周期问题
知识点说明
周期问题：
周期现象：事物在运动变化过程中，某些特征有规律循环出现；周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期；解决有关周期性问题的关键是确定循环周期.
分类： 1．图形中的周期问题； 2．数列中的周期问题； 3．年月日中的周期问题．
周期性问题的基本解题思路是：首先要正确理解题意，从中找准变化的规律，利用这些规律作为解题的依据；其次要确定解题的突破口。主要方法有观察法、逆推法、经验法等。主要问题有年月日、星期几问题等。
⑴观察、逆推等方法找规律，找出周期．确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周期，结果就为周期里的最后一个；
例如：1，2，1，2，1，2，…那么第18个数是多少？ 这个数列的周期是2，18÷2=9，所以第18个数是2． ⑵如果比整数个周期多n 个，那么为下个周期里的第n 个；
例如：1，2，3，1，2，3，1，2，3，…那么第16个数是多少？ 这个数列的周期是3，16÷3=5⋅⋅⋅1，所以第16个数是1．
⑶如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是循环的个数后，再继续算． 例如：1，2，3，2，3，2，3，…那么第16个数是多少？
这个数列从第二个数开始循环，周期是2，(16-1) ÷2=7⋅⋅⋅1，所以第16个数是2．
板块一、图形中的周期问题
【例 1】 小兔和小松鼠做游戏，他们把黑、白两色小球按下面的规律排列：
●●○●●○●●○„
你知道它们所排列的这些小球中，第90个是什么球？第100个又是什么球呢？
【巩固】 美美有黑珠、白珠共102个，她想把它们做成一个链子挂在自己的床头上，她是按下面的顺序
排列的：
○●○○○●○○○●○○○„„
那么你知道这串珠子中，最后一个珠子应是什么颜色吗？
美美怕这种颜色的珠子数量不够，你能帮她算出这种颜色在这串珠子中共有多少个吗？
【例 2】 小倩有一串彩色珠子，按红、黄、蓝、绿、白五种颜色排列．
⑴第73颗是什么颜色的？
⑵第10颗黄珠子是从头起第几颗？
⑶第8颗红珠子与第11颗红珠子之间（不包括这两颗红珠子）共有几颗珠子？
【巩固】 奥运会就要到了，京京特意做了一些“北京欢迎你”的条幅，这些条幅连起来就成了：“北京欢
迎你北京欢迎你北京欢迎你……”依次排列，第28个字是什么字？
【巩固】 节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯．也就
是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯．那么第73盏灯是什么颜色的灯？
【例 3】 节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接1盏黄灯，然后 又是5
盏红灯、4盏蓝灯、1盏黄灯、„„这样排下去．问： ⑴第150盏灯是什么颜色？
⑵前200盏彩灯中有多少盏蓝灯？
【巩固】 在一根绳子上依次穿2个红珠、2个白珠、5个黑珠，并按此方式反复，如果从头开始数，直到
第50颗，那么其中白珠有多少颗？
【巩固】 小莉把平时积存下来的200枚硬币按3个1分，2个2分，1个5分的顺序排列起来．
⑴最后1枚是几分硬币
⑵这200枚硬币一共价值多少钱？
【巩固】 桌子上摆了很多硬币，按一个一角，两个五角，三个一元的次序排列，一共19枚硬币．问：最
后一个是多少钱的？第十四个是多少钱的？
【巩固】 有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？
这249朵花中，什么花最多，什么花最少？最少的花比最多的花少几朵？
【例 4】 如图所示，每列上、下两个字（字母）组成一组，例如，第一组是“我，A ”，第二组是“们，
B
⑵如果“爱，C ”代表1991年，那么“科，D ”代表1992年„„问2008年对应怎样的组？
