数列的综合应用
【教学目标】：
1、掌握常见的求数列通项的一般方法；
2、用数列知识分析解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题。
【教学重难点】：
1、掌握常见的求数列通项的一般方法；
2、用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题
3、灵活应用等差数列、等比数列的定义，把非等差或等比数列的问题，转化成等差或等比数列问题来 解决.
4、用数列知识对数列应用题进行正确的建模。
【教学过程】
知识要点梳理
知识点一：求数列通项公式的一般求法 1．公式法： ①若数列是等差数列或等比数列，可利用等差数列或等比数列的通项公式求.
②若已知数列的前n 项和公式，则。
2．观察法：
观察数列特征，找出各项共同的构成规律，归纳找出通项公式。
（1）根据所给数列的前几项求其通项时，常用观察分析法，先找相同的部分，再找出不同部分与序号
n 之间的关系。 （2）熟记以下数列的前几项： （3）项若正负相间，注意用
3．累加法：
利用恒等式式的方法；形如公式常用此法。
4．累乘法：
（
求通项公
为可求和的等差或者等比数列）的递推数列求通项，或
，
，表示。
，
，
，
。
利用恒等
式
的递推数列求通项公式常用此法。
求通项公式的方法；形
如
5．转化法：
通过对递推关系式进行适当变形，将非等差（等比) 数列转化为与等差数列或等比数列有关的数列形式，从而求得通项公式的方法。常用转化途径：
（1）把数列等差或者等比 数列；
的每一项都取倒数，构成一个新的数列，看新数列是否为
（2）一般地，对递推式为均可用待定
，（为常数，）的数列,
系数法转化为一个新的等比数列来求通项公式。具体步骤：设得
求等比数列
6．数列通项
与
的通项。
，利用已知得即，从而将数列转化为
的关系法：
如果已知条件是关于将条件转化为仅含
或
、的关系式，可利用，
的关系式再根据关系式想法求通项公式。注意分n=1和n≥2两种
情况讨论，若能统一，则应统一，否则，分段表示。
知识点二：数列应用题
在我们生活中经常遇到利息、分期付款和优化等实际问题. 1. 复利的概念：
银行按规定在一定时间结算利息一次，结息后即将利息并入本金，这种计算方法叫做复利.
2. 分期付款
采用分期付款，可以提供几种付款方案，供顾客选择，对于每一种分期付款方案应明确
以下几点：
(1)规定多少时间内付清全部款额；
(2)在规定时间内分几期付款，选择什么还款方式；
(3)规定多长时间段结算一次利息，并且在规定时间段内利息按复利计算.
在选择分期付款方案时，必须计算各种方案中每期应付款多少，总共应付款多少，这样才便于比较，优化选择方案.
规律方法指导
求数列通项公式的常用方法总结： 1．公式法： ①若数列是等差数列或等比数列，可利用等差数列或等比数列的通项公式求.
②若已知数列的前n 项和公式，则。
2．观察法：
观察数列特征，找出各项共同的构成规律，用不完全归纳法求通项公式。 3．累加法： 已知
4．累乘法： 已知
，求通项公式常用此法。 （
可求和），求通项公式常用此法。
5．转化法：
通过对递推关系式进行适当变形构造，得到一个新数列为等差数列或等比数列。一般地，对递推式为
，
（
为常数，
）的数列
, 均可用待定系数
得
法转化为一个新的等比数列来求通项公式。具体步骤：
设
，利用已知得
的通项。
6．数列通项
与
的关系法：
即，从而将数列转化为求等比数列
已知含
或
、的关系式，利用，将条件转化为仅
的递推关系式，再根据关系式选用以上方法求通项公式。注意分n=1和n≥2两种
情况讨论，若能统一，则应统一，否则，分段表示。
7．先猜后证法：
根据已知条件求出前几项，猜出通项，再用数学归纳法证明。 类型一：观察法求数列的通项公式
1．写出下面各数列的一个通项公式：
（1）1，，，，，…；
（2）2，11，101，1001，10001，…； （3）3，0，3，0，3，…； 解析：
（1）各项正负相间，可用
2
3
表示；
各项分母是2―1，2―1，2―1，……，
∴数列的一个通项公式为
（2）各项为10+1，10+1，10+1，10+1， ∴数列的一个通项公式
。
1
2
3
。
（3）因为1，0，1，0，……的通项为，
∴3，0，3，0，……的通项公式为。
总结升华：
（1）根据所给数列的前几项求其通项时，常用观察分析法，先找相同的部分，再找出不同部分与序号
n 之间的关系。 （2）熟记以下数列的前几项： （3）项若正负相间，注意用
，或
，
，表示。
，
，
，
。
举一反三：
【变式】写出下面各数列的一个通项公式：
（1），，，，…。
（2）8，88，888，8888，88888，… 【答案】
（1），，，
∴数列的通项公式为。
（2）将数列改写为
∴.
