高中数学核心知识点常考题型精析：简易逻辑（理）
一、选择题（共38小题）
高中数学核心知识点常考题型精析：简易逻辑（理）
参考答案与试题解析
一、选择题（共38小题）
x
3．原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正
4．设，，是非零向量，已知命题p ：若•=0，•=0，则•=0；命题q ：若∥，∥，则∥，则
5．不等式组
的解集记为D ，有下列四个命题：
p 1：∀（x ，y ）∈D ，x+2y≥﹣2
p 2：∃（x ，y ）∈D ，x+2y≥2 p 3：∀（x ，y ）∈D ，x+2y≤3 p 4：∃（x ，y ）∈D ，x+2y≤﹣1
6．直线l ：y=kx+1与圆O ：x +y=1相交于A ，B 两点，则“k=1”是“△OAB 的面积为”的（ ）
22
2
11．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，
14．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“f （x ）为[0，1]上的增函数”是“f （x ）为[3，4]上的减
18．设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）
21．命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是（ ）
23．若a 、b 为实数，则“0＜ab ＜1”是“a ＜”或“b ＞”的（ ）
22
25．设，是向量，命题“若≠﹣，则||=||”的逆命题是（ ）
26．若实数a ，b 满足a ≥0，b ≥0，且ab=0，则称a 与b
互补，记φ（a ，b ）=
﹣a ﹣b 那么φ（a ，b ）=0是
27． “
”是“tanx=1”成立的（ ）
28．已知命题p 1：函数y=2﹣2在R 为增函数，p 2：函数y=2+2在R 为减函数，则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：
x ﹣x x ﹣x
32．记实数x 1，x 2，…x
n 中的最大数为max{x1，x 2，…x n }，最小数为min{x1，x 2，…x n }．已知△ABC 的三边边长为a 、b 、c （a ≤b ≤c ），定义它的倾斜度为t=max{，，}•min{，，}，x ，则“t=1”是“△ABC 为等边三角形”
33．若，是非零向量，“⊥”是
“函数
为一次函数”的（ ）
34．有四个关于三角函数的命题： P 1：∃x ∈R ，sin
2
+cos
2
=；
P 2：∃x 、y ∈R ，sin （x ﹣y ）=sinx﹣siny ； P 3：∀x ∈[0，π]，P 4：sinx=cosy⇒x+y=
．
=sinx；
37．下列命题正确的是（ ）
x 8
①若f （3）=4xlog23+2，则f （2）+f（4）+…+f（2）=180；
②函数f （x ）=tan2x的对称中心是（
3
2
，0）（k ∈Z ）；
3
2
③“∀x ∈R ，x ﹣x +1≤0”的否定是“∃x ∈R ，x ﹣x +1＞0”； ④设常数α使方程sinx+
cosx=α在闭区间[0，2π]上恰有三个解x 1，x 2，x 3，则x 1+x2+x3=
．
二、填空题（共12小题）
39．以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ（x ）组成的集合：对于函数φ（x ），存
3
在一个正数M ，使得函数φ（x ）的值域包含于区间[﹣M ，M ]．例如，当φ1（x ）=x，φ2（x ）=sinx时，φ1（x ）∈A ，φ2（x ）∈B ．现有如下命题：
①设函数f （x ）的定义域为D ，则“f （x ）∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f （a ）=b”； ②函数f （x ）∈B 的充要条件是f （x ）有最大值和最小值； ③若函数f （x ），g （x ）的定义域相同，且f （x ）∈A ，g （x ）∈B ，则f （x ）+g（x ）∉B ．
④若函数f （x ）=aln（x+2）+（x ＞﹣2，a ∈R ）有最大值，则f （x ）∈B ．
其中的真命题有 ①③④ ．（写出所有真命题的序号）
40．已知两个不相等的非零向量，，两组向量3个排列而成，记S=
•
+
•
+
•
+
，•
+，•，
，
和
，
，
，
，
均由2个和
，S min 表示S 所有可能取值中的最小值．则下列命
题正确的是 ②④
（写出所有正确命题的编号）． ①S 有5个不同的值； ②若⊥，则S min 与||无关； ③若∥，则S min 与||无关； ④若||＞4||，则S min ＞0；
⑤若||=2||，S min =8||，则与的夹角为
2
．
