高中数学经典的解题技巧和方法（导数小技巧）
一、利用导数研究曲线的切线
考情聚焦：1．利用导数研究曲线y =f (x ) 的切线是导数的重要应用，为近几年各省市高考命题的热点。 2．常与函数的图象、性质及解析几何知识交汇命题，多以选择、填空题或以解答题中关键一步的形式出现，属容易题。
解题技巧：1．导数的几何意义
函数y =f (x ) 在x 0处的导数f '(x ) 的几何意义是：曲线y =f (x ) 在点P (x 0, f (x 0)) 处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数s (t ) 对时间t 的导数）。
2．求曲线切线方程的步骤：
（1）求出函数y =f (x ) 在点x =x 0的导数，即曲线y =f (x ) 在点P (x 0, f (x 0)) 处切线的斜率； （2）在已知切点坐标P (x 0, f (x 0)) 和切线斜率的条件下，求得切线方程为y -y 0=f '(x 0)(x -x 0) 。
注：①当曲线y =f (x ) 在点P (x 0, f (x 0)) 处的切线平行于y 轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为x =x 0；
②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解。 例1：（2010 ·海南高考·理科T3）曲线y =
x
在点(-1, -1)处的切线方程为（ ） x +2
（A ）y =2x +1 （B ）y =2x -1 （C ）y =-2x -3 （D ）y =-2x -2 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选A. 因为 y '=
2
，所以，在点(-1, -1)处的切线斜率k =y '
(x +2) 2
x =-1=
2
=2，所以，切线方2
(-1+2)
程为y +1=2(x +1) ，即y =2x +1，故选A. 二、利用导数研究导数的单调性
考情聚焦：1．导数是研究函数单调性有力的工具，近几年各省市高考中的单调性问题，几乎均用它解决。 2．常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式或指、对数式结构，多以解答题形式考查，属中高档题目。
解题技巧：利用导数研究函数单调性的一般步骤。 （1）确定函数的定义域； （2）求导数f '(x ) ；
（3）①若求单调区间（或证明单调性），只需在函数f (x ) 的定义域内解（或证明）不等式f '(x ) ＞0或f '(x ) ＜0。
②若已知f (x ) 的单调性，则转化为不等式f '(x ) ≥0或f '(x ) ≤0在单调区间上恒成立问题求解。 例2：（2010·山东高考文科·Ｔ21）已知函数f (x ) =ln x -ax +
1-a
-1(a ∈R ) x
（1）当a =-1时，求曲线y =f (x ) 在点(2,f (2))处的切线方程； （2）当a ≤
1
时，讨论f (x ) 的单调性. 2
【命题立意】本题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力. 考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想.
【思路点拨】(1)根据导数的几何意义求出曲线y =f (x ) 在点(2,f (2))处的切线的斜率；（2）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性, 同时应注意分类标准的选择.
x 2+x -22【规范解答】（1） 当a =-1 时，f (x ) =ln x +x +-1, x ∈(0, +∞), 所以 f '(x )= 2
x x
因此， f '(2)=1, 即曲线y =f (x ) 在点（2，f (2))处的切线斜率为 1. ，
又f (2) =ln 2+2, 所以曲线y =f (x ) 在点（2，f (2)) 处的切线方程为 y -(ln2+2) =x -2,
即 x -y +ln 2=0.
ax 2-x +1-a 1a -11-a
-1, 所以f ' (x ) =-a +2=-（2）因为f (x ) =ln x -ax + x ∈(0, +∞) , 令2
x x x x
g (x ) =ax 2-x +1-a , x ∈(0, +∞),
（1） 当a =0时，g (x ) =-x +1, x ∈(0, +∞), 所以
当x ∈(0,1)时，g (x )>0，此时f '(x )0，函数f (x )单调递增.
2
（2） 当a ≠0时，由f '(x )=0，即 ax -x +1-a =0，解得x 1=1, x 2=
1
-1. a
1
时， x 1=x 2 ， g (x )≥0恒成立，此时f '(x )≤0，函数f (x )在（0，+∞）上单调递减; 211
② 当01>0，
2a
① 当a =
x ∈(0,1)时，g (x )>0, 此时f '(x )
⎛1⎫
x ∈ 1, -1⎪时，g (x )0, 函数f (x )单调递增
⎝a ⎭⎛1⎫
x ∈ -1, +∞⎪时，g (x )>0，此时f '(x )
⎝a ⎭
③ 当a
1
-1
x ∈(0,1)时，g (x )>0, 此时f '(x )0, 函数f (x )单调递增.
综上所述：
当a ≤0时，函数f (x )在(0,1)上单调递减; 函数f (x )在(1, +∞)上单调递增 当a =
1
时, 函数f (x )在(0, +∞)上单调递减 2
1⎛1⎫
时，函数f (x )在(0,1)上单调递减；函数f (x ) 在 1, -1⎪上单调递增； 2⎝a ⎭
当0
函数f (x )在 【方法技巧】
⎛1⎫
-1, +∞⎪上单调递减. ⎝a ⎭
1、分类讨论的原因
(1)某些概念、性质、法则、公式分类定义或分类给出；
(2)数的运算：如除法运算中除式不为零，在实数集内偶次方根的被开方数为非负数，对数中真数与底数的要求，不等式两边同乘以一个正数还是负数等；
(3)含参数的函数、方程、不等式等问题，由参数值的不同而导致结果发生改变；
(4)在研究几何问题时，由于图形的变化(图形位置不确定或形状不确定) ，引起问题的结果有多种可能. 2、分类讨论的原则 (1)要有明确的分类标准；
(2)对讨论对象分类时要不重复、不遗漏； (3)当讨论的对象不止一种时，应分层次进行. 3、分类讨论的一般步骤
(1)明确讨论对象，确定对象的范围；
(2)确定统一的分类标准，进行合理分类，做到不重不漏； (3)逐段逐类讨论，获得阶段性结果； (4)归纳总结，得出结论.
