由递推关系求数列的通项公式复习课
授课人：韦家规 授课地点：高三（6）班 授课时间：2009年12月16日
1教学任务分析
（1）理解、掌握由递推关系：a n +1=a n +f (n )， a n +1=a n ⨯f (n )，a n +1=pa n +q (p , q 为常数, pq ≠0, p ≠1) 求数列的通项公式a n
（2）通过题目的形式，培养学生观察能力、探究能力、归纳能力，运用“转化”、“换元”、“方程”的数学思想方法分析问题、解决问题的能力。
2 教学重点与难点
理解、掌握由递推关系：a n +1=a n +f (n )， a n +1=a n ⨯f (n )，
a n +1为常数 求数列的通项公式
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4 （1 前面我们复习了几种求数列通项公式的方法：观察法，公式法：定义法：等差数列和等比数列。这一节课我们来学习另外几种常用的方法求通项公式。
（2）例题讲解 例1 （1）已知数列{a n }中，a 1=1, a n +1=a n +2，求a n
（2）已知数列{a n }中，a 1=1, a n +1=a n +2n ，求a n
解析：（1）由递推关系：∴数列{a n }为等差数列，∴a n =2n -1 （定a n +1=a n +2⇒a n +1-a n =2，
1
义法） （2）由递推关系：a n +1=a n +2n 与（1）不相同，不能用“定义法”，我们联想到求等差数列的通项公式的方法：“累加法”来求，
a 2-a 1=2, a 3-a 2=4, a 4-a 3=6 a n -a n -1=2(n -1)
逐项累加有a n -a 1=2+4+6+ +2(n -1)=(n -1)(2+2n -2)=n 2-n 2，从而a n =n 2-n +2。
注：在运用累加法时, 要特别注意项数, 计算时项数容易出错.
归纳:形如: a n +1=a n +f (n )的递推关系, 且f (1)+f (2)+ +f (n )的和可求，可用“累加法”求通项a n ，具体做法是将通项变形为a n +1-a n =f (n ) ，从而就有
a 2-a 1=f (1),a 3-a 2=f (2),
将上述n -1个式子累加，变成a n -a 1=f (1)+f (2)+
加法时, 要特别注意项数, 计算时项数容易出错. , a n -a n -1=f (n -1). +f (n -1) ，进而求解。但要注：在运用累
【变式练习】 （1）已知数列{a n }，a 1=2, a n +1=a n +2n -1, 求a n .
（2）已知数列{a n }中，a 1=1, a n +1=a n +2n ，求a n
参考答案：（1）a n =n 2-2n +3，（2）a n =2n -1
例2 已知数列{a n }中，a 1=1, a n +1=a n ⨯2n ，求a n
解析：由递关系a n +1=a n ⨯2n 与例1不一样，可联想到与等比数列的定义有类似，想到用“累乘法”求，a a a 2a =2, 3=22, 4=23 n =2n -1，将上述n -1个式子累乘，得到a 1a 2a 3a n -1
2n -n n -n a n 123n -11+2+3+ +(n -1)=2+2+2+ 2=2=22，所以a n =22 a 1
归纳：形如：a n +1=a n ⋅f (n ) 的递推关系，且
法”求通项公式a n ，具体做法是将通项变形为f (1)⨯f (2)⨯ ⨯f (n )可积可求，可用“累乘a n +1=f (n ) ，从而就有 a n
a a 2=f (1),3=f (2),a 1a 2
a n =f (1)⋅f (2)⋅a 1
, a n =f (n -1) ，将上述n -1个式子累乘，变成a n -1⋅f (n -1) ，进而求解。但要注：在运用累乘法时, 要特别注意项数, 计算时项数2
容易出错.