41．设P 1，P 2，…P n 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到点P 1，P 2，…P n 的距离之和最小，则称点P 为P 1，P 2，…P n 的一个“中位点”，例如，线段AB 上的任意点都是端点A ，B 的中位点，现有下列命题： ①若三个点A 、B 、C 共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点A 、B 、C 、D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 其中的真命题是 ①④ （写出所有真命题的序号）．
42．定义“正数对”：ln x=
+
b
+
+
，现有四个命题：
①若a ＞0，b ＞0，则ln （a ）=blna ；
+++
②若a ＞0，b ＞0，则ln （ab ）=lna+lnb ； ③若a ＞0，b ＞0，则
+
+
+
；
④若a ＞0，b ＞0，则ln （a+b）≤ln a+lnb+ln2．
其中的真命题有 ①③④ （写出所有真命题的序号）
43．设函数f （x ）=a+b﹣c ，其中c ＞a ＞0，c ＞b ＞0．
（1）记集合M={（a ，b ，c ）|a，b ，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a ，b ，c ）∈M 所对应的f （x ）的零点的取值集合为 {x|0＜x ≤1} ．
（2）若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是 ①②③ ．（写出所有正确结论的序号） ①∀x ∈（﹣∞，1），f （x ）＞0；
x x x
②∃x ∈R ，使a ，b ，c 不能构成一个三角形的三条边长； ③若△ABC 为钝角三角形，则∃x ∈（1，2），使f （x ）=0．
x x x
44．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是 ①②③⑤ （写出所有正确命题的编号）． ①当0＜CQ ＜时，S 为四边形 ②当CQ=时，S 为等腰梯形
③当CQ=时，S 与C 1D 1的交点R 满足C 1R= ④当＜CQ ＜1时，S 为六边形 ⑤当CQ=1时，S 的面积为
．
45．已知f （x ）=m（x ﹣2m ）（x+m+3），g （x ）=2﹣2，若同时满足条件： ①∀x ∈R ，f （x ）＜0或g （x ）＜0； ②∃x ∈（﹣∞，﹣4），f （x ）g （x ）＜0． 则m 的取值范围是 （﹣4，﹣2） ．
x
46．设n ∈N +，一元二次方程x ﹣4x+n=0有整数根的充要条件是n= 3或4 ．
47．设直线系M ：xcos θ+（y ﹣2）sin θ=1（0≤θ≤2π），对于下列四个命题： A ．M 中所有直线均经过一个定点
B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上 C ．对于任意整数n （n ≥3），存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上 D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是 BC （写出所有真命题的代号）．
2
48．设f （x ）与g （x ）是定义在同一区间D 上的两个函数，若∃x 0∈D ，使得|f（x 0）﹣g （x 0）|≤1，则称f （x ）和g （x ）是D 上的“接近函数”，D 称为“接近区间”；若∀x ∈D ，都有|f（x ）﹣g （x ）|＞1，则称f （x ）和g （x ）是D 上的“远离函数”，D 称为“远离区间”．给出以下命题：
①f （x ）=x+1与g （x ）=x+是（﹣∞，+∞）上的“接近函数”； ②f （x ）=x﹣3x+4与g （x ）=2x﹣3的一个“远离区间”可以是[2，3]； ③f （x ）=④若f （x ）=
和g （x ）=﹣x+b（b ＞
2
2
22
2
）是（﹣1，1）上的“接近函数”，则＜b ≤+1；
．
+2ex与g （x ）=x+a+e（e 是自然对数的底数）是[1，+∞）上的“远离函数”，则a ＞1+
其中的真命题有 ①③ ．（写出所有真命题的序号）
49．已知p ：M ∈{（x ，y ）||x|+|x﹣2|+
≤3}；q ：M ∈{（x ，y ）|（x ﹣1）+y＜r }（r ＞0）．如果p 是q 的
2
2
2
充分但不必要条件，则r 的取值范围是 r ＞ ．
50．设非空集合A ，若对A 中任意两个元素a ，b ，通过某个法则“•”，使A 中有唯一确定的元素c 与之对应，则称法则“•”为集合A 上的一个代数运算．若A 上的代数运算“•”还满足：（1）对∀a ，b ，c ∈A ，都有（a •b ）•c=a•（b •c ）；
（2）对∀a ∈A ，∃e ，b ∈A ，使得e •a=a•e=a，a •b=b•a=e．称A 关于法则“•”构成一个群．给出下列命题： ①实数的除法是实数集上的一个代数运算；
②自然数集关于自然数的加法不能构成一个群；
③非零有理数集关于有理数的乘法构成一个群；
b ④正整数集关于法则a °b=a构成一个群．
其中正确命题的序号是 ②③ ．（填上所有正确命题的序号）．
