满足a n +1=a n +2⨯3n +1，a 1=3，求数列{a n }的通项公式。（a n =3n +n -1. ）
三、累乘法 a n +1=f (n ) a n
例3 已知数列{a n }满足a n +1=2(n +1)5n ⨯a n ，a 1=3，求数列{a n }的通项公式。
n (n -1) 2
（a n =3⨯2
n -1
⨯5⨯n !. ）
评注：本题解题的关键是把递推关系a n +1=2(n +1)5n ⨯a n 转化为
a n +1
进而求=2(n +1)5n ，
a n
出
a n a n -1a a ⋅⋅ ⋅3⋅2⋅a 1，即得数列{a n }的通项公式。 a n -1a n -2a 2a 1
例4 （2004年全国I 第15题，原题是填空题）
已知数列{a n }满足a 1=1，a n =a 1+2a 2+3a 3+ +(n -1) a n -1(n ≥2) ，求{a n }的通项公式。（a n =
评注：本题解题的关键是把递推关系式a n +1=(n +1) a n (n ≥2) 转化为
n !
. ） 2
a n +1
=n +1(n ≥2) ，a n
进而求出
a n a n -1a ⋅⋅ ⋅3⋅a 2，从而可得当n ≥2时，a n 的表达式，最后再求出数列{a n }的a n -1a n -2a 2
通项公式。
四、待定系数法 a n +1=pa n +q a n +1=pa n +f (n ) a n +2=pa n +1+qa n
（其中p ，q 均为常数）。
例5 已知数列{a n }满足a n +1=2a n +3⨯5n ，a 1=6，求数列{a n }的通项公式。（a n =2n -1+5n ）
评注：本题解题的关键是把递推关系式a n +1=2a n +3⨯5n 转化为a n +1-5n +1=2(a n -5n ) ，从而可知数列{a n -5n }是等比数列，进而求出数列{a n -5n }的通项公式，最后再求出数列
{a n }的通项公式。
例6 已知数列{a n }满足a n +1=3a n +5⨯2n +4，a 1=1，求数列{a n }的通项公式。 （a n =13⨯3n -1-5⨯2n -2）
评注：本题解题的关键是把递推关系式a n +1=3a n +5⨯2+4转化为
n
a n +1+5⨯2n +1+2=3(a n +5⨯2n +2) ，从而可知数列{a n +5⨯2n +2}是等比数列，进而求
出数列{a n +5⨯2+2}的通项公式，最后再求数列{a n }的通项公式。
n
例7 已知数列{a n }满足a n +1=2a n +3n 2+4n +5，a 1=1，求数列{a n }的通项公式。 （a n =2n +4-3n 2-10n -18）
评注：本题解题的关键是把递推关系式a n +1=2a n +3n 2+4n +5转化为
a n +1+3(n +1) 2+10(n +1) +18=2(a n +3n 2+10n +18) ，从而可知数列
进而求出数列{a n +3n 2+10n +18}的通项公式，最后再{a n +3n 2+10n +18}是等比数列，求出数列{a n }的通项公式。
五、递推公式为S n 与a n 的关系式(或S n =f (a n ) )
解法：这种类型一般利用a n =⎨
⎧S 1⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅(n =1)
⎩S n -S n -1⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅(n ≥2)
12n -2
. （1）求a n +1与a n 的关系；（2）求通项公
例8已知数列{a n }前n 项和S n =4-a n -式a n .