三、利用导数研究函数的极值与最值
考情聚焦：1．导数是研究函数极值与最值问题的重要工具，几乎是近几年各省市高考中极值与最值问题求解的必用方法。
2．常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式、或指、对数式结构，多以解答题形式出现，属中高档题。
解题技巧：1．利用导数研究函数的极值的一般步骤：
（1）确定定义域。（2）求导数f '(x ) 。（3）①或求极值，则先求方程f '(x ) =0的根，再检验f '(x ) 在方程根左右值的符号，求出极值。（当根中有参数时要注意分类讨论）
②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f '(x ) =0的根的大小或存在情况，从而求解。
2．求函数y =f (x ) 的极值与端点处的函数值f (a ), f (b ) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。 例3：（2010·天津高考理科·Ｔ2１）已知函数f (x ) =xe -x (x ∈R )
（Ⅰ）求函数f (x ) 的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数y =g (x ) 的图象与函数y =f (x ) 的图象关于直线x =1对称，证明当x >1时，f (x ) >g (x ) （III ）如果x 1≠x 2，且f (x 1) =f (x 2) ，证明x 1+x 2>2
【命题立意】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力。
【思路点拨】利用导数及函数的性质解题。 【规范解答】
（Ⅰ）解：f ’(x ) =(1-x ) e -x ，令f ’(x)=0,解得x=1， 当x 变化时，f ’(x)，f(x)的变化情况如下表
所以f(x)在(-∞,1) 内是增函数，在(1, +∞) 内是减函数。 函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=
1
e
x -2
（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)e
令F(x)=f(x)-g(x),即F (x ) =xe 于是F '(x ) =(x -1)(e
2x -2
-x
+(x -2) e x -2
-1) e -x
-1>0, 又e -x >0, 所以F ’(x)>0,从而函数F （x ）在[1,+∞) 是增函数。
当x>1时，2x-2>0,从而e
-1
-1
2x-2
又F(1)=e -e =0，所以x>1时，有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x). (Ⅲ) 证明：（1）
若(x 1-1)(x 2-1) =0, 由（I）及f(x1) =f(x2), 则x 1=x 2=1. 与x 1≠x 2矛盾。
（2）若(x 1-1)(x 2-1) >0, 由（I）及f(x1) =f(x2), 得x 1=x 2. 与x 1≠x 2矛盾。
根据（1）（2）得(x 1-1)(x 2-1) 1.
由（Ⅱ）可知，f(x2) >g(x2) , 则g(x2) =f(2-x2) ，所以f(x2) >f(2-x2) , 从而f(x1) >f(2-x2) . 因为x 2>1，所以
2-x 22-x 2, 即x 1+x 2>2。
四、利用导数研究函数的图象
考情聚焦：1．该考向由于能很好地综合考查函数的单调性、极值（最值）、零点及数形结合思想等重要考点，而成为近几年高考命题专家的新宠。
2．常与函数的其他性质、方程、不等式、解析几何知识交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式、指、对数式结构，多以解答题中压轴部分出现。属于较难题。
例4：（2010·福建高考理科·Ｔ20）(Ⅰ) 已知函数f(x)=x-x ，其图像记为曲线C. （i ）求函数f(x)的单调区间；
(ii)证明：若对于任意非零实数x 1，曲线C 与其在点P 1（x 1,f(x1）处的切线交于另一点P 2（x 2,f(x2). 曲线C 与其在点P 2处的切线交于另一点P 3 （x 3 f(x3) ），线段P 1P 2,P 2P 3与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为S1,S2，则
3
s 1
为定s 2
值：
（Ⅱ）对于一般的三次函数g （x ）=ax+bx+cx+d(a≠0) ，请给出类似于(Ⅰ)(ii)的正确命题，并予以证明。
3
2
【命题立意】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归转化思想、特殊与一般的思想。
【思路点拨】第一步（1）利用导数求解函数的单调区间，（2）利用导数求解切线的斜率，写出切线方程，并利用定积分求解S 1,S 2及其比值；第二步利用合情推理的方法对问题进行推广得到相关命题，并利用平移的方法进行证明。
【规范解答】（Ⅰ) (i)f ' (x ) =3x 2-1=(3x +13x -1) ，令
f ' (x ) >0得到x >
1111
，令f ' (x )
33311
) 和(, +∞) ；单调递减区间为33
函数的单调递增区间为(-∞, -
(-
11
, ) 3；
23232
y =3x -1x -x +x P (ii)f ' (x ) =3x -1，P ，，因此过点的切线方程为：(x , x -x ) f ' (x ) =3x -1()111-x 1，1111111
()
23
⎧⎪y =(3x 1-1)x -2x 1323
y =3x -1x -2x x -x =3x -1x -2x ()()⎨11即，由得，所以x =x 1或x =-2x
1，故3
y =x -x ⎪⎩
2
1
31
x 2=-2x 1，进而有S 1=
⎰(x
x 1
-2x 1
3
3⎛1⎫-2x 1274
-3x 12x +2x 13)dx = x 4-x 12x 2+2x 13x ⎪=x 1，用x 2代替x 1，重复上
x 424⎝⎭1
面的计算，可得x 3=-2x 2和S 2=
S 127427⨯164
x 2，又x 2=-2x 1≠0，∴S 2=x 1≠0，因此有1= 44S 216。
（Ⅱ）【命题】若对于任意函数g (x ) =ax 3+bx 2+cx +d 的图像为曲线C ' ，其类似于(I)(ii)的命题为：若对任意不等于-
b
的实数x 1，曲线与其在点P 曲线C ' 与其在点P 2(x 2, g (x 2)) ，2(x 2, g (x 2)) 处1(x 1, g (x 1)) 处的切线交于另一点P 3a
的切线交于另外一点P 1P 2、P 2P 3与曲线C ' 所围成面积为S 1、S 2，则3(x 3, g (x 3)) ，线段P
S 11
=。 S 216
【证明】对于曲线y =ax 3+bx 2+cx +d ，无论如何平移，其面积值是恒定的，所以这里仅考虑y =ax 3+bx 2+cx 的情形，y ' =3ax +2bx +c ，P 1的切线方程为： 1(x 1, ax 1+bx 1+cx 1) ，f ' (x 1) =3ax 1+2bx 1+c ，因此过点P
2
3
2
2
y =(3ax +2bx 1+c ) x -2x -bx
2
1312
1，联立
232
⎧⎪y =(3ax 1+2bx 1+c ) x -2x 1-bx 1
，得到：⎨32
⎪⎩y =ax +bx +cx
3
ax 3+bx 2-3ax 12+2bx 1x +bx 12+2x 1=0，
()
b +2ax 12b 2+4a 2x 12+6abx 1+ac 化简：得到从而(x -x 1) (ax +b +2ax 1) =0所以P 2(-, ) 同样运用(i)中方法便可
a a
2
以得到x 3=所以
2b
+4x 1=-2x 2 a
S 11=。 S 216
【方法技巧】函数导数的内容在历届高考中主要切线方程、导数的计算，利用导数判断函数单调性、极值、最值等问题，试题还与不等式、三角函数、数列、立几、解几等知识的联系，类型有交点个数、恒成立问题等, 其中渗透并充分利用构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要的思想方法，主要考查导数的工具性作用。
例5：（2010·江西高考理科·Ｔ１２）如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为S (t )(S (0)=0) ，则导函数y =S '(t ) 的图像大致为
【命题立意】本题将各知识点有机结合，属创新题型，主要考查对函数的图像识别能力，灵活分析问题和解决问题的能力，考查分段函数，考查分段函数的导数，考查分类讨论的数学思想，考查函数的应用，考查平面图形面积的计算，考查数形结合的思维能力．
【思路点拨】本题结合题意及图像的变化情况可用排除法；也可先求面积的函数，再求其导数，最后结合图像进行判
断
.