高中数学核心知识点常考题型精析：简易逻辑（理）
一、选择题（共38小题）
高中数学核心知识点常考题型精析：简易逻辑（理）
参考答案与试题解析
一、选择题（共38小题）
x
3．原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正
4．设，，是非零向量，已知命题p ：若•=0，•=0，则•=0；命题q ：若∥，∥，则∥，则
5．不等式组
的解集记为D ，有下列四个命题：
p 1：∀（x ，y ）∈D ，x+2y≥﹣2
p 2：∃（x ，y ）∈D ，x+2y≥2 p 3：∀（x ，y ）∈D ，x+2y≤3 p 4：∃（x ，y ）∈D ，x+2y≤﹣1
6．直线l ：y=kx+1与圆O ：x +y=1相交于A ，B 两点，则“k=1”是“△OAB 的面积为”的（ ）
22
2
11．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，
14．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“f （x ）为[0，1]上的增函数”是“f （x ）为[3，4]上的减
18．设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）
21．命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是（ ）
23．若a 、b 为实数，则“0＜ab ＜1”是“a ＜”或“b ＞”的（ ）
22
25．设，是向量，命题“若≠﹣，则||=||”的逆命题是（ ）
26．若实数a ，b 满足a ≥0，b ≥0，且ab=0，则称a 与b
互补，记φ（a ，b ）=
﹣a ﹣b 那么φ（a ，b ）=0是
27． “
”是“tanx=1”成立的（ ）
28．已知命题p 1：函数y=2﹣2在R 为增函数，p 2：函数y=2+2在R 为减函数，则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：
x ﹣x x ﹣x
32．记实数x 1，x 2，…x
n 中的最大数为max{x1，x 2，…x n }，最小数为min{x1，x 2，…x n }．已知△ABC 的三边边长为a 、b 、c （a ≤b ≤c ），定义它的倾斜度为t=max{，，}•min{，，}，x ，则“t=1”是“△ABC 为等边三角形”
33．若，是非零向量，“⊥”是
“函数
为一次函数”的（ ）
34．有四个关于三角函数的命题： P 1：∃x ∈R ，sin
2
+cos
2
=；
P 2：∃x 、y ∈R ，sin （x ﹣y ）=sinx﹣siny ； P 3：∀x ∈[0，π]，P 4：sinx=cosy⇒x+y=
．
=sinx；
37．下列命题正确的是（ ）
x 8
①若f （3）=4xlog23+2，则f （2）+f（4）+…+f（2）=180；
②函数f （x ）=tan2x的对称中心是（
3
2
，0）（k ∈Z ）；
3
2
③“∀x ∈R ，x ﹣x +1≤0”的否定是“∃x ∈R ，x ﹣x +1＞0”； ④设常数α使方程sinx+
cosx=α在闭区间[0，2π]上恰有三个解x 1，x 2，x 3，则x 1+x2+x3=
．
二、填空题（共12小题）
39．以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ（x ）组成的集合：对于函数φ（x ），存
3
在一个正数M ，使得函数φ（x ）的值域包含于区间[﹣M ，M ]．例如，当φ1（x ）=x，φ2（x ）=sinx时，φ1（x ）∈A ，φ2（x ）∈B ．现有如下命题：
①设函数f （x ）的定义域为D ，则“f （x ）∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f （a ）=b”； ②函数f （x ）∈B 的充要条件是f （x ）有最大值和最小值； ③若函数f （x ），g （x ）的定义域相同，且f （x ）∈A ，g （x ）∈B ，则f （x ）+g（x ）∉B ．
④若函数f （x ）=aln（x+2）+（x ＞﹣2，a ∈R ）有最大值，则f （x ）∈B ．
其中的真命题有 ①③④ ．（写出所有真命题的序号）
40．已知两个不相等的非零向量，，两组向量3个排列而成，记S=
•
+
•
+
•
+
，•
+，•，
，
和
，
，
，
，
均由2个和
，S min 表示S 所有可能取值中的最小值．则下列命
题正确的是 ②④
（写出所有正确命题的编号）． ①S 有5个不同的值； ②若⊥，则S min 与||无关； ③若∥，则S min 与||无关； ④若||＞4||，则S min ＞0；
⑤若||=2||，S min =8||，则与的夹角为
2
．