【变式练习】 （1）已知数列{a n }中，a 1=1n -1, a n =⨯a n -1(n ≥2)，求a n 2n +1
（2）已知数列{a 2}中，a 1=1, (n +1)⨯a n +1=n ⨯a n ，求a n
参考答案：（1）a n =11，（2）a n = n n n +1例3 已知数列{a n }中，a 1=1, a n +1=2a n +1，求a n
解析：由递推关系a n +1=2a n +1，直接求a n 比较难，可通过构造出等差或等比数列来求， 设，a n +1+m =2(a n +m )⇒a n +1=2a n +m 与a n +1=2a n +1比较可得m =1∴设b n =a n +m =a n +1∴b n +1a n +1+1==2, ∴数列{b n }是以首项为b 1=a 1+1=2, 公比为b n a n +1
q =2的等比数列∴b n =a n +1=b 1⨯q n -1=2⨯2n -1=2n ⇒a n =2n -1
归纳:形如a n +1=pa n +q p , q 为常数, pq ≠0, p ≠1的递推关系, 可用“构造法”来求求通项公式a n ，此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性质进行求解，利用待定系数法构造，设()a n +1+m =p (a n +m ) ，展开整理a n +1=pa n +pm -m ，比较系数有
q ，设b n =a n +m ，所以数列{b n }是以首项为p -1pm -m =q ，所以m =
b 1=a 1+m =a 1+q ，公比为p 的等比数列。∴p -1
⎛⎛q ⎫q ⎫n -1n -1⎪ a =b n =a n +m = a +⨯p ⇒a +n 1p -1⎪ 1p -1⎪⎪⨯p -m ⎝⎭⎝⎭
【变式练习】 已知数列{a n }中，a 1=1, a n +1=5a n +2，求a n 参考答案：a n =
（3）课堂小结
本节主要学习了由递推关系：a n +1=a n +f (n )， 3n -11⨯5- 22a n +1=a n ⨯f (n )，
求数列的通项公式a n ，所用的方法分别为：“累a n +1=pa n +q (p , q 为常数, pq ≠0, p ≠1)的类型，
加法”，“累乘法”，“构造法”。所用到的数学思想方法有：转化思想，换元思想，方程。同学们要把这几种类型掌握好。要多做练习题。
（4）课外作业
金榜1号：p 97变式探究1，2，p 98变式探究3
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由递推关系求数列的通项公式复习课
授课人：韦家规 授课地点：高三（6）班 授课时间：2009年12月16日
1教学任务分析
（1）理解、掌握由递推关系：a n +1=a n +f (n )， a n +1=a n ⨯f (n )，a n +1=pa n +q (p , q 为常数, pq ≠0, p ≠1) 求数列的通项公式a n
（2）通过题目的形式，培养学生观察能力、探究能力、归纳能力，运用“转化”、“换元”、“方程”的数学思想方法分析问题、解决问题的能力。
2 教学重点与难点
理解、掌握由递推关系：a n +1=a n +f (n )， a n +1=a n ⨯f (n )，
a n +1为常数 求数列的通项公式
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4 （1 前面我们复习了几种求数列通项公式的方法：观察法，公式法：定义法：等差数列和等比数列。这一节课我们来学习另外几种常用的方法求通项公式。
（2）例题讲解 例1 （1）已知数列{a n }中，a 1=1, a n +1=a n +2，求a n
（2）已知数列{a n }中，a 1=1, a n +1=a n +2n ，求a n
解析：（1）由递推关系：∴数列{a n }为等差数列，∴a n =2n -1 （定a n +1=a n +2⇒a n +1-a n =2，
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义法） （2）由递推关系：a n +1=a n +2n 与（1）不相同，不能用“定义法”，我们联想到求等差数列的通项公式的方法：“累加法”来求，
a 2-a 1=2, a 3-a 2=4, a 4-a 3=6 a n -a n -1=2(n -1)
逐项累加有a n -a 1=2+4+6+ +2(n -1)=(n -1)(2+2n -2)=n 2-n 2，从而a n =n 2-n +2。
注：在运用累加法时, 要特别注意项数, 计算时项数容易出错.