【规范解答】选A ．方法一：在五角星匀速上升过程中露出的图形部分的面积共有四段不同变化情况，第一段和第三段的变化趋势相同，只有选项A 、C 符合要求，从而先排除B 、D ，在第二段变化中，面积的增长速度显然较慢，体现在导函数图像中其图像应下降，排除选项C ，故选A.
方法二：设正五角星的一个顶点到内部较小正五边形的最近边的距离为1，且设tan 18=m ，则依据题意可得：1⎧
t ⋅2mt =mt 2
⎪2⎪
(m ++m 2)(-x 2+4x -3) +m ⎪⎪
S (t ) =⎨m (m +4-5m 2-4+m 2) 2
mx +⎪1+m 2
⎪2322⎪-+m 2x 2+4(m ++m 2) x +m -9m -4(m +m +1) +m ⎪1+m 2⎩
0≤t ≤1
2m
1
2
1+m 2m
+1
1+m
2m
2
+m 2
2m t ⎧
⎪(+m 2+m )(-2t +4) ⎪
其导函数S '(t ) =⎨
2m t ⎪
22⎪⎩-2+m t +4(+m +m )
0≤t
2m
1
2
+m 2m
+1
+m 2
2m
2
+m 2
【方法技巧】从题设条件出发，结合所学知识点，根据“四选一”的要求，逐步剔除干扰项，从而得出正确的判断. 这种方法适应于定性型或不易直接求解的选择题. 当题目中的变化情况较多时，先根据某些条件在选择支中找出明显与之矛盾的，予以排除，再根据另一些条件在缩小的选择支的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的选择. 它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法，近几年高考选择题中考查较多.
1-⎫⎛
例6：（2010·全国高考卷Ⅱ理科·Ｔ10）若曲线y =x 在点 a , a 2⎪处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，
⎝⎭
-
1
2
则a =
（A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）8
【命题立意】本题主要考查了导数的几何意义，曲线的切线方程求法，考查考生的运算求解能力． 【思路点拨】先求出切线方程，然后表示出切线与两个坐标围成的三角形的面积。
311
-⎫-⎛1-2
【规范解答】选A ，y '=-x , 所以曲线y =x 2在点 a , a 2⎪处的切线：
2⎝⎭
1
2
y -a
-
1-23-2
=-a (x -a ), 由x =0得y =a , 由y =0得，x =3a ,
22
1
31
13-
所以，⨯a 23a =18, 解得a =64.
22
【方法技巧】利用导数解决切线问题有两种类型：（1）“在”曲线上一点处的切线问题，先对函数求导，代入点的横坐标得到斜率。（2）“过”曲线上一点的切线问题，此时该点未必是切点， 故应先设切点，再求切点坐标。
导数题型分析及解题方法
题型一：利用导数研究函数的极值、最值。
32
f (x ) =x -3x +2在区间[-1,1]上的最大值是 2 1．
题型二：利用导数几何意义求切线方程
4
1．若曲线f (x ) =x -x 在P 点处的切线平行于直线3x -y =0，则P 点的坐标为 （1，0）
4
y =x 2．若曲线的一条切线l 与直线x +4y -8=0垂直，则l 的方程为 4x -y -3=0
题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值
32
f (x ) =x +ax +bx +c , 过曲线y =f (x ) 上的点P (1, f (1)) 的切线方程为y=3x+1 1．已知函数
（Ⅰ）若函数f (x ) 在x =-2处有极值，求f (x ) 的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数y =f (x ) 在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数y =f (x ) 在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围
322
解：（1）由f (x ) =x +ax +bx +c , 求导数得f '(x ) =3x +2ax +b .
过y =f (x ) 上点P (1, f (1)) 的切线方程为：
y -f (1) =f '(1)(x -1), 即y -(a +b +c +1) =(3+2a +b )(x -1).
的切线方程为y =3x +1. 而过y =f (x ) 上P [1, f (1)]
⎧3+2a +b =3⎨
故⎩a -c =-3
⎧2a +b =0即⎨
⎩a -c =-3
① ②
, 故f '(-2) =0, ∴-4a +b =-12 ③ ∵y =f (x ) 在x =-2时有极值
32
由①②③得 a=2，b=－4，c=5 ∴f (x ) =x +2x -4x +5.