类型二：累加法求数列的通项公式
2．求分别满足下列条件的数列
，
； （2）
的通项公式，
，可以判断数列
.
.
是等差数列，因此可
（1）
思路点拨：分析（1）题的结构以利用通项公式求解，（2）题的结构
与（1）题相似，虽然不是等差数列，
但可以利用等差数列的通项公式的推导过程中的方法（叠加法）求解. 解析： （1）∵ ∴ （2）∵ 当
将上面
个式子相加得到：
时，
， ， ， ， ，∴数列
是等差数列，且首项为.
，公差为
∴ 当
故 总结升华： 1. 在数列中
，若
时，
.
（符合上式
），
为常数，则数列不是等差数列.
是等差数列；若不是
一个常数，而是关于的式子，则数列 2．当数列的递推公式是
举一反三： 【变式1】数列 【答案】 当
将上面
个式子相加得到： 时，
， ， ，
中
，
，可以利用累加的方法求数列的通项公式.
，求通项公式.
∴ 当
故
时，
.
（
），
符合上式
【变式2】数列 【答案】 当
将上面
∴ 当
故
时，
时，
， ， ，
中，，求通项公式.
个式子相加得到：
（
），
符合上式 .
类型三：累乘法求数列的通项公式
3．求分别满足下列条件的数列
的通项公式
.
（1），； （2），.
思路点拨：分析（1）题的结构，可以判断数列是等比数列，因此可以利
用通项公式求解，（2）题的结构与（1）题相似，虽然不是等比数列，但可以利
用等比数列的通项公式的推导过程中的方法（累乘法）求解. 解析：
（1）∵ ∴
，∴数列
.
是等比数列，且首项为，公比为
（2）∵，
当 将上面
时，，，，… ，
个式子相乘得到：
∴ 当
故 总结升华：
时，
（
， ）， 符合上式 .
1．在数列中个常数，而是关
于的式子，则数列
，若为常数，则数列是等比数列；若不是一
不是等比数列.
2．当数列的递推公式是
举一反三：
，可以利用累乘的方法求数列的通项公式.
【变式1】数列 【答案】
中，，求通项公式.
当
∴
时，时，
符合上式
，
【变式2】已知数列中，，（n ∈N +），求通项公式.
【答案】
由得，∴
，
∴，
∴
当时
，
当 ∴
时，
符合上式
类型四：转化法求通项公式
4．数列
中，
,
，求
.
思路点拨：对两边同除以得，得为等
差数列。把求数列的通项公式转化为求等差数列的通项公式。
解析：∵，∴两边同除以得，
∴成等差数列，公差为，首项，
∴
，
∴.
（
为非零常数）的一类数列，
总结升华：对递推公式可变形为
两边同时除以，得，即把数列的每一项都取倒数，构成一个新的
数列，而恰是等差数列，其通项易求，先求的通项，再求的通项.
举一反三： 【变式1】数列
中，
,
，求
.
【答案】∵，∴，
∴成等差数列，公差为，首项，
∴，
∴
.
【变式2】在数列中，a 1=1，，求。
【答案】由得。
∴是首项为1，公差为的等差数列，
∴，
∴
。
5．已知数列中
, () ，求的通项公式.
思路点拨：把 解析：
方法一：待定系数法
整理成，得数列为等比数列。
∵() ，
∴,
∴,
令，则，
∴是首项为且公比为的等比数列，
∴,
∴
方法二：迭代法
=……
。
方法三：阶差法
①
②，
②-①得:
∴成等比数列且公比为，首项，
∴ ∴当
时
,
当
时，
符合上式
.
