[平面向量]单元教学设计

《平面向量》单元教学设计

武都区两水中学 王斌

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一,有深刻的几何背景,是解决几何问题的有力工具。向量概念引入后,全等和平行(平移)、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加(减)法、数乘向量、数量积运算,从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系。

向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景。在本章中,学生将了解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的意义,能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题,发展运算能力和解决实际问题的能力。

一、单元教学目标

本章主要包括平面向量的实际背景及基本概念、平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容。通过本章学习,应引导学生:

1.通过力和力的分析等实例,知道向量的实际背景,会运用平面向量和向量相等的含义,会向量的几何表示。

2.通过实例,会算向量加、减法的运算,并会求其几何意义。

3.通过实例,熟练运用向量数乘的运算,并解释其几何意义,以及两个向量共线的含义。

4.能说出向量的线性运算性质及其几何意义。

5.知道平面向量的基本定理及其意义。

6.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。

7.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。

8.解释用坐标表示的平面向量共线的条件。

9.通过物理中“功”等实例,说明平面向量数量积的含义及其物理意义。

10.体会平面向量的数量积与向量投影的关系。

11.识记数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算。

12.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

13.经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程,体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具,发展运算能力和解决实际问题的能力。

二、学习者特征分析

向量是近代数学中重要的和基本的概念之一,它是沟通代数几何与三角的一种工具。向量对学生来说是比较新的内容,学生对它的学习可以说是充满了探求的欲望,应当说能够使大部分学生在此章节的学习中体会到学习的成功乐趣。学生在学习本单元内容之前,已熟知了实数的运算体系,具备了物理知识. 这都为学习向量准备好各方面条件.

三、单元教材分析

本章共安排了5个小节及2个选学内容,大约需要12个课时,具体分配如下

2.1 平面向量的实际背景及基本概念 2课时

2.2 向量的线性运算 2课时

2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2课时

2.4 平面向量的数量积 2课时

2.5 平面向量应用举例 2课时

小结 2课时

本章知识结构如下:

1.第一节包括向量的物理背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。 教科书首先从位移、力等物理量出发,抽象出既有大小、又有方向的量——向量,并说明向量与数量的区别。然后介绍了向量的几何表示、有向线向量的长度(模)、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等基本概念。

2.第二节有向量加法运算及其几何意义、向量减法运算及其几何意义、向量数乘运算及其几何意义等内容。

教科书先讲了向量的加法、加法的几何意义、加法运算律;再用相反向量与向量的加法定义向量的减法,把向量的减法与加法统一起来,并给出向量减法的几何意义;然后通过向量的加法引入了实数与向量的积的定义,给出了实数与向量的积的运算律;最后介绍了两个向量共线的条件和向量线性运算的运算法则。

3.第三节包括平面向量基本定理、平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算、平面向量共线的坐标表示。

平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础。教科书首先通过一个具体的例子给出平面向量基本定理,同时介绍了基底、夹角、两个向量垂直的概念;然后在平面向量基本定理的基础上,给出了平面向量的正交分解及坐标表示,向量加、减、数乘的坐标运算和向量坐标的概念,最后给出平面向量共线的坐标表示。坐标表示使平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系,这为通过“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁。

4.第四节包括平面向量数量积的物理背景及其含义、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。

教科书从学生熟知的功的概念出发,引出了平面向量数量积的概念及其几何意义,接着介绍了向量数量积的性质、运算律及坐标表示。向量数量积把向量的长度和三角函数联系了起来,这样为解决有关的几何问题提供了方便,特别能有效地解决线段的垂直问题。

5.第五节包括平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例。由于向量来源于物理,并且兼具“数”和“形”的特点,所以它在物理和几何中具有广泛的应用。本节通过几个具体的例子说明了它的应用。

6.为了拓展学生的知识面,使学生了解向量及向量符号的由来,向量的运算(运算律)与几何图形形式的关系,本章安排了两个“阅读与思考”:向量几向量符号的由来,向量的运算(运算律)与图形性质。

四、教学中要注意的几个问题

1.突出向量的物理背景与几何背景

教科书特别注意从丰富的物理背景和几何背景中引入向量概念。在引言中通过日常生活中确定“位置”中的位移概念,说明学习向量知识的意义;在2.1节,通过物理学中的重力、浮力、弹力、速度、加速度等作为实际背景素材,说明它们都是既有大小又有方向的量,由此引出向量的概念;引出向量概念后,教科书又利用有向线段给出了向量的几何背景,并定义了向量的模、单位向量等概念。这样的安排,可以使学生认识到向量在刻画现实问题、物理问题以及数学问题中的作用,使学生建立起理解和运用向量概念的背景支持。