2
'f (x ) =3x +4x -4=(3x -2)(x +2). （2）
2
-3≤x 0; 当-2≤x
3当
2
当0. ∴f (x ) 极大=f (-2) =133 又f (1) =4, ∴f (x ) 在[－3，1]上最大值是13。
2
'f (x )=3x +2ax +b , 由①知2a+b=0。 （3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又
2''依题意f (x ) 在[－2，1]上恒有f (x ) ≥0，即3x -bx +b ≥0.
x =
①当
b
≥1时, f '(x ) min =f '(1) =3-b +b >0, ∴b ≥66；
x =
②当
b
≤-2时, f '(x ) min =f '(-2) =12+2b +b ≥0, ∴b ∈φ6；
612b -b 2-2≤≤1时, f '(x ) min =≥0, 则0≤b ≤6.
b 12③当
综上所述，参数b 的取值范围是[0, +∞) 题型四：利用导数研究函数的图象
/
1．如右图：是f （x ）的导函数， f (x ) 的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ D ）
（A ） （B ） （C ） （D ） 2．函数
y =
13
x -4x +1的图像为3( A )
322x -6x +7=0在(0, 2) 内根的个数为 ( B ) 3．方程
A、0 B、1 C、2 D、3 题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围
1．已知函数f （x ）＝x3＋ax2＋bx ＋c 在x ＝－2/3与x ＝1时都取得极值（1）求a 、b 的值与函数f （x ）的单调区间
（2）若对x ∈〔－1，2〕，不等式f （x ）
－
2
3
124
－a ＋b ＝0
3）＝9，f '（1）＝3＋2a ＋b ＝0
得a ＝－
1
2
，b ＝－2 f '（x ）＝3x2－x －2＝（3x ＋2）（x －1），函数f （x ）的单调区间如下表：
23
2
3
，1）
所以函数f （x ）的递增区间是（－∞，－（2）f （x ）＝x3－
12
）与（1，＋∞），递减区间是（－
2
3
x2－
2x ＋c ，x
∈〔－1，2〕，当x ＝－时，f （x ）＝
22
27
＋c
为极大值，而f （2）＝2＋c ，则f （2）＝2＋c 为最大值。 要使f （x ）f （2）＝2＋c ，解得c 2 题型六：利用导数研究方程的根
1．已知平面向量a =(3, －1). b =(2,
1
2
).
（1）若存在不同时为零的实数k 和t ，使x =a +(t2－3) b ，y =-ka +tb ，x ⊥y ， 试求函数关系式k=f(t) ；
(2) 据(1)的结论，讨论关于t 的方程f(t)－k=0的解的情况. 解：(1)∵x ⊥y ，∴x ⋅y =0 即[a +(t2-3) b ]·(-k a +tb )=0. 整理后得-k a +[t-k(t2-3)] a ⋅b + (t2-3)·b =0
∵a ⋅b =0，a =4，b =1，∴上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k=4t(t2-3) (2)讨论方程
142
2
1
22
t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)= 4t(t2-3)与直线y=k的交点个数.
34
1
于是f ′(t)= (t2-1)=
34
(t+1)(t-1).
令f ′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t 变化时，f ′(t)、f(t)的变化情况如下表：
12
12
当t=－1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=函数f(t)=(1)当k ＞(2)当k=(3) 当－
1214
. 当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=－
t(t2-3)的图象如图13－2－1所示，可观察出：
12
或k ＜－
12
时, 方程f(t)－k=0有且只有一解；
12
12
或k=－＜k ＜
时, 方程f(t)－k=0有两解；
12
时, 方程f(t)－k=0有三解.
题型七：导数与不等式的综合
3
a >0, 函数f (x ) =x -ax 在[1, +∞) 上是单调函数. 1．设
（1）求实数a 的取值范围； （2）设
x 0≥1，f (x ) ≥1，且f (f (x 0)) =x 0，求证：f (x 0) =x 0.
22
'''f (x ) )[1, +∞y =f (x ) =3x -a , y 3x , 这样的实数a 不存在. 解：（1） 若在上是单调递减函数，则须
故f (x ) 在[1, +∞)上不可能是单调递减函数.
2
若f (x ) 在[1, +∞)上是单调递增函数，则a ≤3x ，
2
)[x ∈1, +∞, 故3x ≥3. 从而0
x
（2）方法1、可知f (x ) 在[1, +∞)上只能为单调增函数. 若1≤0
≤
f (x 0)
3333f (x ) =u , 则f (u ) =x ∴x -ax =u , u -au =x , (x -u ) -a (x 0-u ) =u -x 0 000000方法2：设，两式相减得
2∴(x 0-u )(x 0+x 0u +u 2+1-a ) =0, x 0≥1,u ≥1，
22∴x 0+x 0u +u 2≥3, 又00
题型八：导数在实际中的应用
1．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可1
以表示为：y =128000x 3-3
80x +8(0
已知甲、乙两地相距100千米。
（I ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（II ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
解：（I ）当x =40100
时，汽车从甲地到乙地行驶了40=2.5小时，
要耗没(1
128000⨯403-3
80⨯40+8) ⨯2.5=17.5（升）。
100
（II ）当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了x 小时，设耗油量为h (x ) 升，
依题意得h (x ) =(1
128000x 3-3
80x +8). 100
x =1
1280x 2+800
x -15
4(0
h '(x ) =x
640-800
x 2=x 3-80640x 2(0
当x ∈(0,80)时，h '(x ) 0, h (x ) 是增函数。
∴当x =80时，h (x ) 取到极小值h (80)=11.25.
