第1讲 函数的图象与性质
1．(2016·课标全国乙) 函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]的图象大致为(
)
答案 D
解析 f (2)＝8－e 2>8－2.82>0，排除A ；f (2)＝8－e 20时，f (x ) ＝2x 2111
0，时，f ′(x )
2．(2016·山东) 已知函数f (x ) 的定义域为R ，当x
x ＋＝f ⎛x －⎫，则f (6)等于( ) ＝－f (x ) ；当x >时，f ⎛⎝2⎝2⎭2A ．－2B ．－1C ．0D ．2 答案 D
111
x ＋⎫＝f ⎛x －，即f (x ) ＝f (x ＋1) ，∴T ＝1，∴f (6)＝f (1)．当x
3．(2016·上海) 设f (x ) ，g (x ) ，h (x ) 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若f (x ) ＋g (x ) ，f (x ) ＋h (x ) ，g (x ) ＋h (x ) 均为增函数，则f (x ) ，g (x ) ，h (x ) 中至少有一个为增函数；②若f (x ) ＋g (x ) ，f (x ) ＋h (x ) ，g (x ) ＋h (x ) 均是以T 为周期的函数，则f (x ) ，g (x ) ，h (x ) 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是( )
A ．①和②均为真命题 B ．①和②均为假命题 C ．①为真命题，②为假命题 D ．①为假命题，②为真命题 答案 D
解析 ①不成立，可举反例，
⎧⎪2x ，x ≤1，f (x ) ＝⎨
⎪⎩－x ＋3，x >1，
2x ＋3， x ≤0，⎧⎪
g (x ) ＝⎨－x ＋3，0
⎪⎩2x ，x ≥1，
⎧⎪－x ，x ≤0，h (x ) ＝⎨
⎪2x ，x >0.⎩
②f (x ) ＋g (x ) ＝f (x ＋T ) ＋g (x ＋T ) ， f (x ) ＋h (x ) ＝f (x ＋T ) ＋h (x ＋T ) ， g (x ) ＋h (x ) ＝g (x ＋T ) ＋h (x ＋T ) ，
前两式作差，可得g (x ) －h (x ) ＝g (x ＋T ) －h (x ＋T ) ， 结合第三式，可得g (x ) ＝g (x ＋T ) ，h (x ) ＝h (x ＋T ) ， 也有f (x ) ＝f (x ＋T ) ． ∴②正确．故选D.
3
⎧⎪x －3x ，x ≤a ，
4．(2016·北京) 设函数f (x ) ＝⎨
⎪－2x ，x ＞a . ⎩
(1)若a ＝0，则f (x ) 的最大值为________；
(2)若f (x ) 无最大值，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1)2 (2)(－∞，－1)
⎧x 3－3x ，x ≤0，⎪
解析 (1)当a ＝0时，f (x ) ＝⎨
⎪－2x ，x ＞0. ⎩
若x ≤0，f ′(x ) ＝3x 2－3＝3(x 2－1) ．
由f ′(x ) ＞0得x ＜－1，由f ′(x ) ＜0得－1＜x ≤0. 所以f (x ) 在(－∞，－1) 上单调递增；
在(－1,0]上单调递减，所以f (x ) 最大值为f (－1) ＝2. 若x ＞0，f (x ) ＝－2x 单调递减，所以f (x ) ＜f (0)＝0. 所以f (x ) 的最大值为2.
(2)f (x ) 的两个函数在无限制条件时图象如图．
由(1)知，当a ≥－1时，f (x ) 取得最大值2.
当a ＜－1时，y ＝－2x 在x ＞a 时无最大值，且－2a ＞2. 所以a ＜－
1.
1. 高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下. 2. 对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题.
3. 对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查，既有具体函数也有抽象函数. 常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大
.
热点一 函数的性质及应用
1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则． 2．奇偶性
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”或“相反”) ． (2)在公共定义域内：
①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数； ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数； ③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数． (3)若f (x ) 是奇函数且在x ＝0处有定义，则f (0)＝0. (4)若f (x ) 是偶函数，则f (x ) ＝f (－x ) ＝f (|x |)．
(5)图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称． 3．周期性
定义：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f (a ＋x ) ＝f (x )(a ≠0) ，则其一个周期T ＝|a |. 常见结论：
(1)f (x ＋a ) ＝－f (x ) ⇒函数f (x ) 的最小正周期为2|a |.(a ≠0)
1
(2)f (x ＋a ) 函数f (x ) 的最小正周期为2|a |.(a ≠0)
f (x )a ＋b
(3)f (a ＋x ) ＝f (b －x ) ，则函数f (x ) 的图象关于x ＝对称．
2
例1 (1)已知函数f (x ) 为奇函数，且在[0,2]上单调递增，若f (log2m )
A. ≤m
1
B. ≤m ≤2 4
D ．2≤m ≤4
(2)(2016·江苏) 设f (x ) 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1) 上，f (x ) ＝x ＋a ，－1≤x ＜0，⎧⎪59
－＝f ⎛⎫，则f (5a ) 的值是________． ⎨⎪2⎪其中a ∈R . 若f ⎛⎝2⎝2⎭x ，0≤x ＜1，⎪⎩⎪5⎪
2
答案 (1)A (2)－
5
解析 (1)因为函数f (x ) 是奇函数，且在[0,2]上单调递增，所以函数f (x ) 在[－2,2]上单调递增． 故由f (log2m )
⎧⎪－2≤log (m ＋2)≤2，可得⎨log m
m >0，⎪⎩m ＋2>0，
4
2
4
－2≤log 2m ≤2，
1
解－2≤log 2m ≤2，得m ≤4；
4
1
解－2≤log 4(m ＋2) ≤2，得≤m ＋2≤16，
1631
m ≤14.
16
由log 2m 0，⎧⎪
故有⎨m ＋2>0，
⎪⎩m 2
2
解得－1
1
综上可知，m 的取值范围是≤m
45511
－＝f ⎛－2⎫＝f ⎛－＝－a ， (2)由已知f ⎛⎝2⎝2⎭⎝229⎛9⎫⎛1⎪21⎪1
f ⎛⎝2＝f ⎝24⎭＝f ⎝2＝⎪5－2⎪＝10
59113＝f ⎛a ＝，a ＝， 又∵f ⎛⎝2⎝2210532∴f (5a ) ＝f (3)＝f (3－4) ＝f (－1) ＝－1.
55
思维升华 (1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值．(2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成f (x 1)
跟踪演练1 (1)(2016·四川) 已知函数f (x ) 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0
2＋f (1)＝________. ⎧ax ＋1，－1≤x
⎨⎪bx ＋2⎩x ＋10≤x ≤1，中a ，b ∈R . 若f ⎛1⎛3⎝2＝f ⎝2⎫
⎭，则a ＋3b 的值为________． 答案 (1)－2 (2)－10
解析 (1)因为f (x ) 是周期为2的函数， 所以f (x ) ＝f (x ＋2) ． 而f (x ) 是奇函数， 所以f (x ) ＝－f (－x ) ．
所以f (1)＝f (－1) ，f (1)＝－f (－1) ，即f (1)＝0， 又f ⎛⎝－52＝f ⎛⎝12＝－f ⎛1
⎝2⎫⎭
， f (1
12
) =42=2, 故f ⎛⎝－52＝－2，从而f ⎛⎝－5
2＋f (1)＝－2. (2)因为f (x ) 是定义在R 上且周期为2的函数， 则f ⎛3⎝2⎫⎭＝f ⎛1⎝－2，且f (－1) ＝f (1)， 又f ⎛1⎝2⎫⎭＝f ⎛3⎝2⎫⎭，故f ⎛1⎝2＝f ⎛⎝－12， 1
＋22112＋1，
21即3a ＋2b ＝－2. ①
由f (－1) ＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋2
2，即b ＝－2a . ②
由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.
