2012年湖州市初三数学竞赛试题
答题时注意；1．用圆珠笔或钢笔作答． 2．解答书写时不要超过装订线．
3．可以用计算器
1．如图，
A ，B 的坐标为（2，0），
（0，1）若将线段AB 平移至A 1B 1， 则a +b 的值为 （ ）
A ．2 B ．3 C ．4
D ．5
（第1题）
b )
x
B 2. 规定”Δ”为有序实数对的运算, 如果(a , b ) Δ(c , d ) =(ac +bd , ad +bc ). 如果对任意实数a , b 都有
(a , b ) Δ(x , y ) =(a , b ), 则(x , y ) 为 （ ）
A．(0,1) B．(1,0) C．(-1,0) D．(0,-1)
3. 如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连结AO ，
如果FB ＝4，∠BCA ＝15°，那么AO 的长等于 ( )
C
E
4．如图，表示阴影区域的不等式组为 (
)
2x +.y ≥5， 2x + y ≤5， 2x +.y ≤5， x + y ≥5， A 3x + 4y ≥9， B 3x + 4y ≤9， C 3x + 4y ≥9， D x + 4y ≤9， y ≥0 y ≥0 x ≥0 x ≥0
A ． 1
B C ． D ．2
5. 如图，平行四边形AOBC 中，对角线交于点E ，双曲线y =
k
（k ＞0）经过A ，E 两点，若平行四边x
形AOBC 的面积为18，则k 的值等于 （ ）
A ． 6 B．9 C ．12 D．18
6．如图1, 凸五边形ABCDE 内接于半径为1的⊙O,ABCD 是矩形,AE=ED,且BE 和CE 把AD 三等分. 则此
五边形ABCDE 的面积是 （ ）
A
B
C
D
7．如图，OABC 是边长为1的正方形，OC 与x 轴正半轴的夹角为15°，点B 在抛物线y =ax 2（a ＜0）
的图象上，则a 的值为 （ ） A ．-
2
B ．-2 3
1 D ．-
23
E
C
．-
8．如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，BC ＝3， 将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90°至ED ，连结AE ， 则△ADE 的面积是（ ）
A ．不能确定 B ．1 C ．2 D ．3
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
2
2
A
C
9．若多项式P =2a -8ab +17b -16a -4b +2070, 那么P 的最小值是10．如图，直线y =-
4
x +4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把ΔABO 绕点A 顺时针旋转90°后得到3
ΔAO ′B ′
11. 如图，在△AOB 中，∠OAB=90°，OA=AB，点B 的坐标为（-4，0），过点C （4，0）作直线l 交AB 于P ，交AO 于Q ，以P 为顶点的抛物线经过点A ，当△APQ 和△COQ 的面积相等时，则抛物线解析式为 .
12．已知：如图，DE 是△ABC 的中位线，点P 是DE 的中点，CP 的延长线交AB 于点Q ，那么
S ∆DPQ :S ∆ABC =______________.
13．已知直线y 1=x ，y 2=则y 的最大值为 。
A Q B
E
C
1
x +1，y 3=-x +4，若无论x 取何值，y 总取y 1、y 2、y 3中的最小值，3
14．若关于x 的不等式x +a ≥x -3的解中包含了“x ≥1”，则实数a 的取值范围是.
三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）
15．如图，有一张长为5宽为4的矩形纸片ABCD ，要通过适当的剪拼，得到一个与之面积相等的正方形．
（1）该正方形的边长为 （结果保留根号）；
（2）现要求只能用两条裁剪线，请你设计一种裁剪 的方法，在图中画出裁剪线，
并简要说明剪拼的过程：___________________________
16. 一批货物准备运往某地, 有甲, 乙, 丙三辆卡车可雇用，已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲乙两车单独运这批货物分别用2a , a 次；若甲、丙两车合运相同次数，运完这批货物，甲车共运了180吨；若乙、丙两车合运相同次数，运完这批货物，乙车共运了270吨。现甲, 乙, 丙合运相同次数把这批货物运完, 货主应付车方运费各多少元?(按每吨运费20元计算)
17. 如图, 点D 在ΔABC 的边BC 上, 且与B,C 不重合, 过点D 作AC 的平行线DE 交AB 于E, 作AB 的平行线DF 交AC 于点F. 又知BC=5.
