摘 要
极限是高等数学，数学分析等各数学分支学科中的最基本，最重要的概念之一，它是我们学习后续内容，如函数的连续性，导数，积分，级数等的必不可少的工具。因此，正确地理解和运用极限的概念，掌握极限的求法，对于学好数学是十分重要的。本文详细的论述了极限的概念，归纳了求极限的多种常用方法，并通过典型例题具体的说明解题方法和注意事项。
关键字：极限； 极限的概念； 求极限的方法
ABSTRACT
The limit is one of the most basic and important concepts in the higher mathematics, mathematical analysis and other branches of mathematics. It is our essential tool to study the following content, for example function continuity, derivative, integral, progression and so on. Therefore, it is very important to correctly understand and utilize the concept of the limit, grasp the methods of the limit for us to learn mathematics. The article discusses the concept of the limit and generalizes the methods of the limit. We also give some typical examples and some notes to explain the methods of the limit.
Keywords: the limit ; the concept of the limit; the methods of the limit
目 录
第一章 前言 .......................................................................................................................... 1 第二章 极限的定义 . ......................................................................................................... 2
2.1 数列极限概念 . ........................................................................................................... 2 2.2 函数极限的概念 . ....................................................................................................... 2 2.3 两元函数的极限 . ....................................................................................................... 2 2.4 累次极限 . ................................................................................................................... 3 2.5 右（左）极限 . ........................................................................................................... 3
第三章 极限的求法 . ......................................................................................................... 4
3.1 利用等价代换 . ........................................................................................................... 4 3.2 利用初等变形求极限 . ............................................................................................... 4 3.3 利用洛必达法则 . ....................................................................................................... 5
3.3.1 直接应用洛必达法则 . ................................................................................... 5 3.3.2 其他类型不定式极限的求法 . ....................................................................... 7 3.4 变量替换法求极限 . ................................................................................................... 8 3.5 “抓大头”法求极限 . ............................................................................................... 8 3.6 关于幂指数函数极限的简洁求法 . ........................................................................... 9 3.7 利用已知极限求解 . ................................................................................................. 11 3.8 两边夹法则 . ............................................................................................................. 12 3.9 利用泰勒公式求极限 . ............................................................................................. 12 3.10 利用积分定义求极限 . ........................................................................................... 14 3.11 利用级数求极限 .................................................................................................... 15 3.12 利用连续性求极限 . ............................................................................................... 15 3.13 Stolz公式 . ............................................................................................................... 16
3.13.1 数列的情况 . ............................................................................................... 16 3.13.2 函数极限的情况 . ....................................................................................... 17 3.14 递推形式的极限 . ................................................................................................... 18
3.14.1利用存在性求极限 . .................................................................................... 18 3.14.2写出通项求极限 . ........................................................................................ 19 3.15 利用中值定理求极限 . ........................................................................................... 19
3.15.1 利用Lagrance 中值定理求极限 ............................................................... 19 3.15.2 利用积分中值定理求极限 . ....................................................................... 20
第四章 结论 . ..................................................................................................................... 21 参考文献 ............................................................................................................................... 22 致谢......................................................................................................................................... 23
第一章 前言
数学分析这门课程研究的对象是函数，而所用的研究方法是极限方法。从方法论来看，用极限研究函数是数学分析乃至整个分析系统各个分支的显著特征，在数学分析中几乎所有重要概念，都以极限概念作基础，因此在数学分析中极限起着非常重要的作用。
极限理论是数学分析的入门和基础，是人们把握无限的金钥匙。不论是函数连续性、定积分还是无穷级数这些数学分析的核心内容，无一例外地都通过极限来定义和推演。鉴于其数学中的特殊重要地位，我们有必要，对极限的求法进行系统的研究。
求极限或证明极限的方法众多，灵活性强，题型也千变万化。中心问题无外乎两个：一个是证明极限存在，二是求极限的值。人们在初学数学分析阶段往往不易掌握各种解题方法的实质，而难以融会贯通地处理形形色色不同的问题。因此，我们将着重介绍求证极限的各种思想方法和解题技巧[1,2]。
本文深入的分析了各种极限的概念，且对极限的各种求法以及极限的多种题型进行了详细，系统和比较全面的讲解和分类。
第二章 极限的定义
要求极限, 首先要对极限的概念有详细和深入的了解及认识. 为了更好的掌握极限的概念, 本章将对数列极限, 函数极限, 两元函数极限, 累次极限和右（左）极限的概念给予详细的定义.
2.1 数列极限概念
定义 1[3] 设{a n }为数列, a 为定数. 若对任给的正数ε, 总存在正整数N, 使得当n>N时有 a n -a
lim a n =a , 或a n →a (a →∞), 读作“当n 趋于无穷大时, {a n }的极限等于a 或a n 趋于a ”.
x →∞
3
定义 2[] 任给ε>0, 若在 (a ; ε)之外数列{a n }中的项至多只有有限个, 则称
数列收{a n }收敛于极限a.
2.2 函数极限的概念
3
定义 3[] 设f 为定义在[a , ∞)上的函数, A为定数. 若对任给的ε>0, 存在正数
M (≥a ), 使得当x>M时有f (x )-A
x →+∞
lim f (x )=A 或f (x )→A (x →+∞).
3
定义 4[] 设函数f 在点x 0的某个空心邻域 0(x 0; δ' )内有定义, A 为定数. 若对
任给的ε>0, 存在正数δ(
x →x 0
2.3 两元函数的极限
定义 5[] 设f 为定义在D ⊂R 上的二元函数, P 0为D 的一个聚点, A 是一个确
3
2
定的实数. 若对任给正数ε, 总存在某正数δ, 使得当P ∈ 0(P 0; δ) D 时, 都有
f (P )-
P →P 0
P ∈D
定义 6[] 设D 为二元函数f 的定义域, P 0(x 0, y 0)是D 的一个聚点. 若对任给正
3
δ数M, 总存在点P 的一个邻域, 使得当P x , y ∈ ()(P 0; δ) D 时, 都有f (P )>M , 则0
称f 在D 上当P →P 0时, 存在非正常极限+∞, 记作
p →p 0
(x , y )→(x 0, y 0)
lim
f (x , y )=+∞或
lim f (P )=+∞.
2.4 累次极限
定义 7[] 设E x , E y ⊂R , x 0是E x 的聚点, y 0是E y 的聚点, 二元函数f 在集合
3
D =E x ⨯E y 上有定义. 若对每一个y ∈E y , y ≠y 0, 存在极限lim f (x , y ), 由于此极限一
x →x 0
x ∈E
般与y 有关, 因此记作ϑ(y )=lim f (x , y ), 而且进一步存在极限L =lim ϑ(y ), 则称此
x →x 0x ∈E
y →y 0y ∈E
极限为二元函数f 先对x (→x 0)后对y (→y 0)的累次极限, 并记作L =lim lim f (x , y )或
y →y 0x →x 0y ∈E x ∈E
简记作L =lim lim f (x , y ).
y →y 0x →x 0
2.5 右（左）极限
3' 0'
定义 8[] 设函数f 在 0+(x 0; δ)或 -(x 0; δ)内有定义, A为定数. 若对任给的
()
ε>0, 存在正数δ(
⎛lim f x =A ⎫+
f x =A 则称数A 为函数f 当x 趋于x 0()(或x 0-)时的右（左）极限, 记x lim x →x -()⎪+
→x 0⎝0⎭
+
或f (x )→A (x →x 0)f (x )→A (x →x 0-).
()
右极限与左极限统称为单侧极限.
第三章 极限的求法
为了能够快速有效的求解极限, 本章将对极限的各种求法予以详细和系统的讲解，这样便可以方便大家迅速的找到适合求解某一类或某一种极限的方法. 如等价代换, 洛必达法则, 变量替换等一些常用的方法, 都将在本章中予以介绍总结.
3.1 利用等价代换
要点 在求乘除式极限里, 其因子可用等价因子代替, 极限不变. 最常用的等价关系如: 当x →0时, 有如下关系：
a x -1(1+x )-1x
, x sin x , tan x , arcsin x , arctan x , ln (1+x ), e -1, , 还有ln a b
b
(1-cos x )~
12
x (其中a >0, b ≠0). 2
1⎫n 1-cos 2⎪
例
1 . n 1⎫⎛11n 2 1-cos 2⎪n 2⋅⋅4=1. =lim 解
因=1，故原式
=x →0n n →∞11⋅22n 例2 lim
x →0
1-e sin x
x
x (1-cos x )
2
.
1
x ⋅x 2
1
解 原式=lim 2=-.
x →0-x ⋅x 2例3 lim
arctan x
.
x →0ln 1+sin x x
=1.
x →0sin x
解 原式=lim
3.2 利用初等变形求极限
要点 用初等数学的方法将x n 变形, 然后求极限.
x x x x
例4 （1）x n =cos cos 2cox 3 cos n , 求lim x n .
n →∞2222
x 2sin n
2
x x x x
x n =cos cos 2cos 3 cos n
2222sin x
=
x 2n sin 2x
sin x n sin x
=. ⋅→
x sin x
2n
n
解 乘以
2n sin
x 2n
351722+1
（2）x n =⋅⋅ 2n ，求lim x n .
n →∞24162
1
，再对分子反复应用公式(a +b )(a -b )=a 2-b 2 解 乘以1-2
1-
1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛
x n = 1+⎪1+2⎪ 1+2n ⎪
⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭⎛1⎫1- 2n ⎪
=→2(n →∞).
