比例线段讲义（八数下） 姓名 【知识点】
（一）线段的比：在同一长度单位下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比。分为前项和后项，其形式为： （分数形式AB ←前项
CD ←后项
或 （比的形式）AB:CD (AB
为前项，CD 为后项)
常用线段的比——比例尺=图上长度：实际长度 （二）比例线段：四条线段a , b , c , d ，若
a b =c
d
，则这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。其形式为： （分数形式）
a b =c
d
或（比的形式）a :b =c :d 或（乘积的形式）ad =bc ；其中a , d 称为比例外项，b , c 称为比例内项，d 叫做第四比例项。 特例：当比例内项相等时，即
a b =b
c ，则b 叫做a , c 的比例中项。
比与比例：比实际上可以看作是两项相除，有比值，具有除法、分数和分式的性质；比例实际上是等式（方程），至少四项，具有等式的性质，可以利用解方程的方法进行变形。
（三）比和比例的性质 1、比的性质
根据分式的性质（①分式的分子、分母同时乘或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变；②分式的通分；③分式的约分。），得到比的如下变形
①a b =am bm (m ≠0) 。如，a b =-a -b =3a
3b ；
②a +b b =a
b
+1（通分的思想） 2、比例的性质
①比例的基本性质（等式、方程的变形思想）
A 、a c b =d
⇔ad =bc （双向变化）
变形的依据：等式的两边同时乘以bd （bd 不为零）此
变形称为：外项之积等于内项之积
c
d
→ad =bc 或a :b =c :d ⇔ad =bc 特别地：a b =b c ⇔b 2
=ac ；
B 、a c b =d →a c =b
d
（交换内项，比例仍然成立）
变形依据：a b =c d
→ad =bc −两边同除以−−−
−dc
→ ad dc =bc dc =a b c =d
C 、同理，交换外项，比例仍然成立。即：
a b =c d c d →b =a
D 、a b =c d →c d =a
b （等式的对称性）
E 、a b =c b d
d →a =c
（倒数）
②比例的合比性质：a c a ±b b =d ⇔
b =c ±d
d
。变形依据：a c a ±b b ±1=d ±1→b =c ±d
d
（分母变形也成立）
③比例的等比性质：（引入比值得出）
如果
a b =c d = =m
n (b +d + +n ≠0) ，那么可以得到，a +c + +m a
b +d + +n =b
。（注意等比性质中的‘+’变成
‘－’或加减混合仍成立） 变形依据：（此变形要引入比值k ）， 设：
a b =c d = =m
n
=k (b +d + +n ≠0) ，则： a =bk , c =dk , m =nk , 所以
a +c + +m bk +dk + +nk k (b +d + +b +d + +n =b +d + +n =
n )
b +d + +n
=k =a m b = =
n
（四）黄金分割（比例中项
a b =b
c
或b 2=ac 的应用） 如右图，点C 把线段AB 分成两A C
B 条线段AC 和BC ，如果：
作法：如上图：（1）过点B 作B D ⊥AB, 使BD=2
AB ， （2）连接AD ，在AD 上截取DE=DB， （3）在AB 上截取AC=AE。
则点C 为线段AB 的黄金分割点。
证明：设：BD=1，则AB=2
在R t △ABD 中，AD =2+22= 又∵DE=BD=1,AC=AE
∴AC=5-1,BC=2-(5-1)=3-5 ∴
BC 3-(3-)(5+1) 5-1
AC =5-1=(5-1)(+1)
=
2 AC 5-1
AB =
2
即：
AC AB =BC AC =-1
2
≈0. 618 （五）典型题目
1、等边三角形的高与边长的比 ，直角三角形的斜边与斜边中线的比 。
2、在比例尺为1:60 000 000的地图上，量得武汉到北京的图上距离为4.5cm ，武汉到上海的图上距离为1.5cm ， （1）武汉到北京和上海的实际距离分别是多少?