∴
总结升华： （1）递推公式为
（为常数）的数列是一类常见的递推数列，称之为
线性递推数列。
当c=1，d=0时它是常数列；当c=1，d≠0时它是等差数列；当c≠0，d=0时它是等比数列。
（2）一般地，对已知数列均可用以下
几种方法求通项公式。 ①待定系数法：
的项满足
，
（
为常数，
）,
设从而将数列
得，利用已知得即，
转化为求等比数列的通项。
②迭代法 ③阶差法。实质是通过通项换元引入一个辅助数列，将问题转化为一个基本数列——等比数列的
问题，通过对辅助数列求和而得到原数列的通项公式，这一方法充分体现了数学中的换元思想
和转化思想。
举一反三： 【变式1】已知数列 【答案】
∴
，
， 中
，
，求
令 ∴ ∴ ∴
，则
是首项为
公比为
，
的等比数列
【变式2】已知数列 【答案】
中，，求
令，则，
∴，即
∴，
∴为等比数列，且首项为，公比，
∴，
故
.
【变式3】已知数列 【答案】
满足, 而且，求这个数列的通项公式.
∵，∴
设，则，即，
∴数列是以为首项，3为公比的等比数列，
∴，∴.
∴
。
类型五：
与
6．数列
的关系式的综合运用
满足
是等比数列；
，
，
（1）用表示
（2）证明：数列 （3）求
和
的表达式.
推出
和
，要证明
是等比数列，只需利
思路点拨：由
用定义证明和反过来求 解析： （1）∵
是常数，这需要探求或直接利用关系式
与的关系，再由等比数列求
.
的前n 项
，∴
当
当
所以 （2）证明：∵
时
，
即
时
,
. , ∴
，显然
,
，
所以数列 （3) 由（2）知： ∴
∴ 方法一：
是等比数列，首项为
（常数），
，公比
. ，
是以2为公比的等比数列，首项为，即
,
，
方法二： ∵数列
的前n 项和：
即 ∴ 方法三： ∵ ∴ 总结升华：
，∴
， .
， .
，
①与的关系式的综合运用，如果已知条件是关于、的关系式，
可利用n≥2时
，将条件转化为仅含
或
的关系式。注意分n=1和n≥2两种情况
讨论，若能统一，
则应统一，否则，分段表示。 ②把数列的递推公式进行适当的变形，使之出现熟悉的等差数列或者是等比数列，从而利用已知的通项
公式求出递推数列的通项公式.
举一反三：
【变式1】如果数列 A
．D ．
的前n 项和为 B
．
，那么数列的通项公式是（ ）
C
．
【答案】D
∵，
∴n≥2时，
∴ ∴ ∴
，即
是等比数列且a 1=6
。
【变式2】已知数列求
。
中，，是数列的前n 项的和，且，
【答案】将 将
变形为。
。
（n≥2）代入并化简，得
由已知可求得S 1=a1=1。 ∴ ∴ ∵
，∴
是等差数列，公差为1，首项为1。
。 ，∴
。
。
∴n≥2时，
而n=1时，a 1=1也适合上式。 ∴
【变式3】已知数列 （1）设
，
，证明
，
是等比数列并求
；
的通项公式
。
（2) 设 （3）求数列 【答案】 （1）∵ 当 当 ∴ ∵
, 证明是等差数列并求.
的通项公式.
,
时，时，
，
，
，
∴ ∴数列
∴ （2）由(1)知
:
，即(),
, 公比为.
.
是等比数列，首项为
, ∴.
∴, 即，
∴
，即,
∴数列为首项, 公差为的等差数列.
∴.
（3）由（2）知：
【变式4
】在数列
成立.
（1）求 （2）求证 【答案】 （1）由已知得 又∵ 若
，∴，则当
时，矛盾，∴
，∴
的值；
是等差数列.
中，
，所以
，若存在常数，使得对任意的正整数
，均有
， ，得
，即，∴
，
或
.
，得
，
这与已知 当
时，得
∵，∴，∴.
（2）由（1）知，
∴，
解得，即.
所以 即 又因为 所以数列
成等差数列.
.