11-2
2
n
（3
）x n =i =1
n
，求lim x n .
n →∞
原式=
i =1
n
=∑
i =1
n
11
i (i +1)2
1⎫⎛11⎫⎛
=2∑ -=21-⎪ ⎪→2(n →∞).
i +1⎭⎝n +1⎭i =1⎝i
n
3.3 利用洛必达法则
3.3.1 直接应用洛必达法则
法则 1[] 设函数f (x ), g (x )满足条件:
3
（1）lim f (x )=0, lim g (x )=0,
x →x 0
x →x 0
（2）f (x ), g (x )在x 0的某空心邻域 0(x 0)内可导, 且g ' (x )≠0，
f ' (x )
（3）lim ' ，则 =A (A可为实数，也可为±∞或∞）
x →x 0g x f (x )f ' (x )
lim =lim ' =A .
x →x 0g x x →x 0g x 法则 2[3] 若函数f 和g 满足： （1）lim f (x )=lim g (x )=∞, ++
x →x 0
x →x 0
'
（2）在x 0的某右邻域 0内两者都可导，且g x (x )≠0， ()+0
f ' (x ) （3）lim ' =A （A 可为实数，也可为±∞, ∞）, 则
x →x 0g x f (x )f ' (x )
lim =lim ' =A .
x →x 0g x x →x 0g x 用洛必达法则应注意的事项:
0∞
（1）只有或得未定式, 才能用法则, 一次法则用完后得到的式子只要是符合法
0∞
则就可以一直用下去.
（2）每用完一次法则, 要将式子整理化简.
f ' (x )f (x )
（3）lim ' 不存在, 不能推出lim 不存在.
x →x 0g x x →x 0g x （4）当x →∞时, 极限式中含有sin x ,cos x , 不能用法则;
11
当x →0时, 极限式中含有sin ,cos , 不能用法则.
x x
例5 设f (x )在x =12的邻域内为可导函数, 且lim f (x )=0, lim f ' (x )=1000. 求极限
x →12
x →12
⎡12⎤
t f u d ()⎢⎰u ⎥d t ⎰⎦. lim 12⎣t
3x →12
(12-x )
x
12
12
解：原式=lim
x ⎰f (u )d u
x
x →12
-3(12-x )
2
=lim
⎰f (u )d
x
u
-xf (x )
x →12
612-x -f (x )-f (x )-xf ' (x )=lim x →12-6
111
=lim f (x )+lim xf ' (x )=⨯12⨯1000=2000.
3x →126x →126
e x -1
例6 计算极限lim .
x →0cos x -1
2xe x
=lim 解 原式=lim ' x →0x →0-sin x (cos x -1)xe )( =-2lim
x 2
x →0
'
2
(e
x 2
-1
)
'
2
(sin x )
'
=-2lim
e +2x e
x →0cos x
x 22x 2
=-2.
3.3.2 其他类型不定式极限的求法
0∞
（1）∞-∞型⇒或型再用法则;
0∞
⎛1⎫
例7 求lim 2-cot 2x ⎪.
x →0x ⎝⎭
⎛1cos 2x ⎫sin 2x -x 2cos 2x sin 2x -x 2cos 2x
解 原式=lim 2- =lim ⎪=lim 2224x →0x x →0x →0sin x x sin x x ⎝⎭
sin x +x cos x sin x -x cos x sin x -x cos x
⋅=2lim
x →0x →0x x 3x 3
cos x -cos x +x sin x 2
=. =2lim 2x →03x 3
0∞
（2） 0⋅∞型⇒或型，再用法则;
0∞
=lim
⎛π⎫
例8 求lim -arctan 2x 2⎪x 2.
x →∞2⎝⎭
π
解 原式=lim x →∞
-arctan 2x 2
x
-2
-=lim
x →∞
4x 1+2x
2-2x -3
2x 41
. =lim =
x →∞1+4x 42
0∞
（3） 00, ∞0,1∞型⇒0⋅∞型⇒或型;
0∞
例9 求下列极限:
1k lim x x →0+x
x （1） lim +
x →0
k 1+ln x
. 解 原式=e
x →0+1+ln x
lim
k ln x
=e
=e k .
ln (cot x )x →0+csc x lim
（2） lim (cot x )+
x →0
sin x
. 解 原式=e x →0+
lim sin x ln (cot x )
=e
x 2
x →02x lim
=e
x
1
-csc 2x cot x lim
x →0+-csc x ⋅cot x
()
=e
tan 2x x →0+sin x lim
=e
=e 0=1.
21
⎛2⎫
（3） lim arctan x ⎪. 解 原式=e
x →+∞π⎝⎭
⎛2⎫
lim arctan x -1⎪x x →+∞⎝π⎭
2
=e x →+∞
lim π
arctan x -1x -1
=e
x →+∞
πx 2
lim 1+-x
=e
-
2
π
.
3.4 变量替换法求极限
数学运算的原则是一步比一步简单, 若用洛必达法则后, 式子反而比原来的复杂, 说明用法则达不到求解的目的, 此时应想到变量替换法, 通常是令x =
e x
例10 求lim 100.
x →0x
-1
1
, k为自然数. t k
解 令u =
1， 2x
u 5050u 4950!
原式=lim u =lim u = lim u =0.
u →+∞e u →+∞u →+∞e e
⎡⎛1⎫⎤
例11 求lim ⎢x -x 2ln 1+⎪⎥.
x →∞
⎝x ⎭⎦⎣
1
解 令x =，则
t
t -ln (1+t )⎡1ln (1+t )⎤
原式=lim ⎢- ⎥=lim 22x →∞t t →0t t ⎣⎦
1-
1
t 1=lim =. t →02t 1+t 2t 2
=lim
t →0
3.5 “抓大头”法求极限
⎧a 0
⎪b , n =m 0⎪a 0x n +a 1x n -1+ a n -1x +a n ⎪
=⎨0, n
x →∞b x m +b x m -1+ +b 01m -1x +b m ⎪
⎪⎪⎩∞, n >m
为重要公式, 求x →∞时的极限, 通常用抓大头法, 所谓的抓大头法就是抓住关于
x 的最高次数的项, 而把其余的项略掉.
例12 求下列极限：
2x 4-1
（1）lim 4 .
x →∞3x -2x +1
2x 42
解 原式=lim 4=.
x →∞3x 3
（2）lim
ln (100x 3+2x -5)ln 2x +3x +110
x →+∞
.
ln100+3ln x 3ln x 3
=lim =.
x →+∞ln 2+10ln x x →+∞10ln x 10
解 原式=lim
20
ln (100x 3)ln 2x 1030
x →+∞
=lim
(2x -3)(3x +2)（3）lim 50x →∞
(2x +1)
.
20
30
2x )(3x )(解 原式=lim 50x →∞
(2x )
⎛3⎫= ⎪. ⎝2⎭
30
例13
求lim .
x →+∞
解 原式
=lim
x =lim
x 1
=. 2
3.6 关于幂指数函数极限的简洁求法
（1）设lim u (x )=a >0,lim v (x )=b , 且lim u (x )v (x )存在, 则
lim ⎡⎣u (x )⎤⎦
v (x )
=⎡⎣lim u (x )⎤⎦
lim v (x )
=a b .
（2） 设lim u (x )=0,lim v (x )=∞, 且lim u (x )v (x )存在, 则
lim ⎡⎣1+u (x )⎤⎦
v (x )
=e lim u (x )v (x ).
（3）设lim u (x )=1,lim v (x )=∞, 且lim ⎡⎣u (x )-1⎤⎦v (x )存在, 则
lim ⎡⎣u (x )⎤⎦
v (x )
=e
lim ⎡⎣u (x )-1⎤⎦v (x )
.
例13[] 求下列极限:
4
（1） lim (1+sin x
x →0
1
21-cos x
)
.
x 2x →02
x 2lim
解 原式=e
（2） lim (1-2x )
x →0
1
lim sin x 2⋅x →01-cos x
=e
=e 2.
3sin x
.
3sin x
解 原式=e
x →0
lim (-2x )
=e -6.
⎛1+tan x ⎫x 3
（3） lim ⎪. x →01+sin x ⎝⎭
lim ⋅
⎛tan x -sin x ⎫x x →01+sin x x 解 原式=lim 1+ ⎪=e x →01+sin x ⎝⎭
1
tan x -sin x 1
1
=e
sin x 1-cos x 1
lim ⋅⋅x →0x cos x 1+sin x x
=e
12
x sin x 1lim ⋅⋅x →0x x cos x 1+sin x =e .
1
2
11⎫⎛4
例14[] 求lim cos +sin ⎪.
x →∞x x ⎭⎝
22x x →∞
⎡⎛lim sin ⋅11⎫⎤2⎫2⎛x →∞x 2 解 原式=lim ⎢ cos +sin ⎪⎥=lim 1+sin ⎪=e =e x →∞x →∞x x x ⎭⎥⎝⎭⎢⎣⎝⎦
x
2
x
sin lim
2x 2x
=e .
⎛e +e + +e ⎫
例15 求lim ⎪. x →0n ⎝⎭
[4]
e
lim ⎛e +e + +e -n ⎫
解 原式=lim 1+=e x →0
⎪x →0n ⎝⎭
x
2x
nx
e x +2e 2x + +ne nx
x →0n lim
1+2+ +n
n
1
(n +1)2
x 2x nx
1x
1x
x
+e 2x + +e nx -n 1
⋅
n x
=e
4
=e =e .
定理3.1[] 设x →x 0时, u (x )~f (x ), v (x )~g (x ), g (x )、v (x )>0, 且
lim ⎡f (x )⎤⎦x →x 0⎣
g (x )
=m , 则lim ⎡⎣u (x )⎤⎦
x →x 0
v (x )
v (x )
=lim ⎡f (x )⎤⎦x →x 0⎣
g (x )
=m .
