人口老龄化及“全面二孩政策”的影响研究
课程名称 学 院 年级 专业班
学 生 姓 名 学 号
开 课
时 间 至学期
组员构成：
赵福强（20144608）
金海江（）
人口老龄化及“二孩政策”的影响研究
摘要
近年来，我国人口增长趋势持续走低，相关部门针对有可能存在的问题提出了一系列新的人口政策。本文针对“二孩”政策对人口变化的影响，结合人口变化中存在的老龄化，性别比例失衡等问题，对中国人口总量以及人口分布建立了人口模型进行预测。首先，在《中国统计年鉴》以及历次人口普查数据的基础上，分析了性别比例、死亡率以及生育率对人口增长的影响。使用Leslie人口模型对人口总量预测，Leslie模型能够更好地用于预测人口比例结构。最后采用Matlab编程对Leslie人口模型实现，对2016-2050年间的人口总量及人口分布规律进行了预测。
文中所涉及模型均采用Matlab进行求解，从模型的结果中可以看出，从长期发展来看，全面二孩政策要优于现行政策和单独二孩政策。人口总量得到了一定的控制，人口年龄结构失衡的状态也得到缓解，虽然未来40年抚养负担加重及老龄化趋势已经不可避免，但相比于现行政策和单独二孩政策，老龄化趋势有所缓解，老年抚养比下降，总抚养比到2060年以后开始回落，且回落速度较快，人口结构开始年轻化。既然未来50年总人口抚养比上升趋势无法避免，只有提高人口质量，优化教育。教育是科学技术发展的基础，人口素质的提高是加快经济发展、应对高度老龄化，抚养比加重的根本途径。同时健全社会保障体系，发展老龄化产业，合理提高老年人退休年限。
关键词：Leslie 模型；人口预测；人口老龄化；单独二孩；全面二孩；matlab
1问题重述
中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。我国人口发展经历了多个阶段，近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。全面建设小康社会时期是我国社会快速转型期，人口发展面临着前所未有的复杂局面，人口安全面临的风险依然存在，既2013年中共十八届三中全会决定启动实施“单独二孩”政策之后，2015年10月，中共十八届中央委员会第五次全体会议公报指出：促进人口均衡发展，坚持计划生育的基本国策，完善人口发展战略，全面实施一对夫妇可生育两个孩子政策，二孩全
面开放将为年龄结构的演变带来一定的影响。
2模型的假设与符号的约定
2.1模型的假设与说明
假设1：所有数据均具有真实可靠，具有统计分析价值；
假设2：本问题所研究的是一个封闭系统，即不考虑人口迁移问题；
假设3：在预测期内，不发生战争及自然灾害等引起大规模的人口伤亡或人口迁移，即人口变化保持平稳，不出现骤减的现象；
假设4：各地各民族的人口政策相同；
假设5：假设2010年前城市夫妻双方都是独生子女只能生一胎，2011年政策开放后，允许生两胎；
假设4：15周岁到49周岁的所有女性为育龄妇女，不考虑其是否已婚、丧偶，是否具有生育能力；
假设5：不考虑生育率、死亡率和男女性别比随着区域人口流动发生变化的情况；
假设6：假设用多胞胎的数量来抵消那些不结婚的成年男女；
假设7：各年段人口死亡率不出现突变现象；
假设8：中国所能容纳的人口有限。
2.2符号的约定与说明
xi(t)：第t年第i年龄组的女性人口数，i=0，1，2„„100
di(t)：第t年第i年龄组的女性死亡率
si(t)：第t年第i年龄组的女性存活率，si(t)=1-di(t)
bi(t)：第t年第i年龄组的女性生育率
w(t)：第t年出生人口中女性新生儿比例
3问题分析与求解
3.1问题分析
人口问题一直是人类社会发展的核心，中国是一个人口数量大国，人口政策作为调控人口各项指标的直接手段，关系到中国人口数量、人口规模以及经济、资源、环境的协调发展。题中主要要求对不同生育政策下人口数量和人口规模进行分析预测。近年来，发展较为成熟的人口预测模型主要有BP神经网络模型，
Logistic模型，Leslie模型以及GM(1，1)模型等，选取哪种模型进行预测，是首要考虑的问题。BP神经网络模型需要大量的历史数据来进行预测，这些数据的获得比较困难，操作也比较繁琐，长期预测效果不是很好，因此不予考虑。可考虑用Logistic模型和Leslie模型对人口规模进行预测，由于Leslie模型在预测人口数量的同时，对人口结构也能进行很好的预测，可做重点考虑。
其次，题中涉及的单独二孩政策，全面二孩政策，如何对这两个政策进行定性及定量分析，怎样区别这两个政策，哪些因素决定着生育政策的不同，这是需要去考虑的。对于第三问的“给出我国人口政策改革的方向和政策建议”，需比较政策实施前后人口数量变化趋势，及人口结构的变化，尤其需要具体分析三种政策下人口老龄化程度，人口性别比，人口抚养比，人口老化指数等等，从而给出合理化建议，故选用Leslie模型。
3.2模型分析
Leslie模型属于一种以年龄和性别为基础的离散矩阵模型，人口学家很早就利用这个原理进行人口预测方面的研究，模型构建原理：按性别分组，以女性某一初始时期的分年龄别人口数作为一个列向量，通过年龄别生育率、年龄别死亡率构建Leslie矩阵，右乘分年龄别人口数的列向量，得到新的列向量作为新的女性人口，通过男女比例推算出总人口。所以Leslie模型是以离散的人口作的相关自变量、性别分组及某一初始时期的人口发展数据为机理，能对未来一个或多个区域进行人口规模和年龄结构以及性别比进行预测的综合模型。
本文基于Leslie模型对中国人口规模及结构进行预测分析，具体分析如下： 首先，将我国的人口按年龄分为101组，以一年为间隔，100岁及100岁以上的全部划分到一个年龄组，
第t年第i年龄组的女性人口数为 ，i=0，1，2„„100
第t+1年第i年龄组的女性人口数:
x1(t+1)=biwxi(t)
第t+1年第i+1年龄组的女性人口数为第t年第i年龄组存活下来的女性人口数：
xi+1(t+1)=si(t)xi(t)
构造的Leslie矩阵 i=1m
wb1wb2s01
L=0s2......
