圆与方程高考真题精选
2009年考题
1. （2009辽宁）已知圆C 与直线x －y=0 及x －y －4=0都相切，圆心在直线x+y=0上， 则圆C 的方程为（ ）
（A ）(x +1) 2+(y -1) 2=2 (B) (x -1) 2+(y +1) 2=2 (C) (x -1) 2+(y -1) 2=2 (D) (x +1) 2+(y +1) 2=2
【解析】选B. 圆心在x ＋y ＝0上, 排除C 、D, 再结合图象, 或者验证A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径2即可.
2. （2009浙江）已知三角形的三边长分别为3, 4,5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）
A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【解析】选B. 由于3，4，5构成直角三角形S ，故其内切圆半径为r=直角三角形S 的两边也有4个交点。
3. （2009上海）. 过圆C ：(x -1) +(y -1) =1的圆心，作直线分别交x 、y 正半轴于 点A 、B ，∆AOB 被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足S I+S ¥=S ∏+S |||, 则直线AB 有（ ）
（A ） 0条 （B ） 1条 （C ） 2条 （D ） 3条
【解析】选B. 由已知，得：S IV -S II =S III -S I , ，第II ，IV 部分的面积是定值，所以，
2
2
3+4-5
=1, 当该圆运动时，最多与2
S IV -S II 为定值，即S III -S I , 为定值，当直线AB 绕着圆心C 移动时，只可能有一个位置符合题意，即
直线AB 只有一条，故选B 。
4. （2009湖南）已知圆C 1：(x +1) +(y -1) =1，圆C 2与圆C 1关于直线x -y -1=0对称，则圆C 2的方程为（ ）
（A ）(x +2) +(y -2) =1 （B ）(x -2) +(y +2) =1 （C ）(x +2) +(y +2) =1 （D ）(x -2) +(y -2) =1
2
2
2
2
2222
22
⎧a -1b +1
--1=0⎪⎪22
【解析】选B. 设圆C 2的圆心为（a ，b ），则依题意，有⎨，
b -1⎪=-1⎪a +1⎩
⎧a =2解得：⎨，对称圆的半径不变，为1，故选B.
b =-2⎩
5. （2009陕西高考）过原点且倾斜角为60︒的直线被圆x 2+y 2-4y =0所截得的弦长为（A
（B ）2 （C
） （D ）
【解析】选D. 过原点且倾斜角为60
°的直线方程为
2
-y =0, 圆x 2+（y -2）=4的圆心（0，2）到直线的距离为
d =
=1, 因此弦长为=6. （2009重庆高考）直线y =x +1与圆x 2+y 2=1的位置关系为（ ） A ．相切
B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心
D ．相离
【解析】选B. 圆心(0,0)为、到直线y =x +1，即x -y +1=
0的距离d =B 。
，而0
227. （2009重庆高考）圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ）
A ．x 2+(y -2) 2=1 B ．x 2+(y +2) 2=1 C ．(x -1) 2+(y -3) 2=1
D ．x 2+(y -3) 2=1
【解析】选A. 方法1（直接法）：设圆心坐标为(0,b
) =1，解得b =2，
故圆的方程为x 2+(y -2) 2=1。
方法2（数形结合法）：由作图根据点(1,2) 到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为
x 2+(y -2) 2=1
方法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支排除B ，D ，又由于圆心在y 轴上，排除C 。
8. （2009上海高考）过点P (0, 1) 与圆x 2+y 2-2x -3=0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是 ( )
（A ）x =0. （B ）y =1. （C ）x +y -1=0. （D ）x -y +1=0.
【解析】选C. 点P (0, 1) 在圆x 2+y 2-2x -3=0内，圆心为C （1，0），截得的弦最长时的直线为CP ，方程是
x y
+=1，即x +y -1=0。 11
9. （2009广东高考）以点（2，-1）为圆心且与直线x +y =6相切的圆的方程是.
【解析】将直线x +y =6化为x +y -6=0,
圆的半径r =
22
所以圆的方程(x -2) +(y +1) =
=
25
2
22
答案:(x -2) +(y +1) =
25 2
10. （2009天津高考）若圆x 2+y 2=4与圆x 2+y 2+2ay -6=0（a>0
）的公共弦的长为 则a =___________。
【解析】由知x 2+y 2+2ay -6=0的半径为6+a ，由图可知6+a 2-(-a -1) 2=(3) 2 解之得a =1 答案:1.
11. （2009全国Ⅱ）已知AC 、BD 为圆O :x 2+y 2=
4的两条相互垂直的弦，垂足为M , 则四边形ABCD 的面积的最大值为 。
【解析】设圆心O 到AC 、BD 的距离分别为d 1、d 2, 则d 12+d 22=OM 2=3. 四边形ABCD
的面积S =
2
(1
|AC |⋅|BD |=
2
== 0≤d 22≤3
3
∴当d 22=时S 四边形ABCD 有最大值为5.
2
答案:5.
