课题:与圆有关的轨迹方程
北京市第八十中学 王伟
一、教学时间:10.27
二、教学目标:
1、掌握求曲线的方程的一些常见方法;
2、建立数形结合思想,培养学生运用解析几何的基本思想方法;
3、培养学生的创新意识, 提高学生的分析问题、解决问题的能力;
三、教学重难点:
重点:求与圆有关的轨迹方程的方法;
难点:建立动点坐标之间的等量关系;
四、教学用具:计算机、投影仪、圆规、三角板;
五、教学过程:
(一)复习提问导入新课:
1什么叫曲线的方程、方程的曲线?
2求曲线的方程的步骤是什么?
学生回答
教师点评:明确解析几何的基本思想方法是在坐标系的基础上,用坐标表示点,用方程表示曲线,通过方程的特征间接地来研究曲线的性质。其主要问题是1、根据已知条件求曲线的方程,2、通过方程研究平面曲线的性质。
(二)新课:
今天我们一起来研究与圆有关的轨迹方程;
例1已知定点A(6,0),点B是圆
x2y求点P的轨迹方程。
解法一:作PQ∥OB交x轴于点Q, ∵P为AB中点,∴PQ为△OAB的中位线
13OB ∴|PQ|=,由圆的定义知,P在以Q(3,0)为22
39圆心,半径r=|PQ|=的圆上,∴点P的轨迹方程是:(x3)2y2; 24∴Q(3,0),|PQ|=
1、解法一由学生探讨,寻求解答,展示思维过程;
2、教师点评,总结解法一:定义法;
用计算机演示动点P的轨迹图形,学生观察运动变化规律。
教师提问:例1的解答还有其他方法吗?
学生观察分析:动点P的轨迹依赖圆上点B的变化;
1
解法二:设P(x,y),B(x1,y1),由中点坐标公式得:
x16xx12x622222∴∵B在圆上,∴(x,y)xy9xy11119 y10y12yy2
∴(2x6)2(2y)29 ∴(x3)y229 4
教师总结解法二:坐标转移法,并把例1进行的拓展:
变化A点的位置探求点P的轨迹方程(1) A在圆上 (2)A在圆内
变化P点位置探求点P的位置关系(1)P分AB的比为2:1 (2)P在的延长线上,使BP
学生回答在上述四种情况中如何解答?
例2 自圆外一点A(6,0)引圆x2y29的割线ABC,求弦BC的中点P的轨迹方程。
定义法 解法一:∵OP⊥AP,取OA中点M则M(3,0),|PM|=3,
由圆的定义得P点轨迹方程为x
y6x022几何法1 解法二:设P(x,y),连OP,则OP⊥BCyykOPkBC,即1,即x2y24x0,当x0时P点坐标为(0,0)是xx4
方程的解,∴BC中点P的轨迹方程为x2y24x0(在圆的内部分)
几何法2 解法三 :设P(x,y),连OP,=(x,y),=(6x,y),∵⊥,
22∴·=0,x(6x)y(y)0,xy6x0(在圆的内部分)
几何法2 解法四 :设P(x,y),连OP,OP=(x,y),PA=(6x,y),∵OP⊥PA,
22∴OP·=0,x(6x)y(y)0,xy6x0(在圆的内部分)
坐标转移法 解法五:设 B(x1,y1),C(x2,y2),P(x,y)则
x1y124…..①
2 2
x2y24……….②
xx1x2yy2,y1… ③ 2222
①-②得:
(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)=0,当x1x2时y1y2xx2将③代入1
x1x2y1y2
得kBCy1y2xy化简得x2y26x0(在已知圆的内部分) kAPx1x2yx4
参数法 解法六:设割线ABC所在的直线方程为yk(x4),代入x2y24得 (1k2)x28k2x16k240
x1x24k2
x21k2消去k得 设 B(x1,y1),C(x2,y2),P(x,y),则yy1y24k
21k2
x2y26x0(在已知圆的内部分)
3
课题:与圆有关的轨迹方程
北京市第八十中学 王伟
一、教学时间:10.27
二、教学目标:
1、掌握求曲线的方程的一些常见方法;
2、建立数形结合思想,培养学生运用解析几何的基本思想方法;
3、培养学生的创新意识, 提高学生的分析问题、解决问题的能力;
三、教学重难点:
重点:求与圆有关的轨迹方程的方法;
难点:建立动点坐标之间的等量关系;
四、教学用具:计算机、投影仪、圆规、三角板;
五、教学过程:
(一)复习提问导入新课:
1什么叫曲线的方程、方程的曲线?