0...
得到Leslie人口预测模型：
x0(t1)wb1x(t1)s11
=0x(t+1)=...x(t1)m1...
x(t1)0m...wbm-1...0...0wb20s2............0sm-1wbm0... 其中i ...0wbmx0(t)x(t)01.......=Lx(t) ...xm1(t)0xm(t)
(5-6) ...wbm-1...0...0......0sm-1
人口预测模型的矩阵简化式为：
x(t+1)=Lx(t) (5-7)
通过递推公式可得
x(t)=L'x(0) (5-8)
因此，可根据L矩阵及初始女性人口分布向量x(0)，得到第t年女性人口的分布数量，通过男女比例推算出总人口的各项指标。
本文所建立的Leslie模型涉及到四个变量：年龄别生育率、总和生育率、年龄别死亡率和出生人口性别比。
年龄别生育率、总和生育率和年龄别死亡率均由原始资料（见附件）直接获得。
出生人口性别比采用2013年全国人口变动情况抽样调查样本数据。
四、问题求解
4.1变化趋势
在现行政策、单独二孩政策和全面二孩政策下人口总量预测包括人口总量变动趋势预测与自然增长率变动趋势预测。按照上述设定的参数值及Leslie模型预测方法，在现行政策、单独二孩政策和全面二孩政策下对我国未来40年的人口趋势进行中长期的预测。人口总量变动趋势如图1所示，自然增长率变动趋势如图2所示。
图1. 2010-2050年人口总量
图2. 2010-2050年人口自然增长率
在现行政策、单独二孩政策和全面二孩政策下，利用Leslie模型预测人口总量的趋势，给出未来40年的人口总规模变化趋势。
据图1可得，三种政策下未来40年我国人口整体变动呈现先升高后降低的趋势。在现行政策下，2010年之后我国未来人口总规模开始缓慢增长，到2019年人口总量出现峰值13.57亿，2019年后人口总量开始回落，直至2050年人口总量为10.65亿。单独二孩政策下，到2022年人口总量出现峰值14.16亿，2022年后人口总量开始回落，直至2050年人口总量为12.18亿。全面二孩政策下，人口总数在2027年达到峰值14.52亿，到2050年，人口总量降到13.38亿。
实施单独二孩政策后，由于该政策的实施使得未来人口的生育率升高，未来40年人口总量相比现行政策下的人口总量明显增多。此外，实施单独二孩政策后，人口总量峰值的出现晚于现行政策的人口总量峰值。而全面二孩政策相比单独二孩政策，人口峰值也往后延迟了，且2050年人口总量要高出很多。
图2给出了未来40年在现行政策、单独二孩政策和全面二孩政策下的人口自然增长率变动趋势，单独二孩政策下的人口自然增长率明显高于现行政策下的人口自然增长率，在现行政策下我国人口自然增长率逐年下降，到达2019年后人口增长率减为0，人口的负增长从2020年开始，且负增长越来越大，并迅速降至2050年的-1.6%。在单独二孩政策下的自然增长率仍然逐年下降，到达2025年后人口增长率减为0，人口的负增长从2025年开始，且负增长越来越大，并
迅速降至2050年的-0.9%。在全面二孩政策下，人口自然增长率在2027年开始负增长，但在2033年以后人口自然增长率逐渐趋于平缓，2050年人口自然增长率为-0.65%，相比现行政策2050年人口自然增长率的-1.6%，有了很大改善。
由上述分析可知，实施二孩政策后，人口增长率的减小幅度较小，且出现人口增长率为零的时间晚于现行政策下的人口增长率，且全面二孩政策明显优于单独二孩政策。
4.2对人口结构的预测及老龄化问题
人口结构的预测包括人口老龄化与人口性别比以及少年人口系数，老年人口系数，青壮年人口数，总抚养比等的预测。
图3. 2011-2050年人口性别比
由上图可以看出，全面二孩政策的实施，我国未来40年的人口性别比和现行政策、单独二孩政策相比，均逐年下降，且全面二孩政策下，下降幅度更快。到2050 年，人口性别比由2011年的104降到95。从2027年开始跌落到100以下，也就是说，2027年以后，我国的女性人口将超过男性人口。
图4. 2010-2050年少年人口系数
图5. 2010-2050年老年人口系数
图6. 2010-2050年人口老化指数
图7. 2010-2050年少年老年人口抚养比
图8. 2010-2050年青壮年人口系数
图9. 2010-2050总抚养比
从图中可以看出，现行政策与单独二孩政策下，少年人口系数与青壮年人口系数在未来的40年内整体也呈下滑趋势。现行政策下，到2050年少年人口系数与青壮年人口系数分别降为9.7%、62.6%，单独二孩政策下，到2050年分别降为15.2%、62.9%，但相比现行政策下的少年人口系数，单独二孩政策下的少年人口系数较大，在2040年后少年人口系数趋于稳定，至2045年后少年人口系数有上升趋势，相比现行政策下的青壮年人口系数，单独二孩政策下的青壮年人口系数较小，且两种政策下青壮年人口系数变动趋势基本相同；而老年人口系数呈持续增长趋势，2050年达到22.8%，相比现行政策下的老年人口系数，单独二孩政策实施后，老年人口系数相比现行政策下的较小；单独二孩政策实施后，人口总抚养比在未来的40年整体持续增高，其2023年人口总抚养比略有下降，至2026年后人口总抚养比开始继续增大，2050年人口总抚养比达到62.6%，高于现行政策下的59.3%；而老年人口抚养比在未来的40年也持续增高，至2050年达到37.4%，老年人口抚养比低于现行政策的41.6%；2010年女性人口为6.53亿人，男性人口为6.87亿人，人口性别比为105，但女性人口的比例在未来的40年逐渐升高，至2026年人口性别比下降为100，男女人数持平，随着年份的增长，2050年人口性别比列下降为95.2，且单独二孩政策下未来人口性别比整体低于现行政策的人口性别比。由此可见实施单独二孩政策后，未来的40年内女性人口数仍然会高于男性人口数，但实施单独二孩政策后，相比现行政策下少
年人口系数增大、老年人口系数减小及老年人口抚养比降低。因此，相对来说实施单独二孩政策后，对人口老龄化趋势的缓解起到了较好的作用，易于保持社会经济的稳定。
从图中可以看出，全面二孩政策的执行，在未来的40年里，我国少年儿童占总人口的比重虽然还是降低，但同现行政策和单独二孩政策相比，少年儿童占总人口的比重已经明显提升，有了很大改善。未来40年里，人口老龄化程度依然加剧，但在2040年以后基本保持平稳。人口老化指数依然呈现增长，但同另两个政策相比，人口老化指数有所降低。但劳动适龄人口比重降低，虽然同另外两个政策相比，老年人口系数有所减少，但减小幅度很小，而少年儿童人口数上升，导致总抚养比上升，到2050年，总抚养比高达67%，也就意味每10个劳动适龄人口要养育近乎7个非劳动适龄人口。