12. （2009全国Ⅱ）已知圆O ：x 2+y 2=5和点A （1，2），则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于
【解析】由题意可直接求出切线方程为y-2=-
1
(x-1)，即x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的截距分别是2
15255
，所以所求面积为⨯⨯5=。
2242
25答案:
4
5和
13. （2009湖北高考）过原点O 作圆x 2+y2－6x －8y ＋20=0的两条切线，设切点分别为P 、Q ， 则线段PQ 的长为 。
【解析】可得圆方程是(x -3) +(y -4) =5又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得PQ =4 答案:4
2
2
14. （2009四川高考）若⊙O 1:x 2+y 2=5与⊙O 2:(x -m ) 2+y 2=20(m ∈R ) 相交于A 、B 两点， 且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是 .
【解析】由题知O 1(0, 0), O 2(m , 0) ，且5
m 2=(5) 2+(25) 2=25⇒m =±5，∴AB =2⋅
答案:4.
15. （2009福建高考）已知直线l:3x+4y-12=0与圆C:⎨个数.
【解析】圆的方程可化为(x +1) 2+(y -2) 2=4. 其圆心为C (-1, 2) , 半径为2.
圆心到直线的距离d =
5⋅20
=4。 5
⎧x =-1+2cos θ
(θ为参数 ) 试判断他们的公共点
⎩y =2+2sin θ
=
7
故直线与圆的公共点个数为2. 答案：2
16. （2009海南、宁夏高考）已知曲线C 1：⎨数）。
（1）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C 1上的点P 对应的参数为t =
⎧x =-4+cos t , ⎧x =8cos θ,
（t 为参数）， C 2：⎨（θ为参
⎩y =3+sin t , ⎩y =3sin θ,
π
2
，Q 为C 2上的动点，求PQ 的中点M 到直线
⎧x =3+2t ,
（t 为参数）距离的最小值。 C 3:⎨
y =-2+t ⎩
x 2y 2
+=1. 【解析】（Ⅰ）C 1:(x +4) +(y -3) =1, C 2:
649
2
2
C 1为圆心是（-4,3) ，半径是1的圆.
C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.
（Ⅱ）当t =
π
2
时，P (-4, 4). Q (8cosθ,3sin θ), 故M (-2+4cos θ, 2+
3
sin θ). 2
C
3为直线x -2y -7=0, M 到C 3的距离d =
|4cos θ-3sin θ-13|. 5
从而当cos θ=
43,sin θ=-
时，d 取得最小值 555
17. （2009江苏高考）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆C 1:(x +3) 2+(y -1) 2=4和圆
C 2:(x -4) 2+(y -5) 2=4. （1）若直线l 过点A (4,0)，且被圆C
1截得的弦长为l 的方程；（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标。【解析】本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。满分16分。
(1)设直线l 的方程为：y =k (x -4) ，即kx -y -4k =0 由垂径定理，得：圆心C 1到直线l
的距离
d =1，
7 24
=1, 2
化简得：24k +7k =0, k =0或k =-
求直线l 的方程为：y =0或y =-即y =0或7x +24y -28=0
7
(x -4) ， 24
(2) 设点P 坐标为(m , n ) ，直线l 1、l 2的方程分别为：
111
y -n =k (x -m ), y -n =-(x -m ) ，即：kx -y +n -km =0, -x -y +n +m =0
k k k
因为直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，两圆半径相等。 由垂径定理，得圆心C 1到直线l 1与C 2直线l 2的距离相等。
41|--5+n +m |
=
化简得：(2-m -n ) k =m -n -3, 或
(m -n +8) k =m +n -5
⎧2-m -n =0⎧m-n+8=0
k 关于的方程有无穷多解，有：⎨ , 或⎨
m -n -3=0m+n-5=0⎩⎩
解之得：点P 坐标为(-3, 13) 或(5, -1) 。
2222
2008年考题
1、（2008山东高考）若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x -3y =0和x 轴相切，则该圆的标准方程是
2
（ ）
（y -）=1 A ．(x -3) +
C ．(x -1) 2+(y -3) 2=1
73
2
B ．(x -2) 2+(y -1) 2=1
（x -）+(y -1) =1 D ．
3
2
22
【解析】选B. 设圆心为(a ,1), 由已知得d =
|4a -3|1
=1, ∴a =2(舍-). 52
2、（2008广东高考）经过圆x 2+2x +y 2=0的圆心C ，且与直线x +y =0垂直的直线方程是（ ）
A ．x ＋y ＋1＝0
B ．x ＋y －1＝0
C ．x －y ＋1＝0
D ．x －y －1＝0
【解析】选C. 易知点C 为(-1,0) ，而直线与x +y =0垂直，我们设待求的直线的方程为y =x +b ， 将点C 的坐标代入马上就能求出参数b 的值为b =1，故待求的直线的方程为x -y +1=0（或由图象 快速排除得正确答案）。
3、（2008山东高考）已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0. 设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为
A ．106
B ．20
（ ） C ．306
D ．406
22
【解析】选B 。将方程化成标准方程(x -3) +(y -4) =25，过点(3,5)的最长弦（直径）为AC =10,