证明：lim ⎡⎣u (x )⎤⎦
x →x 0
=e x →x 0
lim v (x )ln u (x )
=e
v (x )u (x )
⋅g (x )ln ⋅f (x )x →x 0g x f x lim
= e
⎡u (x )⎤
lim g (x )⎢ln +ln f (x )⎥x →x 0⎢⎥⎣f x ⎦
=e x →x 0
lim g (x )ln f (x )
=lim ⎡f (x )⎤⎦x →x 0⎣
g (x )
=m .
例16 求lim (sin 2x )
x →0
1-cos x
.
12
x ，则2
ln x lim x →01lim x x →0 解 当x →0时sin 2x ~x 2,1-cos x ~
lim (sin x )
2
x →0
1-cos x
=lim (x
x →0
1222x
)
=e
x →0
lim x 2ln x
=e
x 2
=e
x 3
=e 0=1.
3.7 利用已知极限求解
sin x ⎛1⎫
=1和lim 1+⎪=e . 两个重要的极限：lim
x →0x →∞x ⎝x ⎭
x
例17
求lim (a ≥0, b ≥0). n →∞⎝⎭
n
⎛
解 因n →∞
时，n
⎝
1⎛1⎫
n n
⎫1 a -1b -1⎪1
-1⎪⎪=2 +⎪→2(ln a +ln b ) 2⎭ ⎪
n ⎭⎝n
⎫
n 1⎪⎪⎝⎭
⎡⎡⎫⎢-1 故原式
=lim ⎢⎢1+⎪⎥⎪n →∞⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦
=e
1
(
ln a +ln b )2
=e =11⎫⎛1
例18 求lim ++ +⎪.
n →∞n +1n +22n ⎭⎝
1⎛1⎫
（此题可以利用Euler 常数求解, lim x n =lim 1++ +-ln n ⎪=c （c 为
n →∞n →∞n ⎝2⎭
常数），这个常数c 就称为Euler 常数）
⎡⎛11⎫⎛11⎫⎤
解 原式=lim ⎢ 1++ +⎪- 1++ +⎪⎥
n →∞2n ⎭⎝2n ⎭⎦⎣⎝2
=lim ⎡⎣(ln 2n +c +α2n )-(ln n +c +αn )⎤⎦
n →∞
= lim (ln 2+α2n -αn )=ln 2,
n →∞
其中c 为Euler 常数, α2n , αn →0, 当n →∞时.
3.8 两边夹法则
要点 当极限不易直接求出时, 可考虑将求极限的变量, 作适当的放缩, 使放大或缩小所得的心变量, 易于求极限, 且二者的极限值相同, 则原极限存在, 且等于此公共值.
1⎡1⎤⎡1⎤
例19 求lim x ⎢⎥（⎢⎥表示不大于的最大整数）.
x →0x ⎣x ⎦⎣x ⎦
解
11⎡1⎤⎡1⎤
-10时，1-x
⎡1⎤⎡1⎤
当x x ⎢⎥≥1，所以lim x ⎢⎥=1.
x →0
⎣x ⎦⎣x ⎦
例20 求lim x n ，其中x n =
n →∞
1⋅3 (2n -1).
2⋅4 2n 解 因几何平均小于算术平均，故分无中的因子
2=
1+33+5
>
4=>， ，22
2
2n -1)+(2n +1)
(2n =>
1⋅3 (2n -1) 由此可知0
n →∞2⋅4
2n 3.9 利用泰勒公式求极限
3
定理3.2[] 若函数f 在点x 0存在直至n 阶导数，则f (x )=T n (x )+ο
((x -x 0)
n
)，
即
f '' (x 0)f ()(x 0)2n n
f (x )=f (x 0)+f (x 0)(x -x 0)+(x -x 0)+ +(x -x 0)+ο(x -x 0).
2! n !
n
'
()
称上述定理中的等式为函数f 在点x 0处得泰勒公式, R n (x )=f (x )-T n (x )称为泰勒公式的余项. 其中常用和重要的Maclaurin 公式有以下一些：
x 2x n
(1) e =1+x ++ ++ο(x n ),
2! n !
x
x 3x 5x 2m -1m -1
(2) sin x =x -++ +(-1)+ο(x 2m ),
3! 5! 2m -1!
2m x 2x 4m x
(3) cos x =1-++ +(-1)+ο(x 2m +1),
2! 4! 2m ! n
x 2x 3n -1x
+ο(x n ), (4) ln (1+x )=x -++ +(-1)
23n
(5) (1+x )=1+αx +(6)
5
α
α(α-1)
2!
x + +
2
α(α-1) (α-n +1)
n !
x n +ο(x n ),
1
=1+x +x 2+ +x n +ο(x n ). 1-x
例21[] 求下列极限
x 2
+1（1）
lim . （2）
lim
x 22x →0x →∞
cos x -e sin x
.
12145x 2
解 （1）
=1+x -x +ο(x ), e =1+x 2+ο(x 3)，
28
14
x +ο(x 5)x 1cos x =1-+ο(x 3), sin x 2~x 2，则原式= lim =-.
x →0⎡321223⎤2
-x +οx x ()⎢⎥⎣2⎦
2
⎡11⎛1⎫⎛⎛1⎫⎫⎤=lim x 1++ο-1-+ο（2）原式
=lim x ⎢ ⎪ ⎪⎪⎥ x →∞x →∞⎝x ⎭⎝6x ⎝x ⎭⎭⎦⎣6x ⎡1⎛1⎫⎤1
= lim x ⎢+ο ⎪⎥=.
x →∞
⎝x ⎭⎦3⎣3x
⎡⎢f
例22 求lim ⎢
n →+∞
⎢⎢⎣1⎫⎤⎛
a + ⎪n ⎥⎥（其中函数f (x )在点a 可导，且f (a )≠0）. f a ⎥
⎥⎦
n
n
⎡1⎛1⎫⎤ι
f a +f a ⋅+ο()() ⎪⎥⎢n ⎝n ⎭⎥ 解 原式=lim ⎢n →+∞f a ⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
f (a )⎡⎤n ⋅f a ⎛⎫⎢⎥⎪⎢ ⎥1 ⎪⎥ =lim ⎢1+
n →+∞ ⎪f a ⎢⎥
n ⋅ ⎪⎢⎥f a ⎭⎝⎢⎥⎣⎦
f ι(a )f a ⎡⎤
⎢⎥
1⎥ =lim ⎢1+
n →+∞⎢f a ⎥
n ⋅⎢⎥f a ⎣⎦
n
f ι(a )
=e f a .
3.10 利用积分定义求极限
利用定积分定义
⎰f (x )d
a
b
x
=lim ∑f (ξ)∆x k 来求解极限, 此法主要用于n 项和
λ→0
k =1
n
式（当n →∞时）, 若是n 项乘积（当n →∞时）, 可以先利用对数恒等式化为n 项和形式.
11⎫⎛1
例23 （1） lim . （2）
. ++ +⎪n →∞n +1n →∞n +2n +n ⎭⎝
d 1
⋅=⎰x =ln 2. 解 （1）原式= lim ∑n →∞i n 01+x i =1
1+n
1
n
1
1n ⎛i ⎫
（2） 取对数后变为 ∑l n 1+⎪→⎰l (n +1x )d x =
n i =1⎝n ⎭0 原式= e 2ln 2-1=例24 求lim ∑
n →∞
i =1n
1
2-l n ，故21
4
. e
1
. i 2+1n +
n
2
i 2+1i 2i 2+1(i +1)⎛i i +1⎫2
解 因为 2
n n n n n ⎝⎭
⎡⎤
n ⎢n -111⎥11
=lim ⎢∑+于是 lim ∑⎥ 222n →∞n →∞i +1n +1i =1⎢i =0n 1+ξi n +⎥n +
⎢n n ⎥⎣⎦
=
1
+lim 2x ⎰n →∞1+x 0
1
1ππ
=+0=. n 2+144n +
n
3.11 利用级数求极限
（1）利用收敛级数通项趋向零
定理3.3 若级数∑u i 收敛，则lim u n =0.
i =1
n →∞
[3]
∞
例25 求极限lim x n ，其中x n =
n →∞
5n ⋅n !
(2n )
n
.
n
n
n +1
x n +15⋅(n +1)! (2n )5⎛n ⎫515
===→
1+⎪⎝n ⎭
项级数∑x n 收敛，从而通项x n →0(n →∞).
n =1
∞
（2）利用收敛级数余项趋于零
⎡111⎤
+ + 例26 lim ⎢2+. 22⎥n →∞n (n +1)(2n )⎥⎢⎣⎦
∞
11
解 因级数∑2收敛，因此其余项R n =∑2→0(x →∞).
k =n +1k k =1k
∞
0≤
111
++ +≤R n -1→0(n →∞)，故原极限为零. 222
n (n +1)(2n )
3.12 利用连续性求极限
例27
求limsin 2.
n →∞
( 解
sin 2=sin 2n π
(
()
⎛⎫
=sin =sin 22
⎛⎫ ⎪π2
=sin 2=1. 由于初等函数在定义域内连续, 所以, 原式
=sin 2 n ⎝3.13 Stolz公式
Stolz 公式 可以说是数列的L.Hospital 法则, 它对求数列的极限很有用. 3.13.1 数列的情况 定理3.4[] （
6
∞
型Stolz 公式） ∞
n →∞
设{x n }严格递增（即∀n ∈N 有x n
n →∞
y n -y n -1y
=a （有限数）, 则有lim n =a .
n →∞x x n -x n -1n
（2） a 为+∞或-∞, 结论仍然成立.
06
定理3.5[] （型Stolz 公式）
设n →∞时y n →0, x n 严格单调下降趋向零. 若lim
n →∞
y n -y n -1y
=a , 则lim n =a
n →∞x x n -x n -1n
（其中a 为有限数, +∞或-∞）.
