高二数学模块检测
一、 选择题（共10题，每题5分，共50分）
1、设集合P ={3,log 2a }，Q ={a , b }，若P ⋂Q ={0}，则P ⋃Q =（ ） A {3,0} B {3,0,1} C {3,0, 2} D {3, 0, 1}, 22、已知f (x ) =
1
，则f (f (0))=（ ） x +1
2
A ．5 B． 3 C．-1 D．3、函数y =4-2x 的值域是（ ） A. [0, +∞)
B. [0, 2]
C. [0, 2)
12
D. （0，2）
4、下列有关命题的说法正确的是（ ）
A ．命题“若x 2=1，则x =1”的否命题为：“若x 2=1，则x ≠1”． B ．若p ∨q 为真命题，则p 、q 均为真命题.
C ．命题“存在x ∈R ，使得x 2+x +1
A ．3y
1
4
14
π3 C 1 D 42
的大致图像为（ ）
lg x x
2
8、若函数f (x ) =
x
为奇函数，则a 的值为 （ ）
(2x +1)(x -a )
A ．
9、已知a >0且a ≠1，若函数f （x ）= loga （ax 2 –x ）在[3，4]是增函数，则a 的取值范围是（ ）
111111
A ．（1，+∞） B ．[, ) (1,+∞) C ．[, ) (1,+∞) D ．[, )
64 6484 10、已知函数f (x ) 满足f (x +1) =-f (x ) ，且f (x ) 是偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x ) =x 2，若在区间
12
B ． 23
C ．
3
D ．1 4
[-1,3]内，函数g (x ) =f (x ) -kx -k 有4个零点，则实数k 的取值范围是（ ）
A (0,+∞) B (0,] C (0,] D [, ] 二、填空题（共4题，每题16分）
11、函数y =log (x -1) (3-x ) 的定义域是22
12、已知函数f (x ) =log a x (a >0, a ≠1) ，若f (x 1) -f (x 2) =3，则f (x 1) -f (x 2) = ．
12141143
13. 已知定义在R 上的函数f (x ) 满足：
33
f (x -1) 的图象关于点(1,0)对称; (2)对∀x ∈R , f (-x ) =f (+x ) 成立
44
⎛33⎤(-3x +1)
3当x ∈. 则f (2011)=______() -, -⎥时，f (x ) =log 2
⎝24⎦
(1)函数y =
14、已知函数f (x )的定义域为[-1, 5]，部分对应值如下表, f (x )的导函数y =f '(x )的图象如图所示. 下列关于f (x )的命题：
①函数f (x )的极大值点为0，4； ②函数f (x )在[0, 2]上是减函数；
③如果当x ∈[-1,t ]时，f (x )的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当1
⑤函数y =f (x )-a 的零点个数可能为0、1、2、3、4个． 其中正确命题的序号是 ．
三、解答题（共4个题，共44分） 15、（本题10分）已知f (x )=x ⑴判断f (x )的奇偶性； ⑵证明当x1⎫⎛1+⎪(x ≠0)， x
2-12⎝⎭
16、（本题10分）一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计.
（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；
（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低.
17、（本题12分）已知函数f (x ) =ax -1-ln x (a ∈R ) ． （Ⅰ）讨论函数f (x ) 在定义域内的极值点的个数；
（Ⅱ）若函数f (x ) 在x =1处取得极值，对∀x ∈(0,+∞), f (x ) ≥bx -2恒成立，求实数b 的取值范围.
18、（本题12分）设关于x 的函数f (x ) =mx 2-(2m 2+4m +1) x +(m +2)ln x ，其中m 为实数集R 上的常数，函数f (x ) 在x =1处取得极值0.
（Ⅰ）已知函数f (x ) 的图象与直线y =k 有两个不同的公共点，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）设函数g (x ) =(p -2) x +
成立，求p 的取值范围.
p +22
， 其中p ≤0，若对任意的x ∈[1,2]，总有2f (x ) ≥g (x ) +4x -2x x
参考答案
一、选择题1-5 BDCDC 6-10 BDAAC
二、填空 11 (1, 2) (2,3) 12 6 13 -2 14 ①②⑤
x
11x 2x +1x 2-x +1x 2+1
15解：（1）f (x ) =x (x f (-x ) =-⋅-x +) =⋅x =⋅x =f x (，为偶函数)
2-1222-122-122-1
x 2x +1x 2x +1x x x
（2）f (x ) =⋅x ， 当x 0，∴⋅x >0, 即f (x ) >0，
22-122-1
∴当x 016解：（1）设污水处理池的宽为x 米，则长为162米
x
162
则总造价f (x ) =400⨯(2x +2) +248⨯2x +80⨯162
x
=1296x +
[1**********]0
+12960=1296(x +) +12960≥1296⨯2x ∙+12960=38880（元） x x x
当且仅当x =100(x >0) ，即x =10时取等号 x
∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880元
⎧0
1⎪
, ∴10≤x ≤16 （2）由限制条件知⎨162
80
g (x ) 在[101, 16]上是增函数， 设g (x ) =x +100(101≤x ≤16).