六
例9已知数列{a n }满足a n +1=3a n +2⨯3n +1，a 1=3，求数列{a n }的通项公式。 解：a n +1=3a n +2⨯3n +1两边除以3则
n +1
，得
a n +1a n 21
=++， 3n +13n 33n +1
a n +1a n 21
-=+，故 3n +13n 33n +1
a n a n a n -1a n -1a n -2a n -2a n -3a 2a 1a 1
=(-) +(-) +(-) + +(-1) +n n n -2n -2n -3233a n -1a n -[**************]3=(+n ) +(+n -1) +(+n -2) + +(+2) +3333333332(n -1) 11111=+(n +n +n -1+n -2+ +2) +1
333333
1n -1
(1-3)
a n 2(n -1) n 2n 11因此n =， ++1=+-
331-3322⨯3n
则a n =
211
⨯n ⨯3n +⨯3n -. 322
a n +1a n 21
-=+，n +1n n +1
3333
评注：本题解题的关键是把递推关系式a n +1=3a n +2⨯3n +1转化为进而求出(
a n a n -1a n -1a n -2a n -2a n -3a 2a 1a 1⎧a n ⎫
-) +(-) +(-) + +(-) +，即得数列⎨n ⎬3n 3n -13n -13n -23n -23n -332313⎩3⎭
的通项公式，最后再求数列{a n }的通项公式。
七、对数变换法 （当通项公式中含幂指数时适用）
5
例10 已知数列{a n }满足a n +1=2⨯3n ⨯a n ，a 1=7，求数列{a n }的通项公式。
解：因为a n +1=2⨯3⨯a n ，a 1=7，所以a n >0，a n +1>0。在a n +1=2⨯3⨯a n 式两边取常用对数得lg a n +1=5lg a n +n lg3+lg2 设lg a n +1+x (n +1) +y =5(lga n +xn +y )
⑩ 11 ○
n 5n 5
将⑩式代入○11式，得5lg a n +n lg 3+lg +2x n (+
+1) y =
5(lga n +xn +y ，两边消去
5lg a n 并整理，得(lg3+x ) n +x +y +lg 2=5xn +5y ，则
lg 3⎧x =⎪⎧lg3+x =5x ⎪4，故 ⎨⎨
lg 3lg 2x +y +lg 2=5y ⎩⎪y =+⎪164⎩
代入○11式，得lg a n +1+由lg a 1+得lg a n +
lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2
(n +1) ++=5(lga n +n ++) ○12 41644164
lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2
⨯1++=lg 7+⨯1++≠0及○12式， 41644164lg 3lg 3lg 2n ++≠0， 4164
lg a n +1+
则
lg3lg3lg 2
(n +1) ++=5， lg3lg3lg 2lg a n +n ++
4164
lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2
++n ++是以lg 7+为首项，以5为公比的等41644164
lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2n -1
n ++=(lg7+++)5，因此比数列，则lg a n +41644164
所以数列{lga n +
lg a n =(lg7+
lg 3lg 3lg 2n -1lg 3lg 3lg 2++)5-n --4164464
1
4
16
14
n -1n 4
=(lg7+lg 3+lg 3+lg 2)5=[lg(7⋅3⋅3⋅2)]5
14
116
14
14
116
14
n -1
-lg 3-lg 3-lg 2
116
14
n 411614
-lg(3⋅3⋅2)
n 4
116
14
=lg(7⋅3⋅3⋅2)5n -1-lg(3⋅3⋅2) =lg(75n -1⋅3=lg(75n -1⋅3
n -1
5n -1-n 4
⋅3
5n -1-116
⋅2)
5n -1-14
)
5n -4n -116
⋅2
5n -1-14
则a n =75⨯3
5n -4n -116
⨯2
5n -1-14
。
n
5
评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式a n +1=2⨯3⨯a n 转化为
lg a n +1+
lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2
(n +1) ++=5(lga n +n ++) ，从而可知数列41644164
{lga n +
lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2
n ++是等比数列，进而求出数列{lga n +n ++}的通项41644164
公式，最后再求出数列{a n }的通项公式。
八、迭代法
3(n +1)2
例11 已知数列{a n }满足a n +1=a n ，a 1=5，求数列{a n }的通项公式。
n
3(n +1)23n ⋅2解：因为a n +1=a n ，所以a n =a n