最短弦为BD =
=S =4、（2008全国Ⅰ）若直线
1
AC ⋅BD = 2
x y
+＝1与圆x 2+y 2=1有公共点，则（ ） a b
11112222
A ．a +b ≤1 B ．a +b ≥1 C ．2+2≤1 D ．2+2≥1
a b a b
【解析】选D. 本题主要考查了直线与圆的位置关系的判断，由相切或相交得：d ≤r ，
d =
≤1≥1．
5、（2008安徽高考）若过点A (4,0)的直线l 与曲线(x -2) 2+y 2=1有公共点，则直线l 的斜率的取 值范围为（ ）
A
．[
B
．(
C
．[ D
．( 【解析】选C. 方法一：数形结合法（如图） 另外，数形结合画出图象也可以判断C 正确。 方法二：利用距离与半径的关系
点A (4,0) 在圆外，因此斜率必存在。设直线方程为y =k (x -4) ， 即kx -y -4k =0，直线l 与曲线(x -2) 2+y 2=1有公共点， 圆心到直线的距离小于等于半径
d =
≤1，
222
得4k ≤k +
1, k ≤
1. -≤k ≤
333
6、（2008上海高考）如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点，若点P (x , y ) 、P (x ', y ') 满足x ≤x '且y ≥y '，则称P 优于P '，如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（ ）
A ． AB C ． AB D ． AB B ． AB 【解析】选D. 由题意知，若P 优于P '，则P 在P '的左上方，
∴当Q 在 上时，左上的点不在圆上，
∴不存在其它优于Q 的点， ∴Q 组成的集合是劣弧。
1) 关于直线y =x +1对称．7、（2008天津高考）已知圆C 的圆心与点P (-2，直线3x +4y -11=0与圆C 相
交于A ，B 两点，且AB =6，则圆C 的方程为 ．
【解析】本小题主要考查直线方程中的对称问题，圆中有关弦长的计算两方面的知识． ．．
(-4-11) 222
=18由已知可求圆心的坐标为(0,-1) ，所以r =3+，圆的方程为x +(y +1) =18． 2
5
2
2
答案:x 2+(y +1) 2=
18
8、（2008宁夏海南高考）已知m ∈R , 直线l :mx -(m 2+1) y =4m 和圆C :x 2+y 2-8x +4y +16=0.
（Ⅰ）求直线l 斜率的取值范围；
（Ⅱ）直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为【解析】（Ⅰ） k =
1
的两段圆弧？为什么？ 2
m 2
, ∴km -m +k =0(*) ， m 2+1
11
m ∈R , ∴当k ≠0时∆≥0，解得-≤k ≤且k ≠0
22
又当k ＝0时，m ＝0，方程(*) 有解，所以，综上所述-≤k ≤ （Ⅱ）假设直线l 能将圆C 分割成弧长的比值为
1
212
1
的两段圆弧．设直线l 与圆C 交于A ，B 两点 2
则∠ACB ＝120°．∵圆C :(x -4) 2+(y +2) 2=4，∴圆心C （4，-2）到l 的距离为1．
=1，整理得3m 4+5m 2+3=0．
∵∆=52-4⨯3⨯3
1
的两段圆弧． 2
9、（2008江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数f (x ) =x 2+2x +b （x ∈R ）与两坐标轴有三个交点．记过三个交点的圆为圆C ． （Ⅰ）求实数b 的取值范围； （Ⅱ）求圆C 的方程；
（Ⅲ）圆C 是否经过定点（与b 的取值无关）？证明你的结论． 【解析】（Ⅰ）令x =0，得抛物线于y 轴的交点是（0，b ）
令f (x )=0，得x 2+2x +b =0，由题意b ≠0且△>0，解得b
令y =0，得x 2+Dx +F=0，这与x 2+2x +b =0是同一个方程，故D=2，F=b 令x =0，得y 2+ Ey +b =0，此方程有一个根为b ，代入得E=-b -1 所以圆C 的方程为x 2+ y2+2x -(b +1）y +b =0 （Ⅲ）圆C 必过定点（0，1），（-2，1）
证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边= 02+ 12+2×0-(b +1）×1+b =0，右边=0 所以圆C 必过定点（0，1）； 同理可证圆C 必过定点（-2，1）．
10、（2008北京高考）已知菱形ABCD 的顶点A ，C 在椭圆x 2+3y 2=4上，对角线BD 所在直线的斜率为1．
（Ⅰ）当直线BD 过点(0，1) 时，求直线AC 的方程； （Ⅱ）当∠ABC =60 时，求菱形ABCD 面积的最大值． 【解析】（Ⅰ）由题意得直线BD 的方程为y =x +1． 因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ． 于是可设直线AC 的方程为y =-x +n ．
⎧x 2+3y 2=4，22由⎨得4x -6nx +3n -4=0． ⎩y =-x +n
因为A ，C 在椭圆上，
2
所以∆=-12n +64>
0，解得．
设A ，C 两点坐标分别为(x 1，y 1) ，(x 2，y 2) ，
3n 2-43n
则x 1+x 2=，x 1x 2=，y 1=-x 1+n ，y 2=-x 2+n ．
24
所以y 1+y 2=
n
． 2
所以AC 的中点坐标为
⎛3n n ⎫
⎪． ⎝44⎭
⎛3n n ⎫
⎪在直线y =x +1上， ⎝44⎭
由四边形ABCD 为菱形可知，点 所以
n 3n =+1，解得n =-2． 44
所以直线AC 的方程为y =-x -2，即x +y +2=0．
（Ⅱ）因为四边形ABCD 为菱形，且∠ABC =60，
所以AB =BC =CA ．
所以菱形ABCD
的面积S =
2
．
-3n 2+16
由（Ⅰ）可得AC =(x 1-x 2) +(y 1-y 2) =，
2
2
2
2
所以S =
⎛． -3n 2+16) -
所以当n =0时，菱形ABCD
的面积取得最大值
11、（2008湖北高考）如图，在以点O 为圆心，|AB |=4为直径的半圆ADB 中，
OD ⊥AB ，P 是半圆弧上一点，∠POB =30︒，曲线C 是满足||MA |-|MB ||
为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P .