【巩固】 在图所示的表中，将每列上、下两个字组成一组，例如第一组为（新奥），第二组为（北林），
板块二、数列中的周期问题
【例 5】 小和尚在地上写了一列数：7，0，2，5，3，7，0，2，5，3„
你知道他写的第81个数是多少吗？
你能求出这81个数相加的和是多少吗？
【巩固】 根据下面一组数列的规律求出51是第几个数？
1、2、3、4、6、7、8、9、11、12、13、14、16、17„„
【例 6】 ⑴4⨯4⨯„„⨯4（25个4），积的个位数是几？
⑵24个2相乘，积末位数字是几？
【巩固】 紧接着1989后面写一串数字，写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数．例如，
8⨯9=72，在9后面写2，9⨯2=18，在2后面写8„„得到一串数字：19892868„，问：这串数字从1开始，往右数，第l 999个数字是几？这1999个数字的和是多少？
【例 7】 12个同学围成一圈做传手绢的游戏，如图．
⑴从1号同学开始，顺时针传l 00次，手绢应在谁手中？ ⑵从1号同学开始，逆时针传l 00次，手绢又在谁手中？
⑶从1号同学开始，先顺时针传l 56次，然后从那个同学开始逆时针传143次，再顺时针传107
次，最后手绢在谁手中？
1098
5
34
【巩固】 8个队员围成一圈做传球游戏，从⑴号开始，按顺时针方向向下一个人传球．在传球的同时，按
顺序报数．当报到72时，球在几号队员手上？
【巩固】 如图，电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈．现在，一只红跳蚤从标有数字．的
圆圈按顺时针方向跳了1991步，落在一个圆圈里．一只黑跳蚤也从标有数字．的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了1949步，落在另一个圆圈里．问：这两个圆圈里数字的乘积是多少？
【巩固】 如右图，把1～8八个号码摆成一个圆圈，现有一个小球，第一天从1号开
始按顺时针方向前进329个位置，第二天接着按逆时针方向前进485个位置，第三天又顺时针前进329个位置，第四天再逆时针前进485个位置„„如此继续下去，问至少经过几天，小球又回到原来的1号位置？
【巩固】 如右图，有16把椅子摆成一个圆圈，依次编上从1到16的号码. 现在有一人
从第1号椅子顺时针前进328个，再逆时针前进485个，又顺时针前进328个，再逆时针前进485个，又顺时针前进136个，这时他到了第几号椅子？
【例 8】 甲、乙两人对一根3米长的木棍涂色。首先，甲从木棍的端点开始涂黑色5厘米，间隔5厘米
不涂色，再涂5厘米黑色，这样交替做到底。然后，乙从木棍同一端点开始留出6厘米不涂色，然后涂6厘米黑色，再间隔6厘米不涂色，交替做到底，最后木棍上没有被涂黑色部分的总长度是多少？
【例 9】 右图中，任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是891，那么B 代表多少？
【巩固】 课外活动时，甲、乙、丙、丁四人排成一个圆圈依次报数．甲报“1”，乙报“2”，丙报“3”，
丁报“4”，这样每人报的数总比前一个人多1．问“34”是谁报的？“71”是谁报的？
【例 10】 实验室里有一只特别的钟，一圈共有20个格．每过7分钟，指针跳一次，每跳一次就要跳过9
个格，今天早晨8点整的时候，指针恰好从0跳到9，问：昨天晚上8点整的时候指针指着几？
【巩固】 有A 、B 、C 三个蜂鸣器，每次持续鸣叫的时间比例是3:4:5．每个蜂鸣器每次鸣叫完后停8秒
钟又开始鸣叫．最初三个蜂鸣器同时开始鸣叫，14分钟后第二次同时开始鸣叫，此时B 蜂鸣器已是第43次鸣叫了．问：最初同时开始鸣叫后的多少秒A 与C 第一次同时结束鸣叫？
【例 11】 有一个111位数，各位数字都是1，这个数除以6，余数是几？商的末位数字是几？
【巩固】 有一个1111位数，各位数字都是1，这个数除以6，余数是几？商的末位数字是几？
【例 12】 求28
【巩固】 算式（367
367128
-2929的个位数字.