4.3 人口政策改革的方向和政策建议
综合人口结构来看，全面二孩政策下，在未来的40年里，我国少年儿童占总人口的比重要高出现行政策和单独二孩政策下少年儿童占总人口的比重，达到17%。老年人口系数依然呈现上升趋势，但在2040年以后增长程度变缓，呈现平稳趋势。人口老化指数依然呈现增长，但同另两个政策相比，人口老化指数显著降低。在2042年以后呈现下降趋势，到2050年，老年人口和少年儿童人口基本一样，意味着人口逐渐开始年轻化。同时可以看到老年抚养比上升的趋势在2040年以后得到逐渐平缓。相比另外两个政策劳动适龄人口比重降低，但究其原因，是由于少年儿童人口数量增大导致总抚养比上升，但可以看到2060年以后总抚养比开始下降，且下降趋势迅速。
综上所述，从长期发展来看，全面二孩政策要优于现行政策和单独二孩政策。全面二孩政策下我国人口总数在2027年达到峰值14.52亿，到2050年，人口总量降到13。38亿，人口规模得到一定的控制，其中十二五期间人口总量控制在13。8亿之内，符合我国制定的十二五规划中的人口总量不能超过13。9亿的要求。人口总量得到了一定的控制，人口年龄结构失衡的状态也得到缓解，虽然未来40年抚养负担加重及老龄化趋势已经不可避免，但相比于现行政策和单独二孩政策，老龄化趋势有所缓解，老年抚养比下降，总抚养比到2060年以后开始回落，且回落速度较快，人口结构开始年轻化。所以，我国应尽快落实“二孩”人口政策，使总和生育率达到最佳更替水平2.1，并且宣布未来至少二十年不会再次实行紧缩生育政策，以免人们由于担心政策再次紧缩而出现抢生的风险，保证人口持续发展的稳定性。继续推行“关爱女孩”计划，促使人口性别比回归正常水平。既然未来50年总人口抚养比上升趋势无法避免，只有提高人口质量，优化教育。教育是科学技术发展的基础，人口素质的提高是加快经济发展、应对高度老龄化，抚养比加重的根本途径。同时健全社会保障体系，发展老龄化产业，合理提高老年人退休年限。
注：
1.1981年及以前数据为户籍统计数;1982、1990、2000、2010年数据为当年人口普查数据推算数；其余年份数据为年度人口抽样调查推算数据。
2.总人口和按性别分人口中包括现役军人，按城乡分人口中现役军人计入城镇人口。
附录二：人口结构表
b=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.20e-08 3.33e-05 0.000964679 0.005942649 0.017576217 0.034509514 0.052636316 0.067985513 0.078287436 0.083045681 0.082937903 0.079166813 0.073004794 0.065552067 0.057649045 0.049877081 0.042599409 0.036013423 0.030199795 0.025162689 0.020860038 0.017224951 0.014180046 0.011646511 0.009549449 0.007820694 0.006400002 0.005235229 0.004281934 0.003502677 0.002866199 0.002346573 0.001922413 0.00157615 0.001293396 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ];
k =[118.4393 117.6921 116.9495 116.2117 115.4785 114.7499 114.0259 113.3065 112.5916 111.8812 111.1753 110.4739 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110];
n=[6174249.184 5768666.662 6230389.137 6341523.331 6441200.392 6577540.279 5976040.776 6403391.852 6698985.893 6763145.84 6757417.273 7521608.071 7559416.611 7948959.146 8718878.51 8283507.441 8628367.156 8581392.909 8762415.617 10822408.2 10788036.8 9879486.122 11044676.59 9607952.061 8673049.976 8505775.829 8458801.582 9504837.86 8430158.748 8411827.335 8787621.31 8872404.097 8453073.015 9579309.227 10022700.29 10896879.57 11722938.88 12246529.88 12542123.92 13841362.85 13064569.2 13905522.8 11653050.37 13144769.14 12956872.15 12858340.8 14932081.95 6436617.539 11105399.39 8195287.514 7664822.238 9562123.527 10522231.31 9943646.069 10304545.77 10362977.15 9337563.713 9247052.359 8191850.374 8140293.274 7538793.771 6540877.452 6374749.018 5601392.514 5270281.359 5059470.105 4492342.002 4470573.449 4504944.849 4200185.101 3820953.986 4066136.6467 3740754.052 3586082.751 3385582.917 3181645.942 2994894.668 2517132.206 2226121.018 2291426.678 1842307.049 1716278.582 1574210.128 1271741.806 1174356.172 937193.5113 706905.1302 612956.6364 521299.5692 449119.6289 1189250.446];