其
热点二 函数图象及应用
1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．
2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点． sin2x
例2 (1)函数y ＝－的图象大致为(
)
2＋2
2
ax 3ax －x ＋3
(2)已知函数f (x ) ＝g (x ) ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a (a ∈R ) ．在同一直角坐标系中，函
32
数f ′(x ) 与g (x ) 的图象不可能的是(
)
答案 (1)A (2)B
sin2x
解析 (1)首先根据函数表达式可知y ＝为(－∞，＋∞) 上的奇函数，且f (0)＝0，排除
2＋21
C ，D ；当x ＝100
sin 2
1100
2-
+2
1100
显然排除B ，故选A. >0，
2
ax 3ax －x ＋3
(2)因为f (x ) ＋，
32
a
所以f ′(x ) ＝ax 2－x
2
若a ＝0，则选项D 是正确的，故排除D.
a 1
若a ，又a
22
－
2
1
二次函数f ′(x ) 的图象的对称轴为x ＝；
2a 三次函数g (x ) ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a ，
11x －⎛x －， 所以g ′(x ) ＝3a 2x 2－4ax ＋1＝3a 2⎛⎝a ⎝3a 11
令g ′(x )>0，得x
a 3a 11
令g ′(x )
a 3a
11
所以函数g (x ) ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a 的极大值点为x ，极小值点为x ＝；
a 3a 11211
由B 中的图象知，
3a 2a 23a 2a 所以选项B 的图象是错误的，故选B.
思维升华 (1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是解决函数图象判断此类试题的基本方法．(2)判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值．
1
x －cos x (－π≤x ≤π且x ≠0) 的图象可能为(
) 跟踪演练2 (1)(2015·浙江) 函数f (x ) ＝⎛⎝x
(2)已知三次函数f (x ) ＝2ax 3＋6ax 2＋bx 的导函数为f ′(x ) ，则函数f (x ) 与f ′(x ) 的图象可能是(
)
答案 (1)D (2)B
1
解析 (1)∵f (x ) ＝(x －)cos x ，∴f (－x ) ＝－f (x ) ，
x
∴f (x ) 为奇函数，排除A ，B ；当x →π时，f (x ) ＜0，排除C. 故选D.
(2)因为f ′(x ) ＝6ax 2＋12ax ＋b ，则函数f ′(x ) 的图象的对称轴为x ＝－1，故可排除A 、D ；由选项C 的图形可知，当x >0时，f ′(x )>0，故函数f (x ) ＝2ax 3＋6ax 2＋bx 在(0，＋∞) 上单调递增，但图象中函数f (x ) 在(0，＋∞) 上不具有单调性，故排除C ，选B. 热点三 基本初等函数的图象和性质
1．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1) 与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1) 的图象和性质，分01两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质．
1
2．幂函数y ＝x α的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，1五种情况．
2
例3 (1)(2015·山东) 设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c C ．b ＜a ＜c
B ．a ＜c ＜b D ．b ＜c ＜a
log x , x >0, ⎧⎪2
(2)若函数f (x ) ⎨log (-x ), x f (－a ) ，则实数a 的取值范围是( )
1
⎪⎩2
A ．(－1,0) ∪(0,1) C ．(－1,0) ∪(1，＋∞) 答案 (1)C (2)C
解析 (1)根据指数函数y ＝0.6x 在R 上单调递减可得0.61.5＜0.60.6＜0.60＝1，根据指数函数y ＝1.5x 在R 上单调递增可得1.50.6＞1.50＝1，∴b ＜a ＜c . (2)方法一 由题意作出y ＝f (x ) 的图象如图．
B ．(－∞，－1) ∪(1，＋∞) D ．(－∞，－1) ∪(0,1)
显然当a >1或－1f (－a ) ． 故选C.
方法二 对a 分类讨论：
当a >0时， log 2a >log 1a ，∴a >1.
2
当a log 2(－a ) ，∴0
2
∴－1
思维升华 (1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力．(2)比较代数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．
跟踪演练3 (1)在同一直角坐标系中，函数f (x ) ＝x a (x ≥0) ，g (x ) ＝log a x 的图象可能是(
)
(2)已知函数y ＝f (x ) 是定义在R 上的函数，其图象关于坐标原点对称，且当x ∈(－∞，0) 时，不等式f (x ) ＋xf ′(x )b >c C ．c >a >b 答案 (1)D (2)C
解析 (1)方法一 分a >1,0
当a >1时，y ＝x a 与y ＝log a x 均为增函数，但y ＝x a 递增较快，排除C ；
当01，而此时幂函数f (x ) ＝x a 的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C 错．
(2)构造函数g (x ) ＝xf (x ) ，则g ′(x ) ＝f (x ) ＋xf ′(x ) ，当x ∈(－∞，0) 时，g ′(x )a >b .
B ．c >b >a D ．a >c >b
1．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x ) 的图象只能是图中的(
)
押题依据 指数、对数函数的图象识别问题是高考命题的热点，旨在考查其基本性质的灵活运用，题目难度一般不大，位于试卷比较靠前的位置． 答案 B
解析 因为y ＝a x 与y ＝log a x 互为反函数，而y ＝log a x 与y ＝log a (－x ) 的图象关于y 轴对称，根据图象特征可以判断；也可以根据函数图象的特征进行排除．
方法一 如果注意到y ＝log a (－x ) 的图象和函数y ＝log a x 的图象关于y 轴对称，又y ＝log a x 与y ＝a x 互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，则可直接选定B.
方法二 首先，曲线y ＝a x 只可能在x 轴上方，y ＝log a (－x ) 只可能在y 轴左边，从而排除A ，C ；其次，y ＝a x 与y ＝log a (－x ) 的增减性正好相反，排除D ，选B.
