函数的平移伸缩变换口诀之再优化
关键词：靠近原则，逆向原则。
在教授三角函数y =A sin(ωx +ϕ) 的图象这部分内容的时候碰到的平移、伸缩变换问题，学生频繁出现失误，加减乘除总是放到了本不应该出现的位置。于是我思考着：是否有一个更好地方法，更标准的规则，让学生易记不易错呢？
我们知道，对于函数的平移，有口诀：“左加右减，上加下减。”如：
例1. 将函数y =sin x 图象先向上移1个单位长度，再右移
答案：y =sin(x -π个单位长度，求所得图象的函数解析式？ 3π
3) +1
其实以上平移口诀的前提是：左右是针对x 的平移，加或减都在x 的附近进行；而上下是针对y 的平移，在原函数式的最后进行加减，其实这个数也可以移到y 的一侧，直接在y 附近加减。也就是说上面的式子我们也可以写成：y -1=sin(x -π
3) 。
通过这个式子，我发现了两个平移的规律：
一、靠近原则。
确定变化的位置，针对哪个变量变换，就在那个变量最近的位置上变换。这里我再次强调“最近”两个字。其实就是运算先后的问题。如：
例2. 将函数y =sin 2x 的图象左移
错解：y =sin(2x +
错在π个单位长度，求所得图象的函数解析式？ 3π3) 。 π并不是离x 最近的，因为2离x 更近，那么要让2远离，可采用加括号的办法。 3
π正解：y =sin 2(x +) 。 3
二、逆向原则。
我们看如果把例1的答案写成：y -1=sin(x -π
3) 的形式，发现在靠近原则的前提下针对x 平移仍然
是左加右减；针对y 的平移变成了上减下加，与原口诀相反，这都是移项造成的。其实平面直角坐标系中，图象不管是往y 轴正方向还是往x 轴正方向平移，相应的y 、x 就要减去相应的数，反之则加上相应的数。我把这一特点称为：“逆向原则”。下面我来证明它的正确性：
将函数y =f (x ) 的图象先向向上移b 个单位长度，再左平移a 个单位长度。
设P (x 0, y 0) 为函数y =f (x ) 图象上任意一点，它经向上移b 个单位长度，再向左平移a 个单位长度后
⎧x 0-a =x ⎧x 0=x +a 变为Q (x , y ) 点，则有：⎨ 解得：⎨ y +b =y y =y -b ⎩0⎩0
又因为P (x 0, y 0) 在函数y =f (x ) 图象上，则有y 0=f (x 0)
代入得：y -b =f (x +a )
所以将函数y =f (x ) 的图象先向上移b 个单位长度，再向左平移a 个单位长度所得的函数为y -b =f (x +a ) 。下移与右移可以类比证明。
综上，平移的规则是：1、靠近原则（注意要最近，也就是能最先计算）；
2、逆向原则（即左加右减，上减下加）
经过不断地实践，我还发现，不仅平移变换服从这两个原则，伸缩变换也是服从的。如：
例3. 将函数y =sin x 图象纵坐标伸长为原来的3倍。横坐标缩短为原来的1倍，求所得的解析式？ 2
分析：伸缩变换在靠近原则的前提下，逆向原则即是除相应的变化倍数（即乘以相应变化倍数的倒数）。原解析式应变为：1y x =sin ， 即 y =sin 2x 。 133
2
我们习惯写成y =3sin 2x
由此可见，函数的平移伸缩都服从这两个原则，即
1、靠近原则，（注意要最近，也就是能最先计算）；
2、逆向原则（即平移：左加右减，上减下加；伸缩：函数图象伸长为原来的k 倍，相应的变量乘以函数图象缩短为原来的1，k 1倍，相应的变量乘以k ）。 k
我们来看一道高考题，检验我们的两个原则对函数的平移伸缩是否有效：
（2013福建理20）. 已知函数f (x ) =sin(wx +φ)(w >0,0
个π单位长度后得到函数g (x ) 的图象。 2
（1）求函数f (x ) 与g (x ) 的解析式
解：由题周期为T =π，ω>0, ω=2π⎛π⎫=2，又因为函数图象的一个对称中心为 ,0⎪，0
f () =sin(2⨯+ϕ) =0，解得ϕ=。所以f (x ) =cos 2x 。 442
将函数f (x ) =cos 2x 图象横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变可得y =cos x 的图象，再将y =cos x 的图象向右平移πππππ个单位长度后得到g (x ) =cos(x -) ，即g (x ) =sin x 22
以上例题是基于三角函数来说明的，但是靠近原则与逆向原则也可以应用到其他类型，函数的平移伸缩当中。这两个原则便于学生缕清平移伸缩变换的本质，进一步认识到图像变换与函数解析式的变换联系。
