第一章 绪论
1－5 测得某三角块的三个角度之和为18000’02”, 试求测量的绝对误差和相对误差 解：
绝对误差等于：180 o 00'02''-180o =2''相对误差等于：
2''2''2''
=＝=0. [1**********]≈0. 000031%
180o 180⨯60⨯60''648000''
1-10检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？
o
最大引用误差=
某量程最大示值误差
⨯100%
测量范围上限
2=⨯100%=2%
该电压表合格
1-14若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm，其测量误差分别为±11μm 和±9μm ；而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm。其测量误差为±12μm ，试比较三种测量方法精度的高低。
相对误差
11μm
=±0.01%
110mm 9μm
I 2=±=±0.0082%
110mm 12μm I 3=±=±0. 008%
150mm
I 1=±
I 3
2-7在立式测长仪上测量某校对量具，重量测量5次，测得数据（单位为mm ）为20.0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若测量值服从正态分布，试以99%的置信概率确定测量结果。x =
20.0015+20.0016+20.0018+20.0015+20.0011
5
=
20.0015(mm )
σ=
=0.00025
正态分布 p=99%时，t =2.58
δlim =±t σ
=±2.58 =±0.0003(mm )
测量结果：X =x +δlim =(20.0015±0.0003) mm
2-12某时某地由气压表得到的读数（单位为Pa ）为102523.85，102391.30，102257.97，102124.65，101991.33，101858.01，101724.69，101591.36，其权各为1，3，5，7，8，6，4，2，试求加权算术平均值及其标准差。
x =
∑p x
i =18
8
i i
=102028. 34(Pa )
∑p
i =1
i
σx =
∑p v
i =1
8
2
i xi 8
≈86. 95(Pa )
(8-1) ∑p i
i =1
m /s 、标准差为0. 014m /s 。另外30次2-16重力加速度的20次测量具有平均值为9. 811
测量具有平均值为9. 802m /s ，标准差为0. 022m /s 。假设这两组测量属于同一正态总体。试求此50次测量的平均值和标准差。
2
2
22
p 1:p 2=
1
σ
2
12
:
1
σ
222
=
1⎛0. 014⎫ ⎪⎝20⎭
2
:
1⎛0. 022⎫ ⎪⎝⎭
2
=242:147
=
242⨯9.811+147⨯9.802
≈9.808(m /s 2)
242+147
σ=
0. 014242
⨯≈0.0025（m/s2）
242+14720
2-18对一线圈电感测量10次，前4次是和一个标准线圈比较得到的，后6次是和另一个标
准线圈比较得到的，测得结果如下（单位为mH ）： 50.82，50.83，50.87，50.89；
50.78，50.78，50.75，50.85，50.82，50.81。 试判断前4次与后6次测量中是否存在系统误差。 使用秩和检验法：
排序：
T=5.5+7+9+10=31.5 查表 T -=14T +=30
T >T + 所以两组间存在系差
解：
x y i a =(
n 1(n 1+n 2+1) n n (n +n 2+1)
) =203；σ=(121) =474求出：
212
t =T -a
σ
=-0. 1
现取概率2φ(t ) =0. 95，即φ(t ) =0. 475，查教材附表1有t α=1. 96。由于t ≤t α，因此，可以认为两组数据间没有系统误差。
3-1相对测量时需用54.255mm 的量块组做标准件，量块组由四块量块研合而成，它们的基
l =1. 25mm ，l 4=1. 005mm 。经测量，它们的尺寸本尺寸为l 1=40mm ，l 2=12mm ，3
∆l =-0. 3μm ,
偏差及其测量极限误差分别为∆l 1=-0. 7μm , ∆l 2=+0. 5μm , 3