例28 设 s n =
∑ln c
k =0
n
k
n
n 2
n →∞
k =（其中c n
n (n -1) (n -k +1)
）, 求lim s n .
n →∞1⋅2 k
解 因lim s n 单调递增至+∞，应用Stolz 公式
lim s n =lim k =0
n →∞
n →∞n
∑ln c
n +1
k
n +1
k
-∑c n
n
(n +1)
2
-n
k =02
k n c n n +1n +1+1ln +ln c ln ∑n +1∑k
c n n -k +1k =0
=lim k =0 = lim
n →∞n →∞2n +12n +1
n +1k =1
= lim
(n +1)ln (n +1)-∑ln k
2n +1
n →∞
=
n +1)ln (n +1)-n ln n -ln (n +1)( lim n →∞2n +1-2n -1n
⎛n +1⎫
ln ⎪1n ⎭⎝ = lim =. n →∞22
⎛2⎫⎛2⎫2⎛2⎫2
例29 求lim 2⎪ 3⎪ n ⎪.
n →∞2-1⎝⎭⎝2-1⎭⎝2-1⎭
n -1
1
1
2
n -1
1
2
解 先取对数，再求极限
1212212n -1
ln x n =n -1ln 2+n -2ln 3+ +ln n
22-122-122-11⎛2222n -1⎫n -2=n -1 ln 2+2ln 3+ +2ln n ⎪2⎝2-12-12-1⎭ 应用Stolz 公式,
2n -1
2ln n
1=lim ln 1lim ln x n =lim n -1n -=ln
n →∞n →∞2n →∞-2222-n -1
2
1
故原式=lim x n =.
n →∞2
n -2
3.13.2 函数极限的情况
Stolz 公式可以推广到函数极限的情况
⎛∞⎫6
定理3.6[] 型⎪若T >0为常数，
⎝∞⎭
（1）g (x +T )>g (x ), ∀x ≥a ，
（2） g (x )→+∞(x →+∞), 且f , g 在[a , +∞)(即指:∀b >a , f , g 在[a , b ]上有界), （3） lim
x →+∞
f (x +T )-f (x )f (x )
, 则有（其中l 为有限数，或+∞, -∞）. =l lim =l
x →+∞g x +T -g x g x ⎛0⎫6
定理3.7[] 型⎪设T >0, 且
⎝0⎭
（1） 0
x →+∞
x →+∞
f (x +T )-f (x )
（3） lim =l , 则有
x →+∞g x +T -g x lim
f (x )
=l （其中l 为有限数, 或+∞, -∞）. g x x →+∞
3.14 递推形式的极限
3.14.1 利用存在性求极限
要点 假若用某种方法证明了递推数列的极限存在, 则在递推公式里取极限, 便可得极限值A 应满足的方程, 解此方程, 可求极限值A . 在证明时, 可用单调有界定理, 柯西收敛准则, 压缩映像等方法. （1） 单调有界定理[3]: 在实数系中, 有界的单调数列必有极限.
3
（2） 柯西收敛准则[]: 数列{a n }收敛的充要条件是, 对任给的ε>0, 存在正整数
N , 使得当n , m >N 时有a n -a m
（3） 压缩映像原理[]: 1' 对于任一数列{x n }而言, 若存在常数r , 使得∀n ∈N , 恒
6
有x n +1-x n ≤r x n -x n -1,0
2' 特别, 若数列{x n }利用递推公式给出: x n +1=f (x n )(n =1,2 ), 其中f 为某一可微函数, 且∃r ∈R , 使得f ι(x )≤r
例30[]
证明数列x 0=1, x n +1=n =0,1,2, 有极限, 并求其值.
7
证明 （1）显然1≤x 0
则1≤x n +1==2, 故一切n ∈N ，有1≤x n
x n +1
==（2
）因x n n
>=1, 故x n 单调递增. n →∞
（3）利用单调有界原理, 知{x n }收敛. 记A =lim x n ,
在x n +1=
A =A =0或2.
（4）因0
n →∞
例31
设x 1=x n =证明 令f (
x )=n =2,3, ), 证明：{x n }收敛, 并求其极限值.
, 则f (
x )∈+∞,0
x )=
)
x
)
2
x ∈+∞, 用压缩映像原理2' 知数列{x n }收敛, 令A =lim x n ,
对
n →∞
)
x n =
, A =得A =2, 即lim x n =2.
n →∞
3.14.2 写出通项求极限
要点 对递推数列, 有时可以通过递推关系写出数列的通项表达式, 从而可以
用前面的方法求解.
例32 设x 0=0, x 1=1, x n +1= 解 x n +1-x n =
x n +x n -1
，求lim x n .
n →∞2
(x -x )x n +x n -1
-x n =-n n -1 22
n
n
(-1)⎛1⎫
反复应用此结果有，x n +1-x n = -⎪(x 1-x 0)=n (n =1,2, )
2⎝2⎭
于是有x n +1=(x n +1-x n )+(x n -x n -1)+ +(x 1-x 0)+x 0
⎛1⎫⎛1⎫
= -⎪+ -⎪
⎝2⎭⎝2⎭
n +1
n n -1
+ +1
⎛1⎫1- -⎪
22⎭
=⎝→(n →∞).
3⎛1⎫
1- -⎪⎝2⎭
3.15 利用中值定理求极限
3.15.1 利用Lagrance 中值定理求极限
定理3.8[] （拉格朗日中值定理）若函数f 满足如下条件：
3
（1） f 在闭区间[a , b ]上连续；
（2）f 在开区间(a , b )内可导， 则在(a , b )内至少存在一点ξ, 使得 f ' (ξ)=
f (b )-f ()a
.
b -a
拉格朗日的其他等价表示形式：（1） f (b )-f (a )=f ' (ξ)(b -a ), a
a x -a a 例33 求lim .
x →a x -a
[8]
解 由拉格朗日中值定理得：
f (b )-f (a )
=f ' (ξ)，（ξ介于b 和a 之间）所以
b -a
-lim (x a )
x →a
ιa x -a a x a -a a
-lim =lim (a x ) 原式=lim
x →a x -a x →a x -a x →a
ιx =η
x =ξ
=lim (a ξln a )-lim (a ηa -1)=a a (ln a -1),
ξ→a
η→a
（其中ξ, η都位于a 和b 之间, 当x →a 时, ξ→a , η→a ）. 3.15.2 利用积分中值定理求极限
定理3.9[9] （积分第一中值定理）若f 在[a , b ]上连续, 则至少存在一点ξ∈[a , b ]
使⎰f (x )d x =f (ξ)(b -a ).
a b
x n
例34 求lim ⎰x .
n →∞1+x
[9]
1
解 记f (x )=
11
, g (x )=x n , 则m =min {f (x )}=, M =max {f (x )}=1, 即
x ∈[0,1]x ∈[0,1]1+x 2
11
f (ξ)1x n
≤f (ξ)≤1, ξ∈[0,1], 根据积分中值定理得⎰, 因为d x =f (ξ)⎰x n d x =21+x n +100
f (ξ)是有界量, 则原式= lim
n →∞
f (ξ)
=0. n +1
第四章 结论
极限是高等数学中最重要的概念之一，是研究微积分学，乃至整个数学分析的重要工具，极限思想也是研究高等数学的重要思想，正确掌握极限的运算方法，是研究高等数学及相关科学的基础。
本文在借鉴了众多学者已有的研究成果的基础上，对各种类型的极限求法进行了总结。通过举例详细的介绍了等价代换法，初等变形法，变量替换法，通项法，中值定理法，“抓大头”法，两边夹法则，以及利用洛必达法则，泰勒公式，Stolz 公式，已知极限，级数，定积分定义，连续性，存在性求极限，还对幂指数函数的极限，不定式的极限求法进行了总结。
本文可以使大家对极限的各种概念有详细的认知，并且总结了大量的求解极限的方法，方便了大家解极限的问题，使大家在解极限时有更多的选择，加强了求解极限的能力。我希望在将来能够对极限的解法进行更系统，更简洁的总结。对不同类型极限问题用什么方法去解决，能够更简单，更快捷，再进行深入的探究。
参考文献
[1] 胡适耕, 姚云飞. 数学分析定理, 问题, 方法[M].北京:科学出版社,2007,1:13-36. [2] 杨传林. 数学分析解题思想与方法[M].杭州:浙江大学出版社,2008,12:1-23.
[3] 华东师范大学数学系. 数学分析（上册）（第三版）[M].北京:高等教育出版社,2001.
[4] 陈文灯. 数学复习指南（经济类）（第17版）[M].北京:世界图书出版公司北京分公司,2004,1:19-36. [5] 钱吉林. 数学分析题解精粹[M].武汉:崇文书局,2003.
[6] 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法（第二版）[M].北京:高等教育出版社,2006,4:33-91. [7] 杜兴朝. 一类通项具有迭代形式的数列极限的求法[J].陕西:咸阳师范学院学报 ,2007,12. [8] 谭荣. 有关特殊题型极限的求解方法[J].和田师范专科学校学报,2009第28卷第五期. [9] 二十省市教育学院数学分析编写组. 数学分析[M].北京:清华大学出版社,1993,6:42-93.
