二次函数的最值问题总结 1

二次函数的最值问题

一、知识要点：

一元二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.

设f (x ) =ax +bx +c (a ≠0) ，求f (x ) 在x ∈[m ，n ]上的最大值与最小值。

分析：将f (x ) 配方，得对称轴方程x =-

当a >0时，抛物线开口向上 2b 2a

b ∈[m ，n ]必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值； 2a

b 若-∉[m ，n ] 2a 若-

当a >0时，抛物线开口向上，此时函数在[m ，n ]上具有单调性，故在离对称轴x =-b 较远端点处2a

取得最大值，较近端点处取得最小值。当a

当a >0时

f (x ) max b ⎧f (n ) ，->n (如图3) ⎪b 12a ⎧⎪f (m ) ，-≥(m +n )(如图1) ⎪b b ⎪⎪2a 2=⎨f (x ) m i n =⎨f (-) ，m ≤-≤n (如图4) b 12a 2a ⎪f (n ) ，⎪-

当a

b ⎧f (n ) ，->n (如图6) ⎪b 1⎧2a f (m ) ，-≥(m +n )(如图9) ⎪⎪⎪2a 2b b f (x ) = f (x ) m a x =⎪ f (-) ，m ≤-≤n (如图7) ⎨min ⎨b 12a 2a ⎪f (n ) ，-

二次函数的最值问题

一、知识要点：

一元二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.

设f (x ) =ax +bx +c (a ≠0) ，求f (x ) 在x ∈[m ，n ]上的最大值与最小值。

分析：将f (x ) 配方，得对称轴方程x =-

当a >0时，抛物线开口向上 2b 2a

b ∈[m ，n ]必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值； 2a

b 若-∉[m ，n ] 2a 若-

当a >0时，抛物线开口向上，此时函数在[m ，n ]上具有单调性，故在离对称轴x =-b 较远端点处2a

取得最大值，较近端点处取得最小值。当a

当a >0时

f (x ) max b ⎧f (n ) ，->n (如图3) ⎪b 12a ⎧⎪f (m ) ，-≥(m +n )(如图1) ⎪b b ⎪⎪2a 2=⎨f (x ) m i n =⎨f (-) ，m ≤-≤n (如图4) b 12a 2a ⎪f (n ) ，⎪-

当a

b ⎧f (n ) ，->n (如图6) ⎪b 1⎧2a f (m ) ，-≥(m +n )(如图9) ⎪⎪⎪2a 2b b f (x ) = f (x ) m a x =⎪ f (-) ，m ≤-≤n (如图7) ⎨min ⎨b 12a 2a ⎪f (n ) ，-


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