(1) 设ΔABC 的面积为S. 若四边形AEFD 的面积为
2
S . 求BD 长. 5
(2)
若AC , 且DF 经过ΔABC 的重心G, 求E,F 两点的距离.
18．如图, 已知抛物线y =
12
x +bx +c 与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），2
点C 的坐标为（0，-1）． （1）求抛物线的解析式；
（2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE 的面积最大时，求点D 的坐标；
（3）在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标，若不存在，
备用图 26题图
2012年湖州市初三数学竞赛参考答案
一、选择题
1．A 2．B 3．D 4．C 5．A 6．D 7．C 8． B .
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分） 9． 2002 10．(7,3) 11．y =(x +3) 2+1 12．1:24 13．
三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）
15．解：(1) 2； ------------------------- 6分
(2)以AB 为直径画弧与以A 为圆心为半径的弧交于点E ，连AE 交CD 于F ，剪下AF 和BE
即可。图略 ------------------------- 6分
16．解：设这批货物总重量为W 吨；甲、丙车合运了b 次，运完这批货物；乙、丙车合运了c 次，运完这批货物。则由丙分别在与甲、乙合运中的载重量不变，可得：
7
14．a ≥1或a =-3 4
w -180w -270
=， ------------------------- 5分 b c
180270
⨯2=又由题意得，乙车的载重量是甲车的2倍，得， b c
b 4
解得：=，W=540（吨） ------------------------- 4分
c 3
据题设，乙、丙两车合运时，乙车共运了270吨，故丙车也运了270吨，即甲, 乙, 丙三车载重量之比为1:2:2，所以，运完这批货物，三车分别运了108吨、216吨和216吨，因此，货主应付三位车主运费分别为2160元，4320元和4320元。 ------------------------- 3分
17. 解：（1）∵ DE∥AC ，DF ∥AB ， ∴△BDE ∽△BCA ∽△DCF ， 设S ∆BDE =S 1，S ∆D FC =S 2， ∵S AEDF =
∵
223
S ，∴S 1+S 2=S -S =S 555
S 1S S 1S
=
S 2CD BD
，， =
BC BC S S 2S =
BD +DC
=1， ----------------------- 3分
BC
∴
+
即 S 1+S 2=S ， ∴ S =S 1+S 2+2S 1S 2
∴ 2S 1S 2=
2123S ， S 1S 2=S ， 又 S 1+
S 2=S ，若AC , 且 5255
2
3±3±5⎛BD ⎫
解得S 1=， ， ⎪=
1010⎝5⎭
BD =
±55±5
--------------------------------- 3分 =
22
2
AB 3
CD 21AC
=， 得DE=AC
∵AC =, =2 ∵ DE∥AC ，
CB 33AB
（2）∵ G是△ABC 的重心， ∴ DF=
DF AC DF 2AB
=， ==2， ∴DE AB DE 2AB
即
DF DE
= -------------------------------- 3分 AC AB
又∠EDF=∠A ， ∴△DEF ∽△ABC ∴
18. 解：（1）∵二次函数y =
EF DE 52
=， EF= -------------------------------- 3分 BC AB 3
12
x +bx +c 的图像经过点A （2，0）C(0,－1) 2
∴⎨
⎧2+2b +c =0
⎩c =-1
1
c =－1 --------------------------------4分 2
121
∴二次函数的解析式为y =x -x -1 --------------------------------1分
22
解得： b =－
（2）设点D 的坐标为（m ，0） （0＜m ＜2） ∴ OD=m ∴AD=2-m 由△ADE ∽△AOC 得，∴
AD DE
= AO OC
2-m DE
= 212-m ∴DE= ----------------------------------------------3分
2
12-m
∴△CDE 的面积=×m
22
11m 2m
+=-(m -1) 2+ =-
4442
当m =1时，△CDE 的面积最大
∴点D 的坐标为（1，0） -----------------------------------------2分 （3）存在四个点：P 1（
57，－，-1） P 2（--1） P 3(1, －2) P 4(, －) 。
222222
121
x -x -1 22