+762762）⨯123123的得数的尾数是几？
板块三、日期中的周期问题
【例 13】 阳历1978年1月1日是星期日，阳历2000年1月1日是星期几？
【巩固】 1999年的元旦是星期五，那么据此你知道2005年的元旦是星期几吗？
【巩固】 小童的生日是6月27日，这一年的6月1日是星期六，小童的生日是星期几呢？
【巩固】 今天是星期三，那么从明天起第365天是星期几？
【巩固】 2002年的6月1日是星期六，那么这一年的10月1日是星期几呢？
【巩固】 2008年3月3号是星期一，算一算2008年8月8号奥运会开幕是星期几？
【巩固】 2008年的“六·一”儿童节是星期日，2008年的“十·一”是星期几？
【巩固】 1998年元旦是星期五，l999年元旦是星期几？2000年元旦是星期几？2001年元旦是星期几？
【巩固】 图中是2002年5月份日历表．⑴该月8号是星期几？⑵该年6月l 日是星期几？该年l 0月1
日是星期几？⑶2004年5月l 日是星期几?
日一二三
1
[***********]2226272829
四29162330
五310172431
六411 1825
【例 14】 小区里的李奶奶腿脚不方便，方方、圆圆、长长三名同学做好事，每天早晨轮流为李奶奶取牛
奶．方方第一次取奶是星期一，那么，他第100次取奶是星期几？
【巩固】 甲、乙、丙、丁四位医生依次每天轮流到农村卫生所义诊. 甲第30次义诊是星期三，那么当丙
首次在周日义诊时，丁医生已经下乡义诊几次了？
【例 15】 在某个月中刚好有3个星期天的日期是偶数(双数) ，则这个月的5日是星期几？
日29162330
一3101724
二4111825
三5121926
四6132027
五7142128
六815 2229
【巩固】 已知某月中，星期二的天数比星期三的天数多，而星期一的天数比星期日的天数多，那么这个
月的5号是星期几？
【巩固】 一个月最多有5个星期日，在一年的12个月中，有5个星期日的月份最多有几个月?
练习1. ★○○○★★○○○★★○○○„„这样的一排图形中第87个是什么图形，在87个图形中一共
有多少个五角星？
练习2. 流水线上给小木球涂色的次序是：先5个红、再4个黄、再3个绿、在2个黑、再1个白，然后
又依次是5红、4黄、3绿、2黑、1白……如此继续涂下去，到第2003个小球该涂什么颜色？
练习3. 如右图所示的数表中，从左往右依次看作五列，第99行右边第一个数是几？
练习4. 1999名同学从前往后排成一列，按下面的规则报数：如果某名同学报的数是一位数，那么后一
个同学就要报出这个数与9的和；如果某名同学报的数是两位数，那么后一个同学就要报出这个数的个位数与6的和。现让第一个同学报1，那么最后一名同学报的数是( )。
测试1、黑珠、白珠共101颗，穿成一串，排列如下图。这串珠子中，最后一颗珠子应该是_____色的, 这种颜色的珠子在这串中共有_____颗.
测试2、按下面的摆法，摆一百个三角形，请问第100个三角形是什么颜色的？在这100个三角形中有多少个白色的三角形？
△△△▲▲▲△△△▲▲▲△△△▲▲▲……
测试3、某个早晨, 容器中有200个细菌, 白天有光照, 容器中的细菌将减少65个, 夜间无光照, 容器中的细菌将增加40个. 则在第几个白天, 容器中的细菌全部死亡！
测试4、同学们在科技馆参加活动，谁最先参加游戏呢？同学们想了个好办法，大家排成一排1～2报数，报2的同学再1～2报数，这样依次进行下去，最后报2的这名同学先玩，如果这列一共有12人，最先玩的同学是这一列中的第几个？
周期问题
知识点说明
周期问题：
周期现象：事物在运动变化过程中，某些特征有规律循环出现；周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期；解决有关周期性问题的关键是确定循环周期.