因为h (x ) 在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值。
题型九：导数与向量的结合
1．设平面向量a =1-2), b =(12若存在不同时为零的两个实数s 、t
=+(t 2-k ) , =-s +t b 且⊥
（1）求函数关系式S =f (t ) ；
（2）若函数S =f (t ) 在[1，+∞)上是单调函数，求k 的取值范围。 33解：（1）=(2, -1
2), =(1
2, 2). a =b =1，a ∙b =0
又x ⊥y , x ∙y =0，得
⎡⎣a +（t 2-k ）（b ⎤⎦-sa +tb ）=0，
即-sa 2+（t t 2-k ）b 2-（t -st 2+sk ）a ⋅b =0。
∴-s +（t 2-k ）t =0，故s =（f t ）=t 3-kt 。
（2）f '（t ）=3t 2-k 且f （t ）在[1，+∞)上是单调函数， 及实数k ，使
''≤0 则在[1, +∞)上有f (t ) ≥0或f （t ）
'由f (t ) ≥0⇒3t -k ≥0⇒k ≤3t ⇒k ≤(3t ) min ⇒k ≤3；
22'f (t ) ≤0⇒3t -k ≤0⇒k ≥3t 由。
22因为在t ∈[1, +∞)上3t 是增函数，所以不存在k ，使k ≥3t 在[1, +∞)上恒成立。故k 的取值范围是k ≤3。 222
高中数学经典的解题技巧和方法（导数小技巧）
一、利用导数研究曲线的切线
考情聚焦：1．利用导数研究曲线y =f (x ) 的切线是导数的重要应用，为近几年各省市高考命题的热点。 2．常与函数的图象、性质及解析几何知识交汇命题，多以选择、填空题或以解答题中关键一步的形式出现，属容易题。
解题技巧：1．导数的几何意义
函数y =f (x ) 在x 0处的导数f '(x ) 的几何意义是：曲线y =f (x ) 在点P (x 0, f (x 0)) 处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数s (t ) 对时间t 的导数）。
2．求曲线切线方程的步骤：
（1）求出函数y =f (x ) 在点x =x 0的导数，即曲线y =f (x ) 在点P (x 0, f (x 0)) 处切线的斜率； （2）在已知切点坐标P (x 0, f (x 0)) 和切线斜率的条件下，求得切线方程为y -y 0=f '(x 0)(x -x 0) 。
注：①当曲线y =f (x ) 在点P (x 0, f (x 0)) 处的切线平行于y 轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为x =x 0；
②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解。 例1：（2010 ·海南高考·理科T3）曲线y =
x
在点(-1, -1)处的切线方程为（ ） x +2
（A ）y =2x +1 （B ）y =2x -1 （C ）y =-2x -3 （D ）y =-2x -2 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选A. 因为 y '=
2
，所以，在点(-1, -1)处的切线斜率k =y '
(x +2) 2
x =-1=
2
=2，所以，切线方2
(-1+2)
程为y +1=2(x +1) ，即y =2x +1，故选A. 二、利用导数研究导数的单调性
考情聚焦：1．导数是研究函数单调性有力的工具，近几年各省市高考中的单调性问题，几乎均用它解决。 2．常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式或指、对数式结构，多以解答题形式考查，属中高档题目。
解题技巧：利用导数研究函数单调性的一般步骤。 （1）确定函数的定义域； （2）求导数f '(x ) ；
（3）①若求单调区间（或证明单调性），只需在函数f (x ) 的定义域内解（或证明）不等式f '(x ) ＞0或f '(x ) ＜0。
②若已知f (x ) 的单调性，则转化为不等式f '(x ) ≥0或f '(x ) ≤0在单调区间上恒成立问题求解。 例2：（2010·山东高考文科·Ｔ21）已知函数f (x ) =ln x -ax +
1-a
-1(a ∈R ) x
（1）当a =-1时，求曲线y =f (x ) 在点(2,f (2))处的切线方程； （2）当a ≤
1
时，讨论f (x ) 的单调性. 2
【命题立意】本题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力. 考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想.
【思路点拨】(1)根据导数的几何意义求出曲线y =f (x ) 在点(2,f (2))处的切线的斜率；（2）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性, 同时应注意分类标准的选择.
x 2+x -22【规范解答】（1） 当a =-1 时，f (x ) =ln x +x +-1, x ∈(0, +∞), 所以 f '(x )= 2
x x
因此， f '(2)=1, 即曲线y =f (x ) 在点（2，f (2))处的切线斜率为 1. ，
又f (2) =ln 2+2, 所以曲线y =f (x ) 在点（2，f (2)) 处的切线方程为 y -(ln2+2) =x -2,
即 x -y +ln 2=0.
ax 2-x +1-a 1a -11-a
-1, 所以f ' (x ) =-a +2=-（2）因为f (x ) =ln x -ax + x ∈(0, +∞) , 令2
x x x x
g (x ) =ax 2-x +1-a , x ∈(0, +∞),
（1） 当a =0时，g (x ) =-x +1, x ∈(0, +∞), 所以
当x ∈(0,1)时，g (x )>0，此时f '(x )0，函数f (x )单调递增.
2
（2） 当a ≠0时，由f '(x )=0，即 ax -x +1-a =0，解得x 1=1, x 2=
1
-1. a
1
时， x 1=x 2 ， g (x )≥0恒成立，此时f '(x )≤0，函数f (x )在（0，+∞）上单调递减; 211
② 当01>0，
2a
① 当a =
x ∈(0,1)时，g (x )>0, 此时f '(x )
⎛1⎫
x ∈ 1, -1⎪时，g (x )0, 函数f (x )单调递增
⎝a ⎭⎛1⎫
x ∈ -1, +∞⎪时，g (x )>0，此时f '(x )
⎝a ⎭
③ 当a
1
-1
x ∈(0,1)时，g (x )>0, 此时f '(x )0, 函数f (x )单调递增.
综上所述：
当a ≤0时，函数f (x )在(0,1)上单调递减; 函数f (x )在(1, +∞)上单调递增 当a =
1
时, 函数f (x )在(0, +∞)上单调递减 2
1⎛1⎫
时，函数f (x )在(0,1)上单调递减；函数f (x ) 在 1, -1⎪上单调递增； 2⎝a ⎭
当0
函数f (x )在 【方法技巧】
⎛1⎫
-1, +∞⎪上单调递减. ⎝a ⎭
1、分类讨论的原因
(1)某些概念、性质、法则、公式分类定义或分类给出；
(2)数的运算：如除法运算中除式不为零，在实数集内偶次方根的被开方数为非负数，对数中真数与底数的要求，不等式两边同乘以一个正数还是负数等；
(3)含参数的函数、方程、不等式等问题，由参数值的不同而导致结果发生改变；
(4)在研究几何问题时，由于图形的变化(图形位置不确定或形状不确定) ，引起问题的结果有多种可能. 2、分类讨论的原则 (1)要有明确的分类标准；
(2)对讨论对象分类时要不重复、不遗漏； (3)当讨论的对象不止一种时，应分层次进行. 3、分类讨论的一般步骤
(1)明确讨论对象，确定对象的范围；
(2)确定统一的分类标准，进行合理分类，做到不重不漏； (3)逐段逐类讨论，获得阶段性结果； (4)归纳总结，得出结论.
