解析几何中求轨迹方程的常见方法
一、直接法
当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法. 例1 已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切
线长与MQ 的比等于常数λ(λ>0)（如图），求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线．
1解：设M （x ，y ），直线MN 切圆C 于N ，则有
MN MQ
=λ，即
MO -ON
MQ
22
=λ，
x 2+y 2-1(x -2) 2+y 2
=λ．整理得(λ2-1) x 2+(λ2-1) y 2-4λ2x +(1+4λ2) =0，这就是动点
M 的轨迹方程．
若λ=1，方程化为x =
55
，它表示过点(, 0) 和x 轴垂直的一条直线； 44
2λ22λ221+3λ2+3λ22
, 0) 2若λ≠1，方程化为， 它表示以(2（x －2）+y =2
2
λ-1λ-1(λ-1) λ-为半径的圆．
二、定义法
定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程. 例2
已知∆ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若a , c , b 依次构成等差数列，且a >c >b ，AB =2，求顶点C 的轨迹方程.
1
2解：如右图，以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点为原点建立直角坐标系. 由题意，a , c , b 构成等差数列，∴2c =a +b （两定点的距离等于定长—椭圆），即
|CA |+|CB |=2|AB |=4，又CB >CA ，∴C 的轨迹为椭圆的左半部分. 在此椭圆中，x 2y 2
+=1(x
三、点差法
将直线与圆锥曲线的交点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差, 得到一个与弦的中点和斜率有关的式子, 可以大大减少运算量. 我们称这种代点作差的方法为" 点差法" 。
例3 抛物线y 2=4x 焦点弦的中点轨迹方程是
四、几何法
几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程.
例4 已知点A (-3, 2) 、B (1, -4) ，过A 、B 作两条互相垂直的直线l 1和l 2，求l 1和l 2的交点M 的轨迹方程.
2
五、参数法
参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标x , y 间建
立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到x , y 间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.
例5 过抛物线y 2=2px （p >0）的顶点O 作两条互相垂直的弦OA 、OB ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.
例6 设椭圆中心为原点O ，一个焦点为F （0，1），长轴和短轴的长度之比为t ．
（1）求椭圆的方程；
（2）设经过原点且斜率为t 的直线与椭圆在y 轴右边部分的交点为Q ，点P 在该直线上，且什么图形．
3
OP OQ
=t t 2-1，当t 变化时，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是
六、交轨法
求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.
x 2y 2
例7 如右图，垂直于x 轴的直线交双曲线2-2=1于M 、N 两点，A 1, A 2为
a b 双曲线的左、右顶点，求直线A 1M 与A 2N 的交点P 的轨迹方程，并指出轨迹的形状.
例8 已知两点P (-2, 2), Q (0, 2) 以及一条直线ι：y =x ，设长为2
的线段AB 在直线λ上移动，求直线PA 和QB 交点M 的轨迹方程．
4
七、代入法
当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点P 的坐标x , y 来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点P 的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法.
例9 如图，从双曲线C :x 2-y 2=1上一点Q 引直线l :x +y =2的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程.
例10 已知抛物线y
2=x +1，定点A （3，1），B 为抛物线上任意一点，点P 在线段AB 上，且有BP :PA =1:2，当点B 在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线．
5
⎧y 12=4x 1
3解： 设弦端点A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，AB 中点为M (x , y ) ，则⎨2
⎩y 2=4x 2⎧y 1+y 2=2y
y 1-y 22
y 所以y =2(x -1) (y 1+y 2)=4 因为⎪⎨y 1-y 2
x 1-x 2
⎪x -x =x -1⎩12
4解：由平面几何知识可知，当∆ABM 为直角三角形时，点M 的轨迹是以AB 为直径的圆. 此圆的圆心即为AB 的中点(-1, -1) ，半径为
1，方程为AB =
22
(x +1) 2+(y +1) 2=13. 故M 的轨迹方程为(x +1) 2+(y +1) 2=13.
