数学必修4——三角函数的图像与性质
1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像
2. 三角函数的单调区间：
的递增区间是，
递减区间是；
的递增区间是，
递减区间是
的递增区间是，
3. 函数
最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。
4. 由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin （ωx ＋
途径，才能灵活地进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现. 无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
途径一：先平移变换再周期变换（伸缩变换）
先将y ＝sin x 的图象向左（＞0）或向右（＜0＝平移｜｜个单位，再将图象）的图象一般有两个途径，只有区别开这两个上各点的横坐标变为原来的倍（ω＞0），便得到y ＝sin （ωx ＋）的图象。 途径二：先周期变换（伸缩变换）再平移变换。
先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的倍（ω＞0），再沿x 轴向左（＞0）或向右（＜0，平移个单位，便得到y ＝sin （ωx ＋）的图象。
5. 对称轴与对称中心：
的对称轴为，对称中心为；
的对称轴为，对称中心为；
对于
值点相联系。 和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最
6. 五点法作y =A sin （ωx +）的简图：
五点法是设X=ωx +，由X 取0、
值，再描点作图。
、π、、2π来求相应的x 值及对应的y
【典型例题】
例1. 把函数y =cos（x +
值是（ ） ）的图象向左平移个单位，所得的函数为偶函数，则的最小
A. B. C. D.
解：先写出向左平移4个单位后的解析式，再利用偶函数的性质求解。
向左平移个单位后的解析式为y =cos（x ++）
则cos （－x ++）=cos（x ++），
cos x cos （+）+sinx sin （+）=cosx cos （+）－sin x sin （+） ∴sin x sin （+）=0，x ∈R.
∴+=k π，∴=k π－＞0
∴k ＞，∴k =2，∴=
答案：B
例2. 试述如何由y =sin （2x +）的图象得到y =sinx 的图象。
解：y =sin （2x +）
另法答案：
（1）先将y =sin （2x +）的图象向右平移个单位，得y =sin2x 的图象；
（2）再将y =sin2x 上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得y =sin x 的图象；
（3）再将y =sin x 图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到y =sinx 的图象。
例3. 求函数y =sin4x +2sin x cos x －cos 4x 的最小正周期和最小值；并写出该函数在［0，π
］
上的单调递增区间。
解：y =sin4x +2sin x cos x －cos 4x
=（sin 2x +cos2x ）（sin 2x －cos 2x ）+sin2x
=sin2x －cos2x
=2sin（2x －）.
故该函数的最小正周期是π；最小值是－2；单调递增区间是［0，］，［，π］ 点评：把三角函数式化简为y =A sin （ωx +）+k （ω＞0）是解决周期、最值、单调区间问题的常用方法。
例4. 已知电流I 与时间t 的关系式为。
（1）下图是（ω＞0，）
在一个周期内的图象，根据图中数据求
的解析式；
（2）如果t 在任意一段秒的时间内，电流都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
解：本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力。
（１）由图可知 A ＝300
设t 1＝－，t 2＝
则周期T ＝2（t 2－t 1）＝2（＋）＝
∴ω＝＝150π
将点代入
∴＝
故所求的解析式为
（2）依题意，周期T ≤，即≤，（ω>0）
∴ω≥300π＞942，又ω∈N *
故最小正整数ω＝943．
点评：本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言．其中，读图、识图、用图是形数结合的有效途径。
【模拟试题】
1. 在（0，2π）内，使sin x ＞cos x 成立的x 的取值范围是（ ）
A. （，）∪（π，） B. （，π）
C. （，） D. （，π）∪（，）
2. 如果函数f （x ）=sin（πx +θ）（0＜θ＜2π＝的最小正周期是T ，且当x =2时取得最大值，那么（ ）
A. T =2，θ= B. T =1，θ=π C. T =2，θ=π D. T =1，θ=
3. 设函数f （x ）=A +B sin x ，若B ＜0时，（x ）f 的最大值是
B =_______。 ，最小值是－，则A =_______，
4. 已知函数y =tan（2x +）的图象过点（，0），则可以是（ ）
A. － B. C. － D.
5. 函数y =sin（－2x ）+sin2x 的最小正周期是（ ）
A. 2π B. π C. D. 4π
6. 若f （x ）sin x 是周期为π的奇函数，则f （x ）可以是（ ）
A. sinx B. cosx C. sin2x D. cos2x
7. 函数y =2sin（－2x ）（x ∈［0，π］）为增函数的区间是（ ）
A. ［0，］ B. ［，］
C. ［，］ D. ［，π］
8. 把y =sinx 的图象向左平移个单位，得到函数__________的图象；再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数__________的图象。
9. 函数y =lg（cos x －sin x ）的定义域是_______.