-1
n n -1
3(n -1) ⋅2=[a n ]3n ⋅2 -2
n -2n -1
3(n -1) ⋅n ⋅2
=a n -2
2(n -2) +(n -1)
3(n -2) ⋅2=[a n ]3(n -1) ⋅n ⋅2-33(n -2)(n -1) n ⋅2=a n -3
3
n -32(n -2) +(n -1)
(n -3) +(n -2) +(n -1)
= =a 13=a
n -1
⋅2⋅3 (n -2) ⋅(n -1) ⋅n ⋅21+2+ +(n -3) +(n -2) +(n -1)
n (n -1)
2
3n -1⋅n ! ⋅21
又a 1=5，所以数列{a n }的通项公式为a n =5
3n -1⋅n ! ⋅2
n (n -1) 2
。
n
3(n +1)2
评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式a n +1=a n
两边取常用对数得lg a n +1=3(n +1) ⨯2n ⨯lg a n ，即
lg a n +1
=3(n +1)2n ，再由累乘法可推知lg a n
n (n -1) 2
n -1lg a n lg a n -1lg a 3lg a 2
lg a n =⋅⋅ ⋅⋅⋅lg a 1=lg53⋅n ! ⋅2
lg a n -1lg a n -2lg a 2lg a 1
，从而a n =5
3n -1⋅n ! ⋅2
n (n -1)
2
。
九、数学归纳法
例12 已知数列{a n }满足a n +1=a n +
8(n +1) 8
，a =，求数列{a n }的通项公式。 1
(2n +1) 2(2n +3) 29
解：由a n +1=a n +
88(n +1)
a =及，得 122
9(2n +1) (2n +3)
8(1+1) 88⨯224
=+=
(2⨯1+1) 2(2⨯1+3) 299⨯2525
8(2+1) 248⨯348
a 3=a 2+=+=
(2⨯2+1) 2(2⨯2+3) 22525⨯4949
8(3+1) 488⨯480
a 4=a 3+=+=
(2⨯3+1) 2(2⨯3+3) 24949⨯8181a 2=a 1+
(2n +1) 2-1
由此可猜测a n =，往下用数学归纳法证明这个结论。 2
(2n +1) (2⨯1+1) 2-18
（1）当n =1时，a 1==，所以等式成立。 2
(2⨯1+1) 9
(2k +1) 2-1
（2）假设当n =k 时等式成立，即a k =，则当n =k +1时， 2
(2k +1)
8(k +1)
22
(2k +1) (2k +3)
a k +1=a k +
(2k +1) 2-18(k +1) =+(2k +1) 2(2k +1) 2(2k +3) 2[(2k +1) 2-1](2k +3) 2+8(k +1) =
(2k +1) 2(2k +3) 2
(2k +1) 2(2k +3) 2-(2k +3) 2+8(k +1) =
(2k +1) 2(2k +3) 2=
(2k +1) (2k +3) -(2k +1)
(2k +1) 2(2k +3) 2
2
2
2
(2k +3) 2-1=
(2k +3) 2[2(k +1) +1]2-1=
[2(k +1) +1]2
由此可知，当n =k +1时等式也成立。
根据（1），（2）可知，等式对任何n ∈N 都成立。
评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。
*
十、换元法
例13 已知数列{a
n }满足a n +1=
1
(1+4a n ，a 1=1，求数列{a n }的通项公式。
1612
(b n -1) 24
解：令b n =a n =故a n +1=
121
(b n +1-
1) ，代入a n +1=(1+4a n +得 2416
12112
(b n +1-1) =[1+4(b n -1) +b n ] 241624
22即4b n +1=(b n +3)
因为b n =≥
0，故b n +1=≥0 则2b n +1=b n +3，即b n +1=可化为b n +1-3=
13
b n +， 22
1
(b n -3) ， 2
1
为公比的等比数2
所以{b n -
3}是以b 1-3=3=3=2为首项，以列，因此b n -3=2()
12
n -1
111
=() n -2，则b n =() n -2+
3=() n -2+3，得
222
a n =
21n 1n 1
() +() +。
3423
b n ，使得所给递推关系式转化
b n +1=
13
b n +形式，从而可知数列{b n -3}为等比数列，进而求出数列{b n -3}的通项公式，22
最后再求出数列{a n }的通项公式。
课后习题
1:已知数列{a n }满足a 1=
2:已知数列{a n }满足a 1=
3:已知a 1=3，a n +1=
11，a n +1=a n +2，求a n 。 2n +n
2n
a n ，求a n 。 ，a n +1=
3n +1
3n -1
a n (n ≥1) ，求a n 。 3n +2
4:已知数列{a n }中，a 1=1，a n +1=2a n +3，求a n .
5:已知数列{a n }中，a 1=
6:数列{a n }：3a n +2-5a n +1+2a n =0(n ≥0, n ∈N ) ， a 1=a , a 2=b ，求数列{a n }的通项公式。 511n +1, a n +1=a n +() ，求a n 。 632
11