5解：设M (x , y ) ，直线OA 的斜率为k (k ≠0) ，则直线OB 的斜率为-
⎧
x =⎧y =kx ⎪⎪的方程为y =kx ，由⎨2解得⎨
⎩y =2px ⎪y =
⎪⎩
1
. 直线OA k
2p
k 2，即A (2p , 2p ) ，同理可得
k 2k 2p
k
B (2pk 2, -2pk ) .
⎧x =⎪⎪由中点坐标公式，得⎨⎪y =⎪⎩
p
+pk 22k ，消去k ，得y 2=p (x -2p ) ，此即点M 的轨p
-pk k
迹方程.
⎧a 2-b 2=1,
y x ⎪
6解：（1）设所求椭圆方程为2+2=1(a ＞b ＞0). 由题意得⎨a 解得
a b ⎪=t ,
⎩b
2
2
⎧2t 2a =2. ⎪⎪t -1所以椭圆方程为t 2(t 2-1) x 2+(t 2-1) y 2=t 2． ⎨
⎪b 2=1. ⎪t 2-1⎩
⎧t 2(t 2-1) x 12+(t 2-1) y 12=t 2,
(2)设点P (x , y ), Q (x 1, y 1), 解方程组⎨得
⎩y 1=tx 1,
6
1⎧t ⎧⎧x =, x =x =-⎪12⎪⎪2(t -1) OP OP x 2⎪⎪⎪2
由和得=t t -1=或⎨⎨⎨2
t OQ OQ x t 1⎪y =⎪y =⎪y =-. , 1
⎪⎪2(t 2-1) 2⎪⎩⎩⎩
其中t ＞1．消去t ，得点P 轨迹方程为x 2=
t 2t
2
,
2
,
22
y (x >) 和22
x 2=-
2222
右侧的部分和y (x
22
在侧的部分． y 在直线x =-22
抛物线x 2=-
7解：设P (x , y ) 及M (x 1, y 1), N (x 1, -y 1) ，又A 1(-a , 0), A 2(a , 0) ，可得 直线A 1M 的方程为y =
y 1
(x +a ) ------①； x 1+a
-y 1
(x -a ) ------②. x 1+a
直线A 2N 的方程为y =
-y 12
由①x ②得y =2(x 2-a 2) ---------③. 2
x 1-a
2
x 12y 12b 22b 22222
又 2-2=1, ∴-y 1=2(a -x 1) ，代入③得y =-2(x -a 2) ，化简得
a b a a x 2y 2
+2=1，此即点P 的轨迹方程. 2a b
当a =b 时，点P 的轨迹是以原点为圆心、a 为半径的圆； 当a ≠b 时，点P 的轨迹是椭圆.
8解： PA 和QB 的交点M （x ，y ）随A 、B 的移动而变化，故可设A (t , t ), B (t +1, t +1) ，则PA ：y -2=
t -2t -1
(x +2)(t ≠-2), QB ：y -2=x (t ≠-1). 消去t ，得t +2t +1
或t =－1时，PA 与QB 的交点坐标也满足上式，x 2-y 2+2x -2y +8=0. 当t =－2，
7
所以点M 的轨迹方程是x 2-y 2+2x -2x -2y +8=0.
9解：设P (x , y ) ，Q(x 1, y 1) ，则N (2x -x 1, 2y -y 1) . 因为N 在直线l 上，
∴2x -x 1+2y -y 1=2. ----① 又PN ⊥l 得
3x +y -2⎧x =⎪⎪12⎨
⎪y =3y +x -21⎪2⎩
y -y 1
=1, 即x -y +y 1-x 1=0.---② x -x 1
上，
联解①②得. 又点Q 在双曲线C
∴(
3x +y -223y +x -22
) -() =1，化简整理得：2x 2-2y 2-2x +2y -1=0，此即22
动点P 的轨迹方程.