分类： 1．图形中的周期问题； 2．数列中的周期问题； 3．年月日中的周期问题．
周期性问题的基本解题思路是：首先要正确理解题意，从中找准变化的规律，利用这些规律作为解题的依据；其次要确定解题的突破口。主要方法有观察法、逆推法、经验法等。主要问题有年月日、星期几问题等。
⑴观察、逆推等方法找规律，找出周期．确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周期，结果就为周期里的最后一个；
例如：1，2，1，2，1，2，…那么第18个数是多少？ 这个数列的周期是2，18÷2=9，所以第18个数是2． ⑵如果比整数个周期多n 个，那么为下个周期里的第n 个；
例如：1，2，3，1，2，3，1，2，3，…那么第16个数是多少？ 这个数列的周期是3，16÷3=5⋅⋅⋅1，所以第16个数是1．
⑶如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是循环的个数后，再继续算． 例如：1，2，3，2，3，2，3，…那么第16个数是多少？
这个数列从第二个数开始循环，周期是2，(16-1) ÷2=7⋅⋅⋅1，所以第16个数是2．
板块一、图形中的周期问题
【例 1】 小兔和小松鼠做游戏，他们把黑、白两色小球按下面的规律排列：
●●○●●○●●○„
你知道它们所排列的这些小球中，第90个是什么球？第100个又是什么球呢？
【巩固】 美美有黑珠、白珠共102个，她想把它们做成一个链子挂在自己的床头上，她是按下面的顺序
排列的：
○●○○○●○○○●○○○„„
那么你知道这串珠子中，最后一个珠子应是什么颜色吗？
美美怕这种颜色的珠子数量不够，你能帮她算出这种颜色在这串珠子中共有多少个吗？
【例 2】 小倩有一串彩色珠子，按红、黄、蓝、绿、白五种颜色排列．
⑴第73颗是什么颜色的？
⑵第10颗黄珠子是从头起第几颗？
⑶第8颗红珠子与第11颗红珠子之间（不包括这两颗红珠子）共有几颗珠子？
【巩固】 奥运会就要到了，京京特意做了一些“北京欢迎你”的条幅，这些条幅连起来就成了：“北京欢
迎你北京欢迎你北京欢迎你……”依次排列，第28个字是什么字？
【巩固】 节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯．也就
是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯．那么第73盏灯是什么颜色的灯？
【例 3】 节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接1盏黄灯，然后 又是5
盏红灯、4盏蓝灯、1盏黄灯、„„这样排下去．问： ⑴第150盏灯是什么颜色？
⑵前200盏彩灯中有多少盏蓝灯？
【巩固】 在一根绳子上依次穿2个红珠、2个白珠、5个黑珠，并按此方式反复，如果从头开始数，直到
第50颗，那么其中白珠有多少颗？
【巩固】 小莉把平时积存下来的200枚硬币按3个1分，2个2分，1个5分的顺序排列起来．
⑴最后1枚是几分硬币
⑵这200枚硬币一共价值多少钱？
【巩固】 桌子上摆了很多硬币，按一个一角，两个五角，三个一元的次序排列，一共19枚硬币．问：最
后一个是多少钱的？第十四个是多少钱的？
【巩固】 有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？
这249朵花中，什么花最多，什么花最少？最少的花比最多的花少几朵？
【例 4】 如图所示，每列上、下两个字（字母）组成一组，例如，第一组是“我，A ”，第二组是“们，
B
⑵如果“爱，C ”代表1991年，那么“科，D ”代表1992年„„问2008年对应怎样的组？
【巩固】 在图所示的表中，将每列上、下两个字组成一组，例如第一组为（新奥），第二组为（北林），
板块二、数列中的周期问题
【例 5】 小和尚在地上写了一列数：7，0，2，5，3，7，0，2，5，3„