致 谢
首先，非常感谢我的导师罗艳老师，在论文写作期间给予我的悉心指导和关心。她渊博的知识，扎实的基础和严谨的科研态度，诚以待人，勤以做事的人生观，悉心的指导，使我的论文能够顺利完成。
其次，我要感谢我的班主任张卓飞老师和数学学院的其他老师，他们在我四年的学习中，传授了我宝贵的知识，为我论文的顺利完成打下了基础。同时我也要感谢我所有的同学，在与他们的讨论中我获得了很多知识和启迪。
最后，感谢我的家人和朋友给我的支持和鼓励，我一定会继续努力，争取以更优异的成绩回报社会。
摘 要
极限是高等数学，数学分析等各数学分支学科中的最基本，最重要的概念之一，它是我们学习后续内容，如函数的连续性，导数，积分，级数等的必不可少的工具。因此，正确地理解和运用极限的概念，掌握极限的求法，对于学好数学是十分重要的。本文详细的论述了极限的概念，归纳了求极限的多种常用方法，并通过典型例题具体的说明解题方法和注意事项。
关键字：极限； 极限的概念； 求极限的方法
ABSTRACT
The limit is one of the most basic and important concepts in the higher mathematics, mathematical analysis and other branches of mathematics. It is our essential tool to study the following content, for example function continuity, derivative, integral, progression and so on. Therefore, it is very important to correctly understand and utilize the concept of the limit, grasp the methods of the limit for us to learn mathematics. The article discusses the concept of the limit and generalizes the methods of the limit. We also give some typical examples and some notes to explain the methods of the limit.
Keywords: the limit ; the concept of the limit; the methods of the limit
目 录
第一章 前言 .......................................................................................................................... 1 第二章 极限的定义 . ......................................................................................................... 2
2.1 数列极限概念 . ........................................................................................................... 2 2.2 函数极限的概念 . ....................................................................................................... 2 2.3 两元函数的极限 . ....................................................................................................... 2 2.4 累次极限 . ................................................................................................................... 3 2.5 右（左）极限 . ........................................................................................................... 3
第三章 极限的求法 . ......................................................................................................... 4
3.1 利用等价代换 . ........................................................................................................... 4 3.2 利用初等变形求极限 . ............................................................................................... 4 3.3 利用洛必达法则 . ....................................................................................................... 5
3.3.1 直接应用洛必达法则 . ................................................................................... 5 3.3.2 其他类型不定式极限的求法 . ....................................................................... 7 3.4 变量替换法求极限 . ................................................................................................... 8 3.5 “抓大头”法求极限 . ............................................................................................... 8 3.6 关于幂指数函数极限的简洁求法 . ........................................................................... 9 3.7 利用已知极限求解 . ................................................................................................. 11 3.8 两边夹法则 . ............................................................................................................. 12 3.9 利用泰勒公式求极限 . ............................................................................................. 12 3.10 利用积分定义求极限 . ........................................................................................... 14 3.11 利用级数求极限 .................................................................................................... 15 3.12 利用连续性求极限 . ............................................................................................... 15 3.13 Stolz公式 . ............................................................................................................... 16
3.13.1 数列的情况 . ............................................................................................... 16 3.13.2 函数极限的情况 . ....................................................................................... 17 3.14 递推形式的极限 . ................................................................................................... 18
3.14.1利用存在性求极限 . .................................................................................... 18 3.14.2写出通项求极限 . ........................................................................................ 19 3.15 利用中值定理求极限 . ........................................................................................... 19
3.15.1 利用Lagrance 中值定理求极限 ............................................................... 19 3.15.2 利用积分中值定理求极限 . ....................................................................... 20
第四章 结论 . ..................................................................................................................... 21 参考文献 ............................................................................................................................... 22 致谢......................................................................................................................................... 23
第一章 前言
数学分析这门课程研究的对象是函数，而所用的研究方法是极限方法。从方法论来看，用极限研究函数是数学分析乃至整个分析系统各个分支的显著特征，在数学分析中几乎所有重要概念，都以极限概念作基础，因此在数学分析中极限起着非常重要的作用。
极限理论是数学分析的入门和基础，是人们把握无限的金钥匙。不论是函数连续性、定积分还是无穷级数这些数学分析的核心内容，无一例外地都通过极限来定义和推演。鉴于其数学中的特殊重要地位，我们有必要，对极限的求法进行系统的研究。
求极限或证明极限的方法众多，灵活性强，题型也千变万化。中心问题无外乎两个：一个是证明极限存在，二是求极限的值。人们在初学数学分析阶段往往不易掌握各种解题方法的实质，而难以融会贯通地处理形形色色不同的问题。因此，我们将着重介绍求证极限的各种思想方法和解题技巧[1,2]。
本文深入的分析了各种极限的概念，且对极限的各种求法以及极限的多种题型进行了详细，系统和比较全面的讲解和分类。
第二章 极限的定义
要求极限, 首先要对极限的概念有详细和深入的了解及认识. 为了更好的掌握极限的概念, 本章将对数列极限, 函数极限, 两元函数极限, 累次极限和右（左）极限的概念给予详细的定义.
2.1 数列极限概念
定义 1[3] 设{a n }为数列, a 为定数. 若对任给的正数ε, 总存在正整数N, 使得当n>N时有 a n -a
lim a n =a , 或a n →a (a →∞), 读作“当n 趋于无穷大时, {a n }的极限等于a 或a n 趋于a ”.
x →∞
3
定义 2[] 任给ε>0, 若在 (a ; ε)之外数列{a n }中的项至多只有有限个, 则称
数列收{a n }收敛于极限a.
2.2 函数极限的概念
3
定义 3[] 设f 为定义在[a , ∞)上的函数, A为定数. 若对任给的ε>0, 存在正数
M (≥a ), 使得当x>M时有f (x )-A
x →+∞
lim f (x )=A 或f (x )→A (x →+∞).
3
定义 4[] 设函数f 在点x 0的某个空心邻域 0(x 0; δ' )内有定义, A 为定数. 若对
任给的ε>0, 存在正数δ(
x →x 0
2.3 两元函数的极限
定义 5[] 设f 为定义在D ⊂R 上的二元函数, P 0为D 的一个聚点, A 是一个确
3
2
定的实数. 若对任给正数ε, 总存在某正数δ, 使得当P ∈ 0(P 0; δ) D 时, 都有
f (P )-
P →P 0
P ∈D
定义 6[] 设D 为二元函数f 的定义域, P 0(x 0, y 0)是D 的一个聚点. 若对任给正
3
δ数M, 总存在点P 的一个邻域, 使得当P x , y ∈ ()(P 0; δ) D 时, 都有f (P )>M , 则0
称f 在D 上当P →P 0时, 存在非正常极限+∞, 记作
p →p 0
(x , y )→(x 0, y 0)
lim
f (x , y )=+∞或
lim f (P )=+∞.
2.4 累次极限
定义 7[] 设E x , E y ⊂R , x 0是E x 的聚点, y 0是E y 的聚点, 二元函数f 在集合
3
D =E x ⨯E y 上有定义. 若对每一个y ∈E y , y ≠y 0, 存在极限lim f (x , y ), 由于此极限一
x →x 0
x ∈E
般与y 有关, 因此记作ϑ(y )=lim f (x , y ), 而且进一步存在极限L =lim ϑ(y ), 则称此
x →x 0x ∈E
y →y 0y ∈E
极限为二元函数f 先对x (→x 0)后对y (→y 0)的累次极限, 并记作L =lim lim f (x , y )或
y →y 0x →x 0y ∈E x ∈E
简记作L =lim lim f (x , y ).
y →y 0x →x 0
2.5 右（左）极限
3' 0'
定义 8[] 设函数f 在 0+(x 0; δ)或 -(x 0; δ)内有定义, A为定数. 若对任给的
()
ε>0, 存在正数δ(
⎛lim f x =A ⎫+
f x =A 则称数A 为函数f 当x 趋于x 0()(或x 0-)时的右（左）极限, 记x lim x →x -()⎪+
→x 0⎝0⎭
+
或f (x )→A (x →x 0)f (x )→A (x →x 0-).
()
右极限与左极限统称为单侧极限.
第三章 极限的求法
为了能够快速有效的求解极限, 本章将对极限的各种求法予以详细和系统的讲解，这样便可以方便大家迅速的找到适合求解某一类或某一种极限的方法. 如等价代换, 洛必达法则, 变量替换等一些常用的方法, 都将在本章中予以介绍总结.
3.1 利用等价代换
要点 在求乘除式极限里, 其因子可用等价因子代替, 极限不变. 最常用的等价关系如: 当x →0时, 有如下关系：
a x -1(1+x )-1x
, x sin x , tan x , arcsin x , arctan x , ln (1+x ), e -1, , 还有ln a b
b
(1-cos x )~
12
x (其中a >0, b ≠0). 2
1⎫n 1-cos 2⎪
例
1 . n 1⎫⎛11n 2 1-cos 2⎪n 2⋅⋅4=1. =lim 解
因=1，故原式
=x →0n n →∞11⋅22n 例2 lim
x →0
1-e sin x
x
x (1-cos x )
2
.
1
x ⋅x 2
1
解 原式=lim 2=-.
x →0-x ⋅x 2例3 lim
arctan x
.
x →0ln 1+sin x x
=1.
x →0sin x
解 原式=lim
3.2 利用初等变形求极限
要点 用初等数学的方法将x n 变形, 然后求极限.
x x x x
例4 （1）x n =cos cos 2cox 3 cos n , 求lim x n .
n →∞2222
x 2sin n
2
x x x x
x n =cos cos 2cos 3 cos n
2222sin x
=
x 2n sin 2x
sin x n sin x
=. ⋅→
x sin x
2n
n
解 乘以
2n sin
x 2n
351722+1
（2）x n =⋅⋅ 2n ，求lim x n .
n →∞24162
1
，再对分子反复应用公式(a +b )(a -b )=a 2-b 2 解 乘以1-2
1-
1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛
x n = 1+⎪1+2⎪ 1+2n ⎪
⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭⎛1⎫1- 2n ⎪
=→2(n →∞).