教科书借助几何直观,并通过与数的运算的类比引入向量运算,以加强向量的几何背景。

2.强调向量作为解决现实问题和数学问题的工具作用。

为了强调向量作为刻画力、速度、位移等现实中常见现象的有力的数学工具作用,本章特别注意联系实际。特别是在概念引入中加强与实际的联系。 另外,向量也是解决数学问题的好工具,例如,和(差)角的三角函数公式、线段的定比分点公式、平面两点间距离公式、平移公式及正弦定理、余弦定理等都可以用向量为工具进行推导;向量作为沟通代数、几何与三角函数的桥梁,是一个很好的数形结合工具,教科书通过“平面几何中的向量方法”进行了介绍,并在第三章用向量方法来推导两角差的余弦公式。这些处理也都是为了体现向量作为基本的、重要的数学工具的地位。

3.强调向量法的基本思想,明确向量运算及运算律的核心地位。

向量具有明确的几何背景,向量的运算及运算律具有明显的几何意义,因此涉及长度、夹角的几何问题可以通过向量及其运算得到解决。另外,向量及其运算(运算律)与几何图形的性质紧密相联,向量的运算(包括运算律)可以用图形直观表示,图形的一些性质也可以用向量的运算(运算律)来表示。这样,建立了向量运算(包括运算律)与几何图形之间的关系后,可以使图形的研究推进到有效能算的水平,向量运算(运算律)把向量与几何、代数有机地联系在一起。

几何中的向量方法与解析几何的思想具有一致性,不同的只是用“向量和向量运算”来代替解析几何中的“数和数的运算”。这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量,对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果。如果把解析几何的方法简单地表述为

[形到数]——[数的运算]——[数到形],

则向量方法可简单地表述为

[形到向量]——[向量的运算]——[向量和数到形]。

教科书特别强调了向量法的上述基本思想,并根据上述基本思想明确提出了用向量法解决几何问题的“三步曲”。为了使学生体会向量运算及运算律的重要性,教科书注意引导学生在解决具体问题时及时进行归纳,同时还明确使用了“因为有了运算,向量的力量无限;如果没有运算,向量只是示意方向的路标”的提示语。

4.通过与数及其运算的类比,向量法与坐标法的类比,建立相关知识的联系,突出思想性。

向量及其运算与数及其运算既有区别又有联系,在研究的思想方法上可以进行类比。这种类比可以打开学生讨论向量问题的思路,同时还能使向量的学习找到合适的思维固着点。为此,教科书在向量概念的引入,向量的线性运算,向量的数量积运算等内容的展开上,都注意与数及其运算(加、减、乘)进行类比。

5.引导学生用数学模型的观点看待向量内容

在向量概念的教学中,要利用学生的生活经验、其他学科的相关知识,创设丰富的情景,例如物理中的力、速度、加速度,力的合成与分解,物体受力做功等,通过这些实例是学生了解向量的物理背景、几何背景,引导学生认识向量作为描述现实问题的数学模型的作用。同时还要通过解决一些实际问题或几何问题,使学生学会用向量这一数学模型处理问题的基本方法。

6.加强向量与相关知识的联系性,使学生明确研究向量的基本思路

向量既是代数的对象,又是几何的对象。作为代数对象,向量可以运算,而且正是因为有了运算,向量的威力才得到充分的发挥;作为几何对象,向量可以刻画几何元素(点、线、面),利用向量的方向可以与三角函数发生联系,通过向量运算还可以描述几何元素之

间的关系(例如直线的垂直、平行等),另外,利用向量的长度可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题。教学中,教师应当充分关注到向量的这些特点,引导学生在代数、几何和三角函数的联系中学习本章知识。

五、教学评价

对本单元的教学我主要通过以下几种方式进行:

1、 通过与学生的问答交流,发现其思维过程,在鼓励的基础上,纠正偏差,并对其进行定性的评价。

2、在学生讨论、交流、协作时,教师通过观察,就个别或整体参与活动的态度和表现做出评价,以此来调动学生参与活动的积极性。

3、 通过练习来检验学生学习的效果,并在讲评中,肯定优点,指出不足。

4、 通过作业,反馈信息,再次对本节课做出评价,以便查漏补缺。

《平面向量》单元教学设计

武都区两水中学 王斌

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一,有深刻的几何背景,是解决几何问题的有力工具。向量概念引入后,全等和平行(平移)、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加(减)法、数乘向量、数量积运算,从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系。