%m=[7665967.951 7244345.442 7496402.377 7834387.812 7727836.472 8270904.594 7449428.13 7702630.778 8238824.621 8100193.307 8433595.888 8850635.544 8981246.864 9397140.806 9879486.122 9375372.253 9862300.422 9866883.275 9740854.808 11760747.42 11205076.46 10332042.89 10510774.17 9746583.375 8616910.023 8620347.163 8209036.074 9716794.828 8438178.742 8183830.38 8710858.516 8383184.501 8209036.074 9318086.586 9870320.415 10600139.81 11470881.95 11860424.49 12668152.39 13639717.3 12976349.28 13857402,84 11460570.53 12860632.23 12846883.67 12689920.94 14677733.59 6202892.017 10831573.91 7897402.046 7486090.957 9803869.042 10705545.44 9941354.643 10689505.45 10554311.28 9265383.772 9597640.641 7867613.499 8077279.04 7999370.533 6736794.433 6558063.152 5715963.848 5469635.48 5359647 4617224.756 4467136.309 4477447.729 4309027.868 3832411.119 4152065.141 3733879.772 3536817.077 3371834.357 3025828.928 2973126.115
2417455.145 2065721.15 2116132.537 1579938.694 1455055.941 1142276.199 910842.1045 844390.7308 679408.01 552233.8294 445682.4889 313925.4549 266951.208 508696.7225]; s1=(1000-d1)/1000;%计算女性年龄别存活率 s2=(1000-d2)/1000;%计算男性年龄别存活率
M1=eye(90); for i=1:90
%生成90维单位矩阵Ml
M1(i,:)=M1(i,:)*s1(1,i); end
%通过循环语句将女性年龄别存活率赋值到M1矩阵对角线元素 h=zeros(91,1);%生成零矩阵h N1=[B;M1]; L1=[N1,h]; i=1;
X(:,i)=L1*n0;
X(1,i)=X(1,i)*100/(100+k(i)); for i =2:51
X(:,i)=L1*X(:,i-1);
X(1,i)= X(1,i)*100/(100+k(i)); end
%计算未来50年女性预测人口数，记为矩阵X M2=eye(90); for i=1:90
M2(i,:)=M2(i,:)*s2(1,i); end
h0=zeros(1,90); N2=[h0;M2]; L2=[N2,h]; i=1;
Y(:,i)=L2*m0;
Y(1,i)=X(1,i)*k(i)/100; for i=2:51
Y(:,i)=L2*Y(:,i-1); Y(1,i)=X(1,i)*k(i)/100; end
%计算未来50年男性预测人口数，一记为矩阵Y Z=X+Y;%计算预测分年龄人口总数 T=sum(Z) ;%计算预测人口总数
C1=sum(Z([1:15],:));%计算0-14岁人口数 C2=sum(Z([16:65],:));%计算15-64岁人口数 C3=sum(Z([66:91],:));%计算65岁及以上人口数 F1=C1./T;%计算预测少年儿童人口系数 F2=C2./T ;%计算预测青壮年人口系数
F3=C3./T;%计算预测老年人口系数 A1=sum(X);%计算预测女性人口总数 A2=sum(Y);%计算预测男性人口总数 A=A2./A1;
D1=(C1+C3)./C2;%计算预测人口抚养比 D2=C3./C2; g1=2010:2060;
subplot(2,1,1);plot(g1,T,'ro') legend('人口总数')%加图例 xlabel('年份')%加x轴标签
ylabel('人口数(单位:人)')%加y轴标签 grid on %加网格
subplot(2,1,2);plot(g1,C2,'y+',g1,C1,'c*',g1,C3) legend('青壮年人口数','少年儿童人口数','老年人口数') xlabel('年份') ylabel('单位;人') grid on
%绘制人口总数与各年龄阶段人口数的两个子图 附录三： syms x >>
x=[0.487;0.459;0.476;0.493;0.494;0.503;0.511;0.542;0.559;0.575;0.581;0.583;0.566]; >> plot(x)
附录四：对我国人口数量自2006年后的近15年预测程序 t3=2012:1:2027; >> t4=2013:1:2028; >>
r2=0.[1**********]790*t3.^2-0.[1**********]114*t3+78.[1**********]304-(0.[1**********]665*t3.^2-0.[1**********]160*t3+17.[1**********]106); >> yy1=130756*(r2+1).^(t4-2005); >> plot(t4,yy1)
附录五：人口老龄化比例程序 syms x y
>> x=[2002;2003;2004;2005;2006;2007;2008;2009;2010;2011;2012;2013]; >> y=[7;7.1;7.3;7.5;7.6;7.7;7.9;8.1;8.3;8.5;8.9;9.1]; >> plot(x,y,'r+')