11-2
2
n
（3
）x n =i =1
n
，求lim x n .
n →∞
原式=
i =1
n
=∑
i =1
n
11
i (i +1)2
1⎫⎛11⎫⎛
=2∑ -=21-⎪ ⎪→2(n →∞).
i +1⎭⎝n +1⎭i =1⎝i
n
3.3 利用洛必达法则
3.3.1 直接应用洛必达法则
法则 1[] 设函数f (x ), g (x )满足条件:
3
（1）lim f (x )=0, lim g (x )=0,
x →x 0
x →x 0
（2）f (x ), g (x )在x 0的某空心邻域 0(x 0)内可导, 且g ' (x )≠0，
f ' (x )
（3）lim ' ，则 =A (A可为实数，也可为±∞或∞）
x →x 0g x f (x )f ' (x )
lim =lim ' =A .
x →x 0g x x →x 0g x 法则 2[3] 若函数f 和g 满足： （1）lim f (x )=lim g (x )=∞, ++
x →x 0
x →x 0
'
（2）在x 0的某右邻域 0内两者都可导，且g x (x )≠0， ()+0
f ' (x ) （3）lim ' =A （A 可为实数，也可为±∞, ∞）, 则
x →x 0g x f (x )f ' (x )
lim =lim ' =A .
x →x 0g x x →x 0g x 用洛必达法则应注意的事项:
0∞
（1）只有或得未定式, 才能用法则, 一次法则用完后得到的式子只要是符合法
0∞
则就可以一直用下去.
（2）每用完一次法则, 要将式子整理化简.
f ' (x )f (x )
（3）lim ' 不存在, 不能推出lim 不存在.
x →x 0g x x →x 0g x （4）当x →∞时, 极限式中含有sin x ,cos x , 不能用法则;
11
当x →0时, 极限式中含有sin ,cos , 不能用法则.
x x
例5 设f (x )在x =12的邻域内为可导函数, 且lim f (x )=0, lim f ' (x )=1000. 求极限
x →12
x →12
⎡12⎤
t f u d ()⎢⎰u ⎥d t ⎰⎦. lim 12⎣t
3x →12
(12-x )
x
12
12
解：原式=lim
x ⎰f (u )d u
x
x →12
-3(12-x )
2
=lim
⎰f (u )d
x
u
-xf (x )
x →12
612-x -f (x )-f (x )-xf ' (x )=lim x →12-6
111
=lim f (x )+lim xf ' (x )=⨯12⨯1000=2000.
3x →126x →126
e x -1
例6 计算极限lim .
x →0cos x -1
2xe x
=lim 解 原式=lim ' x →0x →0-sin x (cos x -1)xe )( =-2lim
x 2
x →0
'
2
(e
x 2
-1
)
'
2
(sin x )
'
=-2lim
e +2x e
x →0cos x
x 22x 2
=-2.
3.3.2 其他类型不定式极限的求法
0∞
（1）∞-∞型⇒或型再用法则;
0∞
⎛1⎫
例7 求lim 2-cot 2x ⎪.
x →0x ⎝⎭
⎛1cos 2x ⎫sin 2x -x 2cos 2x sin 2x -x 2cos 2x
解 原式=lim 2- =lim ⎪=lim 2224x →0x x →0x →0sin x x sin x x ⎝⎭
sin x +x cos x sin x -x cos x sin x -x cos x
⋅=2lim
x →0x →0x x 3x 3
cos x -cos x +x sin x 2
=. =2lim 2x →03x 3
0∞
（2） 0⋅∞型⇒或型，再用法则;
0∞
=lim
⎛π⎫
例8 求lim -arctan 2x 2⎪x 2.
x →∞2⎝⎭
π
解 原式=lim x →∞
-arctan 2x 2
x
-2
-=lim
x →∞
4x 1+2x
2-2x -3
2x 41
. =lim =
x →∞1+4x 42
0∞
（3） 00, ∞0,1∞型⇒0⋅∞型⇒或型;
0∞
例9 求下列极限:
1k lim x x →0+x
x （1） lim +
x →0
k 1+ln x
. 解 原式=e
x →0+1+ln x
lim
k ln x
=e
=e k .
ln (cot x )x →0+csc x lim
（2） lim (cot x )+
x →0
sin x
. 解 原式=e x →0+
lim sin x ln (cot x )
=e
x 2
x →02x lim
=e
x
1
-csc 2x cot x lim
x →0+-csc x ⋅cot x
()
=e
tan 2x x →0+sin x lim
=e
=e 0=1.
21
⎛2⎫
（3） lim arctan x ⎪. 解 原式=e
x →+∞π⎝⎭
⎛2⎫
lim arctan x -1⎪x x →+∞⎝π⎭
2
=e x →+∞
lim π
arctan x -1x -1
=e
x →+∞
πx 2
lim 1+-x
=e
-
2
π
.
3.4 变量替换法求极限
数学运算的原则是一步比一步简单, 若用洛必达法则后, 式子反而比原来的复杂, 说明用法则达不到求解的目的, 此时应想到变量替换法, 通常是令x =
e x
例10 求lim 100.
x →0x
-1
1
, k为自然数. t k
解 令u =
1， 2x
u 5050u 4950!
原式=lim u =lim u = lim u =0.
u →+∞e u →+∞u →+∞e e
⎡⎛1⎫⎤
例11 求lim ⎢x -x 2ln 1+⎪⎥.
x →∞
⎝x ⎭⎦⎣
1
解 令x =，则
t
t -ln (1+t )⎡1ln (1+t )⎤
原式=lim ⎢- ⎥=lim 22x →∞t t →0t t ⎣⎦
1-
1
t 1=lim =. t →02t 1+t 2t 2
=lim
t →0
3.5 “抓大头”法求极限
⎧a 0
⎪b , n =m 0⎪a 0x n +a 1x n -1+ a n -1x +a n ⎪
=⎨0, n
x →∞b x m +b x m -1+ +b 01m -1x +b m ⎪
⎪⎪⎩∞, n >m
为重要公式, 求x →∞时的极限, 通常用抓大头法, 所谓的抓大头法就是抓住关于
x 的最高次数的项, 而把其余的项略掉.
例12 求下列极限：
2x 4-1
（1）lim 4 .
x →∞3x -2x +1
2x 42
解 原式=lim 4=.
x →∞3x 3
（2）lim
ln (100x 3+2x -5)ln 2x +3x +110
x →+∞
.
ln100+3ln x 3ln x 3
=lim =.
x →+∞ln 2+10ln x x →+∞10ln x 10
解 原式=lim
20
ln (100x 3)ln 2x 1030
x →+∞
=lim
(2x -3)(3x +2)（3）lim 50x →∞
(2x +1)
.
20
30
2x )(3x )(解 原式=lim 50x →∞
(2x )
⎛3⎫= ⎪. ⎝2⎭
30
例13
求lim .
x →+∞
解 原式
=lim
x =lim
x 1
=. 2
3.6 关于幂指数函数极限的简洁求法
（1）设lim u (x )=a >0,lim v (x )=b , 且lim u (x )v (x )存在, 则
lim ⎡⎣u (x )⎤⎦
v (x )
=⎡⎣lim u (x )⎤⎦
lim v (x )
=a b .
（2） 设lim u (x )=0,lim v (x )=∞, 且lim u (x )v (x )存在, 则
lim ⎡⎣1+u (x )⎤⎦
v (x )
=e lim u (x )v (x ).
（3）设lim u (x )=1,lim v (x )=∞, 且lim ⎡⎣u (x )-1⎤⎦v (x )存在, 则
lim ⎡⎣u (x )⎤⎦
v (x )
=e
lim ⎡⎣u (x )-1⎤⎦v (x )
.
例13[] 求下列极限:
4
（1） lim (1+sin x
x →0
1
21-cos x
)
.
x 2x →02
x 2lim
解 原式=e
（2） lim (1-2x )
x →0
1
lim sin x 2⋅x →01-cos x
=e
=e 2.
3sin x
.
3sin x
解 原式=e
x →0
lim (-2x )
=e -6.
⎛1+tan x ⎫x 3
（3） lim ⎪. x →01+sin x ⎝⎭
lim ⋅
⎛tan x -sin x ⎫x x →01+sin x x 解 原式=lim 1+ ⎪=e x →01+sin x ⎝⎭
1
tan x -sin x 1
1
=e
sin x 1-cos x 1
lim ⋅⋅x →0x cos x 1+sin x x
=e
12
x sin x 1lim ⋅⋅x →0x x cos x 1+sin x =e .
1
2
11⎫⎛4
例14[] 求lim cos +sin ⎪.
x →∞x x ⎭⎝
22x x →∞
⎡⎛lim sin ⋅11⎫⎤2⎫2⎛x →∞x 2 解 原式=lim ⎢ cos +sin ⎪⎥=lim 1+sin ⎪=e =e x →∞x →∞x x x ⎭⎥⎝⎭⎢⎣⎝⎦
x
2
x
sin lim
2x 2x
=e .
⎛e +e + +e ⎫
例15 求lim ⎪. x →0n ⎝⎭
[4]
e
lim ⎛e +e + +e -n ⎫
解 原式=lim 1+=e x →0
⎪x →0n ⎝⎭
x
2x
nx
e x +2e 2x + +ne nx
x →0n lim
1+2+ +n
n
1
(n +1)2
x 2x nx
1x
1x
x
+e 2x + +e nx -n 1
⋅
n x
=e
4
=e =e .
定理3.1[] 设x →x 0时, u (x )~f (x ), v (x )~g (x ), g (x )、v (x )>0, 且
lim ⎡f (x )⎤⎦x →x 0⎣
g (x )
=m , 则lim ⎡⎣u (x )⎤⎦
x →x 0
v (x )
v (x )
=lim ⎡f (x )⎤⎦x →x 0⎣
g (x )
=m .