，
（常数），
求和：
数列的综合应用
【教学目标】：
1、掌握常见的求数列通项的一般方法；
2、用数列知识分析解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题。
【教学重难点】：
1、掌握常见的求数列通项的一般方法；
2、用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题
3、灵活应用等差数列、等比数列的定义，把非等差或等比数列的问题，转化成等差或等比数列问题来 解决.
4、用数列知识对数列应用题进行正确的建模。
【教学过程】
知识要点梳理
知识点一：求数列通项公式的一般求法 1．公式法： ①若数列是等差数列或等比数列，可利用等差数列或等比数列的通项公式求.
②若已知数列的前n 项和公式，则。
2．观察法：
观察数列特征，找出各项共同的构成规律，归纳找出通项公式。
（1）根据所给数列的前几项求其通项时，常用观察分析法，先找相同的部分，再找出不同部分与序号
n 之间的关系。 （2）熟记以下数列的前几项： （3）项若正负相间，注意用
3．累加法：
利用恒等式式的方法；形如公式常用此法。
4．累乘法：
（
求通项公
为可求和的等差或者等比数列）的递推数列求通项，或
，
，表示。
，
，
，
。
利用恒等
式
的递推数列求通项公式常用此法。
求通项公式的方法；形
如
5．转化法：
通过对递推关系式进行适当变形，将非等差（等比) 数列转化为与等差数列或等比数列有关的数列形式，从而求得通项公式的方法。常用转化途径：
（1）把数列等差或者等比 数列；
的每一项都取倒数，构成一个新的数列，看新数列是否为
（2）一般地，对递推式为均可用待定
，（为常数，）的数列,
系数法转化为一个新的等比数列来求通项公式。具体步骤：设得
求等比数列
6．数列通项
与
的通项。
，利用已知得即，从而将数列转化为
的关系法：
如果已知条件是关于将条件转化为仅含
或
、的关系式，可利用，
的关系式再根据关系式想法求通项公式。注意分n=1和n≥2两种
情况讨论，若能统一，则应统一，否则，分段表示。
知识点二：数列应用题
在我们生活中经常遇到利息、分期付款和优化等实际问题. 1. 复利的概念：
银行按规定在一定时间结算利息一次，结息后即将利息并入本金，这种计算方法叫做复利.
2. 分期付款
采用分期付款，可以提供几种付款方案，供顾客选择，对于每一种分期付款方案应明确
以下几点：
(1)规定多少时间内付清全部款额；
(2)在规定时间内分几期付款，选择什么还款方式；
(3)规定多长时间段结算一次利息，并且在规定时间段内利息按复利计算.
在选择分期付款方案时，必须计算各种方案中每期应付款多少，总共应付款多少，这样才便于比较，优化选择方案.
规律方法指导
求数列通项公式的常用方法总结： 1．公式法： ①若数列是等差数列或等比数列，可利用等差数列或等比数列的通项公式求.
②若已知数列的前n 项和公式，则。
2．观察法：
观察数列特征，找出各项共同的构成规律，用不完全归纳法求通项公式。 3．累加法： 已知
4．累乘法： 已知
，求通项公式常用此法。 （
可求和），求通项公式常用此法。
5．转化法：
通过对递推关系式进行适当变形构造，得到一个新数列为等差数列或等比数列。一般地，对递推式为
，
（
为常数，
）的数列
, 均可用待定系数
得
法转化为一个新的等比数列来求通项公式。具体步骤：
设
，利用已知得
的通项。
6．数列通项
与
的关系法：
即，从而将数列转化为求等比数列
已知含
或
、的关系式，利用，将条件转化为仅
的递推关系式，再根据关系式选用以上方法求通项公式。注意分n=1和n≥2两种
情况讨论，若能统一，则应统一，否则，分段表示。
7．先猜后证法：
根据已知条件求出前几项，猜出通项，再用数学归纳法证明。 类型一：观察法求数列的通项公式
1．写出下面各数列的一个通项公式：
（1）1，，，，，…；
（2）2，11，101，1001，10001，…； （3）3，0，3，0，3，…； 解析：
（1）各项正负相间，可用
2
3
表示；
各项分母是2―1，2―1，2―1，……，
∴数列的一个通项公式为
（2）各项为10+1，10+1，10+1，10+1， ∴数列的一个通项公式
。
1
2
3
。
（3）因为1，0，1，0，……的通项为，
∴3，0，3，0，……的通项公式为。
总结升华：
（1）根据所给数列的前几项求其通项时，常用观察分析法，先找相同的部分，再找出不同部分与序号
n 之间的关系。 （2）熟记以下数列的前几项： （3）项若正负相间，注意用
，或
，
，表示。
，
，
，
。
举一反三：
【变式】写出下面各数列的一个通项公式：
（1），，，，…。
（2）8，88，888，8888，88888，… 【答案】
（1），，，
∴数列的通项公式为。
（2）将数列改写为
∴.