参考文献
[1] 姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].北京.2003.8
[2] http://www.stats.gov.cn/ 中华人民共和国国家统计局
人口老龄化及“全面二孩政策”的影响研究
课程名称 学 院 年级 专业班
学 生 姓 名 学 号
开 课
时 间 至学期
组员构成：
赵福强（20144608）
金海江（）
人口老龄化及“二孩政策”的影响研究
摘要
近年来，我国人口增长趋势持续走低，相关部门针对有可能存在的问题提出了一系列新的人口政策。本文针对“二孩”政策对人口变化的影响，结合人口变化中存在的老龄化，性别比例失衡等问题，对中国人口总量以及人口分布建立了人口模型进行预测。首先，在《中国统计年鉴》以及历次人口普查数据的基础上，分析了性别比例、死亡率以及生育率对人口增长的影响。使用Leslie人口模型对人口总量预测，Leslie模型能够更好地用于预测人口比例结构。最后采用Matlab编程对Leslie人口模型实现，对2016-2050年间的人口总量及人口分布规律进行了预测。
文中所涉及模型均采用Matlab进行求解，从模型的结果中可以看出，从长期发展来看，全面二孩政策要优于现行政策和单独二孩政策。人口总量得到了一定的控制，人口年龄结构失衡的状态也得到缓解，虽然未来40年抚养负担加重及老龄化趋势已经不可避免，但相比于现行政策和单独二孩政策，老龄化趋势有所缓解，老年抚养比下降，总抚养比到2060年以后开始回落，且回落速度较快，人口结构开始年轻化。既然未来50年总人口抚养比上升趋势无法避免，只有提高人口质量，优化教育。教育是科学技术发展的基础，人口素质的提高是加快经济发展、应对高度老龄化，抚养比加重的根本途径。同时健全社会保障体系，发展老龄化产业，合理提高老年人退休年限。
关键词：Leslie 模型；人口预测；人口老龄化；单独二孩；全面二孩；matlab
1问题重述
中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。我国人口发展经历了多个阶段，近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。全面建设小康社会时期是我国社会快速转型期，人口发展面临着前所未有的复杂局面，人口安全面临的风险依然存在，既2013年中共十八届三中全会决定启动实施“单独二孩”政策之后，2015年10月，中共十八届中央委员会第五次全体会议公报指出：促进人口均衡发展，坚持计划生育的基本国策，完善人口发展战略，全面实施一对夫妇可生育两个孩子政策，二孩全
面开放将为年龄结构的演变带来一定的影响。
2模型的假设与符号的约定
2.1模型的假设与说明
假设1：所有数据均具有真实可靠，具有统计分析价值；
假设2：本问题所研究的是一个封闭系统，即不考虑人口迁移问题；
假设3：在预测期内，不发生战争及自然灾害等引起大规模的人口伤亡或人口迁移，即人口变化保持平稳，不出现骤减的现象；
假设4：各地各民族的人口政策相同；
假设5：假设2010年前城市夫妻双方都是独生子女只能生一胎，2011年政策开放后，允许生两胎；
假设4：15周岁到49周岁的所有女性为育龄妇女，不考虑其是否已婚、丧偶，是否具有生育能力；
假设5：不考虑生育率、死亡率和男女性别比随着区域人口流动发生变化的情况；
假设6：假设用多胞胎的数量来抵消那些不结婚的成年男女；
假设7：各年段人口死亡率不出现突变现象；
假设8：中国所能容纳的人口有限。
2.2符号的约定与说明
xi(t)：第t年第i年龄组的女性人口数，i=0，1，2„„100
di(t)：第t年第i年龄组的女性死亡率
si(t)：第t年第i年龄组的女性存活率，si(t)=1-di(t)
bi(t)：第t年第i年龄组的女性生育率
w(t)：第t年出生人口中女性新生儿比例
3问题分析与求解
3.1问题分析
人口问题一直是人类社会发展的核心，中国是一个人口数量大国，人口政策作为调控人口各项指标的直接手段，关系到中国人口数量、人口规模以及经济、资源、环境的协调发展。题中主要要求对不同生育政策下人口数量和人口规模进行分析预测。近年来，发展较为成熟的人口预测模型主要有BP神经网络模型，
Logistic模型，Leslie模型以及GM(1，1)模型等，选取哪种模型进行预测，是首要考虑的问题。BP神经网络模型需要大量的历史数据来进行预测，这些数据的获得比较困难，操作也比较繁琐，长期预测效果不是很好，因此不予考虑。可考虑用Logistic模型和Leslie模型对人口规模进行预测，由于Leslie模型在预测人口数量的同时，对人口结构也能进行很好的预测，可做重点考虑。
其次，题中涉及的单独二孩政策，全面二孩政策，如何对这两个政策进行定性及定量分析，怎样区别这两个政策，哪些因素决定着生育政策的不同，这是需要去考虑的。对于第三问的“给出我国人口政策改革的方向和政策建议”，需比较政策实施前后人口数量变化趋势，及人口结构的变化，尤其需要具体分析三种政策下人口老龄化程度，人口性别比，人口抚养比，人口老化指数等等，从而给出合理化建议，故选用Leslie模型。
3.2模型分析
Leslie模型属于一种以年龄和性别为基础的离散矩阵模型，人口学家很早就利用这个原理进行人口预测方面的研究，模型构建原理：按性别分组，以女性某一初始时期的分年龄别人口数作为一个列向量，通过年龄别生育率、年龄别死亡率构建Leslie矩阵，右乘分年龄别人口数的列向量，得到新的列向量作为新的女性人口，通过男女比例推算出总人口。所以Leslie模型是以离散的人口作的相关自变量、性别分组及某一初始时期的人口发展数据为机理，能对未来一个或多个区域进行人口规模和年龄结构以及性别比进行预测的综合模型。
本文基于Leslie模型对中国人口规模及结构进行预测分析，具体分析如下： 首先，将我国的人口按年龄分为101组，以一年为间隔，100岁及100岁以上的全部划分到一个年龄组，
第t年第i年龄组的女性人口数为 ，i=0，1，2„„100
第t+1年第i年龄组的女性人口数:
x1(t+1)=biwxi(t)
第t+1年第i+1年龄组的女性人口数为第t年第i年龄组存活下来的女性人口数：
xi+1(t+1)=si(t)xi(t)
构造的Leslie矩阵 i=1m
wb1wb2s01
L=0s2......