三、利用导数研究函数的极值与最值
考情聚焦：1．导数是研究函数极值与最值问题的重要工具，几乎是近几年各省市高考中极值与最值问题求解的必用方法。
2．常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式、或指、对数式结构，多以解答题形式出现，属中高档题。
解题技巧：1．利用导数研究函数的极值的一般步骤：
（1）确定定义域。（2）求导数f '(x ) 。（3）①或求极值，则先求方程f '(x ) =0的根，再检验f '(x ) 在方程根左右值的符号，求出极值。（当根中有参数时要注意分类讨论）
②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f '(x ) =0的根的大小或存在情况，从而求解。
2．求函数y =f (x ) 的极值与端点处的函数值f (a ), f (b ) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。 例3：（2010·天津高考理科·Ｔ2１）已知函数f (x ) =xe -x (x ∈R )
（Ⅰ）求函数f (x ) 的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数y =g (x ) 的图象与函数y =f (x ) 的图象关于直线x =1对称，证明当x >1时，f (x ) >g (x ) （III ）如果x 1≠x 2，且f (x 1) =f (x 2) ，证明x 1+x 2>2
【命题立意】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力。
【思路点拨】利用导数及函数的性质解题。 【规范解答】
（Ⅰ）解：f ’(x ) =(1-x ) e -x ，令f ’(x)=0,解得x=1， 当x 变化时，f ’(x)，f(x)的变化情况如下表
所以f(x)在(-∞,1) 内是增函数，在(1, +∞) 内是减函数。 函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=
1
e
x -2
（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)e
令F(x)=f(x)-g(x),即F (x ) =xe 于是F '(x ) =(x -1)(e
2x -2
-x
+(x -2) e x -2
-1) e -x
-1>0, 又e -x >0, 所以F ’(x)>0,从而函数F （x ）在[1,+∞) 是增函数。
当x>1时，2x-2>0,从而e
-1
-1
2x-2
又F(1)=e -e =0，所以x>1时，有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x). (Ⅲ) 证明：（1）
若(x 1-1)(x 2-1) =0, 由（I）及f(x1) =f(x2), 则x 1=x 2=1. 与x 1≠x 2矛盾。
（2）若(x 1-1)(x 2-1) >0, 由（I）及f(x1) =f(x2), 得x 1=x 2. 与x 1≠x 2矛盾。
根据（1）（2）得(x 1-1)(x 2-1) 1.
由（Ⅱ）可知，f(x2) >g(x2) , 则g(x2) =f(2-x2) ，所以f(x2) >f(2-x2) , 从而f(x1) >f(2-x2) . 因为x 2>1，所以
2-x 22-x 2, 即x 1+x 2>2。
四、利用导数研究函数的图象
考情聚焦：1．该考向由于能很好地综合考查函数的单调性、极值（最值）、零点及数形结合思想等重要考点，而成为近几年高考命题专家的新宠。
2．常与函数的其他性质、方程、不等式、解析几何知识交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式、指、对数式结构，多以解答题中压轴部分出现。属于较难题。
例4：（2010·福建高考理科·Ｔ20）(Ⅰ) 已知函数f(x)=x-x ，其图像记为曲线C. （i ）求函数f(x)的单调区间；
(ii)证明：若对于任意非零实数x 1，曲线C 与其在点P 1（x 1,f(x1）处的切线交于另一点P 2（x 2,f(x2). 曲线C 与其在点P 2处的切线交于另一点P 3 （x 3 f(x3) ），线段P 1P 2,P 2P 3与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为S1,S2，则
3
s 1
为定s 2
值：
（Ⅱ）对于一般的三次函数g （x ）=ax+bx+cx+d(a≠0) ，请给出类似于(Ⅰ)(ii)的正确命题，并予以证明。
3
2
【命题立意】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归转化思想、特殊与一般的思想。
【思路点拨】第一步（1）利用导数求解函数的单调区间，（2）利用导数求解切线的斜率，写出切线方程，并利用定积分求解S 1,S 2及其比值；第二步利用合情推理的方法对问题进行推广得到相关命题，并利用平移的方法进行证明。
【规范解答】（Ⅰ) (i)f ' (x ) =3x 2-1=(3x +13x -1) ，令
f ' (x ) >0得到x >
1111
，令f ' (x )
33311
) 和(, +∞) ；单调递减区间为33
函数的单调递增区间为(-∞, -
(-
11
, ) 3；
23232
y =3x -1x -x +x P (ii)f ' (x ) =3x -1，P ，，因此过点的切线方程为：(x , x -x ) f ' (x ) =3x -1()111-x 1，1111111
()
23
⎧⎪y =(3x 1-1)x -2x 1323
y =3x -1x -2x x -x =3x -1x -2x ()()⎨11即，由得，所以x =x 1或x =-2x
1，故3
y =x -x ⎪⎩
2
1
31
x 2=-2x 1，进而有S 1=
⎰(x
x 1
-2x 1
3
3⎛1⎫-2x 1274
-3x 12x +2x 13)dx = x 4-x 12x 2+2x 13x ⎪=x 1，用x 2代替x 1，重复上
x 424⎝⎭1
面的计算，可得x 3=-2x 2和S 2=
S 127427⨯164
x 2，又x 2=-2x 1≠0，∴S 2=x 1≠0，因此有1= 44S 216。
（Ⅱ）【命题】若对于任意函数g (x ) =ax 3+bx 2+cx +d 的图像为曲线C ' ，其类似于(I)(ii)的命题为：若对任意不等于-
b
的实数x 1，曲线与其在点P 曲线C ' 与其在点P 2(x 2, g (x 2)) ，2(x 2, g (x 2)) 处1(x 1, g (x 1)) 处的切线交于另一点P 3a
的切线交于另外一点P 1P 2、P 2P 3与曲线C ' 所围成面积为S 1、S 2，则3(x 3, g (x 3)) ，线段P
S 11
=。 S 216
【证明】对于曲线y =ax 3+bx 2+cx +d ，无论如何平移，其面积值是恒定的，所以这里仅考虑y =ax 3+bx 2+cx 的情形，y ' =3ax +2bx +c ，P 1的切线方程为： 1(x 1, ax 1+bx 1+cx 1) ，f ' (x 1) =3ax 1+2bx 1+c ，因此过点P
2
3
2
2
y =(3ax +2bx 1+c ) x -2x -bx
2
1312
1，联立
232
⎧⎪y =(3ax 1+2bx 1+c ) x -2x 1-bx 1
，得到：⎨32
⎪⎩y =ax +bx +cx
3
ax 3+bx 2-3ax 12+2bx 1x +bx 12+2x 1=0，
()
b +2ax 12b 2+4a 2x 12+6abx 1+ac 化简：得到从而(x -x 1) (ax +b +2ax 1) =0所以P 2(-, ) 同样运用(i)中方法便可
a a
2
以得到x 3=所以
2b
+4x 1=-2x 2 a
S 11=。 S 216
【方法技巧】函数导数的内容在历届高考中主要切线方程、导数的计算，利用导数判断函数单调性、极值、最值等问题，试题还与不等式、三角函数、数列、立几、解几等知识的联系，类型有交点个数、恒成立问题等, 其中渗透并充分利用构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要的思想方法，主要考查导数的工具性作用。
例5：（2010·江西高考理科·Ｔ１２）如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为S (t )(S (0)=0) ，则导函数y =S '(t ) 的图像大致为
【命题立意】本题将各知识点有机结合，属创新题型，主要考查对函数的图像识别能力，灵活分析问题和解决问题的能力，考查分段函数，考查分段函数的导数，考查分类讨论的数学思想，考查函数的应用，考查平面图形面积的计算，考查数形结合的思维能力．
【思路点拨】本题结合题意及图像的变化情况可用排除法；也可先求面积的函数，再求其导数，最后结合图像进行判
断
.
