§2 数集. 确界原理
(一) 教学内容：实数的区间与邻域；集合的上、下界，上确界和下确界；确界原理
难 点： 上、下确界定义的理解、数集确界的证明 二) 教学目的：
1）正确使用区间和邻域概念，掌握集合的有界性的证明； 2）初步理解上下确界的定义及确界原理的实质。 （三）基本要求：
1）掌握实数的区间与邻域概念；分清最大值与上确界的联系与区别；结合具体集合，
能指出其确界；
2）能用定义证明集合A的上确界为ξ．即：
∀x∈A
有x≤ξ，且 ∀ε>0,∃x0∈A,使得 x0>ξ-ε．
(三) 教学建议：
(1) 此节重点是确界概念和确界原理．不可强行要求一步到位，对多数学生可只布置
证明具体集合的确界的习题．
(2) 此节难点亦是确界概念和确界原理．对较好学生可布置证明抽象集合的确界的习
题．
一 区间与邻域: 区间
邻 域
设a与δ是两个实数，且δ>0，称点集 E={x||x-a|
.
称点集 Uδ(a)={x|a-δ
记作Uδ(a)
δ
δ
a的右δ邻域 U+δ(a)={x|a≤x
a的右δ空心邻域 U0
+δ(a)={x|aa的左δ邻域 U-δ(a)={x|a-δ
a的左δ空心邻域 U0-δ(a)={x|a-δ∞邻域 U(∞)={x|
|x|>M}
+∞ 邻域 U(∞)={x|x>M} -∞ 邻域 U(∞)={x|x
二 有界数集 . 确界原理: 1. 有界数集:
定义(上、下有界, 有界) 设 S为实数R上的一个数集，若存在一个数M（ L）, 得对一切 x∈S 都有 x≤M(x≥L)，则称S为有上界(下界)的数集。
若集合S既有上界又有下界，则称S为有界集。
例如，区间 [a,b]、(a,b) (a,b为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 E={y y=sinx, x∈ ( -∞ , +∞ )}
也是有界数集.
无界数集: 若对任意M>0，存在 ∈S,||>M，则称S为无界集。
例如，( -∞ , +∞ ) , ( -∞ , 0 ) , ( 0 , +∞ )，有理数集等都是无界数集, 例1
证明集合 E=⎨⎧
y y=
1x, x∈( 0 , 1 )⎫
⎩⎬⎭是无界数集. 证明：对任意M>0, 存在 x=1
M+1
∈(0,1),y=
1
x
∈E,y=M+1>M 由无界集定义，E为无界集。 y M+1 M
x
使
确界，先给出确界的直观定义：若数集S有上界，则显然它有无穷多个上界，其中最小的一个上界我们称它为数集S的上确界，记作 supS；
同样，有下界数集有无穷多个下界，称最大下界为该数集的下确界，记作 infS。 精确定义
定义2 设S是R中的一个数集，若数 η满足以下两条： （1） 对一切 x∈S 有 x≤η，即 η是数集S 的上界；
（2） 对任意ε>0，存在 x0∈S 使得x0>η-ε（即η是S的最小上界）， 则称数η为数集S的上确界。记作 η=supS
M1
M2
定义3 设S是R中的一个数集，若数 ξ 满足以下两条： （3） 对一切 x∈S 有 x≥ξ，即 ξ 是数集S 的下界；
（4） 对任意ε>0，存在 x0∈S使得x0
则称数ξ为数集S的下确界。记作 ξ=infS
⎧(-1 )n⎫
infS=_______. 例2 （1） S=⎨1+⎬, 则supS=______,
n⎩⎭
（2） E=y y=sinx, x∈(0,π). 则
{}
supE=________, infE=_________.
注1 由确界定义，若数集S的上（下）确界存在，则一定是唯一的，且
infS≤supS
注2 由上面例子可知，数集S的确界可以属于S，也可以不属于S。
例3 设数集S有上确界，证明 η=supS证明 （略）
定理1.1 (确界原理). 设 S 为非空数集，若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。
证明 不妨设 S包含非负数，S有上界 ⇒ 存在自然数 n ，使得 1）∀x∈S,x
1）∀x∈S,
⇔η=maxS
a0≥n
n.2, ,n.9⇒ 存在自然数 n1
在[n,n+1) 内作10等分，分点分别为：n.1,
x
…………
1
; 2）存在 a1∈S,a1≥n.n1 10
1
; 2）存在 ak∈S,ak≥n.n1n2 nk k10
1）∀x∈S,
x
按上述办法无限作下去，得到实数 η=n.n1n2 nk ，可以验证η=supS。 例4 设A和B是非空数集. 若对∀x∈A和∀y∈B,都有x≤y, 则有
supA≤infB.
证 ∀x∈A和∀y∈B,都有x≤y, ⇒
y是A的上界, 而 supA 是A的最小上界
⇒ supA≤y. 此式又⇒ supA是B的下界,⇒ supA≤ infB（B的最大下界）
例5 A和B为非空数集, S=A B. 试证明:
infS=min{ infA , infB }.
证 ∀x∈S,有 x∈A 或x∈B, 由infA 和infB 分别是 A 和B的下界, 有
x≥infA 或 x≥infB. ⇒ x≥min{ infA , infB }.
即 min{ infA , infB }是数集 S的下界, ⇒ infS≥min{ infA , infB }.
又S⊃A, ⇒ S的下界就是 A 的下界, infS 是 S的下界, ⇒ infS是A的下界,
⇒ infS≤infA; 同理有 infS≤infB. 于是有
infS≤min{ infA , infB }.
综上, 有 infS=min{ infA , infB }.