类型二：累加法求数列的通项公式
2．求分别满足下列条件的数列
，
； （2）
的通项公式，
，可以判断数列
.
.
是等差数列，因此可
（1）
思路点拨：分析（1）题的结构以利用通项公式求解，（2）题的结构
与（1）题相似，虽然不是等差数列，
但可以利用等差数列的通项公式的推导过程中的方法（叠加法）求解. 解析： （1）∵ ∴ （2）∵ 当
将上面
个式子相加得到：
时，
， ， ， ， ，∴数列
是等差数列，且首项为.
，公差为
∴ 当
故 总结升华： 1. 在数列中
，若
时，
.
（符合上式
），
为常数，则数列不是等差数列.
是等差数列；若不是
一个常数，而是关于的式子，则数列 2．当数列的递推公式是
举一反三： 【变式1】数列 【答案】 当
将上面
个式子相加得到： 时，
， ， ，
中
，
，可以利用累加的方法求数列的通项公式.
，求通项公式.
∴ 当
故
时，
.
（
），
符合上式
【变式2】数列 【答案】 当
将上面
∴ 当
故
时，
时，
， ， ，
中，，求通项公式.
个式子相加得到：
（
），
符合上式 .
类型三：累乘法求数列的通项公式
3．求分别满足下列条件的数列
的通项公式
.
（1），； （2），.
思路点拨：分析（1）题的结构，可以判断数列是等比数列，因此可以利
用通项公式求解，（2）题的结构与（1）题相似，虽然不是等比数列，但可以利
用等比数列的通项公式的推导过程中的方法（累乘法）求解. 解析：
（1）∵ ∴
，∴数列
.
是等比数列，且首项为，公比为
（2）∵，
当 将上面
时，，，，… ，
个式子相乘得到：
∴ 当
故 总结升华：
时，
（
， ）， 符合上式 .
1．在数列中个常数，而是关
于的式子，则数列
，若为常数，则数列是等比数列；若不是一
不是等比数列.
2．当数列的递推公式是
举一反三：
，可以利用累乘的方法求数列的通项公式.
【变式1】数列 【答案】
中，，求通项公式.
当
∴
时，时，
符合上式
，
【变式2】已知数列中，，（n ∈N +），求通项公式.
【答案】
由得，∴
，
∴，
∴
当时
，
当 ∴
时，
符合上式
类型四：转化法求通项公式
4．数列
中，
,
，求
.
思路点拨：对两边同除以得，得为等
差数列。把求数列的通项公式转化为求等差数列的通项公式。
解析：∵，∴两边同除以得，
∴成等差数列，公差为，首项，
∴
，
∴.
（
为非零常数）的一类数列，
总结升华：对递推公式可变形为
两边同时除以，得，即把数列的每一项都取倒数，构成一个新的
数列，而恰是等差数列，其通项易求，先求的通项，再求的通项.
举一反三： 【变式1】数列
中，
,
，求
.
【答案】∵，∴，
∴成等差数列，公差为，首项，
∴，
∴
.
【变式2】在数列中，a 1=1，，求。
【答案】由得。
∴是首项为1，公差为的等差数列，
∴，
∴
。
5．已知数列中
, () ，求的通项公式.
思路点拨：把 解析：
方法一：待定系数法
整理成，得数列为等比数列。
∵() ，
∴,
∴,
令，则，
∴是首项为且公比为的等比数列，
∴,
∴
方法二：迭代法
=……
。
方法三：阶差法
①
②，
②-①得:
∴成等比数列且公比为，首项，
∴ ∴当
时
,
当
时，
符合上式
.