1
2．定义在R 上的函数f (x ) 满足f (－x ) ＝－f (x ) ，f (x －2) ＝f (x ＋2) ，且x ∈(－1,0) 时，f (x ) ＝2x 5则f (log220) 等于( ) 44
A ．1B. ．－1D ．－55
押题依据 利用函数的周期性、奇偶性求函数值是高考的传统题型，较好地考查学生思维的灵活性． 答案 C
解析 由f (x －2) ＝f (x ＋2) ⇒f (x ) ＝f (x ＋4) ，
因为4
4
log 2＝－1. 故选C. 又因为f (－x ) ＝－f (x ) ，所以f (log220) ＝f (log220－4) ＝－f (4－log 220) ＝－f ⎛⎝51
3．已知函数f (x ) ＝y ＝f (x ) 的图象大致为( )
ln (x ＋1)－x
押题依据 图象的识别和变换是高考的热点，此类问题既考查了基础知识，又考查了学生的灵活变换能力． 答案 B
⎧⎪x ＋1>0，
解析 方法一 由题意得，⎨
⎪x ≠0，⎩
解得f (x ) 的定义域为{x |x >－1，且x ≠0}． －x 1
令g (x ) ＝ln(x ＋1) －x ，则g ′(x ) ＝－1＝，
x ＋1x ＋1当－10； 当x >0时，g ′(x )
∴f (x ) 在区间(－1,0) 内为减函数，在区间(0，＋∞) 内为增函数，对照各选项，只有B 符合． 方法二 本题也可取特值，用排除法求解： 1
f (2)＝，排除A.
ln3－21－⎫＝f ⎛⎝2⎭
11
，排除C ，D ，选B. 11e ln ＋ln 222
2
x ⎧⎪，0
4．已知函数h (x )(x ≠0) 为偶函数，且当x >0时，h (x ) ＝⎨4
⎪⎩4－2x ，x >4，
若h (t )>h (2)，则实
数t 的取值范围为________．
押题依据 分段函数是高考的必考内容，利用函数的单调性求解参数的范围，是一类重要题型，是高考考查的热点．本题恰当地应用了函数的单调性，同时考查了函数的奇偶性的性质． 答案 (－2,0) ∪(0,2)
x ⎧⎪－4，0
解析 因为x >0时，h (x ) ＝⎨
⎪⎩4－2x ，x >4.易知函数h (x ) 在(0，＋∞) 上单调递减， 因为函数h (x )(x ≠0) 为偶函数，且h (t )>h (2)， 所以h (|t |)>h (2)， 所以0
⎧⎧⎪t ≠0，⎪t ≠0，
⎨所以即⎨解得－2
2
综上，所求实数t 的取值范围为(－2,0) ∪(0,2)．
A 组 专题通关
1．(2015·广东) 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝1＋x 1C ．y ＝2x ＋
2答案 D
解析 令f (x ) ＝x ＋e x ，则f (1)＝1＋e ，f (－1) ＝－1＋e 1，即f (－1) ≠f (1)，f (－1) ≠－f (1)，所
－
1
B ．y ＝x ＋
x D ．y ＝x ＋e x
以y ＝x ＋e x 既不是奇函数也不是偶函数，而A 、B 、C 依次是偶函数、奇函数、偶函数，故选D.
2．下列函数中，满足“f (x ＋y ) ＝f (x ) f (y ) ”的单调递增函数是( ) A ．f (x ) ＝x 1
C ．f (x ) ＝() x
2答案 D
解析 f (x ) ＝x ，f (x ＋y ) ＝(x ＋y ) ≠x ·y ， 不满足f (x ＋y ) ＝f (x ) f (y ) ，A 不满足题意． f (x ) ＝x 3，f (x ＋y ) ＝(x ＋y ) 3≠x 3·y 3， 不满足f (x ＋y ) ＝f (x ) f (y ) ，B 不满足题意．
11＋11y 1f (x ) ＝() x ，f (x ＋y ) ＝() x y ＝() x () ，满足f (x ＋y ) ＝f (x ) f (y ) ，但f (x ) ＝x 不是增函数，C 不满
22222足题意．
f (x ) ＝3x ，f (x ＋y ) ＝3x y ＝3x ·3y ，满足f (x ＋y ) ＝f (x ) f (y ) ，且f (x ) ＝3x 是增函数，D 满足题意．
＋
1
2
B ．f (x ) ＝x 3 D ．f (x ) ＝3x
12121212
3．函数f (x ) ＝x ＋cos x 的大致图象是(
)
答案 B
解析 ∵f (x ) ＝x ＋cos x ，∴f (－x ) ＝－x ＋cos x ， ∴f (－x ) ≠f (x ) ，且f (－x ) ≠－f (x ) ， 故函数f (x ) 是非奇非偶函数，排除A 、C ； ππ
当x ＝x ＋cos x ＝x ，
22
π
即f (x ) 的图象与直线y ＝x 的交点中有一个点的横坐标为D. 故选B.
2
⎧⎪(1－2a )x ＋3a ，x
4．已知函数f (x ) ＝⎨的值域为R ，那么a 的取值范围是( )
⎪ln x ，x ≥1⎩
A ．(－∞，－1] 1
－1，⎫ C. ⎡2⎭⎣答案 C
解析 要使函数f (x ) 的值域为R ，
1
－1，⎫ B. ⎛2⎭⎝10， D. ⎛⎝2⎧⎧1－2a >0，⎪a
⎨需使 所以⎨⎪⎩ln1≤1－2a ＋3a ，⎪
1
⎩a ≥－1.
1
所以－1≤a ，故选C.
2
5．设f (x ) 是定义在实数集R 上的函数，满足条件y ＝f (x ＋1) 是偶函数，且当x ≥1时，f (x ) ＝
⎛1⎫x －1，则f ⎛2⎫，f ⎛3，f ⎛1的大小关系是( ) ⎝2⎭⎝3⎭⎝2⎝32⎛3⎛1A ．f ⎛⎝3>f ⎝2>f ⎝3 21⎛3B ．f ⎛⎝3>f ⎝3>f ⎝2
32⎛1C ．f ⎛⎝2>f 3>f ⎝3 1⎛3⎛2D ．f ⎛⎝3>f ⎝2>f ⎝3 答案 A
解析 函数y ＝f (x ＋1) 是偶函数，
所以f (－x ＋1) ＝f (x ＋1) ，即函数关于x ＝1对称． 2⎛41⎛5所以f ⎛⎝3＝f ⎝3，f 3＝f ⎝3， 1⎫x 当x ≥1时，f (x ) ＝⎛⎝2⎭－1单调递减， 4⎛3⎛5435
所以由，可得f ⎛⎝3>f ⎝2>f ⎝3. 3232⎫⎛3⎫⎛1⎫即f ⎛⎝3⎭>f ⎝2⎭>f ⎝3⎭，故选A.
1，x >0，⎧⎪6．(2015·湖北) 已知符号函数sgn x ＝⎨0，x ＝0，
⎪⎩－1，x 1)，则( ) A ．sgn[g (x )]＝sgn x B ．sgn[g (x )]＝－sgn x C ．sgn[g (x )]＝sgn[f (x )] D ．sgn[g (x )]＝－sgn[f (x )] 答案 B
解析 因为a >1，所以当x >0时，x 0，sgn [g (x ) ]＝1＝－sgn x ；当x ＝0时，g (x ) ＝0，sgn [g (x ) ]＝0＝－sgn x 也成立．故B 正确．
7．(2016·天津) 已知f (x ) 是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0) 上单调递增．若实数a 满足f (2|a 1|)>f (－2) ，则a 的取值范围是________．
－
f (x ) 是R 上的增函数，g (x ) ＝f (x ) －
13⎫
答案 ⎛⎝22⎭
解析 ∵f (x ) 是偶函数，且在(－∞，0) 上单调递增， ∴在(0，＋∞) 上单调递减，f (－2) ＝f (2) ， ∴f (2
|a －1|
)>f (2) ，∴2
|a －1|
1
2
11113
∴|a －1|
222228．给出下列四个函数：
①y ＝2x ；②y ＝log 2x ；③y ＝x 2；④y x . 当0
解析 由题意知，满足条件的函数图象形状为：
x 1＋x 2f (x 1)＋f (x 2)
恒成立的函数的序号是________． 2⎝2>
故符合图象形状的函数为y ＝log 2x ，y x .