你知道他写的第81个数是多少吗？
你能求出这81个数相加的和是多少吗？
【巩固】 根据下面一组数列的规律求出51是第几个数？
1、2、3、4、6、7、8、9、11、12、13、14、16、17„„
【例 6】 ⑴4⨯4⨯„„⨯4（25个4），积的个位数是几？
⑵24个2相乘，积末位数字是几？
【巩固】 紧接着1989后面写一串数字，写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数．例如，
8⨯9=72，在9后面写2，9⨯2=18，在2后面写8„„得到一串数字：19892868„，问：这串数字从1开始，往右数，第l 999个数字是几？这1999个数字的和是多少？
【例 7】 12个同学围成一圈做传手绢的游戏，如图．
⑴从1号同学开始，顺时针传l 00次，手绢应在谁手中？ ⑵从1号同学开始，逆时针传l 00次，手绢又在谁手中？
⑶从1号同学开始，先顺时针传l 56次，然后从那个同学开始逆时针传143次，再顺时针传107
次，最后手绢在谁手中？
1098
5
34
【巩固】 8个队员围成一圈做传球游戏，从⑴号开始，按顺时针方向向下一个人传球．在传球的同时，按
顺序报数．当报到72时，球在几号队员手上？
【巩固】 如图，电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈．现在，一只红跳蚤从标有数字．的
圆圈按顺时针方向跳了1991步，落在一个圆圈里．一只黑跳蚤也从标有数字．的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了1949步，落在另一个圆圈里．问：这两个圆圈里数字的乘积是多少？
【巩固】 如右图，把1～8八个号码摆成一个圆圈，现有一个小球，第一天从1号开
始按顺时针方向前进329个位置，第二天接着按逆时针方向前进485个位置，第三天又顺时针前进329个位置，第四天再逆时针前进485个位置„„如此继续下去，问至少经过几天，小球又回到原来的1号位置？
【巩固】 如右图，有16把椅子摆成一个圆圈，依次编上从1到16的号码. 现在有一人
从第1号椅子顺时针前进328个，再逆时针前进485个，又顺时针前进328个，再逆时针前进485个，又顺时针前进136个，这时他到了第几号椅子？
【例 8】 甲、乙两人对一根3米长的木棍涂色。首先，甲从木棍的端点开始涂黑色5厘米，间隔5厘米
不涂色，再涂5厘米黑色，这样交替做到底。然后，乙从木棍同一端点开始留出6厘米不涂色，然后涂6厘米黑色，再间隔6厘米不涂色，交替做到底，最后木棍上没有被涂黑色部分的总长度是多少？
【例 9】 右图中，任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是891，那么B 代表多少？
【巩固】 课外活动时，甲、乙、丙、丁四人排成一个圆圈依次报数．甲报“1”，乙报“2”，丙报“3”，
丁报“4”，这样每人报的数总比前一个人多1．问“34”是谁报的？“71”是谁报的？
【例 10】 实验室里有一只特别的钟，一圈共有20个格．每过7分钟，指针跳一次，每跳一次就要跳过9
个格，今天早晨8点整的时候，指针恰好从0跳到9，问：昨天晚上8点整的时候指针指着几？
【巩固】 有A 、B 、C 三个蜂鸣器，每次持续鸣叫的时间比例是3:4:5．每个蜂鸣器每次鸣叫完后停8秒
钟又开始鸣叫．最初三个蜂鸣器同时开始鸣叫，14分钟后第二次同时开始鸣叫，此时B 蜂鸣器已是第43次鸣叫了．问：最初同时开始鸣叫后的多少秒A 与C 第一次同时结束鸣叫？
【例 11】 有一个111位数，各位数字都是1，这个数除以6，余数是几？商的末位数字是几？
【巩固】 有一个1111位数，各位数字都是1，这个数除以6，余数是几？商的末位数字是几？
【例 12】 求28
【巩固】 算式（367
367128
-2929的个位数字.