评分意见：写对一个点给1分，共4分。 参考答案如下： 由(1)知：二次函数的解析式为y =设y=0则0=
121
x -x -1 解得：x 1=2 x 2=－1 22
∴点B 的坐标为（－1，0） C （0，－1）
设直线BC 的解析式为：y =kx ＋b ∴ ⎨
⎧-k +b =0
解得：k =-1 b =-1
⎩b =-1
∴直线BC 的解析式为: y =－x －1 在Rt △AOC 中，∠AOC=900 OA=2 OC=1 由勾股定理得：AC= ∵点B(－1,0) 点C （0，－1） ∴OB=OC ∠BCO=450 ①当以点C 为顶点且PC=AC=5时， 设P(k, －k －1) 过点P 作PH ⊥y 轴于H ∴∠HCP=∠BCO=450 CH=PH=∣k ∣ 在Rt △PCH 中 k 2+k2=
) 解得k =
2
1
， k 2=－ 22
∴P 1（
，－，-1） P 2（－-1） 2222
②以A 为顶点，即AC=AP=5
设P(k , －k －1)
过点P 作PG ⊥x 轴于G AG=∣2－k ∣ GP=∣－k －1∣ 在Rt △APG 中 AG 2＋PG 2=AP2 （2－k ) 2+(－k －1) 2=5 解得：k 1=1,k 2=0(舍) ∴P 3(1, －2) ----------------------------------11分 ③以P 为顶点，PC=AP设P(k , －k －1) 过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q PL ⊥x 轴于点L ∴L(k
,0)
∴△QPC 为等腰直角三角形 PQ=CQ=k 由勾股定理知 CP=PA=2k
∴AL=∣k -2∣, PL=｜－k －1｜ 在Rt △PLA 中
(2k) 2=(k －2) 2＋(k ＋1) 2 解得：k =
557∴P 4(, －) ------------------------12分 222
综上所述： 存在四个点：P 1（
，－-1） 22
P 2（-
57，-1） P 3(1, －2) P 4(, －) 。
2222
2012年湖州市初三数学竞赛试题
答题时注意；1．用圆珠笔或钢笔作答． 2．解答书写时不要超过装订线．
3．可以用计算器
1．如图，
A ，B 的坐标为（2，0），
（0，1）若将线段AB 平移至A 1B 1， 则a +b 的值为 （ ）
A ．2 B ．3 C ．4
D ．5
（第1题）
b )
x
B 2. 规定”Δ”为有序实数对的运算, 如果(a , b ) Δ(c , d ) =(ac +bd , ad +bc ). 如果对任意实数a , b 都有
(a , b ) Δ(x , y ) =(a , b ), 则(x , y ) 为 （ ）
A．(0,1) B．(1,0) C．(-1,0) D．(0,-1)
3. 如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连结AO ，
如果FB ＝4，∠BCA ＝15°，那么AO 的长等于 ( )
C
E
4．如图，表示阴影区域的不等式组为 (
)
2x +.y ≥5， 2x + y ≤5， 2x +.y ≤5， x + y ≥5， A 3x + 4y ≥9， B 3x + 4y ≤9， C 3x + 4y ≥9， D x + 4y ≤9， y ≥0 y ≥0 x ≥0 x ≥0
A ． 1
B C ． D ．2
5. 如图，平行四边形AOBC 中，对角线交于点E ，双曲线y =
k
（k ＞0）经过A ，E 两点，若平行四边x
形AOBC 的面积为18，则k 的值等于 （ ）
A ． 6 B．9 C ．12 D．18
6．如图1, 凸五边形ABCDE 内接于半径为1的⊙O,ABCD 是矩形,AE=ED,且BE 和CE 把AD 三等分. 则此
五边形ABCDE 的面积是 （ ）
A
B
C
D
7．如图，OABC 是边长为1的正方形，OC 与x 轴正半轴的夹角为15°，点B 在抛物线y =ax 2（a ＜0）
的图象上，则a 的值为 （ ） A ．-
2
B ．-2 3
1 D ．-
23
E
C
．-
8．如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，BC ＝3， 将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90°至ED ，连结AE ， 则△ADE 的面积是（ ）
A ．不能确定 B ．1 C ．2 D ．3
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
2
2
A
C
9．若多项式P =2a -8ab +17b -16a -4b +2070, 那么P 的最小值是10．如图，直线y =-
4
x +4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把ΔABO 绕点A 顺时针旋转90°后得到3
ΔAO ′B ′
11. 如图，在△AOB 中，∠OAB=90°，OA=AB，点B 的坐标为（-4，0），过点C （4，0）作直线l 交AB 于P ，交AO 于Q ，以P 为顶点的抛物线经过点A ，当△APQ 和△COQ 的面积相等时，则抛物线解析式为 .