⎧⎪(3－a )x －a (x
9．已知f (x ) ＝⎨在(－∞，＋∞) 上是增函数，那么实数a 的取值范围是
⎪log a x (x ≥1)⎩
________． 3⎫
答案 ⎡⎣23⎭
3－a >0，⎧⎪
解析 由题意得⎨a >1，
⎪⎩(3－a )－a ≤log a 1，
2
3
a
2
⎧⎪f (x )，x >0，
10．已知二次函数f (x ) ＝ax ＋bx ＋1(a >0)，F (x ) ＝⎨若f (－1) ＝0，且对任意实数
⎪－f (x )，x
x 均有f (x ) ≥0成立． (1)求F (x ) 的表达式；
(2)当x ∈[－2,2]时，g (x ) ＝f (x ) －kx 是单调函数，求k 的取值范围． 解 (1)∵f (－1) ＝0，∴a －b ＋1＝0， ∴b ＝a ＋1，
∴f (x ) ＝ax 2＋(a ＋1) x ＋1. ∵f (x ) ≥0恒成立，
⎧⎪a >0，
∴⎨ 2
⎪Δ＝(a ＋1)－4a ≤0，⎩⎧a >0，⎪即⎨ 2
⎪(a －1)≤0. ⎩
∴a ＝1，从而b ＝2， ∴f (x ) ＝x 2＋2x ＋1，
2
⎧⎪x ＋2x ＋1，x >0，
∴F (x ) ＝⎨2
⎪－x －2x －1，x
(2)由(1)知，g (x ) ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k ) x ＋1. ∵g (x ) 在[－2,2]上是单调函数， ∴
k －2k －2
－2或2， 22
解得k ≤－2或k ≥6.
∴k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞) ．
B 组 能力提高
f (x 1)－f (x 2)11．设函数f (x ) ＝x |x －a |，若对∀x 1，x 2∈[3，＋∞) ，x 1≠x 2，不等式>0恒成立，则
x 1－x 2实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3] C ．(－∞，3] 答案 C
解析 由题意分析可知条件等价于f (x ) 在[3，＋∞) 上单调递增，又因为f (x ) ＝x |x －a |，所以当
2⎧⎪x －ax ，x ≥a ，a
－∞上单调递a ≤0时，结论显然成立，当a >0时，f (x ) ＝⎨2所以f (x ) 在⎛2⎝⎪－x ＋ax ，x
B ．[－3,0) D ．(0,3]
a ⎫
增，在⎛⎝2a ⎭上单调递减，在(a ，＋∞) 上单调递增，所以0
12. 如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成的，它们的圆心分别是O ，O 1，O 2，动点P 从A 点出发沿着圆弧按A →O →B →C →A →D →B 的路线运动(其中A ，O ，O 1，O 2，B 五点共线) ，记点P 运动的路程为x ，设y ＝|O 1P |2，y 与x 的函数关系为y ＝f (x ) ，则y ＝f (x ) 的大致图象是(
)
答案 A
解析 当x ∈[0，π]时，y ＝1.
→→→→—→→—→
当x ∈(π，2π) 时，O 1P ＝O 2P －O 2O 1，设O 2P 与O 2O 1的夹角为θ，|O 2P |＝1，|O 2O 1|＝2，所以θ→→—→
＝x －π，所以y ＝|O 1P |2＝(O 2P －O 2O 1) 2＝5－4cos θ＝5＋4cos x ，x ∈(π，2π) ，所以函数y ＝f (x ) 的图象是曲线，且单调递增，排除C ，D.
→→→→→→→
当x ∈[2π，4π) 时，因为O 1P ＝OP －OO 1，设OP ，OO 1的夹角为α，|OP |＝2，|OO 1|＝1，所以11→→→
α＝2π，所以y ＝|O 1P |2＝(OP －OO 1) 2＝5－4cos α＝5－，x ∈[2π，4π) ，所以函数y
22＝f (x ) 的图象是曲线，且单调递减，排除B. 故选A.
x ＋1
13．(2016·课标全国甲) 已知函数f (x )(x ∈R ) 满足f (－x ) ＝2－f (x ) ，若函数y ＝与y ＝f (x ) 图
x 象的交点为(x 1，y 1) ，(x 2，y 2) ，„，(x m ，y m ) ，则m (x i ＋y i ) 等于( )
i ＝1
A ．0 C ．2m 答案 B
B ．m D ．4m
x ＋1解析 方法一 特殊函数法，根据f (－x ) ＝2－f (x ) 可设函数f (x ) ＝x ＋1，由y ＝x
⎧⎪x 1＝－1，
个点的坐标为⎨
⎪y 1＝0，⎩
⎧⎪x 2＝1，
⎨此时m ＝2，所以m (x i ＋y i ) ＝m ，
i ＝1⎪y 2＝2，⎩
故选B.
1
方法二 由题设得[f (x ) ＋f (－x ) ]＝1，点(x ，f (x )) 与点(－x ，f (－x )) ，关于点(0,1)对称，则y ＝
2x ＋11
f (x ) 的图象关于点(0,1)对称．又y ＝＝1＋x ≠0的图象也关于点(0,1)对称．则交点(x 1，
x x y 1) ，(x 2，y 2) ，„，(x m ，y m ) 成对，且关于点(0,1)对称． m
则m (x i ，y i ) ＝∑x i ＋∑y i ＝0＋×2＝m ，故选B.
2i ＝1i ＝1i ＝1
m
m
14．能够把圆O ：x 2＋y 2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”，下列函数是圆O 的“和谐函数”的是________． ①f (x ) ＝e x ＋e x ；
－
②f (x ) ＝ln
5－x
； 5＋x
x
③f (x ) ＝
2答案 ②③④
④f (x ) ＝4x 3＋x .