证明：lim ⎡⎣u (x )⎤⎦
x →x 0
=e x →x 0
lim v (x )ln u (x )
=e
v (x )u (x )
⋅g (x )ln ⋅f (x )x →x 0g x f x lim
= e
⎡u (x )⎤
lim g (x )⎢ln +ln f (x )⎥x →x 0⎢⎥⎣f x ⎦
=e x →x 0
lim g (x )ln f (x )
=lim ⎡f (x )⎤⎦x →x 0⎣
g (x )
=m .
例16 求lim (sin 2x )
x →0
1-cos x
.
12
x ，则2
ln x lim x →01lim x x →0 解 当x →0时sin 2x ~x 2,1-cos x ~
lim (sin x )
2
x →0
1-cos x
=lim (x
x →0
1222x
)
=e
x →0
lim x 2ln x
=e
x 2
=e
x 3
=e 0=1.
3.7 利用已知极限求解
sin x ⎛1⎫
=1和lim 1+⎪=e . 两个重要的极限：lim
x →0x →∞x ⎝x ⎭
x
例17
求lim (a ≥0, b ≥0). n →∞⎝⎭
n
⎛
解 因n →∞
时，n
⎝
1⎛1⎫
n n
⎫1 a -1b -1⎪1
-1⎪⎪=2 +⎪→2(ln a +ln b ) 2⎭ ⎪
n ⎭⎝n
⎫
n 1⎪⎪⎝⎭
⎡⎡⎫⎢-1 故原式
=lim ⎢⎢1+⎪⎥⎪n →∞⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦
=e
1
(
ln a +ln b )2
=e =11⎫⎛1
例18 求lim ++ +⎪.
n →∞n +1n +22n ⎭⎝
1⎛1⎫
（此题可以利用Euler 常数求解, lim x n =lim 1++ +-ln n ⎪=c （c 为
n →∞n →∞n ⎝2⎭
常数），这个常数c 就称为Euler 常数）
⎡⎛11⎫⎛11⎫⎤
解 原式=lim ⎢ 1++ +⎪- 1++ +⎪⎥
n →∞2n ⎭⎝2n ⎭⎦⎣⎝2
=lim ⎡⎣(ln 2n +c +α2n )-(ln n +c +αn )⎤⎦
n →∞
= lim (ln 2+α2n -αn )=ln 2,
n →∞
其中c 为Euler 常数, α2n , αn →0, 当n →∞时.
3.8 两边夹法则
要点 当极限不易直接求出时, 可考虑将求极限的变量, 作适当的放缩, 使放大或缩小所得的心变量, 易于求极限, 且二者的极限值相同, 则原极限存在, 且等于此公共值.
1⎡1⎤⎡1⎤
例19 求lim x ⎢⎥（⎢⎥表示不大于的最大整数）.
x →0x ⎣x ⎦⎣x ⎦
解
11⎡1⎤⎡1⎤
-10时，1-x
⎡1⎤⎡1⎤
当x x ⎢⎥≥1，所以lim x ⎢⎥=1.
x →0
⎣x ⎦⎣x ⎦
例20 求lim x n ，其中x n =
n →∞
1⋅3 (2n -1).
2⋅4 2n 解 因几何平均小于算术平均，故分无中的因子
2=
1+33+5
>
4=>， ，22
2
2n -1)+(2n +1)
(2n =>
1⋅3 (2n -1) 由此可知0
n →∞2⋅4
2n 3.9 利用泰勒公式求极限
3
定理3.2[] 若函数f 在点x 0存在直至n 阶导数，则f (x )=T n (x )+ο
((x -x 0)
n
)，
即
f '' (x 0)f ()(x 0)2n n
f (x )=f (x 0)+f (x 0)(x -x 0)+(x -x 0)+ +(x -x 0)+ο(x -x 0).
2! n !
n
'
()
称上述定理中的等式为函数f 在点x 0处得泰勒公式, R n (x )=f (x )-T n (x )称为泰勒公式的余项. 其中常用和重要的Maclaurin 公式有以下一些：
x 2x n
(1) e =1+x ++ ++ο(x n ),
2! n !
x
x 3x 5x 2m -1m -1
(2) sin x =x -++ +(-1)+ο(x 2m ),
3! 5! 2m -1!
2m x 2x 4m x
(3) cos x =1-++ +(-1)+ο(x 2m +1),
2! 4! 2m ! n
x 2x 3n -1x
+ο(x n ), (4) ln (1+x )=x -++ +(-1)
23n
(5) (1+x )=1+αx +(6)
5
α
α(α-1)
2!
x + +
2
α(α-1) (α-n +1)
n !
x n +ο(x n ),
1
=1+x +x 2+ +x n +ο(x n ). 1-x
例21[] 求下列极限
x 2
+1（1）
lim . （2）
lim
x 22x →0x →∞
cos x -e sin x
.
12145x 2
解 （1）
=1+x -x +ο(x ), e =1+x 2+ο(x 3)，
28
14
x +ο(x 5)x 1cos x =1-+ο(x 3), sin x 2~x 2，则原式= lim =-.
x →0⎡321223⎤2
-x +οx x ()⎢⎥⎣2⎦
2
⎡11⎛1⎫⎛⎛1⎫⎫⎤=lim x 1++ο-1-+ο（2）原式
=lim x ⎢ ⎪ ⎪⎪⎥ x →∞x →∞⎝x ⎭⎝6x ⎝x ⎭⎭⎦⎣6x ⎡1⎛1⎫⎤1
= lim x ⎢+ο ⎪⎥=.
x →∞
⎝x ⎭⎦3⎣3x
⎡⎢f
例22 求lim ⎢
n →+∞
⎢⎢⎣1⎫⎤⎛
a + ⎪n ⎥⎥（其中函数f (x )在点a 可导，且f (a )≠0）. f a ⎥
⎥⎦
n
n
⎡1⎛1⎫⎤ι
f a +f a ⋅+ο()() ⎪⎥⎢n ⎝n ⎭⎥ 解 原式=lim ⎢n →+∞f a ⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
f (a )⎡⎤n ⋅f a ⎛⎫⎢⎥⎪⎢ ⎥1 ⎪⎥ =lim ⎢1+
n →+∞ ⎪f a ⎢⎥
n ⋅ ⎪⎢⎥f a ⎭⎝⎢⎥⎣⎦
f ι(a )f a ⎡⎤
⎢⎥
1⎥ =lim ⎢1+
n →+∞⎢f a ⎥
n ⋅⎢⎥f a ⎣⎦
n
f ι(a )
=e f a .
3.10 利用积分定义求极限
利用定积分定义
⎰f (x )d
a
b
x
=lim ∑f (ξ)∆x k 来求解极限, 此法主要用于n 项和
λ→0
k =1
n
式（当n →∞时）, 若是n 项乘积（当n →∞时）, 可以先利用对数恒等式化为n 项和形式.
11⎫⎛1
例23 （1） lim . （2）
. ++ +⎪n →∞n +1n →∞n +2n +n ⎭⎝
d 1
⋅=⎰x =ln 2. 解 （1）原式= lim ∑n →∞i n 01+x i =1
1+n
1
n
1
1n ⎛i ⎫
（2） 取对数后变为 ∑l n 1+⎪→⎰l (n +1x )d x =
n i =1⎝n ⎭0 原式= e 2ln 2-1=例24 求lim ∑
n →∞
i =1n
1
2-l n ，故21
4
. e
1
. i 2+1n +
n
2
i 2+1i 2i 2+1(i +1)⎛i i +1⎫2
解 因为 2
n n n n n ⎝⎭
⎡⎤
n ⎢n -111⎥11
=lim ⎢∑+于是 lim ∑⎥ 222n →∞n →∞i +1n +1i =1⎢i =0n 1+ξi n +⎥n +
⎢n n ⎥⎣⎦
=
1
+lim 2x ⎰n →∞1+x 0
1
1ππ
=+0=. n 2+144n +
n
3.11 利用级数求极限
（1）利用收敛级数通项趋向零
定理3.3 若级数∑u i 收敛，则lim u n =0.
i =1
n →∞
[3]
∞
例25 求极限lim x n ，其中x n =
n →∞
5n ⋅n !
(2n )
n
.
n
n
n +1
x n +15⋅(n +1)! (2n )5⎛n ⎫515
===→
1+⎪⎝n ⎭
项级数∑x n 收敛，从而通项x n →0(n →∞).
n =1
∞
（2）利用收敛级数余项趋于零
⎡111⎤
+ + 例26 lim ⎢2+. 22⎥n →∞n (n +1)(2n )⎥⎢⎣⎦
∞
11
解 因级数∑2收敛，因此其余项R n =∑2→0(x →∞).
k =n +1k k =1k
∞
0≤
111
++ +≤R n -1→0(n →∞)，故原极限为零. 222
n (n +1)(2n )
3.12 利用连续性求极限
例27
求limsin 2.
n →∞
( 解
sin 2=sin 2n π
(
()
⎛⎫
=sin =sin 22
⎛⎫ ⎪π2
=sin 2=1. 由于初等函数在定义域内连续, 所以, 原式
=sin 2 n ⎝3.13 Stolz公式
Stolz 公式 可以说是数列的L.Hospital 法则, 它对求数列的极限很有用. 3.13.1 数列的情况 定理3.4[] （
6
∞
型Stolz 公式） ∞
n →∞
设{x n }严格递增（即∀n ∈N 有x n
n →∞
y n -y n -1y
=a （有限数）, 则有lim n =a .
n →∞x x n -x n -1n
（2） a 为+∞或-∞, 结论仍然成立.
06
定理3.5[] （型Stolz 公式）
设n →∞时y n →0, x n 严格单调下降趋向零. 若lim
n →∞
y n -y n -1y
=a , 则lim n =a
n →∞x x n -x n -1n
（其中a 为有限数, +∞或-∞）.