（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程； （Ⅱ）设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F . 若△OEF 的面积不小于
．．．l 斜率的取值范围.
【解析】（Ⅰ）方法1：以O 为原点，AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则A （-2，0），B （2，0），D (0,2),P （3, 1），依题意得
｜MA ｜-｜MB ｜=｜PA ｜-｜PB
AB ｜＝4.
∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线. 设实半轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ，
x 2y 2
-=1. 则c ＝2，2a ＝22，∴a =2,b =c -a =2.∴曲线C 的方程为22
2
2
2
2
方法2：同方法1建立平面直角坐标系，则依题意可得｜MA ｜-｜MB ｜=｜PA ｜-｜PB ｜＜｜AB ｜＝4. ∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线.
x 2y 2
设双曲线的方程为2-2=1(a ＞0，b ＞0）.
a b
2
⎧）12
-2=1⎪
则由⎨a 2解得a 2=b 2=2, b
⎪a 2+b 2=4⎩
x
2y 2
-=1. ∴曲线C 的方程为22
图1 图2
(Ⅱ) 方法1：依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx +2，代入双曲线C 的方程并整理得（1-K 2）x 2-4kx-6=0. ① ∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，
2
⎧⎧⎪k ≠±1⎪1-k ≠0∴ ⎨ ⇔⎨22
⎪⎪⎩
∆=(-4k ) +4⨯6(1-k ) >0
∴k ∈（-,-1）∪（-1，1）∪（1，3）. ② 设E （x 1，y 1），F (x 2, y 2) ，则由①式得x 1+x 2=
｜EF
=
4k 6
, x x =-, 于是 12
1-k 21-k 2
2
＝+k ⋅(x 1+x 2) -4x 1x 2=+k ⋅
22
223-k 2
-k
2
.
而原点O 到直线l 的距离d ＝
2+k
2
，
2
112223-k 22223-k ⋅+k ⋅=. ∴S △OEF =d ⋅EF =⋅2222+k 2-k -k
若△OEF 面积不小于22, 即S △OEF ≥2，则有
223-k 2
-k 2
≥22⇔k 4-k 2-2≤0, 解得-2≤k ≤2. ③
综合②、③知，直线l 的斜率的取值范围为[-2，-1) ∪(-1,1) ∪(1, 2].
方法2：依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx +2，代入双曲线C 的方程并整理， 得（1-K 2）x 2-4kx -6=0.
∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，
2
⎧⎧⎪k ≠±1⎪1-k ≠0∴ ⎨ ⇔⎨22
∆=(-4k ) +4⨯6(1-k ) >0
∴k ∈（-，-1）∪（-1，1）∪（1，3）. 设E (x 1, y 1), F (x 2, y 2), 则由①式得 ｜x 1-x 2｜=(x 1+x 2) -4x 1x 2=
2
∆-k
2
=
223-k 2
-k
2
. ③
当E 、F 在同一支上时（如图1所示）， S △OEF ＝S ∆ODF -S ∆ODE =
11
OD ⋅x 1-x 2=OD ⋅x 1-x 2; 22
当E 、F 在不同支上时（如图2所示）.
S ∆OEF =S ∆ODF +S △ODE =
综上得S △OEF ＝
11
OD ⋅(x 1+x 2) =OD ⋅x 1-x 2 22
1
OD ⋅x 1-x 2, 于是 2
由｜OD ｜＝2及③式，得S △OEF =
223-k 2
-k 2
.
若△OEF 面积不小于22, 即S
∆O EF ≥22, 则有
42
≥⇔k -k -2≤0, 解得-k ≤ ④ 2
-k
综合②、④知，直线l 的斜率的取值范围为[-2，-1）∪（-1，1）∪（1，2].