函数的平移伸缩变换口诀之再优化
关键词：靠近原则，逆向原则。
在教授三角函数y =A sin(ωx +ϕ) 的图象这部分内容的时候碰到的平移、伸缩变换问题，学生频繁出现失误，加减乘除总是放到了本不应该出现的位置。于是我思考着：是否有一个更好地方法，更标准的规则，让学生易记不易错呢？
我们知道，对于函数的平移，有口诀：“左加右减，上加下减。”如：
例1. 将函数y =sin x 图象先向上移1个单位长度，再右移
答案：y =sin(x -π个单位长度，求所得图象的函数解析式？ 3π
3) +1
其实以上平移口诀的前提是：左右是针对x 的平移，加或减都在x 的附近进行；而上下是针对y 的平移，在原函数式的最后进行加减，其实这个数也可以移到y 的一侧，直接在y 附近加减。也就是说上面的式子我们也可以写成：y -1=sin(x -π
3) 。
通过这个式子，我发现了两个平移的规律：
一、靠近原则。
确定变化的位置，针对哪个变量变换，就在那个变量最近的位置上变换。这里我再次强调“最近”两个字。其实就是运算先后的问题。如：
例2. 将函数y =sin 2x 的图象左移
错解：y =sin(2x +
错在π个单位长度，求所得图象的函数解析式？ 3π3) 。 π并不是离x 最近的，因为2离x 更近，那么要让2远离，可采用加括号的办法。 3
π正解：y =sin 2(x +) 。 3
二、逆向原则。
我们看如果把例1的答案写成：y -1=sin(x -π
3) 的形式，发现在靠近原则的前提下针对x 平移仍然
是左加右减；针对y 的平移变成了上减下加，与原口诀相反，这都是移项造成的。其实平面直角坐标系中，图象不管是往y 轴正方向还是往x 轴正方向平移，相应的y 、x 就要减去相应的数，反之则加上相应的数。我把这一特点称为：“逆向原则”。下面我来证明它的正确性：
将函数y =f (x ) 的图象先向向上移b 个单位长度，再左平移a 个单位长度。
设P (x 0, y 0) 为函数y =f (x ) 图象上任意一点，它经向上移b 个单位长度，再向左平移a 个单位长度后
⎧x 0-a =x ⎧x 0=x +a 变为Q (x , y ) 点，则有：⎨ 解得：⎨ y +b =y y =y -b ⎩0⎩0
又因为P (x 0, y 0) 在函数y =f (x ) 图象上，则有y 0=f (x 0)
代入得：y -b =f (x +a )
所以将函数y =f (x ) 的图象先向上移b 个单位长度，再向左平移a 个单位长度所得的函数为y -b =f (x +a ) 。下移与右移可以类比证明。
综上，平移的规则是：1、靠近原则（注意要最近，也就是能最先计算）；
2、逆向原则（即左加右减，上减下加）
经过不断地实践，我还发现，不仅平移变换服从这两个原则，伸缩变换也是服从的。如：
例3. 将函数y =sin x 图象纵坐标伸长为原来的3倍。横坐标缩短为原来的1倍，求所得的解析式？ 2
分析：伸缩变换在靠近原则的前提下，逆向原则即是除相应的变化倍数（即乘以相应变化倍数的倒数）。原解析式应变为：1y x =sin ， 即 y =sin 2x 。 133
2
我们习惯写成y =3sin 2x
由此可见，函数的平移伸缩都服从这两个原则，即
1、靠近原则，（注意要最近，也就是能最先计算）；
2、逆向原则（即平移：左加右减，上减下加；伸缩：函数图象伸长为原来的k 倍，相应的变量乘以函数图象缩短为原来的1，k 1倍，相应的变量乘以k ）。 k
我们来看一道高考题，检验我们的两个原则对函数的平移伸缩是否有效：
（2013福建理20）. 已知函数f (x ) =sin(wx +φ)(w >0,0
个π单位长度后得到函数g (x ) 的图象。 2
（1）求函数f (x ) 与g (x ) 的解析式
解：由题周期为T =π，ω>0, ω=2π⎛π⎫=2，又因为函数图象的一个对称中心为 ,0⎪，0
f () =sin(2⨯+ϕ) =0，解得ϕ=。所以f (x ) =cos 2x 。 442
将函数f (x ) =cos 2x 图象横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变可得y =cos x 的图象，再将y =cos x 的图象向右平移πππππ个单位长度后得到g (x ) =cos(x -) ，即g (x ) =sin x 22
以上例题是基于三角函数来说明的，但是靠近原则与逆向原则也可以应用到其他类型，函数的平移伸缩当中。这两个原则便于学生缕清平移伸缩变换的本质，进一步认识到图像变换与函数解析式的变换联系。