向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景。在本章中,学生将了解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的意义,能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题,发展运算能力和解决实际问题的能力。

一、单元教学目标

本章主要包括平面向量的实际背景及基本概念、平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容。通过本章学习,应引导学生:

1.通过力和力的分析等实例,知道向量的实际背景,会运用平面向量和向量相等的含义,会向量的几何表示。

2.通过实例,会算向量加、减法的运算,并会求其几何意义。

3.通过实例,熟练运用向量数乘的运算,并解释其几何意义,以及两个向量共线的含义。

4.能说出向量的线性运算性质及其几何意义。

5.知道平面向量的基本定理及其意义。

6.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。

7.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。

8.解释用坐标表示的平面向量共线的条件。

9.通过物理中“功”等实例,说明平面向量数量积的含义及其物理意义。

10.体会平面向量的数量积与向量投影的关系。

11.识记数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算。

12.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

13.经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程,体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具,发展运算能力和解决实际问题的能力。

二、学习者特征分析

向量是近代数学中重要的和基本的概念之一,它是沟通代数几何与三角的一种工具。向量对学生来说是比较新的内容,学生对它的学习可以说是充满了探求的欲望,应当说能够使大部分学生在此章节的学习中体会到学习的成功乐趣。学生在学习本单元内容之前,已熟知了实数的运算体系,具备了物理知识. 这都为学习向量准备好各方面条件.

三、单元教材分析

本章共安排了5个小节及2个选学内容,大约需要12个课时,具体分配如下

2.1 平面向量的实际背景及基本概念 2课时

2.2 向量的线性运算 2课时

2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2课时

2.4 平面向量的数量积 2课时

2.5 平面向量应用举例 2课时

小结 2课时

本章知识结构如下:

1.第一节包括向量的物理背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。 教科书首先从位移、力等物理量出发,抽象出既有大小、又有方向的量——向量,并说明向量与数量的区别。然后介绍了向量的几何表示、有向线向量的长度(模)、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等基本概念。

2.第二节有向量加法运算及其几何意义、向量减法运算及其几何意义、向量数乘运算及其几何意义等内容。

教科书先讲了向量的加法、加法的几何意义、加法运算律;再用相反向量与向量的加法定义向量的减法,把向量的减法与加法统一起来,并给出向量减法的几何意义;然后通过向量的加法引入了实数与向量的积的定义,给出了实数与向量的积的运算律;最后介绍了两个向量共线的条件和向量线性运算的运算法则。

3.第三节包括平面向量基本定理、平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算、平面向量共线的坐标表示。

平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础。教科书首先通过一个具体的例子给出平面向量基本定理,同时介绍了基底、夹角、两个向量垂直的概念;然后在平面向量基本定理的基础上,给出了平面向量的正交分解及坐标表示,向量加、减、数乘的坐标运算和向量坐标的概念,最后给出平面向量共线的坐标表示。坐标表示使平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系,这为通过“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁。

4.第四节包括平面向量数量积的物理背景及其含义、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。

教科书从学生熟知的功的概念出发,引出了平面向量数量积的概念及其几何意义,接着介绍了向量数量积的性质、运算律及坐标表示。向量数量积把向量的长度和三角函数联系了起来,这样为解决有关的几何问题提供了方便,特别能有效地解决线段的垂直问题。

5.第五节包括平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例。由于向量来源于物理,并且兼具“数”和“形”的特点,所以它在物理和几何中具有广泛的应用。本节通过几个具体的例子说明了它的应用。

6.为了拓展学生的知识面,使学生了解向量及向量符号的由来,向量的运算(运算律)与几何图形形式的关系,本章安排了两个“阅读与思考”:向量几向量符号的由来,向量的运算(运算律)与图形性质。

四、教学中要注意的几个问题

1.突出向量的物理背景与几何背景

教科书特别注意从丰富的物理背景和几何背景中引入向量概念。在引言中通过日常生活中确定“位置”中的位移概念,说明学习向量知识的意义;在2.1节,通过物理学中的重力、浮力、弹力、速度、加速度等作为实际背景素材,说明它们都是既有大小又有方向的量,由此引出向量的概念;引出向量概念后,教科书又利用有向线段给出了向量的几何背景,并定义了向量的模、单位向量等概念。这样的安排,可以使学生认识到向量在刻画现实问题、物理问题以及数学问题中的作用,使学生建立起理解和运用向量概念的背景支持。