∆l 4=+0. 1μm , δlim l 1=±0. 35μm , δlim l 2=±0. 25μm , δlim l 3=±0. 20μm , δlim l 4=±0. 20μm 。
试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量带来的测量误差。
修正值=-(∆l 1+∆l 2+∆l 3+∆l 4) =-(-0. 7+0. 5-0. 3+0. 1) =0.4(μm ) 测量误差:
δl =±2lim l +δ2lim l +δ2lim l +δ2lim l
1
2
3
4
=±
(0. 35) 2+(0. 25) 2+(0. 20) 2+(0. 20) 2
=±0. 51(μm )
3-2 为求长方体体积V ，直接测量其各边长为a =161. 6mm ，b =44.5mm , c =11. 2mm , 已知测量的系统误差为∆a =1. 2mm ，∆b =-0. 8mm ，∆c =0. 5mm ，测量的极限误差为
δa =±0. 8mm ，
δb =±0. 5mm ，δc =±0. 5mm ， 试求立方体的体积及其体积的极限误差。
V =abc V =f (a , b , c )
V 0=abc =161. 6⨯44. 5⨯11. 2
=80541. 44(mm 3)
体积V 系统误差∆V 为：
∆V =bc ∆a +ac ∆b +ab ∆c
=2745. 744(mm 3) ≈2745. 74(mm 3)
立方体体积实际大小为：V =V 0-∆V =77795. 70(mm 3)
δlim V =±(
∂f 22∂f 22∂f 22
) δa +() δb +() δc ∂a ∂b ∂c
2
2
2
=±(bc ) 2δa +(ac ) 2δb +(ab ) 2δc
=±3729. 11(mm 3)
测量体积最后结果表示为:
V =V 0-∆V +δlim V =(77795. 70±3729. 11) mm 3
3—12 按公式V=πr2h 求圆柱体体积，若已知r 约为2cm ，h 约为20cm ，要使体积的相对
误差等于1％，试问r 和h 测量时误差应为多少? 解：
若不考虑测量误差，圆柱体积为
V =π⋅r 2⋅h =3. 14⨯22⨯20=251. 2cm 3
根据题意，体积测量的相对误差为1％，即测定体积的相对误差为：
σ
V
即σ=V ⋅1%=251. 2⨯1%=2. 51 现按等作用原则分配误差，可以求出 测定r 的误差应为：
=1%
σr =
测定h 的误差应为：
σ
12. 511
==0. 007cm
∂V /∂r 1. 412πhr 2
σh =
σ
12. 511
==0. 142cm 2
∂V /∂h 1. 41π⋅r 2
3-14对某一质量进行4次重复测量，测得数据(单位g) 为428.6，429.2，426.5，430.8。已知测量的已定系统误差∆=-2. 6g , 测量的各极限误差分量及其相应的传递系数如下表所示。若各误差均服从正态分布，试求该质量的最可信赖值及其极限误差。
=
428. 6+429. 2+426. 5+430. 8
4
=428. 775(g ) ≈428. 8(g )
最可信赖值 x =-∆=428. 8+2. 6=431. 4(g )
∂f 13∂f 222
δx =±∑() e i +∑() δi
4i =1∂x i i =1∂x i ≈±4. 9(g )
测量结果表示为:x =-∆+δx =(431. 4±4. 9) g
5
2
⎧3x +y =2.9
⎪
5-1测量方程为⎨x -2y =0.9试求x 、y 的最小二乘法处理及其相应精度。误差方程为
⎪2x -3y =1.9⎩
⎧v 1=2.9-(3x +y ) ⎪
⎨v 2=0.9-(x -2y ) ⎪v =1.9-(2x -3y ) ⎩3
n n
⎧n
⎪∑a i 1a i 1x +∑a i 1a i 2y =∑a i 1l i ⎪i =1i =1i =1
列正规方程⎨代入数据得
n n n
⎪a a x +a a y =a l ∑i 2i 1∑∑i 2i 2i 2i ⎪i =1i =1⎩i =1
⎧x =0. 962⎧14x -5y =13.4
解得 ⎨⎨
⎩-5x +14y =-4.6⎩y =0. 015
⎧v 1=2.9-(3⨯0.962+0.015) =-0.001