+762762）⨯123123的得数的尾数是几？
板块三、日期中的周期问题
【例 13】 阳历1978年1月1日是星期日，阳历2000年1月1日是星期几？
【巩固】 1999年的元旦是星期五，那么据此你知道2005年的元旦是星期几吗？
【巩固】 小童的生日是6月27日，这一年的6月1日是星期六，小童的生日是星期几呢？
【巩固】 今天是星期三，那么从明天起第365天是星期几？
【巩固】 2002年的6月1日是星期六，那么这一年的10月1日是星期几呢？
【巩固】 2008年3月3号是星期一，算一算2008年8月8号奥运会开幕是星期几？
【巩固】 2008年的“六·一”儿童节是星期日，2008年的“十·一”是星期几？
【巩固】 1998年元旦是星期五，l999年元旦是星期几？2000年元旦是星期几？2001年元旦是星期几？
【巩固】 图中是2002年5月份日历表．⑴该月8号是星期几？⑵该年6月l 日是星期几？该年l 0月1
日是星期几？⑶2004年5月l 日是星期几?
日一二三
1
[***********]2226272829
四29162330
五310172431
六411 1825
【例 14】 小区里的李奶奶腿脚不方便，方方、圆圆、长长三名同学做好事，每天早晨轮流为李奶奶取牛
奶．方方第一次取奶是星期一，那么，他第100次取奶是星期几？
【巩固】 甲、乙、丙、丁四位医生依次每天轮流到农村卫生所义诊. 甲第30次义诊是星期三，那么当丙
首次在周日义诊时，丁医生已经下乡义诊几次了？
【例 15】 在某个月中刚好有3个星期天的日期是偶数(双数) ，则这个月的5日是星期几？
日29162330
一3101724
二4111825
三5121926
四6132027
五7142128
六815 2229
【巩固】 已知某月中，星期二的天数比星期三的天数多，而星期一的天数比星期日的天数多，那么这个
月的5号是星期几？
【巩固】 一个月最多有5个星期日，在一年的12个月中，有5个星期日的月份最多有几个月?
练习1. ★○○○★★○○○★★○○○„„这样的一排图形中第87个是什么图形，在87个图形中一共
有多少个五角星？
练习2. 流水线上给小木球涂色的次序是：先5个红、再4个黄、再3个绿、在2个黑、再1个白，然后
又依次是5红、4黄、3绿、2黑、1白……如此继续涂下去，到第2003个小球该涂什么颜色？
练习3. 如右图所示的数表中，从左往右依次看作五列，第99行右边第一个数是几？
练习4. 1999名同学从前往后排成一列，按下面的规则报数：如果某名同学报的数是一位数，那么后一
个同学就要报出这个数与9的和；如果某名同学报的数是两位数，那么后一个同学就要报出这个数的个位数与6的和。现让第一个同学报1，那么最后一名同学报的数是( )。
测试1、黑珠、白珠共101颗，穿成一串，排列如下图。这串珠子中，最后一颗珠子应该是_____色的, 这种颜色的珠子在这串中共有_____颗.
测试2、按下面的摆法，摆一百个三角形，请问第100个三角形是什么颜色的？在这100个三角形中有多少个白色的三角形？
△△△▲▲▲△△△▲▲▲△△△▲▲▲……
测试3、某个早晨, 容器中有200个细菌, 白天有光照, 容器中的细菌将减少65个, 夜间无光照, 容器中的细菌将增加40个. 则在第几个白天, 容器中的细菌全部死亡！
测试4、同学们在科技馆参加活动，谁最先参加游戏呢？同学们想了个好办法，大家排成一排1～2报数，报2的同学再1～2报数，这样依次进行下去，最后报2的这名同学先玩，如果这列一共有12人，最先玩的同学是这一列中的第几个？