0...
得到Leslie人口预测模型：
x0(t1)wb1x(t1)s11
=0x(t+1)=...x(t1)m1...
x(t1)0m...wbm-1...0...0wb20s2............0sm-1wbm0... 其中i ...0wbmx0(t)x(t)01.......=Lx(t) ...xm1(t)0xm(t)
(5-6) ...wbm-1...0...0......0sm-1
人口预测模型的矩阵简化式为：
x(t+1)=Lx(t) (5-7)
通过递推公式可得
x(t)=L'x(0) (5-8)
因此，可根据L矩阵及初始女性人口分布向量x(0)，得到第t年女性人口的分布数量，通过男女比例推算出总人口的各项指标。
本文所建立的Leslie模型涉及到四个变量：年龄别生育率、总和生育率、年龄别死亡率和出生人口性别比。
年龄别生育率、总和生育率和年龄别死亡率均由原始资料（见附件）直接获得。
出生人口性别比采用2013年全国人口变动情况抽样调查样本数据。
四、问题求解
4.1变化趋势
在现行政策、单独二孩政策和全面二孩政策下人口总量预测包括人口总量变动趋势预测与自然增长率变动趋势预测。按照上述设定的参数值及Leslie模型预测方法，在现行政策、单独二孩政策和全面二孩政策下对我国未来40年的人口趋势进行中长期的预测。人口总量变动趋势如图1所示，自然增长率变动趋势如图2所示。
图1. 2010-2050年人口总量
图2. 2010-2050年人口自然增长率
在现行政策、单独二孩政策和全面二孩政策下，利用Leslie模型预测人口总量的趋势，给出未来40年的人口总规模变化趋势。
据图1可得，三种政策下未来40年我国人口整体变动呈现先升高后降低的趋势。在现行政策下，2010年之后我国未来人口总规模开始缓慢增长，到2019年人口总量出现峰值13.57亿，2019年后人口总量开始回落，直至2050年人口总量为10.65亿。单独二孩政策下，到2022年人口总量出现峰值14.16亿，2022年后人口总量开始回落，直至2050年人口总量为12.18亿。全面二孩政策下，人口总数在2027年达到峰值14.52亿，到2050年，人口总量降到13.38亿。
实施单独二孩政策后，由于该政策的实施使得未来人口的生育率升高，未来40年人口总量相比现行政策下的人口总量明显增多。此外，实施单独二孩政策后，人口总量峰值的出现晚于现行政策的人口总量峰值。而全面二孩政策相比单独二孩政策，人口峰值也往后延迟了，且2050年人口总量要高出很多。
图2给出了未来40年在现行政策、单独二孩政策和全面二孩政策下的人口自然增长率变动趋势，单独二孩政策下的人口自然增长率明显高于现行政策下的人口自然增长率，在现行政策下我国人口自然增长率逐年下降，到达2019年后人口增长率减为0，人口的负增长从2020年开始，且负增长越来越大，并迅速降至2050年的-1.6%。在单独二孩政策下的自然增长率仍然逐年下降，到达2025年后人口增长率减为0，人口的负增长从2025年开始，且负增长越来越大，并
迅速降至2050年的-0.9%。在全面二孩政策下，人口自然增长率在2027年开始负增长，但在2033年以后人口自然增长率逐渐趋于平缓，2050年人口自然增长率为-0.65%，相比现行政策2050年人口自然增长率的-1.6%，有了很大改善。
由上述分析可知，实施二孩政策后，人口增长率的减小幅度较小，且出现人口增长率为零的时间晚于现行政策下的人口增长率，且全面二孩政策明显优于单独二孩政策。
4.2对人口结构的预测及老龄化问题
人口结构的预测包括人口老龄化与人口性别比以及少年人口系数，老年人口系数，青壮年人口数，总抚养比等的预测。
图3. 2011-2050年人口性别比
由上图可以看出，全面二孩政策的实施，我国未来40年的人口性别比和现行政策、单独二孩政策相比，均逐年下降，且全面二孩政策下，下降幅度更快。到2050 年，人口性别比由2011年的104降到95。从2027年开始跌落到100以下，也就是说，2027年以后，我国的女性人口将超过男性人口。
图4. 2010-2050年少年人口系数
图5. 2010-2050年老年人口系数
图6. 2010-2050年人口老化指数
图7. 2010-2050年少年老年人口抚养比
图8. 2010-2050年青壮年人口系数
图9. 2010-2050总抚养比
从图中可以看出，现行政策与单独二孩政策下，少年人口系数与青壮年人口系数在未来的40年内整体也呈下滑趋势。现行政策下，到2050年少年人口系数与青壮年人口系数分别降为9.7%、62.6%，单独二孩政策下，到2050年分别降为15.2%、62.9%，但相比现行政策下的少年人口系数，单独二孩政策下的少年人口系数较大，在2040年后少年人口系数趋于稳定，至2045年后少年人口系数有上升趋势，相比现行政策下的青壮年人口系数，单独二孩政策下的青壮年人口系数较小，且两种政策下青壮年人口系数变动趋势基本相同；而老年人口系数呈持续增长趋势，2050年达到22.8%，相比现行政策下的老年人口系数，单独二孩政策实施后，老年人口系数相比现行政策下的较小；单独二孩政策实施后，人口总抚养比在未来的40年整体持续增高，其2023年人口总抚养比略有下降，至2026年后人口总抚养比开始继续增大，2050年人口总抚养比达到62.6%，高于现行政策下的59.3%；而老年人口抚养比在未来的40年也持续增高，至2050年达到37.4%，老年人口抚养比低于现行政策的41.6%；2010年女性人口为6.53亿人，男性人口为6.87亿人，人口性别比为105，但女性人口的比例在未来的40年逐渐升高，至2026年人口性别比下降为100，男女人数持平，随着年份的增长，2050年人口性别比列下降为95.2，且单独二孩政策下未来人口性别比整体低于现行政策的人口性别比。由此可见实施单独二孩政策后，未来的40年内女性人口数仍然会高于男性人口数，但实施单独二孩政策后，相比现行政策下少
年人口系数增大、老年人口系数减小及老年人口抚养比降低。因此，相对来说实施单独二孩政策后，对人口老龄化趋势的缓解起到了较好的作用，易于保持社会经济的稳定。
从图中可以看出，全面二孩政策的执行，在未来的40年里，我国少年儿童占总人口的比重虽然还是降低，但同现行政策和单独二孩政策相比，少年儿童占总人口的比重已经明显提升，有了很大改善。未来40年里，人口老龄化程度依然加剧，但在2040年以后基本保持平稳。人口老化指数依然呈现增长，但同另两个政策相比，人口老化指数有所降低。但劳动适龄人口比重降低，虽然同另外两个政策相比，老年人口系数有所减少，但减小幅度很小，而少年儿童人口数上升，导致总抚养比上升，到2050年，总抚养比高达67%，也就意味每10个劳动适龄人口要养育近乎7个非劳动适龄人口。