2007年考题
1、(2007安徽高考) 若圆x 2+y 2-2x -4y =0的圆心到直线x -y +a =0的距离为(A)-2或2
(B)
2
, 则a 的值为 2
13或 22
(C)2或0 (D)-2或0
【解析】选C. 若圆x +y -2x -4y =0的圆心(1，2) 到直线x -y +a =0的距离为
22
2
，∴
2
， =2∴ a =2或0，选C 。
2、（2007上海高考）圆x 2+y 2-2x -1=0关于直线2x -y +3=0对称的圆的方程是（ ）
22 Ａ．(x +3) +(y -2) =
1 2
22
Ｂ．(x -3) +(y +2) =
1 2
Ｃ．(x +3) 2+(y -2) 2=2 Ｄ．(x -3) 2+(y +2) 2=2
【解析】选C. 圆x 2+y 2-2x -1=0⇒(x -1) 2+y 2=2，
圆心（1，0），关于直线2x -y +3=0对称的圆半径不变，排除A 、B ，两圆圆心连线，线段的中点在直线2x -y +3=0上，C 中圆，验证适合，故选C 。 (x +3) 2+(y -2) 2=2的圆心为（－3，2）3、（2007湖北高考）已知直线
x y
+=1（a ，b 是非零常数）与圆x 2+y 2=100有公共点，且公共点的a b
横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ）
A ．60条
B ．66条
C ．72条
D ．78条
【解析】选A. 可知直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点， 而圆x 2+y 2=100上的整数点共有12个，分别为(6, ±8), (-6, ±8), (8, ±6)，
(-8, ±6), (±10,0), (0, ±10)，前8个点中，过任意一点的圆的切线满足，有8条；12个点中过任意两点，
2
构成C 12=66条直线，其中有4条直线垂直x 轴，有4条直线垂直y 轴，还有6条过原点（圆上点的对称
性），故满足题设的直线有52条。综上可知满足题设的直线共有52+8=60条，选A. 4、（2007湖北高考）由直线y=x+1上的一点向圆(x -3) 2+y 2=1引切线，则切线长的最小值为 A.1
B.2
C. D.3
【解析】选C. 切线长的最小值是当直线y=x+1上的点与圆心距离最小时取得，圆心（3，0）到直线的距离为d=
|3-0+1|
2
=22，圆的半径为1，故切线长的最小值为d 2-r 2=8-1=，选C.
5、（2007重庆高考）若直线y =kx +1与圆x 2+y 2=1相交于P 、Q 且∠POQ ＝120°（其中O
为原点），则k 的值为
（A ）
（C ）
（B
（D
X
【解析】选A. 如图，直线过定点（0
，1），
∠O P Q =30, ⇒∠1=120∠, 2= 60∴k ,
3.
6、（2007广东高考）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎨（参数t ∈R ），圆C 的参数方程为⎨到直线l 的距离为______.
【解析】直线的方程为x+y-6=0，
答案:（0，2）
；.
7、（2007广东高考）[几何证明选讲选做题］如图所示，圆Ｏ的直径为６， Ｃ为圆周上一点。ＢＣ＝３，过Ｃ作圆的切线l ，过Ａ作l 的垂线ＡＤ， 垂足为Ｄ，则∠ＤＡＣ＝______；线段AE 的长为_______。
【解析】根据弦切角等于夹弧所对的圆周角及直角三角形两锐角互余， 很容易得到答案，AE=EC=BC=3； 答案:
π
；3。 6
=⎧x =t +3⎩y =3-t
⎧x =2cos θ
（参数θ∈[0,2π]），则圆C 的圆心坐标为_______，圆心
y =2sin θ+2⎩
A
8、（2007天津高考）已知两圆x 2+y 2=10和(x -1) 2+(y -3) 2=20相交于A , B 两点，则直线AB 的方程是__________.
【解析】两圆方程作差得x +3y =0. 答案:x +3y =0
9、（2007山东高考）与直线x +y -2=0和曲线x 2+y 2
相切的半径最小的圆的标准方程是
_________.
【解析】曲线化为(x -6) 2+(y -6) 2=18，其圆心到直线d =
=所求的最小圆的圆心在直线y =x (2,2).标准方程为(x -2) +(y -2) =答案:(x -2) +(y -2) =2
2
10、（2007上海高考）已知圆的方程x +(y -1)=1，P 为圆上任意一点（不包括原点）。
2
22
22
直线OP 的倾斜角为θ弧度，OP =d ，则d =f 【解析】 OP =2cos(答案:
(θ)的图象大致为_____
π
2
-θ) =2sin θ, θ∈(0,π)
11、（2007湖南高考）圆心为(11)，且与直线x +y =4相切的圆的方程是
【解析】半径R=
|1+1-4|
2
=2，所以圆的方程为(x -1) 2+(y -1) 2=2
答案:(x -1) 2+(y -1) 2=2
12、（2007江西高考）设有一组圆C k :(x -k +1) 2+(y -3k ) 2=2k 4(k ∈N *) ．下列四个命题： Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切 Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交 Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不相交 ．Ｄ．所有的圆均不经过原点 ．其中真命题的代号是
．（写出所有真命题的代号）
2
【解析】圆心为（k-1，3k ）半径为2k ，圆心在直线y=3（x+1）上，所以直线y=3（x+1）必与所有的圆相交，B 正确；由C 1、C 2、C 3的图像可知A 、C 不正确；若存在圆过原点（0，0），则有
(-k +1) 2+9k 2=2k 4⇒10k 2-2k +1=2k 4（k ∈N *)因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k 使
上式成立，即所有圆不过原点。 答案:B 、D