8x 8
1，g (x ) 有最小值，即f (x ) 有最小值 ∴当x =10时（此时162=16）
8x
1
∴当长为16米，宽为10米时，总造价最低
8
17、解：（Ⅰ）f '(x ) =a -
1ax -1
， =
x x
当a ≤0时，f '(x )
11
点； 当 a >0时，f '(x ) 0得x >，
a a
111
∴f (x ) 在(0, ) 上递减，在(, +∞) 上递增，即f (x ) 在x =处有极小值．
a a a
∴当a ≤0时f (x ) 在(0, +∞) 上没有极值点，当a >0时，f (x ) 在(0, +∞) 上有一个极值点 （Ⅱ）∵函数f (x ) 在x =1处取得极值，∴a =1，
．
2
∴f (x ) ≥bx -2⇔1+
1ln x -≥b ， x x
1ln x
令g (x ) =1+-，可得g (x ) 在(0, e 2上递减，在e 2, +∞)上递增，
x x
]
[
∴g (x ) m in =g (e ) =1-
2
1e
2
1
b ≤1-，即
e 2
2
m +2
18解：（Ⅰ）f '(x )=2mx -(2m +4m +1) + 因为函数f (x ) 在x=1处取得极值0
x
22
⎧⎪f '(1)=2m -(2m +4m +1) +m +2=-2m -m +1=0得：⎨解得m =-1… 22
⎪⎩f (1)=m -(2m +4m +1) =-2m -3m -1=0
(-2x -1)(x -1) 1则f '(x ) =(x ∈(0,+∞)) 令f '(x ) =0得x =1或x =-（舍去）
2x
当00；当x >1时，f '(x )
所以函数f (x ) 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,+∞) 上单调递减. 所以当x =1时，函数f (x ) 取得极大值，即最大值为f (1)=ln1-1+1=0
2
所以当k
2
2
p +2
x
若对任意的x ∈[1,2]，2f (x ) ≥g (x ) +4x -2x 恒成立， 则F (x ) 的最小值F (x ) min ≥0(*) F (x ) =
'
2p +2-px +2x +(p +2) -p +2= x x x 2
2x +2'
（1）当p =0时, F (x ) =>0, F (x ) 在[1,2]递增
x 2
所以F (x ) 的最小值F (1)=-2
p +2
-p (x +1)(x -)
p '
（2）当p ≠0时F (x ) =
x 2
2
①当-1
p
(*) 式②当p
2
≤1，F (x ) 在[1，2]递增， p
所以F (x ) min =F (1)=-2p -2≥0，解得p ≤-1 ，此时p
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一、 选择题（共10题，每题5分，共50分）
1、设集合P ={3,log 2a }，Q ={a , b }，若P ⋂Q ={0}，则P ⋃Q =（ ） A {3,0} B {3,0,1} C {3,0, 2} D {3, 0, 1}, 22、已知f (x ) =
1
，则f (f (0))=（ ） x +1
2
A ．5 B． 3 C．-1 D．3、函数y =4-2x 的值域是（ ） A. [0, +∞)
B. [0, 2]
C. [0, 2)
12
D. （0，2）
4、下列有关命题的说法正确的是（ ）
A ．命题“若x 2=1，则x =1”的否命题为：“若x 2=1，则x ≠1”． B ．若p ∨q 为真命题，则p 、q 均为真命题.
C ．命题“存在x ∈R ，使得x 2+x +1
A ．3y
1
4
14
π3 C 1 D 42
的大致图像为（ ）
lg x x
2
8、若函数f (x ) =
x
为奇函数，则a 的值为 （ ）
(2x +1)(x -a )
A ．
9、已知a >0且a ≠1，若函数f （x ）= loga （ax 2 –x ）在[3，4]是增函数，则a 的取值范围是（ ）
111111
A ．（1，+∞） B ．[, ) (1,+∞) C ．[, ) (1,+∞) D ．[, )
64 6484 10、已知函数f (x ) 满足f (x +1) =-f (x ) ，且f (x ) 是偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x ) =x 2，若在区间
12
B ． 23
C ．
3
D ．1 4
[-1,3]内，函数g (x ) =f (x ) -kx -k 有4个零点，则实数k 的取值范围是（ ）
A (0,+∞) B (0,] C (0,] D [, ] 二、填空题（共4题，每题16分）
11、函数y =log (x -1) (3-x ) 的定义域是22
12、已知函数f (x ) =log a x (a >0, a ≠1) ，若f (x 1) -f (x 2) =3，则f (x 1) -f (x 2) = ．
12141143
13. 已知定义在R 上的函数f (x ) 满足：
33
f (x -1) 的图象关于点(1,0)对称; (2)对∀x ∈R , f (-x ) =f (+x ) 成立
44
⎛33⎤(-3x +1)
3当x ∈. 则f (2011)=______() -, -⎥时，f (x ) =log 2
⎝24⎦
(1)函数y =
14、已知函数f (x )的定义域为[-1, 5]，部分对应值如下表, f (x )的导函数y =f '(x )的图象如图所示. 下列关于f (x )的命题：
①函数f (x )的极大值点为0，4； ②函数f (x )在[0, 2]上是减函数；
③如果当x ∈[-1,t ]时，f (x )的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当1
⑤函数y =f (x )-a 的零点个数可能为0、1、2、3、4个． 其中正确命题的序号是 ．
三、解答题（共4个题，共44分） 15、（本题10分）已知f (x )=x ⑴判断f (x )的奇偶性； ⑵证明当x1⎫⎛1+⎪(x ≠0)， x
2-12⎝⎭
16、（本题10分）一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计.