10. f （x ）=2cos2x +
的值等于（ ） sin2x +a （a 为实常数）在区间［0，］上的最小值为－4，那么a
A. 4 B. －6 C. －4 D. －3
【试题答案】
1. 答案：C
2. 解析：T ==2，又当x =2时，sin （π·2+θ）=sin（2π+θ）=sinθ，要使上式取得最大值，可取θ=
答案：A 。
3. 解析：根据题意，由可得结论
答案： －1
4. 解析：将（
答案：A ，0）代入原函数可得，tan （+）=0，再将A 、B 、C 、D 代入检验即可。
5. 解析：y =
答案：B
6. 答案：B cos2x －sin2x +sin2x =cos2x +sin2x =sin（+2x ），T =π.
7. 解析：对于y =2sin（－2x ）=－2sin （2x －），其增区间可由y =2sin（2x －）的减区间得到，即2k π+≤2x －≤2k π+，k ∈Z 。
∴k π+
答案：C ≤x ≤k π+，k ∈Z. 令k =0，故选C.
8. 解析：向左平移个单位，即以x +代x ，得到函数y =sin（x +），再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，即以x 代x ，得到函数：y =sin（x +）。
答案：y =sin（x +） y =sin（x +）
9. 解析：由cos x －sin x ＞0cos x ＞sin x . 由图象观察，知2k π－＜x ＜2k π+（k ∈Z ）
答案：2k π－＜x ＜2k π+（k ∈Z ）
10. 解析：f （x ）=1+cos2x +sin2x +a =2sin（2x +）+a +1.
∵x ∈［0，］，∴2x +∈［，］.
∴f （x ）的最小值为2×（－
∴a =－4. ）+a +1=－4
数学必修4——三角函数的图像与性质
1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像
2. 三角函数的单调区间：
的递增区间是，
递减区间是；
的递增区间是，
递减区间是
的递增区间是，
3. 函数
最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。
4. 由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin （ωx ＋
途径，才能灵活地进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现. 无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
途径一：先平移变换再周期变换（伸缩变换）
先将y ＝sin x 的图象向左（＞0）或向右（＜0＝平移｜｜个单位，再将图象）的图象一般有两个途径，只有区别开这两个上各点的横坐标变为原来的倍（ω＞0），便得到y ＝sin （ωx ＋）的图象。 途径二：先周期变换（伸缩变换）再平移变换。
先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的倍（ω＞0），再沿x 轴向左（＞0）或向右（＜0，平移个单位，便得到y ＝sin （ωx ＋）的图象。
5. 对称轴与对称中心：
的对称轴为，对称中心为；
的对称轴为，对称中心为；
对于
值点相联系。 和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最
6. 五点法作y =A sin （ωx +）的简图：
五点法是设X=ωx +，由X 取0、
值，再描点作图。
、π、、2π来求相应的x 值及对应的y
【典型例题】
例1. 把函数y =cos（x +
值是（ ） ）的图象向左平移个单位，所得的函数为偶函数，则的最小
A. B. C. D.
解：先写出向左平移4个单位后的解析式，再利用偶函数的性质求解。
向左平移个单位后的解析式为y =cos（x ++）
则cos （－x ++）=cos（x ++），
cos x cos （+）+sinx sin （+）=cosx cos （+）－sin x sin （+） ∴sin x sin （+）=0，x ∈R.
∴+=k π，∴=k π－＞0
∴k ＞，∴k =2，∴=
答案：B
例2. 试述如何由y =sin （2x +）的图象得到y =sinx 的图象。
解：y =sin （2x +）
另法答案：
（1）先将y =sin （2x +）的图象向右平移个单位，得y =sin2x 的图象；
（2）再将y =sin2x 上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得y =sin x 的图象；
（3）再将y =sin x 图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到y =sinx 的图象。
例3. 求函数y =sin4x +2sin x cos x －cos 4x 的最小正周期和最小值；并写出该函数在［0，π
］
上的单调递增区间。
解：y =sin4x +2sin x cos x －cos 4x
=（sin 2x +cos2x ）（sin 2x －cos 2x ）+sin2x
=sin2x －cos2x
=2sin（2x －）.