（2）武汉到北京和武汉到上海的图上距离之比是多少？实际距离之比是多少？
3、已知线段a=6cm,b=0.12m,c=10cm,求线段b 、c 、a 的第四比例项。 4、已知
a -2b 5a +b =3，求b
b
的值 解法一（合比性质）：
解法二（交换内项，设比值）
解法三（基本性质，交叉相乘） 5、已知
x y =4, 求x -y x
y , x +y
的值
6、已知a:b:c=3:5:6，且2a+b-c=10，求abc 的值。
7、已知：
x 2=y 3=z 4，求：x +y +z x +y -z
的值。（提示：利用等比性质或比值）
a 8、已知b =c d =e f =3, 求a -2c +4e b -2d +4f 的值。
（b -2d +4f ≠0)
9、已知a , b , c 为非零整数
b +c a =a +c a +b
b =c
=k , 求k 的值
AB 10、如图，AD =BF
EF , AB =8cm , AD =2cm , BC =
7. 2cm , E 为BC 的中点，求：BF, EF 的长。
B
E
F
C
11、已知3,6，请再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项。
12、已知正数a , b , c ，且a b +c =b a +c =c
a +b
=k 试判断点A （1，1
2
）是否在正比例函数y =kx 的图象上。
13、如图，若
AB AD =AC AE =BC DE =3
2
. 且△ABC 周长为36cm ，求△ADE 的周长。 E B
C
14、若△ABC 的三边长a , b , c 满足(a -b ) :(c -b ) :(a +c ) =-7:1:18，试判断△ABC 的形状。
15、已知a , b , c 为非零实数，且有a +b =b +c c a =c +a b
=k ，
则一次函数y =kx +(1+k ) 的图像一定经过 象限。 16、已知，
b +c a +c a =b =a +b
c
=k , 试确定一次函数 y =kx +k 的图象与两个坐标轴围成的面积。
17、把长为（+1）cm 的线段黄金分割，则其中较短部分是多少？
18、某市决定在市中心修建一座文化娱乐中心，设计规划正面是一个矩形ABCD ，若楼宽BC=50米，问，若使楼房看上去美观舒适，则它的高AB 应为多少？
比例线段讲义（八数下） 姓名 【知识点】
（一）线段的比：在同一长度单位下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比。分为前项和后项，其形式为： （分数形式AB ←前项
CD ←后项
或 （比的形式）AB:CD (AB
为前项，CD 为后项)
常用线段的比——比例尺=图上长度：实际长度 （二）比例线段：四条线段a , b , c , d ，若
a b =c
d
，则这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。其形式为： （分数形式）
a b =c
d
或（比的形式）a :b =c :d 或（乘积的形式）ad =bc ；其中a , d 称为比例外项，b , c 称为比例内项，d 叫做第四比例项。 特例：当比例内项相等时，即
a b =b
c ，则b 叫做a , c 的比例中项。
比与比例：比实际上可以看作是两项相除，有比值，具有除法、分数和分式的性质；比例实际上是等式（方程），至少四项，具有等式的性质，可以利用解方程的方法进行变形。
（三）比和比例的性质 1、比的性质
根据分式的性质（①分式的分子、分母同时乘或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变；②分式的通分；③分式的约分。），得到比的如下变形
①a b =am bm (m ≠0) 。如，a b =-a -b =3a
3b ；
②a +b b =a
b
+1（通分的思想） 2、比例的性质
①比例的基本性质（等式、方程的变形思想）
A 、a c b =d
⇔ad =bc （双向变化）
变形的依据：等式的两边同时乘以bd （bd 不为零）此
变形称为：外项之积等于内项之积
c
d
→ad =bc 或a :b =c :d ⇔ad =bc 特别地：a b =b c ⇔b 2
=ac ；
B 、a c b =d →a c =b
d
（交换内项，比例仍然成立）
变形依据：a b =c d
→ad =bc −两边同除以−−−
−dc
→ ad dc =bc dc =a b c =d