⎪
将x 、y 代入误差方程式⎨v 2=0.9-(0.962-2⨯0.015) =-0.032
⎪v =1.9-(2⨯0.962-3⨯0.015) =0.021⎩3
测量数据的标准差为σ=
=
=0.038
求解不定乘数⎢
⎡d 11⎣d 21
⎧14d 11-5d 12=1⎨
d 12⎤⎩-5d 11+14d 12=0
d 22⎥⎦⎧14d 21-5d 22=0
⎨
⎩-5d 21+14d 22=1
解得d 11=d 22=0. 082
x 、y 的精度分别为σx =σd 11=0. 01σy =σd 22=0. 01
⎧x -3y =-5.6, p 1=1⎪
5-7不等精度测量的方程组如下：⎨4x +y =8.1, p 2=2
⎪2x -y =0.5, p =3
3⎩
试求x 、y 的最小二乘法处理及其相应精度。
⎧v 1=-5.6-(x -3y ), p 1=1
⎪
列误差方程⎨v 2=8.1-(4x +y ), p 2=2
⎪v =0.5-(2x -y ), p =3
3⎩3
33
⎧3
⎪∑p i a i 1a i 1x +∑p i a i 1a i 2y =∑p i a i 1l i ⎪i =1i =1i =1
正规方程为⎨
333
⎪p a a x +p a a y =p a l ∑i i 2i 1∑∑i i 2i 2i i 2i ⎪i =1i =1⎩i =1
代入数据得
⎧x =1. 434⎧45x -y =62.2
解得 ⎨⎨
⎩-x +14y =31.5⎩y =2. 352
⎧v 1=0. 022
⎪
将x 、y 代入误差方程可得⎨v 2=0. 012
⎪v =-0. 016⎩3
则测量数据单位权标准差为σ=
∑p i v i
i =1
3
2
3-2
=0. 039
求解不定乘数 ⎢
⎡d 11⎣d 21
⎧45d 11-d 12=1⎨
d 12⎤⎩-d 11+14d 12=0
⎥d 22⎦⎧45d 21-d 22=0
⎨
⎩-d 21+14d 22=1
解得 ⎨
⎧d 11=0. 022
⎩d 22=0. 072
x 、y 的精度分别为σx =σd 11=0. 006σy =σd 22=0. 010
第一章 绪论
1－5 测得某三角块的三个角度之和为18000’02”, 试求测量的绝对误差和相对误差 解：
绝对误差等于：180 o 00'02''-180o =2''相对误差等于：
2''2''2''
=＝=0. [1**********]≈0. 000031%
180o 180⨯60⨯60''648000''
1-10检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？
o
最大引用误差=
某量程最大示值误差
⨯100%
测量范围上限
2=⨯100%=2%
该电压表合格
1-14若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm，其测量误差分别为±11μm 和±9μm ；而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm。其测量误差为±12μm ，试比较三种测量方法精度的高低。
相对误差
11μm
=±0.01%
110mm 9μm
I 2=±=±0.0082%
110mm 12μm I 3=±=±0. 008%
150mm
I 1=±
I 3
2-7在立式测长仪上测量某校对量具，重量测量5次，测得数据（单位为mm ）为20.0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若测量值服从正态分布，试以99%的置信概率确定测量结果。x =
20.0015+20.0016+20.0018+20.0015+20.0011
5
=
20.0015(mm )
σ=
=0.00025
正态分布 p=99%时，t =2.58
δlim =±t σ
=±2.58 =±0.0003(mm )
测量结果：X =x +δlim =(20.0015±0.0003) mm
2-12某时某地由气压表得到的读数（单位为Pa ）为102523.85，102391.30，102257.97，102124.65，101991.33，101858.01，101724.69，101591.36，其权各为1，3，5，7，8，6，4，2，试求加权算术平均值及其标准差。