（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；
（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低.
17、（本题12分）已知函数f (x ) =ax -1-ln x (a ∈R ) ． （Ⅰ）讨论函数f (x ) 在定义域内的极值点的个数；
（Ⅱ）若函数f (x ) 在x =1处取得极值，对∀x ∈(0,+∞), f (x ) ≥bx -2恒成立，求实数b 的取值范围.
18、（本题12分）设关于x 的函数f (x ) =mx 2-(2m 2+4m +1) x +(m +2)ln x ，其中m 为实数集R 上的常数，函数f (x ) 在x =1处取得极值0.
（Ⅰ）已知函数f (x ) 的图象与直线y =k 有两个不同的公共点，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）设函数g (x ) =(p -2) x +
成立，求p 的取值范围.
p +22
， 其中p ≤0，若对任意的x ∈[1,2]，总有2f (x ) ≥g (x ) +4x -2x x
参考答案
一、选择题1-5 BDCDC 6-10 BDAAC
二、填空 11 (1, 2) (2,3) 12 6 13 -2 14 ①②⑤
x
11x 2x +1x 2-x +1x 2+1
15解：（1）f (x ) =x (x f (-x ) =-⋅-x +) =⋅x =⋅x =f x (，为偶函数)
2-1222-122-122-1
x 2x +1x 2x +1x x x
（2）f (x ) =⋅x ， 当x 0，∴⋅x >0, 即f (x ) >0，
22-122-1
∴当x 016解：（1）设污水处理池的宽为x 米，则长为162米
x
162
则总造价f (x ) =400⨯(2x +2) +248⨯2x +80⨯162
x
=1296x +
[1**********]0
+12960=1296(x +) +12960≥1296⨯2x ∙+12960=38880（元） x x x
当且仅当x =100(x >0) ，即x =10时取等号 x
∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880元
⎧0
1⎪
, ∴10≤x ≤16 （2）由限制条件知⎨162
80
g (x ) 在[101, 16]上是增函数， 设g (x ) =x +100(101≤x ≤16).
8x 8
1，g (x ) 有最小值，即f (x ) 有最小值 ∴当x =10时（此时162=16）
8x
1
∴当长为16米，宽为10米时，总造价最低
8
17、解：（Ⅰ）f '(x ) =a -
1ax -1
， =
x x
当a ≤0时，f '(x )
11
点； 当 a >0时，f '(x ) 0得x >，
a a
111
∴f (x ) 在(0, ) 上递减，在(, +∞) 上递增，即f (x ) 在x =处有极小值．
a a a
∴当a ≤0时f (x ) 在(0, +∞) 上没有极值点，当a >0时，f (x ) 在(0, +∞) 上有一个极值点 （Ⅱ）∵函数f (x ) 在x =1处取得极值，∴a =1，
．
2
∴f (x ) ≥bx -2⇔1+
1ln x -≥b ， x x
1ln x
令g (x ) =1+-，可得g (x ) 在(0, e 2上递减，在e 2, +∞)上递增，
x x
]
[
∴g (x ) m in =g (e ) =1-
2
1e
2
1
b ≤1-，即
e 2
2
m +2
18解：（Ⅰ）f '(x )=2mx -(2m +4m +1) + 因为函数f (x ) 在x=1处取得极值0
x
22
⎧⎪f '(1)=2m -(2m +4m +1) +m +2=-2m -m +1=0得：⎨解得m =-1… 22
⎪⎩f (1)=m -(2m +4m +1) =-2m -3m -1=0
(-2x -1)(x -1) 1则f '(x ) =(x ∈(0,+∞)) 令f '(x ) =0得x =1或x =-（舍去）
2x
当00；当x >1时，f '(x )
所以函数f (x ) 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,+∞) 上单调递减. 所以当x =1时，函数f (x ) 取得极大值，即最大值为f (1)=ln1-1+1=0
2
所以当k
2
2
p +2
x
若对任意的x ∈[1,2]，2f (x ) ≥g (x ) +4x -2x 恒成立， 则F (x ) 的最小值F (x ) min ≥0(*) F (x ) =
'
2p +2-px +2x +(p +2) -p +2= x x x 2
2x +2'
（1）当p =0时, F (x ) =>0, F (x ) 在[1,2]递增
x 2
所以F (x ) 的最小值F (1)=-2
p +2
-p (x +1)(x -)
p '
（2）当p ≠0时F (x ) =
x 2
2
①当-1
p
(*) 式②当p
2
≤1，F (x ) 在[1，2]递增， p
所以F (x ) min =F (1)=-2p -2≥0，解得p ≤-1 ，此时p