【规范解答】选A ．方法一：在五角星匀速上升过程中露出的图形部分的面积共有四段不同变化情况，第一段和第三段的变化趋势相同，只有选项A 、C 符合要求，从而先排除B 、D ，在第二段变化中，面积的增长速度显然较慢，体现在导函数图像中其图像应下降，排除选项C ，故选A.
方法二：设正五角星的一个顶点到内部较小正五边形的最近边的距离为1，且设tan 18=m ，则依据题意可得：1⎧
t ⋅2mt =mt 2
⎪2⎪
(m ++m 2)(-x 2+4x -3) +m ⎪⎪
S (t ) =⎨m (m +4-5m 2-4+m 2) 2
mx +⎪1+m 2
⎪2322⎪-+m 2x 2+4(m ++m 2) x +m -9m -4(m +m +1) +m ⎪1+m 2⎩
0≤t ≤1
2m
1
2
1+m 2m
+1
1+m
2m
2
+m 2
2m t ⎧
⎪(+m 2+m )(-2t +4) ⎪
其导函数S '(t ) =⎨
2m t ⎪
22⎪⎩-2+m t +4(+m +m )
0≤t
2m
1
2
+m 2m
+1
+m 2
2m
2
+m 2
【方法技巧】从题设条件出发，结合所学知识点，根据“四选一”的要求，逐步剔除干扰项，从而得出正确的判断. 这种方法适应于定性型或不易直接求解的选择题. 当题目中的变化情况较多时，先根据某些条件在选择支中找出明显与之矛盾的，予以排除，再根据另一些条件在缩小的选择支的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的选择. 它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法，近几年高考选择题中考查较多.
1-⎫⎛
例6：（2010·全国高考卷Ⅱ理科·Ｔ10）若曲线y =x 在点 a , a 2⎪处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，
⎝⎭
-
1
2
则a =
（A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）8
【命题立意】本题主要考查了导数的几何意义，曲线的切线方程求法，考查考生的运算求解能力． 【思路点拨】先求出切线方程，然后表示出切线与两个坐标围成的三角形的面积。
311
-⎫-⎛1-2
【规范解答】选A ，y '=-x , 所以曲线y =x 2在点 a , a 2⎪处的切线：
2⎝⎭
1
2
y -a
-
1-23-2
=-a (x -a ), 由x =0得y =a , 由y =0得，x =3a ,
22
1
31
13-
所以，⨯a 23a =18, 解得a =64.
22
【方法技巧】利用导数解决切线问题有两种类型：（1）“在”曲线上一点处的切线问题，先对函数求导，代入点的横坐标得到斜率。（2）“过”曲线上一点的切线问题，此时该点未必是切点， 故应先设切点，再求切点坐标。
导数题型分析及解题方法
题型一：利用导数研究函数的极值、最值。
32
f (x ) =x -3x +2在区间[-1,1]上的最大值是 2 1．
题型二：利用导数几何意义求切线方程
4
1．若曲线f (x ) =x -x 在P 点处的切线平行于直线3x -y =0，则P 点的坐标为 （1，0）
4
y =x 2．若曲线的一条切线l 与直线x +4y -8=0垂直，则l 的方程为 4x -y -3=0
题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值
32
f (x ) =x +ax +bx +c , 过曲线y =f (x ) 上的点P (1, f (1)) 的切线方程为y=3x+1 1．已知函数
（Ⅰ）若函数f (x ) 在x =-2处有极值，求f (x ) 的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数y =f (x ) 在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数y =f (x ) 在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围
322
解：（1）由f (x ) =x +ax +bx +c , 求导数得f '(x ) =3x +2ax +b .
过y =f (x ) 上点P (1, f (1)) 的切线方程为：
y -f (1) =f '(1)(x -1), 即y -(a +b +c +1) =(3+2a +b )(x -1).
的切线方程为y =3x +1. 而过y =f (x ) 上P [1, f (1)]
⎧3+2a +b =3⎨
故⎩a -c =-3
⎧2a +b =0即⎨
⎩a -c =-3
① ②
, 故f '(-2) =0, ∴-4a +b =-12 ③ ∵y =f (x ) 在x =-2时有极值
32
由①②③得 a=2，b=－4，c=5 ∴f (x ) =x +2x -4x +5.
