学大教育星沙校区教案
课题名称: 数列的通项公式
数列的通项的求法
1. 定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
2
例1．等差数列{a n }是递增数列，前n 项和为S n ，且a 1, a 3, a 9成等比数列，S 5=a 5．求数列{a n }的通项公式.
点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。
练一练：已知数列3
1111
, 5, 7, 9, 试写出其一个通项公式：__________； 481632
S ,(n =1)
2. 公式法：已知S n （即a 1+a 2+ +a n =f (n ) ）求a n ，用作差法：a n =S 1-S ,(n ≥2) 。
n n -1
例2．已知数列{a n }的前n 项和S n ，求通项公式a n ：（1）S n ＝5n 2＋3n ；（2）S n ＝3－2；
练一练：①数列{a n }满足a 1=4, S n +S n +1=
n
{
5
a n +1，求a n ； 3
f (1),(n =1) ⎧⎪f (n )
3. 作商法：已知a 1 。 a 2 a n =f (n ) 求a n ，用作商法：a n =⎨
,(n ≥2)
⎪⎩f (n -1) 2
如数列{a n }中，a 1=1, 对所有的n ≥2都有a 1a 2a 3 a n =n ，则a 3+a 5=______；
1
4. 累加法：
若a n +1-a n =f (n ) 求a n ：a n =(a n -a n -1) +(a n -1-a n -2) + +(a 2-a 1) +a 1(n ≥2) 。
11
例3. 已知数列{a n }满足a 1=，a n +1=a n +2，求a n 。
2n +n
如已知数列{a n }满足a 1=1，a n -a n -1=
1n +1+n
(n ≥2) ，则a n ；
a n +1a a a
=f (n ) 求a n ，用累乘法：a n =n ⋅n -1⋅ ⋅2⋅a 1(n ≥2) 。 a n a n -1a n -2a 1
2n
a n ，求a n 。 例4. 已知数列{a n }满足a 1=，a n +1=
3n +1
5. 累乘法：已知
如已知数列{a n }中，a 1=2，前n 项和S n ，若S n =n 2a n ，求a n
6. 已知递推关系求a n ，用构造法（构造等差、等比数列）。
（1）形如a n =ka n -1+b 、a n =ka n -1+b n （k , b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求a n 。
①a n =ka n -1+b 解法：把原递推公式转化为：a n +1-t =p (a n -t ) ，其中t =
利用换元法转化为等比数列求解。
例5. 已知数列{a n }中，a 1=1，a n +1=2a n +3，求a n .
q
，再1-p
练一练①已知a 1=1, a n =3a n -1+2，求a n ；
②a n =ka n -1+b n 解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同
除以q
n +1
，a n +1p a n 1a n p 1
b =b +{}b =∙+b =引入辅助数列（其中），得：n +1n n n
q q q n +1q q n q q n
再应用a n =ka n -1+b 的方法。 例6. 已知数列{a n }中，a 1=
2
511n +1
, a n +1=a n +() ，求a n 。 632
练一练①已知a 1=1, a n =3a n -1+2，求a n ；
②已知a 1=1, a n =3a n -1+2n ，求a n ；
（2）形如a n =例7：a n =
练一练：已知数列满足a 1=1
=a n ；
a n -1
的递推数列都可以用倒数法求通项。
ka n -1+b
a n -1
, a 1=1
3⋅a n -1+1
3
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课题名称: 数列的通项公式
数列的通项的求法
1. 定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
2
例1．等差数列{a n }是递增数列，前n 项和为S n ，且a 1, a 3, a 9成等比数列，S 5=a 5．求数列{a n }的通项公式.
点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。
练一练：已知数列3
1111
, 5, 7, 9, 试写出其一个通项公式：__________； 481632
S ,(n =1)
2. 公式法：已知S n （即a 1+a 2+ +a n =f (n ) ）求a n ，用作差法：a n =S 1-S ,(n ≥2) 。
n n -1
例2．已知数列{a n }的前n 项和S n ，求通项公式a n ：（1）S n ＝5n 2＋3n ；（2）S n ＝3－2；
练一练：①数列{a n }满足a 1=4, S n +S n +1=
n
{
5
a n +1，求a n ； 3
f (1),(n =1) ⎧⎪f (n )
3. 作商法：已知a 1 。 a 2 a n =f (n ) 求a n ，用作商法：a n =⎨
,(n ≥2)
⎪⎩f (n -1) 2
如数列{a n }中，a 1=1, 对所有的n ≥2都有a 1a 2a 3 a n =n ，则a 3+a 5=______；
1
4. 累加法：
若a n +1-a n =f (n ) 求a n ：a n =(a n -a n -1) +(a n -1-a n -2) + +(a 2-a 1) +a 1(n ≥2) 。
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例3. 已知数列{a n }满足a 1=，a n +1=a n +2，求a n 。
2n +n
如已知数列{a n }满足a 1=1，a n -a n -1=
1n +1+n
(n ≥2) ，则a n ；
a n +1a a a
=f (n ) 求a n ，用累乘法：a n =n ⋅n -1⋅ ⋅2⋅a 1(n ≥2) 。 a n a n -1a n -2a 1
2n
a n ，求a n 。 例4. 已知数列{a n }满足a 1=，a n +1=
3n +1
5. 累乘法：已知
如已知数列{a n }中，a 1=2，前n 项和S n ，若S n =n 2a n ，求a n
6. 已知递推关系求a n ，用构造法（构造等差、等比数列）。
（1）形如a n =ka n -1+b 、a n =ka n -1+b n （k , b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求a n 。
①a n =ka n -1+b 解法：把原递推公式转化为：a n +1-t =p (a n -t ) ，其中t =
利用换元法转化为等比数列求解。
例5. 已知数列{a n }中，a 1=1，a n +1=2a n +3，求a n .
q
，再1-p
练一练①已知a 1=1, a n =3a n -1+2，求a n ；
②a n =ka n -1+b n 解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同
除以q
n +1
，a n +1p a n 1a n p 1
b =b +{}b =∙+b =引入辅助数列（其中），得：n +1n n n
q q q n +1q q n q q n
再应用a n =ka n -1+b 的方法。 例6. 已知数列{a n }中，a 1=
2
511n +1
, a n +1=a n +() ，求a n 。 632
练一练①已知a 1=1, a n =3a n -1+2，求a n ；
②已知a 1=1, a n =3a n -1+2n ，求a n ；
（2）形如a n =例7：a n =
练一练：已知数列满足a 1=1
=a n ；
a n -1
的递推数列都可以用倒数法求通项。
ka n -1+b
a n -1
, a 1=1
3⋅a n -1+1
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