解析 由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数，①中，f (0)＝e 0＋e 0＝2，所以f (x ) ＝e x ＋e x 的图象不过原点，故f (x ) ＝e x ＋e x 不是“和谐函数”；
－
－
－
5－05＋x 5－x
②中，f (0)＝＝ln1＝0，且f (－x ) ＝ln ＝－f (x ) ，所以f (x ) 为奇函数，所以
5＋05－x 5＋x f (x ) ＝ln
5－x －x x
为“和谐函数”；③中，f (0)＝tan0＝0，且f (－x ) ＝tan ＝－tan ＝－f (x ) ，f (x )
225＋x
x
为奇函数，故f (x ) ＝tan 为“和谐函数”；④中，f (0)＝0，且f (x ) 为奇函数，故f (x ) ＝4x 3＋x
2为“和谐函数”，所以②③④中的函数都是“和谐函数”．
第1讲 函数的图象与性质
1．(2016·课标全国乙) 函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]的图象大致为(
)
答案 D
解析 f (2)＝8－e 2>8－2.82>0，排除A ；f (2)＝8－e 20时，f (x ) ＝2x 2111
0，时，f ′(x )
2．(2016·山东) 已知函数f (x ) 的定义域为R ，当x
x ＋＝f ⎛x －⎫，则f (6)等于( ) ＝－f (x ) ；当x >时，f ⎛⎝2⎝2⎭2A ．－2B ．－1C ．0D ．2 答案 D
111
x ＋⎫＝f ⎛x －，即f (x ) ＝f (x ＋1) ，∴T ＝1，∴f (6)＝f (1)．当x
3．(2016·上海) 设f (x ) ，g (x ) ，h (x ) 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若f (x ) ＋g (x ) ，f (x ) ＋h (x ) ，g (x ) ＋h (x ) 均为增函数，则f (x ) ，g (x ) ，h (x ) 中至少有一个为增函数；②若f (x ) ＋g (x ) ，f (x ) ＋h (x ) ，g (x ) ＋h (x ) 均是以T 为周期的函数，则f (x ) ，g (x ) ，h (x ) 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是( )
A ．①和②均为真命题 B ．①和②均为假命题 C ．①为真命题，②为假命题 D ．①为假命题，②为真命题 答案 D
解析 ①不成立，可举反例，
⎧⎪2x ，x ≤1，f (x ) ＝⎨
⎪⎩－x ＋3，x >1，
2x ＋3， x ≤0，⎧⎪
g (x ) ＝⎨－x ＋3，0
⎪⎩2x ，x ≥1，
⎧⎪－x ，x ≤0，h (x ) ＝⎨
⎪2x ，x >0.⎩
②f (x ) ＋g (x ) ＝f (x ＋T ) ＋g (x ＋T ) ， f (x ) ＋h (x ) ＝f (x ＋T ) ＋h (x ＋T ) ， g (x ) ＋h (x ) ＝g (x ＋T ) ＋h (x ＋T ) ，
前两式作差，可得g (x ) －h (x ) ＝g (x ＋T ) －h (x ＋T ) ， 结合第三式，可得g (x ) ＝g (x ＋T ) ，h (x ) ＝h (x ＋T ) ， 也有f (x ) ＝f (x ＋T ) ． ∴②正确．故选D.
3
⎧⎪x －3x ，x ≤a ，
4．(2016·北京) 设函数f (x ) ＝⎨
⎪－2x ，x ＞a . ⎩
(1)若a ＝0，则f (x ) 的最大值为________；
(2)若f (x ) 无最大值，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1)2 (2)(－∞，－1)
⎧x 3－3x ，x ≤0，⎪
解析 (1)当a ＝0时，f (x ) ＝⎨
⎪－2x ，x ＞0. ⎩
若x ≤0，f ′(x ) ＝3x 2－3＝3(x 2－1) ．
由f ′(x ) ＞0得x ＜－1，由f ′(x ) ＜0得－1＜x ≤0. 所以f (x ) 在(－∞，－1) 上单调递增；
在(－1,0]上单调递减，所以f (x ) 最大值为f (－1) ＝2. 若x ＞0，f (x ) ＝－2x 单调递减，所以f (x ) ＜f (0)＝0. 所以f (x ) 的最大值为2.
(2)f (x ) 的两个函数在无限制条件时图象如图．
由(1)知，当a ≥－1时，f (x ) 取得最大值2.
当a ＜－1时，y ＝－2x 在x ＞a 时无最大值，且－2a ＞2. 所以a ＜－
1.
1. 高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下. 2. 对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题.
3. 对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查，既有具体函数也有抽象函数. 常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大
.
热点一 函数的性质及应用
1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则． 2．奇偶性
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”或“相反”) ． (2)在公共定义域内：
①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数； ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数； ③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数． (3)若f (x ) 是奇函数且在x ＝0处有定义，则f (0)＝0. (4)若f (x ) 是偶函数，则f (x ) ＝f (－x ) ＝f (|x |)．
(5)图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称． 3．周期性
定义：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f (a ＋x ) ＝f (x )(a ≠0) ，则其一个周期T ＝|a |. 常见结论：
(1)f (x ＋a ) ＝－f (x ) ⇒函数f (x ) 的最小正周期为2|a |.(a ≠0)
1
(2)f (x ＋a ) 函数f (x ) 的最小正周期为2|a |.(a ≠0)
f (x )a ＋b
(3)f (a ＋x ) ＝f (b －x ) ，则函数f (x ) 的图象关于x ＝对称．
2
例1 (1)已知函数f (x ) 为奇函数，且在[0,2]上单调递增，若f (log2m )
A. ≤m
1
B. ≤m ≤2 4
D ．2≤m ≤4
(2)(2016·江苏) 设f (x ) 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1) 上，f (x ) ＝x ＋a ，－1≤x ＜0，⎧⎪59
－＝f ⎛⎫，则f (5a ) 的值是________． ⎨⎪2⎪其中a ∈R . 若f ⎛⎝2⎝2⎭x ，0≤x ＜1，⎪⎩⎪5⎪
2
答案 (1)A (2)－
5
解析 (1)因为函数f (x ) 是奇函数，且在[0,2]上单调递增，所以函数f (x ) 在[－2,2]上单调递增． 故由f (log2m )
⎧⎪－2≤log (m ＋2)≤2，可得⎨log m
m >0，⎪⎩m ＋2>0，
4
2
4
－2≤log 2m ≤2，
1
解－2≤log 2m ≤2，得m ≤4；
4
1
解－2≤log 4(m ＋2) ≤2，得≤m ＋2≤16，
1631
m ≤14.
16
由log 2m 0，⎧⎪
故有⎨m ＋2>0，
⎪⎩m 2
2
解得－1
1
综上可知，m 的取值范围是≤m
45511
－＝f ⎛－2⎫＝f ⎛－＝－a ， (2)由已知f ⎛⎝2⎝2⎭⎝229⎛9⎫⎛1⎪21⎪1
f ⎛⎝2＝f ⎝24⎭＝f ⎝2＝⎪5－2⎪＝10
59113＝f ⎛a ＝，a ＝， 又∵f ⎛⎝2⎝2210532∴f (5a ) ＝f (3)＝f (3－4) ＝f (－1) ＝－1.
55
思维升华 (1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值．(2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成f (x 1)
跟踪演练1 (1)(2016·四川) 已知函数f (x ) 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0
2＋f (1)＝________. ⎧ax ＋1，－1≤x
⎨⎪bx ＋2⎩x ＋10≤x ≤1，中a ，b ∈R . 若f ⎛1⎛3⎝2＝f ⎝2⎫
⎭，则a ＋3b 的值为________． 答案 (1)－2 (2)－10
解析 (1)因为f (x ) 是周期为2的函数， 所以f (x ) ＝f (x ＋2) ． 而f (x ) 是奇函数， 所以f (x ) ＝－f (－x ) ．
所以f (1)＝f (－1) ，f (1)＝－f (－1) ，即f (1)＝0， 又f ⎛⎝－52＝f ⎛⎝12＝－f ⎛1
⎝2⎫⎭
， f (1
12
) =42=2, 故f ⎛⎝－52＝－2，从而f ⎛⎝－5
2＋f (1)＝－2. (2)因为f (x ) 是定义在R 上且周期为2的函数， 则f ⎛3⎝2⎫⎭＝f ⎛1⎝－2，且f (－1) ＝f (1)， 又f ⎛1⎝2⎫⎭＝f ⎛3⎝2⎫⎭，故f ⎛1⎝2＝f ⎛⎝－12， 1
＋22112＋1，
21即3a ＋2b ＝－2. ①
由f (－1) ＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋2
2，即b ＝－2a . ②
由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.