2
'f (x ) =3x +4x -4=(3x -2)(x +2). （2）
2
-3≤x 0; 当-2≤x
3当
2
当0. ∴f (x ) 极大=f (-2) =133 又f (1) =4, ∴f (x ) 在[－3，1]上最大值是13。
2
'f (x )=3x +2ax +b , 由①知2a+b=0。 （3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又
2''依题意f (x ) 在[－2，1]上恒有f (x ) ≥0，即3x -bx +b ≥0.
x =
①当
b
≥1时, f '(x ) min =f '(1) =3-b +b >0, ∴b ≥66；
x =
②当
b
≤-2时, f '(x ) min =f '(-2) =12+2b +b ≥0, ∴b ∈φ6；
612b -b 2-2≤≤1时, f '(x ) min =≥0, 则0≤b ≤6.
b 12③当
综上所述，参数b 的取值范围是[0, +∞) 题型四：利用导数研究函数的图象
/
1．如右图：是f （x ）的导函数， f (x ) 的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ D ）
（A ） （B ） （C ） （D ） 2．函数
y =
13
x -4x +1的图像为3( A )
322x -6x +7=0在(0, 2) 内根的个数为 ( B ) 3．方程
A、0 B、1 C、2 D、3 题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围
1．已知函数f （x ）＝x3＋ax2＋bx ＋c 在x ＝－2/3与x ＝1时都取得极值（1）求a 、b 的值与函数f （x ）的单调区间
（2）若对x ∈〔－1，2〕，不等式f （x ）
－
2
3
124
－a ＋b ＝0
3）＝9，f '（1）＝3＋2a ＋b ＝0
得a ＝－
1
2
，b ＝－2 f '（x ）＝3x2－x －2＝（3x ＋2）（x －1），函数f （x ）的单调区间如下表：
23
2
3
，1）
所以函数f （x ）的递增区间是（－∞，－（2）f （x ）＝x3－
12
）与（1，＋∞），递减区间是（－
2
3
x2－
2x ＋c ，x
∈〔－1，2〕，当x ＝－时，f （x ）＝
22
27
＋c
为极大值，而f （2）＝2＋c ，则f （2）＝2＋c 为最大值。 要使f （x ）f （2）＝2＋c ，解得c 2 题型六：利用导数研究方程的根
1．已知平面向量a =(3, －1). b =(2,
1
2
).
（1）若存在不同时为零的实数k 和t ，使x =a +(t2－3) b ，y =-ka +tb ，x ⊥y ， 试求函数关系式k=f(t) ；
(2) 据(1)的结论，讨论关于t 的方程f(t)－k=0的解的情况. 解：(1)∵x ⊥y ，∴x ⋅y =0 即[a +(t2-3) b ]·(-k a +tb )=0. 整理后得-k a +[t-k(t2-3)] a ⋅b + (t2-3)·b =0
∵a ⋅b =0，a =4，b =1，∴上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k=4t(t2-3) (2)讨论方程
142
2
1
22
t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)= 4t(t2-3)与直线y=k的交点个数.
34
1
于是f ′(t)= (t2-1)=
34
(t+1)(t-1).
令f ′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t 变化时，f ′(t)、f(t)的变化情况如下表：
12
12
当t=－1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=函数f(t)=(1)当k ＞(2)当k=(3) 当－
1214
. 当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=－
t(t2-3)的图象如图13－2－1所示，可观察出：
12
或k ＜－
12
时, 方程f(t)－k=0有且只有一解；
12
12
或k=－＜k ＜
时, 方程f(t)－k=0有两解；
12
时, 方程f(t)－k=0有三解.
题型七：导数与不等式的综合
3
a >0, 函数f (x ) =x -ax 在[1, +∞) 上是单调函数. 1．设
（1）求实数a 的取值范围； （2）设
x 0≥1，f (x ) ≥1，且f (f (x 0)) =x 0，求证：f (x 0) =x 0.
22
'''f (x ) )[1, +∞y =f (x ) =3x -a , y 3x , 这样的实数a 不存在. 解：（1） 若在上是单调递减函数，则须
故f (x ) 在[1, +∞)上不可能是单调递减函数.
2
若f (x ) 在[1, +∞)上是单调递增函数，则a ≤3x ，
2
)[x ∈1, +∞, 故3x ≥3. 从而0
x
（2）方法1、可知f (x ) 在[1, +∞)上只能为单调增函数. 若1≤0
≤
f (x 0)
3333f (x ) =u , 则f (u ) =x ∴x -ax =u , u -au =x , (x -u ) -a (x 0-u ) =u -x 0 000000方法2：设，两式相减得
2∴(x 0-u )(x 0+x 0u +u 2+1-a ) =0, x 0≥1,u ≥1，
22∴x 0+x 0u +u 2≥3, 又00
题型八：导数在实际中的应用
1．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可1
以表示为：y =128000x 3-3
80x +8(0
已知甲、乙两地相距100千米。
（I ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（II ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
解：（I ）当x =40100
时，汽车从甲地到乙地行驶了40=2.5小时，
要耗没(1
128000⨯403-3
80⨯40+8) ⨯2.5=17.5（升）。
100
（II ）当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了x 小时，设耗油量为h (x ) 升，
依题意得h (x ) =(1
128000x 3-3
80x +8). 100
x =1
1280x 2+800
x -15
4(0
h '(x ) =x
640-800
x 2=x 3-80640x 2(0
当x ∈(0,80)时，h '(x ) 0, h (x ) 是增函数。
∴当x =80时，h (x ) 取到极小值h (80)=11.25.
因为h (x ) 在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值。
题型九：导数与向量的结合
1．设平面向量a =1-2), b =(12若存在不同时为零的两个实数s 、t
=+(t 2-k ) , =-s +t b 且⊥
（1）求函数关系式S =f (t ) ；
（2）若函数S =f (t ) 在[1，+∞)上是单调函数，求k 的取值范围。 33解：（1）=(2, -1
2), =(1
2, 2). a =b =1，a ∙b =0
又x ⊥y , x ∙y =0，得
⎡⎣a +（t 2-k ）（b ⎤⎦-sa +tb ）=0，
即-sa 2+（t t 2-k ）b 2-（t -st 2+sk ）a ⋅b =0。
∴-s +（t 2-k ）t =0，故s =（f t ）=t 3-kt 。
（2）f '（t ）=3t 2-k 且f （t ）在[1，+∞)上是单调函数， 及实数k ，使
''≤0 则在[1, +∞)上有f (t ) ≥0或f （t ）
'由f (t ) ≥0⇒3t -k ≥0⇒k ≤3t ⇒k ≤(3t ) min ⇒k ≤3；
22'f (t ) ≤0⇒3t -k ≤0⇒k ≥3t 由。
22因为在t ∈[1, +∞)上3t 是增函数，所以不存在k ，使k ≥3t 在[1, +∞)上恒成立。故k 的取值范围是k ≤3。 222