教科书借助几何直观,并通过与数的运算的类比引入向量运算,以加强向量的几何背景。

2.强调向量作为解决现实问题和数学问题的工具作用。

为了强调向量作为刻画力、速度、位移等现实中常见现象的有力的数学工具作用,本章特别注意联系实际。特别是在概念引入中加强与实际的联系。 另外,向量也是解决数学问题的好工具,例如,和(差)角的三角函数公式、线段的定比分点公式、平面两点间距离公式、平移公式及正弦定理、余弦定理等都可以用向量为工具进行推导;向量作为沟通代数、几何与三角函数的桥梁,是一个很好的数形结合工具,教科书通过“平面几何中的向量方法”进行了介绍,并在第三章用向量方法来推导两角差的余弦公式。这些处理也都是为了体现向量作为基本的、重要的数学工具的地位。

3.强调向量法的基本思想,明确向量运算及运算律的核心地位。

向量具有明确的几何背景,向量的运算及运算律具有明显的几何意义,因此涉及长度、夹角的几何问题可以通过向量及其运算得到解决。另外,向量及其运算(运算律)与几何图形的性质紧密相联,向量的运算(包括运算律)可以用图形直观表示,图形的一些性质也可以用向量的运算(运算律)来表示。这样,建立了向量运算(包括运算律)与几何图形之间的关系后,可以使图形的研究推进到有效能算的水平,向量运算(运算律)把向量与几何、代数有机地联系在一起。

几何中的向量方法与解析几何的思想具有一致性,不同的只是用“向量和向量运算”来代替解析几何中的“数和数的运算”。这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量,对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果。如果把解析几何的方法简单地表述为

[形到数]——[数的运算]——[数到形],

则向量方法可简单地表述为

[形到向量]——[向量的运算]——[向量和数到形]。

教科书特别强调了向量法的上述基本思想,并根据上述基本思想明确提出了用向量法解决几何问题的“三步曲”。为了使学生体会向量运算及运算律的重要性,教科书注意引导学生在解决具体问题时及时进行归纳,同时还明确使用了“因为有了运算,向量的力量无限;如果没有运算,向量只是示意方向的路标”的提示语。

4.通过与数及其运算的类比,向量法与坐标法的类比,建立相关知识的联系,突出思想性。

向量及其运算与数及其运算既有区别又有联系,在研究的思想方法上可以进行类比。这种类比可以打开学生讨论向量问题的思路,同时还能使向量的学习找到合适的思维固着点。为此,教科书在向量概念的引入,向量的线性运算,向量的数量积运算等内容的展开上,都注意与数及其运算(加、减、乘)进行类比。

5.引导学生用数学模型的观点看待向量内容

在向量概念的教学中,要利用学生的生活经验、其他学科的相关知识,创设丰富的情景,例如物理中的力、速度、加速度,力的合成与分解,物体受力做功等,通过这些实例是学生了解向量的物理背景、几何背景,引导学生认识向量作为描述现实问题的数学模型的作用。同时还要通过解决一些实际问题或几何问题,使学生学会用向量这一数学模型处理问题的基本方法。

6.加强向量与相关知识的联系性,使学生明确研究向量的基本思路

向量既是代数的对象,又是几何的对象。作为代数对象,向量可以运算,而且正是因为有了运算,向量的威力才得到充分的发挥;作为几何对象,向量可以刻画几何元素(点、线、面),利用向量的方向可以与三角函数发生联系,通过向量运算还可以描述几何元素之

间的关系(例如直线的垂直、平行等),另外,利用向量的长度可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题。教学中,教师应当充分关注到向量的这些特点,引导学生在代数、几何和三角函数的联系中学习本章知识。

五、教学评价

对本单元的教学我主要通过以下几种方式进行:

1、 通过与学生的问答交流,发现其思维过程,在鼓励的基础上,纠正偏差,并对其进行定性的评价。

2、在学生讨论、交流、协作时,教师通过观察,就个别或整体参与活动的态度和表现做出评价,以此来调动学生参与活动的积极性。

3、 通过练习来检验学生学习的效果,并在讲评中,肯定优点,指出不足。

4、 通过作业,反馈信息,再次对本节课做出评价,以便查漏补缺。


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