其
热点二 函数图象及应用
1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．
2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点． sin2x
例2 (1)函数y ＝－的图象大致为(
)
2＋2
2
ax 3ax －x ＋3
(2)已知函数f (x ) ＝g (x ) ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a (a ∈R ) ．在同一直角坐标系中，函
32
数f ′(x ) 与g (x ) 的图象不可能的是(
)
答案 (1)A (2)B
sin2x
解析 (1)首先根据函数表达式可知y ＝为(－∞，＋∞) 上的奇函数，且f (0)＝0，排除
2＋21
C ，D ；当x ＝100
sin 2
1100
2-
+2
1100
显然排除B ，故选A. >0，
2
ax 3ax －x ＋3
(2)因为f (x ) ＋，
32
a
所以f ′(x ) ＝ax 2－x
2
若a ＝0，则选项D 是正确的，故排除D.
a 1
若a ，又a
22
－
2
1
二次函数f ′(x ) 的图象的对称轴为x ＝；
2a 三次函数g (x ) ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a ，
11x －⎛x －， 所以g ′(x ) ＝3a 2x 2－4ax ＋1＝3a 2⎛⎝a ⎝3a 11
令g ′(x )>0，得x
a 3a 11
令g ′(x )
a 3a
11
所以函数g (x ) ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a 的极大值点为x ，极小值点为x ＝；
a 3a 11211
由B 中的图象知，
3a 2a 23a 2a 所以选项B 的图象是错误的，故选B.
思维升华 (1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是解决函数图象判断此类试题的基本方法．(2)判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值．
1
x －cos x (－π≤x ≤π且x ≠0) 的图象可能为(
) 跟踪演练2 (1)(2015·浙江) 函数f (x ) ＝⎛⎝x
(2)已知三次函数f (x ) ＝2ax 3＋6ax 2＋bx 的导函数为f ′(x ) ，则函数f (x ) 与f ′(x ) 的图象可能是(
)
答案 (1)D (2)B
1
解析 (1)∵f (x ) ＝(x －)cos x ，∴f (－x ) ＝－f (x ) ，
x
∴f (x ) 为奇函数，排除A ，B ；当x →π时，f (x ) ＜0，排除C. 故选D.
(2)因为f ′(x ) ＝6ax 2＋12ax ＋b ，则函数f ′(x ) 的图象的对称轴为x ＝－1，故可排除A 、D ；由选项C 的图形可知，当x >0时，f ′(x )>0，故函数f (x ) ＝2ax 3＋6ax 2＋bx 在(0，＋∞) 上单调递增，但图象中函数f (x ) 在(0，＋∞) 上不具有单调性，故排除C ，选B. 热点三 基本初等函数的图象和性质
1．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1) 与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1) 的图象和性质，分01两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质．
1
2．幂函数y ＝x α的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，1五种情况．
2
例3 (1)(2015·山东) 设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c C ．b ＜a ＜c
B ．a ＜c ＜b D ．b ＜c ＜a
log x , x >0, ⎧⎪2
(2)若函数f (x ) ⎨log (-x ), x f (－a ) ，则实数a 的取值范围是( )
1
⎪⎩2
A ．(－1,0) ∪(0,1) C ．(－1,0) ∪(1，＋∞) 答案 (1)C (2)C
解析 (1)根据指数函数y ＝0.6x 在R 上单调递减可得0.61.5＜0.60.6＜0.60＝1，根据指数函数y ＝1.5x 在R 上单调递增可得1.50.6＞1.50＝1，∴b ＜a ＜c . (2)方法一 由题意作出y ＝f (x ) 的图象如图．
B ．(－∞，－1) ∪(1，＋∞) D ．(－∞，－1) ∪(0,1)
显然当a >1或－1f (－a ) ． 故选C.
方法二 对a 分类讨论：
当a >0时， log 2a >log 1a ，∴a >1.
2
当a log 2(－a ) ，∴0
2
∴－1
思维升华 (1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力．(2)比较代数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．
跟踪演练3 (1)在同一直角坐标系中，函数f (x ) ＝x a (x ≥0) ，g (x ) ＝log a x 的图象可能是(
)
(2)已知函数y ＝f (x ) 是定义在R 上的函数，其图象关于坐标原点对称，且当x ∈(－∞，0) 时，不等式f (x ) ＋xf ′(x )b >c C ．c >a >b 答案 (1)D (2)C
解析 (1)方法一 分a >1,0
当a >1时，y ＝x a 与y ＝log a x 均为增函数，但y ＝x a 递增较快，排除C ；
当01，而此时幂函数f (x ) ＝x a 的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C 错．
(2)构造函数g (x ) ＝xf (x ) ，则g ′(x ) ＝f (x ) ＋xf ′(x ) ，当x ∈(－∞，0) 时，g ′(x )a >b .
B ．c >b >a D ．a >c >b
1．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x ) 的图象只能是图中的(
)
押题依据 指数、对数函数的图象识别问题是高考命题的热点，旨在考查其基本性质的灵活运用，题目难度一般不大，位于试卷比较靠前的位置． 答案 B
解析 因为y ＝a x 与y ＝log a x 互为反函数，而y ＝log a x 与y ＝log a (－x ) 的图象关于y 轴对称，根据图象特征可以判断；也可以根据函数图象的特征进行排除．
方法一 如果注意到y ＝log a (－x ) 的图象和函数y ＝log a x 的图象关于y 轴对称，又y ＝log a x 与y ＝a x 互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，则可直接选定B.
方法二 首先，曲线y ＝a x 只可能在x 轴上方，y ＝log a (－x ) 只可能在y 轴左边，从而排除A ，C ；其次，y ＝a x 与y ＝log a (－x ) 的增减性正好相反，排除D ，选B.