x =
∑p x
i =18
8
i i
=102028. 34(Pa )
∑p
i =1
i
σx =
∑p v
i =1
8
2
i xi 8
≈86. 95(Pa )
(8-1) ∑p i
i =1
m /s 、标准差为0. 014m /s 。另外30次2-16重力加速度的20次测量具有平均值为9. 811
测量具有平均值为9. 802m /s ，标准差为0. 022m /s 。假设这两组测量属于同一正态总体。试求此50次测量的平均值和标准差。
2
2
22
p 1:p 2=
1
σ
2
12
:
1
σ
222
=
1⎛0. 014⎫ ⎪⎝20⎭
2
:
1⎛0. 022⎫ ⎪⎝⎭
2
=242:147
=
242⨯9.811+147⨯9.802
≈9.808(m /s 2)
242+147
σ=
0. 014242
⨯≈0.0025（m/s2）
242+14720
2-18对一线圈电感测量10次，前4次是和一个标准线圈比较得到的，后6次是和另一个标
准线圈比较得到的，测得结果如下（单位为mH ）： 50.82，50.83，50.87，50.89；
50.78，50.78，50.75，50.85，50.82，50.81。 试判断前4次与后6次测量中是否存在系统误差。 使用秩和检验法：
排序：
T=5.5+7+9+10=31.5 查表 T -=14T +=30
T >T + 所以两组间存在系差
解：
x y i a =(
n 1(n 1+n 2+1) n n (n +n 2+1)
) =203；σ=(121) =474求出：
212
t =T -a
σ
=-0. 1
现取概率2φ(t ) =0. 95，即φ(t ) =0. 475，查教材附表1有t α=1. 96。由于t ≤t α，因此，可以认为两组数据间没有系统误差。
3-1相对测量时需用54.255mm 的量块组做标准件，量块组由四块量块研合而成，它们的基
l =1. 25mm ，l 4=1. 005mm 。经测量，它们的尺寸本尺寸为l 1=40mm ，l 2=12mm ，3
∆l =-0. 3μm ,
偏差及其测量极限误差分别为∆l 1=-0. 7μm , ∆l 2=+0. 5μm , 3
∆l 4=+0. 1μm , δlim l 1=±0. 35μm , δlim l 2=±0. 25μm , δlim l 3=±0. 20μm , δlim l 4=±0. 20μm 。
试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量带来的测量误差。
修正值=-(∆l 1+∆l 2+∆l 3+∆l 4) =-(-0. 7+0. 5-0. 3+0. 1) =0.4(μm ) 测量误差:
δl =±2lim l +δ2lim l +δ2lim l +δ2lim l
1
2
3
4
=±
(0. 35) 2+(0. 25) 2+(0. 20) 2+(0. 20) 2
=±0. 51(μm )
3-2 为求长方体体积V ，直接测量其各边长为a =161. 6mm ，b =44.5mm , c =11. 2mm , 已知测量的系统误差为∆a =1. 2mm ，∆b =-0. 8mm ，∆c =0. 5mm ，测量的极限误差为
δa =±0. 8mm ，
δb =±0. 5mm ，δc =±0. 5mm ， 试求立方体的体积及其体积的极限误差。
V =abc V =f (a , b , c )
V 0=abc =161. 6⨯44. 5⨯11. 2
=80541. 44(mm 3)
体积V 系统误差∆V 为：
∆V =bc ∆a +ac ∆b +ab ∆c
=2745. 744(mm 3) ≈2745. 74(mm 3)
立方体体积实际大小为：V =V 0-∆V =77795. 70(mm 3)
δlim V =±(
∂f 22∂f 22∂f 22
) δa +() δb +() δc ∂a ∂b ∂c
2
2
2
=±(bc ) 2δa +(ac ) 2δb +(ab ) 2δc
=±3729. 11(mm 3)
测量体积最后结果表示为:
V =V 0-∆V +δlim V =(77795. 70±3729. 11) mm 3
3—12 按公式V=πr2h 求圆柱体体积，若已知r 约为2cm ，h 约为20cm ，要使体积的相对