13、（2007四川高考）已知 O 的方程是x 2+y 2-2=0， O ' 的方程是x 2+y 2-8x +10=0，由动点P 向 O 和 O ' 所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是__________________ 【解析】 O ：圆心O
(0,0)，半径r =
2
2
2
2
O ' ：圆心O
'(4,0)，半径r ' =P (x , y ) ，由切线
3
． 2
长相等得x +y -2=x +y -8x +10，即x =答案:x =
3 2
0) ，AB 边所在直线的方程为14、（2007北京高考）矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (2，，在AD 边所在直线上． x -3y -6=0，点T (-11)
（I ）求AD 边所在直线的方程； （II ）求矩形ABCD 外接圆的方程；
（III ）若动圆P 过点N (-2，0) ，且与矩形ABCD 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程．
【解析】（I ）因为AB 边所在直线的方程为x -3y -6=0，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为-3．
，在直线AD 上， 又因为点T (-11)
所以AD 边所在直线的方程为y -1=-3(x +1) ． 即3x +y +2=0．
⎧x -3y -6=0，
-2) ， （II ）由⎨解得点A 的坐标为(0，
3x +y +2=0⎩
0) ． 因为矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2，
所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心．
又AM =
=
从而矩形ABCD 外接圆的方程为(x -2) 2+y 2=8．
（III ）因为动圆P 过点N ，所以PN 是该圆的半径，又因为动圆P 与圆M 外切，
所以PM =PN +
PM -PN =
故点P 的轨迹是以M ，
N 为焦点，实轴长为
因为实半轴长a =
c =
2．所以虚半轴长b ==
x 2y 2
-=1(x ≤． 从而动圆P
的圆心的轨迹方程为
22
15、（2007北京高考）已知函数y =kx 与y =x +2(x ≥0) 的图象相交于A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2) ，l 1，l 2分别是y =x +2(x ≥0) 的图象在A ，B 两点的切线，M ，N 分别是l 1，l 2与x 轴的交点． （I ）求k 的取值范围；
（II ）设t 为点M 的横坐标，当x 1
2
2
⎧y =kx ，2
【解析】（I ）由方程⎨消得x -kx +2=0． ① y 2
⎩y =x +2⎧∆=k 2-8>0，
依题意，该方程有两个正实根，故⎨解得k >
⎩x 1+x 2=k >0，
（II ）由f '(x ) =2x ，求得切线l 1的方程为y =2x 1(x -x 1) +y 1，
2
由y 1=x 1+2，并令y =0，得t =
x 11
- 2x 1
k k > x 1，x 2是方程①的两实根，且x 1
x 2，故x 1==
2
x 1是关于k 的减函数，所以x
1的取值范围是(0．
t 是关于x
1的增函数，定义域为(0，所以值域为(-∞，0) ，
（III ）当x 1
x 11
+． 2x 1
类似可得ON =
x 21x +x x +x -．OM -ON =-12+12． 2x 22x 1x 2
由①可知x 1x 2=2．从而OM -ON =0．当x 2
圆与方程高考真题精选
2009年考题
1. （2009辽宁）已知圆C 与直线x －y=0 及x －y －4=0都相切，圆心在直线x+y=0上， 则圆C 的方程为（ ）
（A ）(x +1) 2+(y -1) 2=2 (B) (x -1) 2+(y +1) 2=2 (C) (x -1) 2+(y -1) 2=2 (D) (x +1) 2+(y +1) 2=2
【解析】选B. 圆心在x ＋y ＝0上, 排除C 、D, 再结合图象, 或者验证A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径2即可.
2. （2009浙江）已知三角形的三边长分别为3, 4,5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）
A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【解析】选B. 由于3，4，5构成直角三角形S ，故其内切圆半径为r=直角三角形S 的两边也有4个交点。
3. （2009上海）. 过圆C ：(x -1) +(y -1) =1的圆心，作直线分别交x 、y 正半轴于 点A 、B ，∆AOB 被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足S I+S ¥=S ∏+S |||, 则直线AB 有（ ）
（A ） 0条 （B ） 1条 （C ） 2条 （D ） 3条
【解析】选B. 由已知，得：S IV -S II =S III -S I , ，第II ，IV 部分的面积是定值，所以，
2
2
3+4-5
=1, 当该圆运动时，最多与2
S IV -S II 为定值，即S III -S I , 为定值，当直线AB 绕着圆心C 移动时，只可能有一个位置符合题意，即
直线AB 只有一条，故选B 。
4. （2009湖南）已知圆C 1：(x +1) +(y -1) =1，圆C 2与圆C 1关于直线x -y -1=0对称，则圆C 2的方程为（ ）
（A ）(x +2) +(y -2) =1 （B ）(x -2) +(y +2) =1 （C ）(x +2) +(y +2) =1 （D ）(x -2) +(y -2) =1
2
2
2
2
2222
22
⎧a -1b +1
--1=0⎪⎪22
【解析】选B. 设圆C 2的圆心为（a ，b ），则依题意，有⎨，
b -1⎪=-1⎪a +1⎩
⎧a =2解得：⎨，对称圆的半径不变，为1，故选B.