4.3 人口政策改革的方向和政策建议
综合人口结构来看，全面二孩政策下，在未来的40年里，我国少年儿童占总人口的比重要高出现行政策和单独二孩政策下少年儿童占总人口的比重，达到17%。老年人口系数依然呈现上升趋势，但在2040年以后增长程度变缓，呈现平稳趋势。人口老化指数依然呈现增长，但同另两个政策相比，人口老化指数显著降低。在2042年以后呈现下降趋势，到2050年，老年人口和少年儿童人口基本一样，意味着人口逐渐开始年轻化。同时可以看到老年抚养比上升的趋势在2040年以后得到逐渐平缓。相比另外两个政策劳动适龄人口比重降低，但究其原因，是由于少年儿童人口数量增大导致总抚养比上升，但可以看到2060年以后总抚养比开始下降，且下降趋势迅速。
综上所述，从长期发展来看，全面二孩政策要优于现行政策和单独二孩政策。全面二孩政策下我国人口总数在2027年达到峰值14.52亿，到2050年，人口总量降到13。38亿，人口规模得到一定的控制，其中十二五期间人口总量控制在13。8亿之内，符合我国制定的十二五规划中的人口总量不能超过13。9亿的要求。人口总量得到了一定的控制，人口年龄结构失衡的状态也得到缓解，虽然未来40年抚养负担加重及老龄化趋势已经不可避免，但相比于现行政策和单独二孩政策，老龄化趋势有所缓解，老年抚养比下降，总抚养比到2060年以后开始回落，且回落速度较快，人口结构开始年轻化。所以，我国应尽快落实“二孩”人口政策，使总和生育率达到最佳更替水平2.1，并且宣布未来至少二十年不会再次实行紧缩生育政策，以免人们由于担心政策再次紧缩而出现抢生的风险，保证人口持续发展的稳定性。继续推行“关爱女孩”计划，促使人口性别比回归正常水平。既然未来50年总人口抚养比上升趋势无法避免，只有提高人口质量，优化教育。教育是科学技术发展的基础，人口素质的提高是加快经济发展、应对高度老龄化，抚养比加重的根本途径。同时健全社会保障体系，发展老龄化产业，合理提高老年人退休年限。
注：
1.1981年及以前数据为户籍统计数;1982、1990、2000、2010年数据为当年人口普查数据推算数；其余年份数据为年度人口抽样调查推算数据。
2.总人口和按性别分人口中包括现役军人，按城乡分人口中现役军人计入城镇人口。
附录二：人口结构表
b=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.20e-08 3.33e-05 0.000964679 0.005942649 0.017576217 0.034509514 0.052636316 0.067985513 0.078287436 0.083045681 0.082937903 0.079166813 0.073004794 0.065552067 0.057649045 0.049877081 0.042599409 0.036013423 0.030199795 0.025162689 0.020860038 0.017224951 0.014180046 0.011646511 0.009549449 0.007820694 0.006400002 0.005235229 0.004281934 0.003502677 0.002866199 0.002346573 0.001922413 0.00157615 0.001293396 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ];
k =[118.4393 117.6921 116.9495 116.2117 115.4785 114.7499 114.0259 113.3065 112.5916 111.8812 111.1753 110.4739 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110];
n=[6174249.184 5768666.662 6230389.137 6341523.331 6441200.392 6577540.279 5976040.776 6403391.852 6698985.893 6763145.84 6757417.273 7521608.071 7559416.611 7948959.146 8718878.51 8283507.441 8628367.156 8581392.909 8762415.617 10822408.2 10788036.8 9879486.122 11044676.59 9607952.061 8673049.976 8505775.829 8458801.582 9504837.86 8430158.748 8411827.335 8787621.31 8872404.097 8453073.015 9579309.227 10022700.29 10896879.57 11722938.88 12246529.88 12542123.92 13841362.85 13064569.2 13905522.8 11653050.37 13144769.14 12956872.15 12858340.8 14932081.95 6436617.539 11105399.39 8195287.514 7664822.238 9562123.527 10522231.31 9943646.069 10304545.77 10362977.15 9337563.713 9247052.359 8191850.374 8140293.274 7538793.771 6540877.452 6374749.018 5601392.514 5270281.359 5059470.105 4492342.002 4470573.449 4504944.849 4200185.101 3820953.986 4066136.6467 3740754.052 3586082.751 3385582.917 3181645.942 2994894.668 2517132.206 2226121.018 2291426.678 1842307.049 1716278.582 1574210.128 1271741.806 1174356.172 937193.5113 706905.1302 612956.6364 521299.5692 449119.6289 1189250.446];