例28 设 s n =
∑ln c
k =0
n
k
n
n 2
n →∞
k =（其中c n
n (n -1) (n -k +1)
）, 求lim s n .
n →∞1⋅2 k
解 因lim s n 单调递增至+∞，应用Stolz 公式
lim s n =lim k =0
n →∞
n →∞n
∑ln c
n +1
k
n +1
k
-∑c n
n
(n +1)
2
-n
k =02
k n c n n +1n +1+1ln +ln c ln ∑n +1∑k
c n n -k +1k =0
=lim k =0 = lim
n →∞n →∞2n +12n +1
n +1k =1
= lim
(n +1)ln (n +1)-∑ln k
2n +1
n →∞
=
n +1)ln (n +1)-n ln n -ln (n +1)( lim n →∞2n +1-2n -1n
⎛n +1⎫
ln ⎪1n ⎭⎝ = lim =. n →∞22
⎛2⎫⎛2⎫2⎛2⎫2
例29 求lim 2⎪ 3⎪ n ⎪.
n →∞2-1⎝⎭⎝2-1⎭⎝2-1⎭
n -1
1
1
2
n -1
1
2
解 先取对数，再求极限
1212212n -1
ln x n =n -1ln 2+n -2ln 3+ +ln n
22-122-122-11⎛2222n -1⎫n -2=n -1 ln 2+2ln 3+ +2ln n ⎪2⎝2-12-12-1⎭ 应用Stolz 公式,
2n -1
2ln n
1=lim ln 1lim ln x n =lim n -1n -=ln
n →∞n →∞2n →∞-2222-n -1
2
1
故原式=lim x n =.
n →∞2
n -2
3.13.2 函数极限的情况
Stolz 公式可以推广到函数极限的情况
⎛∞⎫6
定理3.6[] 型⎪若T >0为常数，
⎝∞⎭
（1）g (x +T )>g (x ), ∀x ≥a ，
（2） g (x )→+∞(x →+∞), 且f , g 在[a , +∞)(即指:∀b >a , f , g 在[a , b ]上有界), （3） lim
x →+∞
f (x +T )-f (x )f (x )
, 则有（其中l 为有限数，或+∞, -∞）. =l lim =l
x →+∞g x +T -g x g x ⎛0⎫6
定理3.7[] 型⎪设T >0, 且
⎝0⎭
（1） 0
x →+∞
x →+∞
f (x +T )-f (x )
（3） lim =l , 则有
x →+∞g x +T -g x lim
f (x )
=l （其中l 为有限数, 或+∞, -∞）. g x x →+∞
3.14 递推形式的极限
3.14.1 利用存在性求极限
要点 假若用某种方法证明了递推数列的极限存在, 则在递推公式里取极限, 便可得极限值A 应满足的方程, 解此方程, 可求极限值A . 在证明时, 可用单调有界定理, 柯西收敛准则, 压缩映像等方法. （1） 单调有界定理[3]: 在实数系中, 有界的单调数列必有极限.
3
（2） 柯西收敛准则[]: 数列{a n }收敛的充要条件是, 对任给的ε>0, 存在正整数
N , 使得当n , m >N 时有a n -a m
（3） 压缩映像原理[]: 1' 对于任一数列{x n }而言, 若存在常数r , 使得∀n ∈N , 恒
6
有x n +1-x n ≤r x n -x n -1,0
2' 特别, 若数列{x n }利用递推公式给出: x n +1=f (x n )(n =1,2 ), 其中f 为某一可微函数, 且∃r ∈R , 使得f ι(x )≤r
例30[]
证明数列x 0=1, x n +1=n =0,1,2, 有极限, 并求其值.
7
证明 （1）显然1≤x 0
则1≤x n +1==2, 故一切n ∈N ，有1≤x n
x n +1
==（2
）因x n n
>=1, 故x n 单调递增. n →∞
（3）利用单调有界原理, 知{x n }收敛. 记A =lim x n ,
在x n +1=
A =A =0或2.
（4）因0
n →∞
例31
设x 1=x n =证明 令f (
x )=n =2,3, ), 证明：{x n }收敛, 并求其极限值.
, 则f (
x )∈+∞,0
x )=
)
x
)
2
x ∈+∞, 用压缩映像原理2' 知数列{x n }收敛, 令A =lim x n ,
对
n →∞
)
x n =
, A =得A =2, 即lim x n =2.
n →∞
3.14.2 写出通项求极限
要点 对递推数列, 有时可以通过递推关系写出数列的通项表达式, 从而可以
用前面的方法求解.
例32 设x 0=0, x 1=1, x n +1= 解 x n +1-x n =
x n +x n -1
，求lim x n .
n →∞2
(x -x )x n +x n -1
-x n =-n n -1 22
n
n
(-1)⎛1⎫
反复应用此结果有，x n +1-x n = -⎪(x 1-x 0)=n (n =1,2, )
2⎝2⎭
于是有x n +1=(x n +1-x n )+(x n -x n -1)+ +(x 1-x 0)+x 0
⎛1⎫⎛1⎫
= -⎪+ -⎪
⎝2⎭⎝2⎭
n +1
n n -1
+ +1
⎛1⎫1- -⎪
22⎭
=⎝→(n →∞).
3⎛1⎫
1- -⎪⎝2⎭
3.15 利用中值定理求极限
3.15.1 利用Lagrance 中值定理求极限
定理3.8[] （拉格朗日中值定理）若函数f 满足如下条件：
3
（1） f 在闭区间[a , b ]上连续；
（2）f 在开区间(a , b )内可导， 则在(a , b )内至少存在一点ξ, 使得 f ' (ξ)=
f (b )-f ()a
.
b -a
拉格朗日的其他等价表示形式：（1） f (b )-f (a )=f ' (ξ)(b -a ), a
a x -a a 例33 求lim .
x →a x -a
[8]
解 由拉格朗日中值定理得：
f (b )-f (a )
=f ' (ξ)，（ξ介于b 和a 之间）所以
b -a
-lim (x a )
x →a
ιa x -a a x a -a a
-lim =lim (a x ) 原式=lim
x →a x -a x →a x -a x →a
ιx =η
x =ξ
=lim (a ξln a )-lim (a ηa -1)=a a (ln a -1),
ξ→a
η→a
（其中ξ, η都位于a 和b 之间, 当x →a 时, ξ→a , η→a ）. 3.15.2 利用积分中值定理求极限
定理3.9[9] （积分第一中值定理）若f 在[a , b ]上连续, 则至少存在一点ξ∈[a , b ]
使⎰f (x )d x =f (ξ)(b -a ).
a b
x n
例34 求lim ⎰x .
n →∞1+x
[9]
1
解 记f (x )=
11
, g (x )=x n , 则m =min {f (x )}=, M =max {f (x )}=1, 即
x ∈[0,1]x ∈[0,1]1+x 2
11
f (ξ)1x n
≤f (ξ)≤1, ξ∈[0,1], 根据积分中值定理得⎰, 因为d x =f (ξ)⎰x n d x =21+x n +100
f (ξ)是有界量, 则原式= lim
n →∞
f (ξ)
=0. n +1
第四章 结论
极限是高等数学中最重要的概念之一，是研究微积分学，乃至整个数学分析的重要工具，极限思想也是研究高等数学的重要思想，正确掌握极限的运算方法，是研究高等数学及相关科学的基础。
本文在借鉴了众多学者已有的研究成果的基础上，对各种类型的极限求法进行了总结。通过举例详细的介绍了等价代换法，初等变形法，变量替换法，通项法，中值定理法，“抓大头”法，两边夹法则，以及利用洛必达法则，泰勒公式，Stolz 公式，已知极限，级数，定积分定义，连续性，存在性求极限，还对幂指数函数的极限，不定式的极限求法进行了总结。
本文可以使大家对极限的各种概念有详细的认知，并且总结了大量的求解极限的方法，方便了大家解极限的问题，使大家在解极限时有更多的选择，加强了求解极限的能力。我希望在将来能够对极限的解法进行更系统，更简洁的总结。对不同类型极限问题用什么方法去解决，能够更简单，更快捷，再进行深入的探究。
参考文献
[1] 胡适耕, 姚云飞. 数学分析定理, 问题, 方法[M].北京:科学出版社,2007,1:13-36. [2] 杨传林. 数学分析解题思想与方法[M].杭州:浙江大学出版社,2008,12:1-23.
[3] 华东师范大学数学系. 数学分析（上册）（第三版）[M].北京:高等教育出版社,2001.
[4] 陈文灯. 数学复习指南（经济类）（第17版）[M].北京:世界图书出版公司北京分公司,2004,1:19-36. [5] 钱吉林. 数学分析题解精粹[M].武汉:崇文书局,2003.
[6] 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法（第二版）[M].北京:高等教育出版社,2006,4:33-91. [7] 杜兴朝. 一类通项具有迭代形式的数列极限的求法[J].陕西:咸阳师范学院学报 ,2007,12. [8] 谭荣. 有关特殊题型极限的求解方法[J].和田师范专科学校学报,2009第28卷第五期. [9] 二十省市教育学院数学分析编写组. 数学分析[M].北京:清华大学出版社,1993,6:42-93.
致 谢
首先，非常感谢我的导师罗艳老师，在论文写作期间给予我的悉心指导和关心。她渊博的知识，扎实的基础和严谨的科研态度，诚以待人，勤以做事的人生观，悉心的指导，使我的论文能够顺利完成。
其次，我要感谢我的班主任张卓飞老师和数学学院的其他老师，他们在我四年的学习中，传授了我宝贵的知识，为我论文的顺利完成打下了基础。同时我也要感谢我所有的同学，在与他们的讨论中我获得了很多知识和启迪。
最后，感谢我的家人和朋友给我的支持和鼓励，我一定会继续努力，争取以更优异的成绩回报社会。