10解：设P (x , y ), B (x 1, y 1) ，由题设，P 分线段AB 的比λ=
AP
=2，∴ PB
x =
3+2x 11+2y 13331
, y =. 解得x 1=x -, y 1=y -. 又点B 在抛物线y 2=x +1
22221+21+2
3133
上，其坐标适合抛物线方程，∴ (y -) 2=(x -) +1. 整理得点P 的轨迹方
2222
121
程为(y -) 2=(x -), 其轨迹为抛物线．
333
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解析几何中求轨迹方程的常见方法
一、直接法
当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法. 例1 已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切
线长与MQ 的比等于常数λ(λ>0)（如图），求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线．
1解：设M （x ，y ），直线MN 切圆C 于N ，则有
MN MQ
=λ，即
MO -ON
MQ
22
=λ，
x 2+y 2-1(x -2) 2+y 2
=λ．整理得(λ2-1) x 2+(λ2-1) y 2-4λ2x +(1+4λ2) =0，这就是动点
M 的轨迹方程．
若λ=1，方程化为x =
55
，它表示过点(, 0) 和x 轴垂直的一条直线； 44
2λ22λ221+3λ2+3λ22
, 0) 2若λ≠1，方程化为， 它表示以(2（x －2）+y =2
2
λ-1λ-1(λ-1) λ-为半径的圆．
二、定义法
定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程. 例2
已知∆ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若a , c , b 依次构成等差数列，且a >c >b ，AB =2，求顶点C 的轨迹方程.
1
2解：如右图，以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点为原点建立直角坐标系. 由题意，a , c , b 构成等差数列，∴2c =a +b （两定点的距离等于定长—椭圆），即
|CA |+|CB |=2|AB |=4，又CB >CA ，∴C 的轨迹为椭圆的左半部分. 在此椭圆中，x 2y 2
+=1(x
三、点差法
将直线与圆锥曲线的交点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差, 得到一个与弦的中点和斜率有关的式子, 可以大大减少运算量. 我们称这种代点作差的方法为" 点差法" 。
例3 抛物线y 2=4x 焦点弦的中点轨迹方程是
四、几何法
几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程.
例4 已知点A (-3, 2) 、B (1, -4) ，过A 、B 作两条互相垂直的直线l 1和l 2，求l 1和l 2的交点M 的轨迹方程.
2
五、参数法
参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标x , y 间建
立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到x , y 间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.
例5 过抛物线y 2=2px （p >0）的顶点O 作两条互相垂直的弦OA 、OB ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.
例6 设椭圆中心为原点O ，一个焦点为F （0，1），长轴和短轴的长度之比为t ．
（1）求椭圆的方程；
（2）设经过原点且斜率为t 的直线与椭圆在y 轴右边部分的交点为Q ，点P 在该直线上，且什么图形．
3
OP OQ
=t t 2-1，当t 变化时，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是
六、交轨法
求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.
x 2y 2
例7 如右图，垂直于x 轴的直线交双曲线2-2=1于M 、N 两点，A 1, A 2为
a b 双曲线的左、右顶点，求直线A 1M 与A 2N 的交点P 的轨迹方程，并指出轨迹的形状.
例8 已知两点P (-2, 2), Q (0, 2) 以及一条直线ι：y =x ，设长为2
的线段AB 在直线λ上移动，求直线PA 和QB 交点M 的轨迹方程．
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七、代入法
当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点P 的坐标x , y 来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点P 的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法.
例9 如图，从双曲线C :x 2-y 2=1上一点Q 引直线l :x +y =2的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程.
例10 已知抛物线y
2=x +1，定点A （3，1），B 为抛物线上任意一点，点P 在线段AB 上，且有BP :PA =1:2，当点B 在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线．
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⎧y 12=4x 1
3解： 设弦端点A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，AB 中点为M (x , y ) ，则⎨2
⎩y 2=4x 2⎧y 1+y 2=2y
y 1-y 22
y 所以y =2(x -1) (y 1+y 2)=4 因为⎪⎨y 1-y 2
x 1-x 2
⎪x -x =x -1⎩12
4解：由平面几何知识可知，当∆ABM 为直角三角形时，点M 的轨迹是以AB 为直径的圆. 此圆的圆心即为AB 的中点(-1, -1) ，半径为
1，方程为AB =
22
(x +1) 2+(y +1) 2=13. 故M 的轨迹方程为(x +1) 2+(y +1) 2=13.