误差等于1％，试问r 和h 测量时误差应为多少? 解：
若不考虑测量误差，圆柱体积为
V =π⋅r 2⋅h =3. 14⨯22⨯20=251. 2cm 3
根据题意，体积测量的相对误差为1％，即测定体积的相对误差为：
σ
V
即σ=V ⋅1%=251. 2⨯1%=2. 51 现按等作用原则分配误差，可以求出 测定r 的误差应为：
=1%
σr =
测定h 的误差应为：
σ
12. 511
==0. 007cm
∂V /∂r 1. 412πhr 2
σh =
σ
12. 511
==0. 142cm 2
∂V /∂h 1. 41π⋅r 2
3-14对某一质量进行4次重复测量，测得数据(单位g) 为428.6，429.2，426.5，430.8。已知测量的已定系统误差∆=-2. 6g , 测量的各极限误差分量及其相应的传递系数如下表所示。若各误差均服从正态分布，试求该质量的最可信赖值及其极限误差。
=
428. 6+429. 2+426. 5+430. 8
4
=428. 775(g ) ≈428. 8(g )
最可信赖值 x =-∆=428. 8+2. 6=431. 4(g )
∂f 13∂f 222
δx =±∑() e i +∑() δi
4i =1∂x i i =1∂x i ≈±4. 9(g )
测量结果表示为:x =-∆+δx =(431. 4±4. 9) g
5
2
⎧3x +y =2.9
⎪
5-1测量方程为⎨x -2y =0.9试求x 、y 的最小二乘法处理及其相应精度。误差方程为
⎪2x -3y =1.9⎩
⎧v 1=2.9-(3x +y ) ⎪
⎨v 2=0.9-(x -2y ) ⎪v =1.9-(2x -3y ) ⎩3
n n
⎧n
⎪∑a i 1a i 1x +∑a i 1a i 2y =∑a i 1l i ⎪i =1i =1i =1
列正规方程⎨代入数据得
n n n
⎪a a x +a a y =a l ∑i 2i 1∑∑i 2i 2i 2i ⎪i =1i =1⎩i =1
⎧x =0. 962⎧14x -5y =13.4
解得 ⎨⎨
⎩-5x +14y =-4.6⎩y =0. 015
⎧v 1=2.9-(3⨯0.962+0.015) =-0.001
⎪
将x 、y 代入误差方程式⎨v 2=0.9-(0.962-2⨯0.015) =-0.032
⎪v =1.9-(2⨯0.962-3⨯0.015) =0.021⎩3
测量数据的标准差为σ=
=
=0.038
求解不定乘数⎢
⎡d 11⎣d 21
⎧14d 11-5d 12=1⎨
d 12⎤⎩-5d 11+14d 12=0
d 22⎥⎦⎧14d 21-5d 22=0
⎨
⎩-5d 21+14d 22=1
解得d 11=d 22=0. 082
x 、y 的精度分别为σx =σd 11=0. 01σy =σd 22=0. 01
⎧x -3y =-5.6, p 1=1⎪
5-7不等精度测量的方程组如下：⎨4x +y =8.1, p 2=2
⎪2x -y =0.5, p =3
3⎩
试求x 、y 的最小二乘法处理及其相应精度。
⎧v 1=-5.6-(x -3y ), p 1=1
⎪
列误差方程⎨v 2=8.1-(4x +y ), p 2=2
⎪v =0.5-(2x -y ), p =3
3⎩3
33
⎧3
⎪∑p i a i 1a i 1x +∑p i a i 1a i 2y =∑p i a i 1l i ⎪i =1i =1i =1
正规方程为⎨
333
⎪p a a x +p a a y =p a l ∑i i 2i 1∑∑i i 2i 2i i 2i ⎪i =1i =1⎩i =1
代入数据得
⎧x =1. 434⎧45x -y =62.2
解得 ⎨⎨
⎩-x +14y =31.5⎩y =2. 352
⎧v 1=0. 022
⎪
将x 、y 代入误差方程可得⎨v 2=0. 012
⎪v =-0. 016⎩3
则测量数据单位权标准差为σ=
∑p i v i
i =1
3
2
3-2
=0. 039
求解不定乘数 ⎢
⎡d 11⎣d 21
⎧45d 11-d 12=1⎨
d 12⎤⎩-d 11+14d 12=0
⎥d 22⎦⎧45d 21-d 22=0
⎨
⎩-d 21+14d 22=1
解得 ⎨
⎧d 11=0. 022
⎩d 22=0. 072
x 、y 的精度分别为σx =σd 11=0. 006σy =σd 22=0. 010