故该函数的最小正周期是π；最小值是－2；单调递增区间是［0，］，［，π］ 点评：把三角函数式化简为y =A sin （ωx +）+k （ω＞0）是解决周期、最值、单调区间问题的常用方法。
例4. 已知电流I 与时间t 的关系式为。
（1）下图是（ω＞0，）
在一个周期内的图象，根据图中数据求
的解析式；
（2）如果t 在任意一段秒的时间内，电流都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
解：本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力。
（１）由图可知 A ＝300
设t 1＝－，t 2＝
则周期T ＝2（t 2－t 1）＝2（＋）＝
∴ω＝＝150π
将点代入
∴＝
故所求的解析式为
（2）依题意，周期T ≤，即≤，（ω>0）
∴ω≥300π＞942，又ω∈N *
故最小正整数ω＝943．
点评：本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言．其中，读图、识图、用图是形数结合的有效途径。
【模拟试题】
1. 在（0，2π）内，使sin x ＞cos x 成立的x 的取值范围是（ ）
A. （，）∪（π，） B. （，π）
C. （，） D. （，π）∪（，）
2. 如果函数f （x ）=sin（πx +θ）（0＜θ＜2π＝的最小正周期是T ，且当x =2时取得最大值，那么（ ）
A. T =2，θ= B. T =1，θ=π C. T =2，θ=π D. T =1，θ=
3. 设函数f （x ）=A +B sin x ，若B ＜0时，（x ）f 的最大值是
B =_______。 ，最小值是－，则A =_______，
4. 已知函数y =tan（2x +）的图象过点（，0），则可以是（ ）
A. － B. C. － D.
5. 函数y =sin（－2x ）+sin2x 的最小正周期是（ ）
A. 2π B. π C. D. 4π
6. 若f （x ）sin x 是周期为π的奇函数，则f （x ）可以是（ ）
A. sinx B. cosx C. sin2x D. cos2x
7. 函数y =2sin（－2x ）（x ∈［0，π］）为增函数的区间是（ ）
A. ［0，］ B. ［，］
C. ［，］ D. ［，π］
8. 把y =sinx 的图象向左平移个单位，得到函数__________的图象；再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数__________的图象。
9. 函数y =lg（cos x －sin x ）的定义域是_______.
10. f （x ）=2cos2x +
的值等于（ ） sin2x +a （a 为实常数）在区间［0，］上的最小值为－4，那么a
A. 4 B. －6 C. －4 D. －3
【试题答案】
1. 答案：C
2. 解析：T ==2，又当x =2时，sin （π·2+θ）=sin（2π+θ）=sinθ，要使上式取得最大值，可取θ=
答案：A 。
3. 解析：根据题意，由可得结论
答案： －1
4. 解析：将（
答案：A ，0）代入原函数可得，tan （+）=0，再将A 、B 、C 、D 代入检验即可。
5. 解析：y =
答案：B
6. 答案：B cos2x －sin2x +sin2x =cos2x +sin2x =sin（+2x ），T =π.
7. 解析：对于y =2sin（－2x ）=－2sin （2x －），其增区间可由y =2sin（2x －）的减区间得到，即2k π+≤2x －≤2k π+，k ∈Z 。
∴k π+
答案：C ≤x ≤k π+，k ∈Z. 令k =0，故选C.
8. 解析：向左平移个单位，即以x +代x ，得到函数y =sin（x +），再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，即以x 代x ，得到函数：y =sin（x +）。
答案：y =sin（x +） y =sin（x +）
9. 解析：由cos x －sin x ＞0cos x ＞sin x . 由图象观察，知2k π－＜x ＜2k π+（k ∈Z ）
答案：2k π－＜x ＜2k π+（k ∈Z ）
10. 解析：f （x ）=1+cos2x +sin2x +a =2sin（2x +）+a +1.
∵x ∈［0，］，∴2x +∈［，］.
∴f （x ）的最小值为2×（－
∴a =－4. ）+a +1=－4