12．已知：如图，DE 是△ABC 的中位线，点P 是DE 的中点，CP 的延长线交AB 于点Q ，那么
S ∆DPQ :S ∆ABC =______________.
13．已知直线y 1=x ，y 2=则y 的最大值为 。
A Q B
E
C
1
x +1，y 3=-x +4，若无论x 取何值，y 总取y 1、y 2、y 3中的最小值，3
14．若关于x 的不等式x +a ≥x -3的解中包含了“x ≥1”，则实数a 的取值范围是.
三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）
15．如图，有一张长为5宽为4的矩形纸片ABCD ，要通过适当的剪拼，得到一个与之面积相等的正方形．
（1）该正方形的边长为 （结果保留根号）；
（2）现要求只能用两条裁剪线，请你设计一种裁剪 的方法，在图中画出裁剪线，
并简要说明剪拼的过程：___________________________
16. 一批货物准备运往某地, 有甲, 乙, 丙三辆卡车可雇用，已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲乙两车单独运这批货物分别用2a , a 次；若甲、丙两车合运相同次数，运完这批货物，甲车共运了180吨；若乙、丙两车合运相同次数，运完这批货物，乙车共运了270吨。现甲, 乙, 丙合运相同次数把这批货物运完, 货主应付车方运费各多少元?(按每吨运费20元计算)
17. 如图, 点D 在ΔABC 的边BC 上, 且与B,C 不重合, 过点D 作AC 的平行线DE 交AB 于E, 作AB 的平行线DF 交AC 于点F. 又知BC=5.
(1) 设ΔABC 的面积为S. 若四边形AEFD 的面积为
2
S . 求BD 长. 5
(2)
若AC , 且DF 经过ΔABC 的重心G, 求E,F 两点的距离.
18．如图, 已知抛物线y =
12
x +bx +c 与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），2
点C 的坐标为（0，-1）． （1）求抛物线的解析式；
（2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE 的面积最大时，求点D 的坐标；
（3）在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标，若不存在，
备用图 26题图
2012年湖州市初三数学竞赛参考答案
一、选择题
1．A 2．B 3．D 4．C 5．A 6．D 7．C 8． B .
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分） 9． 2002 10．(7,3) 11．y =(x +3) 2+1 12．1:24 13．
三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）
15．解：(1) 2； ------------------------- 6分
(2)以AB 为直径画弧与以A 为圆心为半径的弧交于点E ，连AE 交CD 于F ，剪下AF 和BE
即可。图略 ------------------------- 6分
16．解：设这批货物总重量为W 吨；甲、丙车合运了b 次，运完这批货物；乙、丙车合运了c 次，运完这批货物。则由丙分别在与甲、乙合运中的载重量不变，可得：
7
14．a ≥1或a =-3 4
w -180w -270
=， ------------------------- 5分 b c
180270
⨯2=又由题意得，乙车的载重量是甲车的2倍，得， b c
b 4
解得：=，W=540（吨） ------------------------- 4分
c 3
据题设，乙、丙两车合运时，乙车共运了270吨，故丙车也运了270吨，即甲, 乙, 丙三车载重量之比为1:2:2，所以，运完这批货物，三车分别运了108吨、216吨和216吨，因此，货主应付三位车主运费分别为2160元，4320元和4320元。 ------------------------- 3分
17. 解：（1）∵ DE∥AC ，DF ∥AB ， ∴△BDE ∽△BCA ∽△DCF ， 设S ∆BDE =S 1，S ∆D FC =S 2， ∵S AEDF =
∵
223
S ，∴S 1+S 2=S -S =S 555
S 1S S 1S
=
S 2CD BD