41．设P 1，P 2，…P n 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到点P 1，P 2，…P n 的距离之和最小，则称点P 为P 1，P 2，…P n 的一个“中位点”，例如，线段AB 上的任意点都是端点A ，B 的中位点，现有下列命题： ①若三个点A 、B 、C 共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点A 、B 、C 、D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 其中的真命题是 ①④ （写出所有真命题的序号）．
42．定义“正数对”：ln x=
+
b
+
+
，现有四个命题：
①若a ＞0，b ＞0，则ln （a ）=blna ；
+++
②若a ＞0，b ＞0，则ln （ab ）=lna+lnb ； ③若a ＞0，b ＞0，则
+
+
+
；
④若a ＞0，b ＞0，则ln （a+b）≤ln a+lnb+ln2．
其中的真命题有 ①③④ （写出所有真命题的序号）
43．设函数f （x ）=a+b﹣c ，其中c ＞a ＞0，c ＞b ＞0．
（1）记集合M={（a ，b ，c ）|a，b ，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a ，b ，c ）∈M 所对应的f （x ）的零点的取值集合为 {x|0＜x ≤1} ．
（2）若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是 ①②③ ．（写出所有正确结论的序号） ①∀x ∈（﹣∞，1），f （x ）＞0；
x x x
②∃x ∈R ，使a ，b ，c 不能构成一个三角形的三条边长； ③若△ABC 为钝角三角形，则∃x ∈（1，2），使f （x ）=0．
x x x
44．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是 ①②③⑤ （写出所有正确命题的编号）． ①当0＜CQ ＜时，S 为四边形 ②当CQ=时，S 为等腰梯形
③当CQ=时，S 与C 1D 1的交点R 满足C 1R= ④当＜CQ ＜1时，S 为六边形 ⑤当CQ=1时，S 的面积为
．
45．已知f （x ）=m（x ﹣2m ）（x+m+3），g （x ）=2﹣2，若同时满足条件： ①∀x ∈R ，f （x ）＜0或g （x ）＜0； ②∃x ∈（﹣∞，﹣4），f （x ）g （x ）＜0． 则m 的取值范围是 （﹣4，﹣2） ．
x
46．设n ∈N +，一元二次方程x ﹣4x+n=0有整数根的充要条件是n= 3或4 ．
47．设直线系M ：xcos θ+（y ﹣2）sin θ=1（0≤θ≤2π），对于下列四个命题： A ．M 中所有直线均经过一个定点
B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上 C ．对于任意整数n （n ≥3），存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上 D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是 BC （写出所有真命题的代号）．
2
48．设f （x ）与g （x ）是定义在同一区间D 上的两个函数，若∃x 0∈D ，使得|f（x 0）﹣g （x 0）|≤1，则称f （x ）和g （x ）是D 上的“接近函数”，D 称为“接近区间”；若∀x ∈D ，都有|f（x ）﹣g （x ）|＞1，则称f （x ）和g （x ）是D 上的“远离函数”，D 称为“远离区间”．给出以下命题：
①f （x ）=x+1与g （x ）=x+是（﹣∞，+∞）上的“接近函数”； ②f （x ）=x﹣3x+4与g （x ）=2x﹣3的一个“远离区间”可以是[2，3]； ③f （x ）=④若f （x ）=
和g （x ）=﹣x+b（b ＞
2
2
22
2
）是（﹣1，1）上的“接近函数”，则＜b ≤+1；
．
+2ex与g （x ）=x+a+e（e 是自然对数的底数）是[1，+∞）上的“远离函数”，则a ＞1+
其中的真命题有 ①③ ．（写出所有真命题的序号）
49．已知p ：M ∈{（x ，y ）||x|+|x﹣2|+
≤3}；q ：M ∈{（x ，y ）|（x ﹣1）+y＜r }（r ＞0）．如果p 是q 的
2
2
2
充分但不必要条件，则r 的取值范围是 r ＞ ．
50．设非空集合A ，若对A 中任意两个元素a ，b ，通过某个法则“•”，使A 中有唯一确定的元素c 与之对应，则称法则“•”为集合A 上的一个代数运算．若A 上的代数运算“•”还满足：（1）对∀a ，b ，c ∈A ，都有（a •b ）•c=a•（b •c ）；
（2）对∀a ∈A ，∃e ，b ∈A ，使得e •a=a•e=a，a •b=b•a=e．称A 关于法则“•”构成一个群．给出下列命题： ①实数的除法是实数集上的一个代数运算；
②自然数集关于自然数的加法不能构成一个群；
③非零有理数集关于有理数的乘法构成一个群；
b ④正整数集关于法则a °b=a构成一个群．
其中正确命题的序号是 ②③ ．（填上所有正确命题的序号）．