%m=[7665967.951 7244345.442 7496402.377 7834387.812 7727836.472 8270904.594 7449428.13 7702630.778 8238824.621 8100193.307 8433595.888 8850635.544 8981246.864 9397140.806 9879486.122 9375372.253 9862300.422 9866883.275 9740854.808 11760747.42 11205076.46 10332042.89 10510774.17 9746583.375 8616910.023 8620347.163 8209036.074 9716794.828 8438178.742 8183830.38 8710858.516 8383184.501 8209036.074 9318086.586 9870320.415 10600139.81 11470881.95 11860424.49 12668152.39 13639717.3 12976349.28 13857402,84 11460570.53 12860632.23 12846883.67 12689920.94 14677733.59 6202892.017 10831573.91 7897402.046 7486090.957 9803869.042 10705545.44 9941354.643 10689505.45 10554311.28 9265383.772 9597640.641 7867613.499 8077279.04 7999370.533 6736794.433 6558063.152 5715963.848 5469635.48 5359647 4617224.756 4467136.309 4477447.729 4309027.868 3832411.119 4152065.141 3733879.772 3536817.077 3371834.357 3025828.928 2973126.115
2417455.145 2065721.15 2116132.537 1579938.694 1455055.941 1142276.199 910842.1045 844390.7308 679408.01 552233.8294 445682.4889 313925.4549 266951.208 508696.7225]; s1=(1000-d1)/1000;%计算女性年龄别存活率 s2=(1000-d2)/1000;%计算男性年龄别存活率
M1=eye(90); for i=1:90
%生成90维单位矩阵Ml
M1(i,:)=M1(i,:)*s1(1,i); end
%通过循环语句将女性年龄别存活率赋值到M1矩阵对角线元素 h=zeros(91,1);%生成零矩阵h N1=[B;M1]; L1=[N1,h]; i=1;
X(:,i)=L1*n0;
X(1,i)=X(1,i)*100/(100+k(i)); for i =2:51
X(:,i)=L1*X(:,i-1);
X(1,i)= X(1,i)*100/(100+k(i)); end
%计算未来50年女性预测人口数，记为矩阵X M2=eye(90); for i=1:90
M2(i,:)=M2(i,:)*s2(1,i); end
h0=zeros(1,90); N2=[h0;M2]; L2=[N2,h]; i=1;
Y(:,i)=L2*m0;
Y(1,i)=X(1,i)*k(i)/100; for i=2:51
Y(:,i)=L2*Y(:,i-1); Y(1,i)=X(1,i)*k(i)/100; end
%计算未来50年男性预测人口数，一记为矩阵Y Z=X+Y;%计算预测分年龄人口总数 T=sum(Z) ;%计算预测人口总数
C1=sum(Z([1:15],:));%计算0-14岁人口数 C2=sum(Z([16:65],:));%计算15-64岁人口数 C3=sum(Z([66:91],:));%计算65岁及以上人口数 F1=C1./T;%计算预测少年儿童人口系数 F2=C2./T ;%计算预测青壮年人口系数
F3=C3./T;%计算预测老年人口系数 A1=sum(X);%计算预测女性人口总数 A2=sum(Y);%计算预测男性人口总数 A=A2./A1;
D1=(C1+C3)./C2;%计算预测人口抚养比 D2=C3./C2; g1=2010:2060;
subplot(2,1,1);plot(g1,T,'ro') legend('人口总数')%加图例 xlabel('年份')%加x轴标签
ylabel('人口数(单位:人)')%加y轴标签 grid on %加网格
subplot(2,1,2);plot(g1,C2,'y+',g1,C1,'c*',g1,C3) legend('青壮年人口数','少年儿童人口数','老年人口数') xlabel('年份') ylabel('单位;人') grid on
%绘制人口总数与各年龄阶段人口数的两个子图 附录三： syms x >>
x=[0.487;0.459;0.476;0.493;0.494;0.503;0.511;0.542;0.559;0.575;0.581;0.583;0.566]; >> plot(x)
附录四：对我国人口数量自2006年后的近15年预测程序 t3=2012:1:2027; >> t4=2013:1:2028; >>
r2=0.[1**********]790*t3.^2-0.[1**********]114*t3+78.[1**********]304-(0.[1**********]665*t3.^2-0.[1**********]160*t3+17.[1**********]106); >> yy1=130756*(r2+1).^(t4-2005); >> plot(t4,yy1)
附录五：人口老龄化比例程序 syms x y
>> x=[2002;2003;2004;2005;2006;2007;2008;2009;2010;2011;2012;2013]; >> y=[7;7.1;7.3;7.5;7.6;7.7;7.9;8.1;8.3;8.5;8.9;9.1]; >> plot(x,y,'r+')
参考文献
[1] 姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].北京.2003.8
[2] http://www.stats.gov.cn/ 中华人民共和国国家统计局