归纳:形如: a n +1=a n +f (n )的递推关系, 且f (1)+f (2)+ +f (n )的和可求，可用“累加法”求通项a n ，具体做法是将通项变形为a n +1-a n =f (n ) ，从而就有
a 2-a 1=f (1),a 3-a 2=f (2),
将上述n -1个式子累加，变成a n -a 1=f (1)+f (2)+
加法时, 要特别注意项数, 计算时项数容易出错. , a n -a n -1=f (n -1). +f (n -1) ，进而求解。但要注：在运用累
【变式练习】 （1）已知数列{a n }，a 1=2, a n +1=a n +2n -1, 求a n .
（2）已知数列{a n }中，a 1=1, a n +1=a n +2n ，求a n
参考答案：（1）a n =n 2-2n +3，（2）a n =2n -1
例2 已知数列{a n }中，a 1=1, a n +1=a n ⨯2n ，求a n
解析：由递关系a n +1=a n ⨯2n 与例1不一样，可联想到与等比数列的定义有类似，想到用“累乘法”求，a a a 2a =2, 3=22, 4=23 n =2n -1，将上述n -1个式子累乘，得到a 1a 2a 3a n -1
2n -n n -n a n 123n -11+2+3+ +(n -1)=2+2+2+ 2=2=22，所以a n =22 a 1
归纳：形如：a n +1=a n ⋅f (n ) 的递推关系，且
法”求通项公式a n ，具体做法是将通项变形为f (1)⨯f (2)⨯ ⨯f (n )可积可求，可用“累乘a n +1=f (n ) ，从而就有 a n
a a 2=f (1),3=f (2),a 1a 2
a n =f (1)⋅f (2)⋅a 1
, a n =f (n -1) ，将上述n -1个式子累乘，变成a n -1⋅f (n -1) ，进而求解。但要注：在运用累乘法时, 要特别注意项数, 计算时项数2
容易出错.
【变式练习】 （1）已知数列{a n }中，a 1=1n -1, a n =⨯a n -1(n ≥2)，求a n 2n +1
（2）已知数列{a 2}中，a 1=1, (n +1)⨯a n +1=n ⨯a n ，求a n
参考答案：（1）a n =11，（2）a n = n n n +1例3 已知数列{a n }中，a 1=1, a n +1=2a n +1，求a n
解析：由递推关系a n +1=2a n +1，直接求a n 比较难，可通过构造出等差或等比数列来求， 设，a n +1+m =2(a n +m )⇒a n +1=2a n +m 与a n +1=2a n +1比较可得m =1∴设b n =a n +m =a n +1∴b n +1a n +1+1==2, ∴数列{b n }是以首项为b 1=a 1+1=2, 公比为b n a n +1
q =2的等比数列∴b n =a n +1=b 1⨯q n -1=2⨯2n -1=2n ⇒a n =2n -1
归纳:形如a n +1=pa n +q p , q 为常数, pq ≠0, p ≠1的递推关系, 可用“构造法”来求求通项公式a n ，此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性质进行求解，利用待定系数法构造，设()a n +1+m =p (a n +m ) ，展开整理a n +1=pa n +pm -m ，比较系数有
q ，设b n =a n +m ，所以数列{b n }是以首项为p -1pm -m =q ，所以m =
b 1=a 1+m =a 1+q ，公比为p 的等比数列。∴p -1
⎛⎛q ⎫q ⎫n -1n -1⎪ a =b n =a n +m = a +⨯p ⇒a +n 1p -1⎪ 1p -1⎪⎪⨯p -m ⎝⎭⎝⎭
【变式练习】 已知数列{a n }中，a 1=1, a n +1=5a n +2，求a n 参考答案：a n =
（3）课堂小结
本节主要学习了由递推关系：a n +1=a n +f (n )， 3n -11⨯5- 22a n +1=a n ⨯f (n )，
求数列的通项公式a n ，所用的方法分别为：“累a n +1=pa n +q (p , q 为常数, pq ≠0, p ≠1)的类型，
加法”，“累乘法”，“构造法”。所用到的数学思想方法有：转化思想，换元思想，方程。同学们要把这几种类型掌握好。要多做练习题。
（4）课外作业
金榜1号：p 97变式探究1，2，p 98变式探究3
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