1
2．定义在R 上的函数f (x ) 满足f (－x ) ＝－f (x ) ，f (x －2) ＝f (x ＋2) ，且x ∈(－1,0) 时，f (x ) ＝2x 5则f (log220) 等于( ) 44
A ．1B. ．－1D ．－55
押题依据 利用函数的周期性、奇偶性求函数值是高考的传统题型，较好地考查学生思维的灵活性． 答案 C
解析 由f (x －2) ＝f (x ＋2) ⇒f (x ) ＝f (x ＋4) ，
因为4
4
log 2＝－1. 故选C. 又因为f (－x ) ＝－f (x ) ，所以f (log220) ＝f (log220－4) ＝－f (4－log 220) ＝－f ⎛⎝51
3．已知函数f (x ) ＝y ＝f (x ) 的图象大致为( )
ln (x ＋1)－x
押题依据 图象的识别和变换是高考的热点，此类问题既考查了基础知识，又考查了学生的灵活变换能力． 答案 B
⎧⎪x ＋1>0，
解析 方法一 由题意得，⎨
⎪x ≠0，⎩
解得f (x ) 的定义域为{x |x >－1，且x ≠0}． －x 1
令g (x ) ＝ln(x ＋1) －x ，则g ′(x ) ＝－1＝，
x ＋1x ＋1当－10； 当x >0时，g ′(x )
∴f (x ) 在区间(－1,0) 内为减函数，在区间(0，＋∞) 内为增函数，对照各选项，只有B 符合． 方法二 本题也可取特值，用排除法求解： 1
f (2)＝，排除A.
ln3－21－⎫＝f ⎛⎝2⎭
11
，排除C ，D ，选B. 11e ln ＋ln 222
2
x ⎧⎪，0
4．已知函数h (x )(x ≠0) 为偶函数，且当x >0时，h (x ) ＝⎨4
⎪⎩4－2x ，x >4，
若h (t )>h (2)，则实
数t 的取值范围为________．
押题依据 分段函数是高考的必考内容，利用函数的单调性求解参数的范围，是一类重要题型，是高考考查的热点．本题恰当地应用了函数的单调性，同时考查了函数的奇偶性的性质． 答案 (－2,0) ∪(0,2)
x ⎧⎪－4，0
解析 因为x >0时，h (x ) ＝⎨
⎪⎩4－2x ，x >4.易知函数h (x ) 在(0，＋∞) 上单调递减， 因为函数h (x )(x ≠0) 为偶函数，且h (t )>h (2)， 所以h (|t |)>h (2)， 所以0
⎧⎧⎪t ≠0，⎪t ≠0，
⎨所以即⎨解得－2
2
综上，所求实数t 的取值范围为(－2,0) ∪(0,2)．
A 组 专题通关
1．(2015·广东) 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝1＋x 1C ．y ＝2x ＋
2答案 D
解析 令f (x ) ＝x ＋e x ，则f (1)＝1＋e ，f (－1) ＝－1＋e 1，即f (－1) ≠f (1)，f (－1) ≠－f (1)，所
－
1
B ．y ＝x ＋
x D ．y ＝x ＋e x
以y ＝x ＋e x 既不是奇函数也不是偶函数，而A 、B 、C 依次是偶函数、奇函数、偶函数，故选D.
2．下列函数中，满足“f (x ＋y ) ＝f (x ) f (y ) ”的单调递增函数是( ) A ．f (x ) ＝x 1
C ．f (x ) ＝() x
2答案 D
解析 f (x ) ＝x ，f (x ＋y ) ＝(x ＋y ) ≠x ·y ， 不满足f (x ＋y ) ＝f (x ) f (y ) ，A 不满足题意． f (x ) ＝x 3，f (x ＋y ) ＝(x ＋y ) 3≠x 3·y 3， 不满足f (x ＋y ) ＝f (x ) f (y ) ，B 不满足题意．
11＋11y 1f (x ) ＝() x ，f (x ＋y ) ＝() x y ＝() x () ，满足f (x ＋y ) ＝f (x ) f (y ) ，但f (x ) ＝x 不是增函数，C 不满
22222足题意．
f (x ) ＝3x ，f (x ＋y ) ＝3x y ＝3x ·3y ，满足f (x ＋y ) ＝f (x ) f (y ) ，且f (x ) ＝3x 是增函数，D 满足题意．
＋
1
2
B ．f (x ) ＝x 3 D ．f (x ) ＝3x
12121212
3．函数f (x ) ＝x ＋cos x 的大致图象是(
)
答案 B
解析 ∵f (x ) ＝x ＋cos x ，∴f (－x ) ＝－x ＋cos x ， ∴f (－x ) ≠f (x ) ，且f (－x ) ≠－f (x ) ， 故函数f (x ) 是非奇非偶函数，排除A 、C ； ππ
当x ＝x ＋cos x ＝x ，
22
π
即f (x ) 的图象与直线y ＝x 的交点中有一个点的横坐标为D. 故选B.
2
⎧⎪(1－2a )x ＋3a ，x
4．已知函数f (x ) ＝⎨的值域为R ，那么a 的取值范围是( )
⎪ln x ，x ≥1⎩
A ．(－∞，－1] 1
－1，⎫ C. ⎡2⎭⎣答案 C
解析 要使函数f (x ) 的值域为R ，
1
－1，⎫ B. ⎛2⎭⎝10， D. ⎛⎝2⎧⎧1－2a >0，⎪a
⎨需使 所以⎨⎪⎩ln1≤1－2a ＋3a ，⎪
1
⎩a ≥－1.
1
所以－1≤a ，故选C.
2
5．设f (x ) 是定义在实数集R 上的函数，满足条件y ＝f (x ＋1) 是偶函数，且当x ≥1时，f (x ) ＝
⎛1⎫x －1，则f ⎛2⎫，f ⎛3，f ⎛1的大小关系是( ) ⎝2⎭⎝3⎭⎝2⎝32⎛3⎛1A ．f ⎛⎝3>f ⎝2>f ⎝3 21⎛3B ．f ⎛⎝3>f ⎝3>f ⎝2
32⎛1C ．f ⎛⎝2>f 3>f ⎝3 1⎛3⎛2D ．f ⎛⎝3>f ⎝2>f ⎝3 答案 A
解析 函数y ＝f (x ＋1) 是偶函数，
所以f (－x ＋1) ＝f (x ＋1) ，即函数关于x ＝1对称． 2⎛41⎛5所以f ⎛⎝3＝f ⎝3，f 3＝f ⎝3， 1⎫x 当x ≥1时，f (x ) ＝⎛⎝2⎭－1单调递减， 4⎛3⎛5435
所以由，可得f ⎛⎝3>f ⎝2>f ⎝3. 3232⎫⎛3⎫⎛1⎫即f ⎛⎝3⎭>f ⎝2⎭>f ⎝3⎭，故选A.
1，x >0，⎧⎪6．(2015·湖北) 已知符号函数sgn x ＝⎨0，x ＝0，
⎪⎩－1，x 1)，则( ) A ．sgn[g (x )]＝sgn x B ．sgn[g (x )]＝－sgn x C ．sgn[g (x )]＝sgn[f (x )] D ．sgn[g (x )]＝－sgn[f (x )] 答案 B
解析 因为a >1，所以当x >0时，x 0，sgn [g (x ) ]＝1＝－sgn x ；当x ＝0时，g (x ) ＝0，sgn [g (x ) ]＝0＝－sgn x 也成立．故B 正确．
7．(2016·天津) 已知f (x ) 是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0) 上单调递增．若实数a 满足f (2|a 1|)>f (－2) ，则a 的取值范围是________．
－
f (x ) 是R 上的增函数，g (x ) ＝f (x ) －
13⎫
答案 ⎛⎝22⎭
解析 ∵f (x ) 是偶函数，且在(－∞，0) 上单调递增， ∴在(0，＋∞) 上单调递减，f (－2) ＝f (2) ， ∴f (2
|a －1|
)>f (2) ，∴2
|a －1|
1
2
11113
∴|a －1|
222228．给出下列四个函数：
①y ＝2x ；②y ＝log 2x ；③y ＝x 2；④y x . 当0
解析 由题意知，满足条件的函数图象形状为：
x 1＋x 2f (x 1)＋f (x 2)
恒成立的函数的序号是________． 2⎝2>
故符合图象形状的函数为y ＝log 2x ，y x .