2求曲线的方程的步骤是什么?
学生回答
教师点评:明确解析几何的基本思想方法是在坐标系的基础上,用坐标表示点,用方程表示曲线,通过方程的特征间接地来研究曲线的性质。其主要问题是1、根据已知条件求曲线的方程,2、通过方程研究平面曲线的性质。
(二)新课:
今天我们一起来研究与圆有关的轨迹方程;
例1已知定点A(6,0),点B是圆
x2y求点P的轨迹方程。
解法一:作PQ∥OB交x轴于点Q, ∵P为AB中点,∴PQ为△OAB的中位线
13OB ∴|PQ|=,由圆的定义知,P在以Q(3,0)为22
39圆心,半径r=|PQ|=的圆上,∴点P的轨迹方程是:(x3)2y2; 24∴Q(3,0),|PQ|=
1、解法一由学生探讨,寻求解答,展示思维过程;
2、教师点评,总结解法一:定义法;
用计算机演示动点P的轨迹图形,学生观察运动变化规律。
教师提问:例1的解答还有其他方法吗?
学生观察分析:动点P的轨迹依赖圆上点B的变化;
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解法二:设P(x,y),B(x1,y1),由中点坐标公式得:
x16xx12x622222∴∵B在圆上,∴(x,y)xy9xy11119 y10y12yy2
∴(2x6)2(2y)29 ∴(x3)y229 4
教师总结解法二:坐标转移法,并把例1进行的拓展:
变化A点的位置探求点P的轨迹方程(1) A在圆上 (2)A在圆内
变化P点位置探求点P的位置关系(1)P分AB的比为2:1 (2)P在的延长线上,使BP
学生回答在上述四种情况中如何解答?
例2 自圆外一点A(6,0)引圆x2y29的割线ABC,求弦BC的中点P的轨迹方程。
定义法 解法一:∵OP⊥AP,取OA中点M则M(3,0),|PM|=3,
由圆的定义得P点轨迹方程为x
y6x022几何法1 解法二:设P(x,y),连OP,则OP⊥BCyykOPkBC,即1,即x2y24x0,当x0时P点坐标为(0,0)是xx4
方程的解,∴BC中点P的轨迹方程为x2y24x0(在圆的内部分)
几何法2 解法三 :设P(x,y),连OP,=(x,y),=(6x,y),∵⊥,
22∴·=0,x(6x)y(y)0,xy6x0(在圆的内部分)
几何法2 解法四 :设P(x,y),连OP,OP=(x,y),PA=(6x,y),∵OP⊥PA,
22∴OP·=0,x(6x)y(y)0,xy6x0(在圆的内部分)
坐标转移法 解法五:设 B(x1,y1),C(x2,y2),P(x,y)则
x1y124…..①
2 2
x2y24……….②
xx1x2yy2,y1… ③ 2222
①-②得:
(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)=0,当x1x2时y1y2xx2将③代入1
x1x2y1y2
得kBCy1y2xy化简得x2y26x0(在已知圆的内部分) kAPx1x2yx4
参数法 解法六:设割线ABC所在的直线方程为yk(x4),代入x2y24得 (1k2)x28k2x16k240
x1x24k2
x21k2消去k得 设 B(x1,y1),C(x2,y2),P(x,y),则yy1y24k
21k2
x2y26x0(在已知圆的内部分)
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