b =-2⎩
5. （2009陕西高考）过原点且倾斜角为60︒的直线被圆x 2+y 2-4y =0所截得的弦长为（A
（B ）2 （C
） （D ）
【解析】选D. 过原点且倾斜角为60
°的直线方程为
2
-y =0, 圆x 2+（y -2）=4的圆心（0，2）到直线的距离为
d =
=1, 因此弦长为=6. （2009重庆高考）直线y =x +1与圆x 2+y 2=1的位置关系为（ ） A ．相切
B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心
D ．相离
【解析】选B. 圆心(0,0)为、到直线y =x +1，即x -y +1=
0的距离d =B 。
，而0
227. （2009重庆高考）圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ）
A ．x 2+(y -2) 2=1 B ．x 2+(y +2) 2=1 C ．(x -1) 2+(y -3) 2=1
D ．x 2+(y -3) 2=1
【解析】选A. 方法1（直接法）：设圆心坐标为(0,b
) =1，解得b =2，
故圆的方程为x 2+(y -2) 2=1。
方法2（数形结合法）：由作图根据点(1,2) 到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为
x 2+(y -2) 2=1
方法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支排除B ，D ，又由于圆心在y 轴上，排除C 。
8. （2009上海高考）过点P (0, 1) 与圆x 2+y 2-2x -3=0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是 ( )
（A ）x =0. （B ）y =1. （C ）x +y -1=0. （D ）x -y +1=0.
【解析】选C. 点P (0, 1) 在圆x 2+y 2-2x -3=0内，圆心为C （1，0），截得的弦最长时的直线为CP ，方程是
x y
+=1，即x +y -1=0。 11
9. （2009广东高考）以点（2，-1）为圆心且与直线x +y =6相切的圆的方程是.
【解析】将直线x +y =6化为x +y -6=0,
圆的半径r =
22
所以圆的方程(x -2) +(y +1) =
=
25
2
22
答案:(x -2) +(y +1) =
25 2
10. （2009天津高考）若圆x 2+y 2=4与圆x 2+y 2+2ay -6=0（a>0
）的公共弦的长为 则a =___________。
【解析】由知x 2+y 2+2ay -6=0的半径为6+a ，由图可知6+a 2-(-a -1) 2=(3) 2 解之得a =1 答案:1.
11. （2009全国Ⅱ）已知AC 、BD 为圆O :x 2+y 2=
4的两条相互垂直的弦，垂足为M , 则四边形ABCD 的面积的最大值为 。
【解析】设圆心O 到AC 、BD 的距离分别为d 1、d 2, 则d 12+d 22=OM 2=3. 四边形ABCD
的面积S =
2
(1
|AC |⋅|BD |=
2
== 0≤d 22≤3
3
∴当d 22=时S 四边形ABCD 有最大值为5.
2
答案:5.
12. （2009全国Ⅱ）已知圆O ：x 2+y 2=5和点A （1，2），则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于
【解析】由题意可直接求出切线方程为y-2=-
1
(x-1)，即x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的截距分别是2
15255
，所以所求面积为⨯⨯5=。
2242
25答案:
4
5和
13. （2009湖北高考）过原点O 作圆x 2+y2－6x －8y ＋20=0的两条切线，设切点分别为P 、Q ， 则线段PQ 的长为 。
【解析】可得圆方程是(x -3) +(y -4) =5又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得PQ =4 答案:4
2
2
14. （2009四川高考）若⊙O 1:x 2+y 2=5与⊙O 2:(x -m ) 2+y 2=20(m ∈R ) 相交于A 、B 两点， 且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是 .
【解析】由题知O 1(0, 0), O 2(m , 0) ，且5
m 2=(5) 2+(25) 2=25⇒m =±5，∴AB =2⋅
答案:4.
15. （2009福建高考）已知直线l:3x+4y-12=0与圆C:⎨个数.
【解析】圆的方程可化为(x +1) 2+(y -2) 2=4. 其圆心为C (-1, 2) , 半径为2.
圆心到直线的距离d =
5⋅20
=4。 5
⎧x =-1+2cos θ
(θ为参数 ) 试判断他们的公共点
⎩y =2+2sin θ
=
7
故直线与圆的公共点个数为2. 答案：2
16. （2009海南、宁夏高考）已知曲线C 1：⎨数）。
（1）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C 1上的点P 对应的参数为t =
⎧x =-4+cos t , ⎧x =8cos θ,
（t 为参数）， C 2：⎨（θ为参
⎩y =3+sin t , ⎩y =3sin θ,
π
2
，Q 为C 2上的动点，求PQ 的中点M 到直线
⎧x =3+2t ,
（t 为参数）距离的最小值。 C 3:⎨
y =-2+t ⎩
x 2y 2
+=1. 【解析】（Ⅰ）C 1:(x +4) +(y -3) =1, C 2:
649
2
2
C 1为圆心是（-4,3) ，半径是1的圆.
C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.