⎧⎪(3－a )x －a (x
9．已知f (x ) ＝⎨在(－∞，＋∞) 上是增函数，那么实数a 的取值范围是
⎪log a x (x ≥1)⎩
________． 3⎫
答案 ⎡⎣23⎭
3－a >0，⎧⎪
解析 由题意得⎨a >1，
⎪⎩(3－a )－a ≤log a 1，
2
3
a
2
⎧⎪f (x )，x >0，
10．已知二次函数f (x ) ＝ax ＋bx ＋1(a >0)，F (x ) ＝⎨若f (－1) ＝0，且对任意实数
⎪－f (x )，x
x 均有f (x ) ≥0成立． (1)求F (x ) 的表达式；
(2)当x ∈[－2,2]时，g (x ) ＝f (x ) －kx 是单调函数，求k 的取值范围． 解 (1)∵f (－1) ＝0，∴a －b ＋1＝0， ∴b ＝a ＋1，
∴f (x ) ＝ax 2＋(a ＋1) x ＋1. ∵f (x ) ≥0恒成立，
⎧⎪a >0，
∴⎨ 2
⎪Δ＝(a ＋1)－4a ≤0，⎩⎧a >0，⎪即⎨ 2
⎪(a －1)≤0. ⎩
∴a ＝1，从而b ＝2， ∴f (x ) ＝x 2＋2x ＋1，
2
⎧⎪x ＋2x ＋1，x >0，
∴F (x ) ＝⎨2
⎪－x －2x －1，x
(2)由(1)知，g (x ) ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k ) x ＋1. ∵g (x ) 在[－2,2]上是单调函数， ∴
k －2k －2
－2或2， 22
解得k ≤－2或k ≥6.
∴k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞) ．
B 组 能力提高
f (x 1)－f (x 2)11．设函数f (x ) ＝x |x －a |，若对∀x 1，x 2∈[3，＋∞) ，x 1≠x 2，不等式>0恒成立，则
x 1－x 2实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3] C ．(－∞，3] 答案 C
解析 由题意分析可知条件等价于f (x ) 在[3，＋∞) 上单调递增，又因为f (x ) ＝x |x －a |，所以当
2⎧⎪x －ax ，x ≥a ，a
－∞上单调递a ≤0时，结论显然成立，当a >0时，f (x ) ＝⎨2所以f (x ) 在⎛2⎝⎪－x ＋ax ，x
B ．[－3,0) D ．(0,3]
a ⎫
增，在⎛⎝2a ⎭上单调递减，在(a ，＋∞) 上单调递增，所以0
12. 如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成的，它们的圆心分别是O ，O 1，O 2，动点P 从A 点出发沿着圆弧按A →O →B →C →A →D →B 的路线运动(其中A ，O ，O 1，O 2，B 五点共线) ，记点P 运动的路程为x ，设y ＝|O 1P |2，y 与x 的函数关系为y ＝f (x ) ，则y ＝f (x ) 的大致图象是(
)
答案 A
解析 当x ∈[0，π]时，y ＝1.
→→→→—→→—→
当x ∈(π，2π) 时，O 1P ＝O 2P －O 2O 1，设O 2P 与O 2O 1的夹角为θ，|O 2P |＝1，|O 2O 1|＝2，所以θ→→—→
＝x －π，所以y ＝|O 1P |2＝(O 2P －O 2O 1) 2＝5－4cos θ＝5＋4cos x ，x ∈(π，2π) ，所以函数y ＝f (x ) 的图象是曲线，且单调递增，排除C ，D.
→→→→→→→
当x ∈[2π，4π) 时，因为O 1P ＝OP －OO 1，设OP ，OO 1的夹角为α，|OP |＝2，|OO 1|＝1，所以11→→→
α＝2π，所以y ＝|O 1P |2＝(OP －OO 1) 2＝5－4cos α＝5－，x ∈[2π，4π) ，所以函数y
22＝f (x ) 的图象是曲线，且单调递减，排除B. 故选A.
x ＋1
13．(2016·课标全国甲) 已知函数f (x )(x ∈R ) 满足f (－x ) ＝2－f (x ) ，若函数y ＝与y ＝f (x ) 图
x 象的交点为(x 1，y 1) ，(x 2，y 2) ，„，(x m ，y m ) ，则m (x i ＋y i ) 等于( )
i ＝1
A ．0 C ．2m 答案 B
B ．m D ．4m
x ＋1解析 方法一 特殊函数法，根据f (－x ) ＝2－f (x ) 可设函数f (x ) ＝x ＋1，由y ＝x
⎧⎪x 1＝－1，
个点的坐标为⎨
⎪y 1＝0，⎩
⎧⎪x 2＝1，
⎨此时m ＝2，所以m (x i ＋y i ) ＝m ，
i ＝1⎪y 2＝2，⎩
故选B.
1
方法二 由题设得[f (x ) ＋f (－x ) ]＝1，点(x ，f (x )) 与点(－x ，f (－x )) ，关于点(0,1)对称，则y ＝
2x ＋11
f (x ) 的图象关于点(0,1)对称．又y ＝＝1＋x ≠0的图象也关于点(0,1)对称．则交点(x 1，
x x y 1) ，(x 2，y 2) ，„，(x m ，y m ) 成对，且关于点(0,1)对称． m
则m (x i ，y i ) ＝∑x i ＋∑y i ＝0＋×2＝m ，故选B.
2i ＝1i ＝1i ＝1
m
m
14．能够把圆O ：x 2＋y 2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”，下列函数是圆O 的“和谐函数”的是________． ①f (x ) ＝e x ＋e x ；
－
②f (x ) ＝ln
5－x
； 5＋x
x
③f (x ) ＝
2答案 ②③④
④f (x ) ＝4x 3＋x .
解析 由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数，①中，f (0)＝e 0＋e 0＝2，所以f (x ) ＝e x ＋e x 的图象不过原点，故f (x ) ＝e x ＋e x 不是“和谐函数”；
－
－
－
5－05＋x 5－x
②中，f (0)＝＝ln1＝0，且f (－x ) ＝ln ＝－f (x ) ，所以f (x ) 为奇函数，所以
5＋05－x 5＋x f (x ) ＝ln
5－x －x x
为“和谐函数”；③中，f (0)＝tan0＝0，且f (－x ) ＝tan ＝－tan ＝－f (x ) ，f (x )
225＋x
x
为奇函数，故f (x ) ＝tan 为“和谐函数”；④中，f (0)＝0，且f (x ) 为奇函数，故f (x ) ＝4x 3＋x
2为“和谐函数”，所以②③④中的函数都是“和谐函数”．