巧用直接法求轨迹方程
□ 江苏苏州 王祥林
用直接法求轨迹方程就是根据轨迹的条件，能够直接找到动点坐标之间的关系，从而得到所求的轨迹方程. 其步骤为：建立坐标系，写出动点P （x,y ）的坐标，然后根据已知条件写出等式，得出x 、y 之间的关系，化简后即得所求的轨迹方程，而已知条件是指题设的要求，有时要借助平面几何的有关定理，分析出数量关系.
一、代入题设中的已知等式
若动点的规律由题设中的已知等式明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹.
例1 动点P （x,y ）到两定点A （－3，0）和B （3，0）的距离的比等于2（即
的轨迹方程？
22解：∵|P A |=(x +3) +y , |PB |=|PA |，求动点P =2）|PB |(x -3) 2+y 2 (x +3) 2+y 2|PA |=2⇒(x +3) 2+y 2=4(x -3) 2+4y 2 =2得代入|PB |(x -3) 2+y 2
化简得（x －5）2+y 2=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4为半径的圆.
二、列出符合题设条件的等式
有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程.
例2 动点P 到一高为h 的等边△ABC 两顶点A 、B 的距离的平方和等于它到
顶点C 的距离平方，求点P 的轨迹？
解 以C 为原点，AB 上的高线CD 所在直线为x 轴建立直角坐标系
设动点P （x,y ），则A （h , h
3），B （h , -h
3）列出等式
PA 2+PB 2=PC 2⇒(x -h ) 2+(y -
化简得(x -2h ) +y =22h 3) 2+(x -h ) 2+(y +h 3) 2=x 2+y 2 42h 3
三、运用有关公式
有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程. 例3 △ABC 的两顶点是B （－3，0），（3，0），两底角B 、C 之和恒为135°，求第三顶点A 的轨迹方程.
解 ∵∠B +∠C =135°，∴∠P =45°，k PB =y y , k PC = x +3x -3
y y -
tg45︒
=x -3x +3
y y 1+⋅代入二直线交角公式x -3x +3
=6y
x 2-9+y 2
化简得x 2+(y +3) 2=18(y 0) 或x 2+(y -3) 2=18(y 0)
轨迹是两条优弧，B 、C 两点是轨迹的极限点.
四、借助平几中的有关定理和性质
有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.
例4 一条线段AB 的长等于2a , 两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，
求AB 中点P 的轨迹方程？
解 由平几的中线定理：在直角三角形AOB 中，OM=1
2AB =1
2⨯2a =a ,
∴x 2+y 2=a , x 2+y 2=a 2
M 点的轨迹是以O 为圆心，a 为半径的圆周.
巧用直接法求轨迹方程
□ 江苏苏州 王祥林
用直接法求轨迹方程就是根据轨迹的条件，能够直接找到动点坐标之间的关系，从而得到所求的轨迹方程. 其步骤为：建立坐标系，写出动点P （x,y ）的坐标，然后根据已知条件写出等式，得出x 、y 之间的关系，化简后即得所求的轨迹方程，而已知条件是指题设的要求，有时要借助平面几何的有关定理，分析出数量关系.
一、代入题设中的已知等式
若动点的规律由题设中的已知等式明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹.
例1 动点P （x,y ）到两定点A （－3，0）和B （3，0）的距离的比等于2（即
的轨迹方程？
22解：∵|P A |=(x +3) +y , |PB |=|PA |，求动点P =2）|PB |(x -3) 2+y 2 (x +3) 2+y 2|PA |=2⇒(x +3) 2+y 2=4(x -3) 2+4y 2 =2得代入|PB |(x -3) 2+y 2
化简得（x －5）2+y 2=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4为半径的圆.
二、列出符合题设条件的等式
有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程.
例2 动点P 到一高为h 的等边△ABC 两顶点A 、B 的距离的平方和等于它到
顶点C 的距离平方，求点P 的轨迹？
解 以C 为原点，AB 上的高线CD 所在直线为x 轴建立直角坐标系
设动点P （x,y ），则A （h , h
3），B （h , -h
3）列出等式
PA 2+PB 2=PC 2⇒(x -h ) 2+(y -
化简得(x -2h ) +y =22h 3) 2+(x -h ) 2+(y +h 3) 2=x 2+y 2 42h 3
三、运用有关公式
有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程. 例3 △ABC 的两顶点是B （－3，0），（3，0），两底角B 、C 之和恒为135°，求第三顶点A 的轨迹方程.
解 ∵∠B +∠C =135°，∴∠P =45°，k PB =y y , k PC = x +3x -3
y y -
tg45︒
=x -3x +3
y y 1+⋅代入二直线交角公式x -3x +3
=6y
x 2-9+y 2
化简得x 2+(y +3) 2=18(y 0) 或x 2+(y -3) 2=18(y 0)
轨迹是两条优弧，B 、C 两点是轨迹的极限点.
四、借助平几中的有关定理和性质
有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.
例4 一条线段AB 的长等于2a , 两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，
求AB 中点P 的轨迹方程？
解 由平几的中线定理：在直角三角形AOB 中，OM=1
2AB =1
2⨯2a =a ,
∴x 2+y 2=a , x 2+y 2=a 2
M 点的轨迹是以O 为圆心，a 为半径的圆周.