∴
总结升华： （1）递推公式为
（为常数）的数列是一类常见的递推数列，称之为
线性递推数列。
当c=1，d=0时它是常数列；当c=1，d≠0时它是等差数列；当c≠0，d=0时它是等比数列。
（2）一般地，对已知数列均可用以下
几种方法求通项公式。 ①待定系数法：
的项满足
，
（
为常数，
）,
设从而将数列
得，利用已知得即，
转化为求等比数列的通项。
②迭代法 ③阶差法。实质是通过通项换元引入一个辅助数列，将问题转化为一个基本数列——等比数列的
问题，通过对辅助数列求和而得到原数列的通项公式，这一方法充分体现了数学中的换元思想
和转化思想。
举一反三： 【变式1】已知数列 【答案】
∴
，
， 中
，
，求
令 ∴ ∴ ∴
，则
是首项为
公比为
，
的等比数列
【变式2】已知数列 【答案】
中，，求
令，则，
∴，即
∴，
∴为等比数列，且首项为，公比，
∴，
故
.
【变式3】已知数列 【答案】
满足, 而且，求这个数列的通项公式.
∵，∴
设，则，即，
∴数列是以为首项，3为公比的等比数列，
∴，∴.
∴
。
类型五：
与
6．数列
的关系式的综合运用
满足
是等比数列；
，
，
（1）用表示
（2）证明：数列 （3）求
和
的表达式.
推出
和
，要证明
是等比数列，只需利
思路点拨：由
用定义证明和反过来求 解析： （1）∵
是常数，这需要探求或直接利用关系式
与的关系，再由等比数列求
.
的前n 项
，∴
当
当
所以 （2）证明：∵
时
，
即
时
,
. , ∴
，显然
,
，
所以数列 （3) 由（2）知： ∴
∴ 方法一：
是等比数列，首项为
（常数），
，公比
. ，
是以2为公比的等比数列，首项为，即
,
，
方法二： ∵数列
的前n 项和：
即 ∴ 方法三： ∵ ∴ 总结升华：
，∴
， .
， .
，
①与的关系式的综合运用，如果已知条件是关于、的关系式，
可利用n≥2时
，将条件转化为仅含
或
的关系式。注意分n=1和n≥2两种情况
讨论，若能统一，
则应统一，否则，分段表示。 ②把数列的递推公式进行适当的变形，使之出现熟悉的等差数列或者是等比数列，从而利用已知的通项
公式求出递推数列的通项公式.
举一反三：
【变式1】如果数列 A
．D ．
的前n 项和为 B
．
，那么数列的通项公式是（ ）
C
．
【答案】D
∵，
∴n≥2时，
∴ ∴ ∴
，即
是等比数列且a 1=6
。
【变式2】已知数列求
。
中，，是数列的前n 项的和，且，
【答案】将 将
变形为。
。
（n≥2）代入并化简，得
由已知可求得S 1=a1=1。 ∴ ∴ ∵
，∴
是等差数列，公差为1，首项为1。
。 ，∴
。
。
∴n≥2时，
而n=1时，a 1=1也适合上式。 ∴
【变式3】已知数列 （1）设
，
，证明
，
是等比数列并求
；
的通项公式
。
（2) 设 （3）求数列 【答案】 （1）∵ 当 当 ∴ ∵
, 证明是等差数列并求.
的通项公式.
,
时，时，
，
，
，
∴ ∴数列
∴ （2）由(1)知
:
，即(),
, 公比为.
.
是等比数列，首项为
, ∴.
∴, 即，
∴
，即,
∴数列为首项, 公差为的等差数列.
∴.
（3）由（2）知：
【变式4
】在数列
成立.
（1）求 （2）求证 【答案】 （1）由已知得 又∵ 若
，∴，则当
时，矛盾，∴
，∴
的值；
是等差数列.
中，
，所以
，若存在常数，使得对任意的正整数
，均有
， ，得
，即，∴
，
或
.
，得
，
这与已知 当
时，得
∵，∴，∴.
（2）由（1）知，
∴，
解得，即.
所以 即 又因为 所以数列
成等差数列.
.
，
（常数），
求和：