C 、同理，交换外项，比例仍然成立。即：
a b =c d c d →b =a
D 、a b =c d →c d =a
b （等式的对称性）
E 、a b =c b d
d →a =c
（倒数）
②比例的合比性质：a c a ±b b =d ⇔
b =c ±d
d
。变形依据：a c a ±b b ±1=d ±1→b =c ±d
d
（分母变形也成立）
③比例的等比性质：（引入比值得出）
如果
a b =c d = =m
n (b +d + +n ≠0) ，那么可以得到，a +c + +m a
b +d + +n =b
。（注意等比性质中的‘+’变成
‘－’或加减混合仍成立） 变形依据：（此变形要引入比值k ）， 设：
a b =c d = =m
n
=k (b +d + +n ≠0) ，则： a =bk , c =dk , m =nk , 所以
a +c + +m bk +dk + +nk k (b +d + +b +d + +n =b +d + +n =
n )
b +d + +n
=k =a m b = =
n
（四）黄金分割（比例中项
a b =b
c
或b 2=ac 的应用） 如右图，点C 把线段AB 分成两A C
B 条线段AC 和BC ，如果：
作法：如上图：（1）过点B 作B D ⊥AB, 使BD=2
AB ， （2）连接AD ，在AD 上截取DE=DB， （3）在AB 上截取AC=AE。
则点C 为线段AB 的黄金分割点。
证明：设：BD=1，则AB=2
在R t △ABD 中，AD =2+22= 又∵DE=BD=1,AC=AE
∴AC=5-1,BC=2-(5-1)=3-5 ∴
BC 3-(3-)(5+1) 5-1
AC =5-1=(5-1)(+1)
=
2 AC 5-1
AB =
2
即：
AC AB =BC AC =-1
2
≈0. 618 （五）典型题目
1、等边三角形的高与边长的比 ，直角三角形的斜边与斜边中线的比 。
2、在比例尺为1:60 000 000的地图上，量得武汉到北京的图上距离为4.5cm ，武汉到上海的图上距离为1.5cm ， （1）武汉到北京和上海的实际距离分别是多少?
（2）武汉到北京和武汉到上海的图上距离之比是多少？实际距离之比是多少？
3、已知线段a=6cm,b=0.12m,c=10cm,求线段b 、c 、a 的第四比例项。 4、已知
a -2b 5a +b =3，求b
b
的值 解法一（合比性质）：
解法二（交换内项，设比值）
解法三（基本性质，交叉相乘） 5、已知
x y =4, 求x -y x
y , x +y
的值
6、已知a:b:c=3:5:6，且2a+b-c=10，求abc 的值。
7、已知：
x 2=y 3=z 4，求：x +y +z x +y -z
的值。（提示：利用等比性质或比值）
a 8、已知b =c d =e f =3, 求a -2c +4e b -2d +4f 的值。
（b -2d +4f ≠0)
9、已知a , b , c 为非零整数
b +c a =a +c a +b
b =c
=k , 求k 的值
AB 10、如图，AD =BF
EF , AB =8cm , AD =2cm , BC =
7. 2cm , E 为BC 的中点，求：BF, EF 的长。
B
E
F
C
11、已知3,6，请再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项。
12、已知正数a , b , c ，且a b +c =b a +c =c
a +b
=k 试判断点A （1，1
2
）是否在正比例函数y =kx 的图象上。
13、如图，若
AB AD =AC AE =BC DE =3
2
. 且△ABC 周长为36cm ，求△ADE 的周长。 E B
C
14、若△ABC 的三边长a , b , c 满足(a -b ) :(c -b ) :(a +c ) =-7:1:18，试判断△ABC 的形状。
15、已知a , b , c 为非零实数，且有a +b =b +c c a =c +a b
=k ，
则一次函数y =kx +(1+k ) 的图像一定经过 象限。 16、已知，
b +c a +c a =b =a +b
c
=k , 试确定一次函数 y =kx +k 的图象与两个坐标轴围成的面积。
17、把长为（+1）cm 的线段黄金分割，则其中较短部分是多少？
18、某市决定在市中心修建一座文化娱乐中心，设计规划正面是一个矩形ABCD ，若楼宽BC=50米，问，若使楼房看上去美观舒适，则它的高AB 应为多少？