§2 数集. 确界原理
(一) 教学内容：实数的区间与邻域；集合的上、下界，上确界和下确界；确界原理
难 点： 上、下确界定义的理解、数集确界的证明 二) 教学目的：
1）正确使用区间和邻域概念，掌握集合的有界性的证明； 2）初步理解上下确界的定义及确界原理的实质。 （三）基本要求：
1）掌握实数的区间与邻域概念；分清最大值与上确界的联系与区别；结合具体集合，
能指出其确界；
2）能用定义证明集合A的上确界为ξ．即：
∀x∈A
有x≤ξ，且 ∀ε>0,∃x0∈A,使得 x0>ξ-ε．
(三) 教学建议：
(1) 此节重点是确界概念和确界原理．不可强行要求一步到位，对多数学生可只布置
证明具体集合的确界的习题．
(2) 此节难点亦是确界概念和确界原理．对较好学生可布置证明抽象集合的确界的习
题．
一 区间与邻域: 区间
邻 域
设a与δ是两个实数，且δ>0，称点集 E={x||x-a|
.
称点集 Uδ(a)={x|a-δ
记作Uδ(a)
δ
δ
a的右δ邻域 U+δ(a)={x|a≤x
a的右δ空心邻域 U0
+δ(a)={x|aa的左δ邻域 U-δ(a)={x|a-δ
a的左δ空心邻域 U0-δ(a)={x|a-δ∞邻域 U(∞)={x|
|x|>M}
+∞ 邻域 U(∞)={x|x>M} -∞ 邻域 U(∞)={x|x
二 有界数集 . 确界原理: 1. 有界数集:
定义(上、下有界, 有界) 设 S为实数R上的一个数集，若存在一个数M（ L）, 得对一切 x∈S 都有 x≤M(x≥L)，则称S为有上界(下界)的数集。
若集合S既有上界又有下界，则称S为有界集。
例如，区间 [a,b]、(a,b) (a,b为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 E={y y=sinx, x∈ ( -∞ , +∞ )}
也是有界数集.
无界数集: 若对任意M>0，存在 ∈S,||>M，则称S为无界集。
例如，( -∞ , +∞ ) , ( -∞ , 0 ) , ( 0 , +∞ )，有理数集等都是无界数集, 例1
证明集合 E=⎨⎧
y y=
1x, x∈( 0 , 1 )⎫
⎩⎬⎭是无界数集. 证明：对任意M>0, 存在 x=1
M+1
∈(0,1),y=
1
x
∈E,y=M+1>M 由无界集定义，E为无界集。 y M+1 M
x
使
确界，先给出确界的直观定义：若数集S有上界，则显然它有无穷多个上界，其中最小的一个上界我们称它为数集S的上确界，记作 supS；
同样，有下界数集有无穷多个下界，称最大下界为该数集的下确界，记作 infS。 精确定义
定义2 设S是R中的一个数集，若数 η满足以下两条： （1） 对一切 x∈S 有 x≤η，即 η是数集S 的上界；
（2） 对任意ε>0，存在 x0∈S 使得x0>η-ε（即η是S的最小上界）， 则称数η为数集S的上确界。记作 η=supS
M1
M2
定义3 设S是R中的一个数集，若数 ξ 满足以下两条： （3） 对一切 x∈S 有 x≥ξ，即 ξ 是数集S 的下界；
（4） 对任意ε>0，存在 x0∈S使得x0
则称数ξ为数集S的下确界。记作 ξ=infS
⎧(-1 )n⎫
infS=_______. 例2 （1） S=⎨1+⎬, 则supS=______,
n⎩⎭
（2） E=y y=sinx, x∈(0,π). 则
{}
supE=________, infE=_________.
注1 由确界定义，若数集S的上（下）确界存在，则一定是唯一的，且
infS≤supS
注2 由上面例子可知，数集S的确界可以属于S，也可以不属于S。
例3 设数集S有上确界，证明 η=supS证明 （略）
定理1.1 (确界原理). 设 S 为非空数集，若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。
证明 不妨设 S包含非负数，S有上界 ⇒ 存在自然数 n ，使得 1）∀x∈S,x
1）∀x∈S,
⇔η=maxS
a0≥n
n.2, ,n.9⇒ 存在自然数 n1
在[n,n+1) 内作10等分，分点分别为：n.1,
x
…………
1
; 2）存在 a1∈S,a1≥n.n1 10
1
; 2）存在 ak∈S,ak≥n.n1n2 nk k10
1）∀x∈S,
x
按上述办法无限作下去，得到实数 η=n.n1n2 nk ，可以验证η=supS。 例4 设A和B是非空数集. 若对∀x∈A和∀y∈B,都有x≤y, 则有
supA≤infB.
证 ∀x∈A和∀y∈B,都有x≤y, ⇒
y是A的上界, 而 supA 是A的最小上界
⇒ supA≤y. 此式又⇒ supA是B的下界,⇒ supA≤ infB（B的最大下界）
例5 A和B为非空数集, S=A B. 试证明:
infS=min{ infA , infB }.
证 ∀x∈S,有 x∈A 或x∈B, 由infA 和infB 分别是 A 和B的下界, 有
x≥infA 或 x≥infB. ⇒ x≥min{ infA , infB }.
即 min{ infA , infB }是数集 S的下界, ⇒ infS≥min{ infA , infB }.
又S⊃A, ⇒ S的下界就是 A 的下界, infS 是 S的下界, ⇒ infS是A的下界,
⇒ infS≤infA; 同理有 infS≤infB. 于是有
infS≤min{ infA , infB }.
综上, 有 infS=min{ infA , infB }.