5解：设M (x , y ) ，直线OA 的斜率为k (k ≠0) ，则直线OB 的斜率为-
⎧
x =⎧y =kx ⎪⎪的方程为y =kx ，由⎨2解得⎨
⎩y =2px ⎪y =
⎪⎩
1
. 直线OA k
2p
k 2，即A (2p , 2p ) ，同理可得
k 2k 2p
k
B (2pk 2, -2pk ) .
⎧x =⎪⎪由中点坐标公式，得⎨⎪y =⎪⎩
p
+pk 22k ，消去k ，得y 2=p (x -2p ) ，此即点M 的轨p
-pk k
迹方程.
⎧a 2-b 2=1,
y x ⎪
6解：（1）设所求椭圆方程为2+2=1(a ＞b ＞0). 由题意得⎨a 解得
a b ⎪=t ,
⎩b
2
2
⎧2t 2a =2. ⎪⎪t -1所以椭圆方程为t 2(t 2-1) x 2+(t 2-1) y 2=t 2． ⎨
⎪b 2=1. ⎪t 2-1⎩
⎧t 2(t 2-1) x 12+(t 2-1) y 12=t 2,
(2)设点P (x , y ), Q (x 1, y 1), 解方程组⎨得
⎩y 1=tx 1,
6
1⎧t ⎧⎧x =, x =x =-⎪12⎪⎪2(t -1) OP OP x 2⎪⎪⎪2
由和得=t t -1=或⎨⎨⎨2
t OQ OQ x t 1⎪y =⎪y =⎪y =-. , 1
⎪⎪2(t 2-1) 2⎪⎩⎩⎩
其中t ＞1．消去t ，得点P 轨迹方程为x 2=
t 2t
2
,
2
,
22
y (x >) 和22
x 2=-
2222
右侧的部分和y (x
22
在侧的部分． y 在直线x =-22
抛物线x 2=-
7解：设P (x , y ) 及M (x 1, y 1), N (x 1, -y 1) ，又A 1(-a , 0), A 2(a , 0) ，可得 直线A 1M 的方程为y =
y 1
(x +a ) ------①； x 1+a
-y 1
(x -a ) ------②. x 1+a
直线A 2N 的方程为y =
-y 12
由①x ②得y =2(x 2-a 2) ---------③. 2
x 1-a
2
x 12y 12b 22b 22222
又 2-2=1, ∴-y 1=2(a -x 1) ，代入③得y =-2(x -a 2) ，化简得
a b a a x 2y 2
+2=1，此即点P 的轨迹方程. 2a b
当a =b 时，点P 的轨迹是以原点为圆心、a 为半径的圆； 当a ≠b 时，点P 的轨迹是椭圆.
8解： PA 和QB 的交点M （x ，y ）随A 、B 的移动而变化，故可设A (t , t ), B (t +1, t +1) ，则PA ：y -2=
t -2t -1
(x +2)(t ≠-2), QB ：y -2=x (t ≠-1). 消去t ，得t +2t +1
或t =－1时，PA 与QB 的交点坐标也满足上式，x 2-y 2+2x -2y +8=0. 当t =－2，
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所以点M 的轨迹方程是x 2-y 2+2x -2x -2y +8=0.
9解：设P (x , y ) ，Q(x 1, y 1) ，则N (2x -x 1, 2y -y 1) . 因为N 在直线l 上，
∴2x -x 1+2y -y 1=2. ----① 又PN ⊥l 得
3x +y -2⎧x =⎪⎪12⎨
⎪y =3y +x -21⎪2⎩
y -y 1
=1, 即x -y +y 1-x 1=0.---② x -x 1
上，
联解①②得. 又点Q 在双曲线C
∴(
3x +y -223y +x -22
) -() =1，化简整理得：2x 2-2y 2-2x +2y -1=0，此即22
动点P 的轨迹方程.
10解：设P (x , y ), B (x 1, y 1) ，由题设，P 分线段AB 的比λ=
AP
=2，∴ PB
x =
3+2x 11+2y 13331
, y =. 解得x 1=x -, y 1=y -. 又点B 在抛物线y 2=x +1
22221+21+2
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上，其坐标适合抛物线方程，∴ (y -) 2=(x -) +1. 整理得点P 的轨迹方
2222
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程为(y -) 2=(x -), 其轨迹为抛物线．
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