，， =
BC BC S S 2S =
BD +DC
=1， ----------------------- 3分
BC
∴
+
即 S 1+S 2=S ， ∴ S =S 1+S 2+2S 1S 2
∴ 2S 1S 2=
2123S ， S 1S 2=S ， 又 S 1+
S 2=S ，若AC , 且 5255
2
3±3±5⎛BD ⎫
解得S 1=， ， ⎪=
1010⎝5⎭
BD =
±55±5
--------------------------------- 3分 =
22
2
AB 3
CD 21AC
=， 得DE=AC
∵AC =, =2 ∵ DE∥AC ，
CB 33AB
（2）∵ G是△ABC 的重心， ∴ DF=
DF AC DF 2AB
=， ==2， ∴DE AB DE 2AB
即
DF DE
= -------------------------------- 3分 AC AB
又∠EDF=∠A ， ∴△DEF ∽△ABC ∴
18. 解：（1）∵二次函数y =
EF DE 52
=， EF= -------------------------------- 3分 BC AB 3
12
x +bx +c 的图像经过点A （2，0）C(0,－1) 2
∴⎨
⎧2+2b +c =0
⎩c =-1
1
c =－1 --------------------------------4分 2
121
∴二次函数的解析式为y =x -x -1 --------------------------------1分
22
解得： b =－
（2）设点D 的坐标为（m ，0） （0＜m ＜2） ∴ OD=m ∴AD=2-m 由△ADE ∽△AOC 得，∴
AD DE
= AO OC
2-m DE
= 212-m ∴DE= ----------------------------------------------3分
2
12-m
∴△CDE 的面积=×m
22
11m 2m
+=-(m -1) 2+ =-
4442
当m =1时，△CDE 的面积最大
∴点D 的坐标为（1，0） -----------------------------------------2分 （3）存在四个点：P 1（
57，－，-1） P 2（--1） P 3(1, －2) P 4(, －) 。
222222
121
x -x -1 22
评分意见：写对一个点给1分，共4分。 参考答案如下： 由(1)知：二次函数的解析式为y =设y=0则0=
121
x -x -1 解得：x 1=2 x 2=－1 22
∴点B 的坐标为（－1，0） C （0，－1）
设直线BC 的解析式为：y =kx ＋b ∴ ⎨
⎧-k +b =0
解得：k =-1 b =-1
⎩b =-1
∴直线BC 的解析式为: y =－x －1 在Rt △AOC 中，∠AOC=900 OA=2 OC=1 由勾股定理得：AC= ∵点B(－1,0) 点C （0，－1） ∴OB=OC ∠BCO=450 ①当以点C 为顶点且PC=AC=5时， 设P(k, －k －1) 过点P 作PH ⊥y 轴于H ∴∠HCP=∠BCO=450 CH=PH=∣k ∣ 在Rt △PCH 中 k 2+k2=
) 解得k =
2
1
， k 2=－ 22
∴P 1（
，－，-1） P 2（－-1） 2222
②以A 为顶点，即AC=AP=5
设P(k , －k －1)
过点P 作PG ⊥x 轴于G AG=∣2－k ∣ GP=∣－k －1∣ 在Rt △APG 中 AG 2＋PG 2=AP2 （2－k ) 2+(－k －1) 2=5 解得：k 1=1,k 2=0(舍) ∴P 3(1, －2) ----------------------------------11分 ③以P 为顶点，PC=AP设P(k , －k －1) 过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q PL ⊥x 轴于点L ∴L(k
,0)
∴△QPC 为等腰直角三角形 PQ=CQ=k 由勾股定理知 CP=PA=2k
∴AL=∣k -2∣, PL=｜－k －1｜ 在Rt △PLA 中
(2k) 2=(k －2) 2＋(k ＋1) 2 解得：k =
557∴P 4(, －) ------------------------12分 222
综上所述： 存在四个点：P 1（
，－-1） 22
P 2（-
57，-1） P 3(1, －2) P 4(, －) 。
2222