（Ⅱ）当t =
π
2
时，P (-4, 4). Q (8cosθ,3sin θ), 故M (-2+4cos θ, 2+
3
sin θ). 2
C
3为直线x -2y -7=0, M 到C 3的距离d =
|4cos θ-3sin θ-13|. 5
从而当cos θ=
43,sin θ=-
时，d 取得最小值 555
17. （2009江苏高考）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆C 1:(x +3) 2+(y -1) 2=4和圆
C 2:(x -4) 2+(y -5) 2=4. （1）若直线l 过点A (4,0)，且被圆C
1截得的弦长为l 的方程；（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标。【解析】本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。满分16分。
(1)设直线l 的方程为：y =k (x -4) ，即kx -y -4k =0 由垂径定理，得：圆心C 1到直线l
的距离
d =1，
7 24
=1, 2
化简得：24k +7k =0, k =0或k =-
求直线l 的方程为：y =0或y =-即y =0或7x +24y -28=0
7
(x -4) ， 24
(2) 设点P 坐标为(m , n ) ，直线l 1、l 2的方程分别为：
111
y -n =k (x -m ), y -n =-(x -m ) ，即：kx -y +n -km =0, -x -y +n +m =0
k k k
因为直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，两圆半径相等。 由垂径定理，得圆心C 1到直线l 1与C 2直线l 2的距离相等。
41|--5+n +m |
=
化简得：(2-m -n ) k =m -n -3, 或
(m -n +8) k =m +n -5
⎧2-m -n =0⎧m-n+8=0
k 关于的方程有无穷多解，有：⎨ , 或⎨
m -n -3=0m+n-5=0⎩⎩
解之得：点P 坐标为(-3, 13) 或(5, -1) 。
2222
2008年考题
1、（2008山东高考）若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x -3y =0和x 轴相切，则该圆的标准方程是
2
（ ）
（y -）=1 A ．(x -3) +
C ．(x -1) 2+(y -3) 2=1
73
2
B ．(x -2) 2+(y -1) 2=1
（x -）+(y -1) =1 D ．
3
2
22
【解析】选B. 设圆心为(a ,1), 由已知得d =
|4a -3|1
=1, ∴a =2(舍-). 52
2、（2008广东高考）经过圆x 2+2x +y 2=0的圆心C ，且与直线x +y =0垂直的直线方程是（ ）
A ．x ＋y ＋1＝0
B ．x ＋y －1＝0
C ．x －y ＋1＝0
D ．x －y －1＝0
【解析】选C. 易知点C 为(-1,0) ，而直线与x +y =0垂直，我们设待求的直线的方程为y =x +b ， 将点C 的坐标代入马上就能求出参数b 的值为b =1，故待求的直线的方程为x -y +1=0（或由图象 快速排除得正确答案）。
3、（2008山东高考）已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0. 设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为
A ．106
B ．20
（ ） C ．306
D ．406
22
【解析】选B 。将方程化成标准方程(x -3) +(y -4) =25，过点(3,5)的最长弦（直径）为AC =10,
最短弦为BD =
=S =4、（2008全国Ⅰ）若直线
1
AC ⋅BD = 2
x y
+＝1与圆x 2+y 2=1有公共点，则（ ） a b
11112222
A ．a +b ≤1 B ．a +b ≥1 C ．2+2≤1 D ．2+2≥1
a b a b
【解析】选D. 本题主要考查了直线与圆的位置关系的判断，由相切或相交得：d ≤r ，
d =
≤1≥1．
5、（2008安徽高考）若过点A (4,0)的直线l 与曲线(x -2) 2+y 2=1有公共点，则直线l 的斜率的取 值范围为（ ）
A
．[
B
．(
C
．[ D
．( 【解析】选C. 方法一：数形结合法（如图） 另外，数形结合画出图象也可以判断C 正确。 方法二：利用距离与半径的关系
点A (4,0) 在圆外，因此斜率必存在。设直线方程为y =k (x -4) ， 即kx -y -4k =0，直线l 与曲线(x -2) 2+y 2=1有公共点， 圆心到直线的距离小于等于半径
d =
≤1，
222
得4k ≤k +
1, k ≤
1. -≤k ≤
333
6、（2008上海高考）如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点，若点P (x , y ) 、P (x ', y ') 满足x ≤x '且y ≥y '，则称P 优于P '，如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（ ）
A ． AB C ． AB D ． AB B ． AB 【解析】选D. 由题意知，若P 优于P '，则P 在P '的左上方，
∴当Q 在 上时，左上的点不在圆上，
∴不存在其它优于Q 的点， ∴Q 组成的集合是劣弧。
1) 关于直线y =x +1对称．7、（2008天津高考）已知圆C 的圆心与点P (-2，直线3x +4y -11=0与圆C 相
交于A ，B 两点，且AB =6，则圆C 的方程为 ．
【解析】本小题主要考查直线方程中的对称问题，圆中有关弦长的计算两方面的知识． ．．
(-4-11) 222
=18由已知可求圆心的坐标为(0,-1) ，所以r =3+，圆的方程为x +(y +1) =18． 2
5
2
2
答案:x 2+(y +1) 2=
18
8、（2008宁夏海南高考）已知m ∈R , 直线l :mx -(m 2+1) y =4m 和圆C :x 2+y 2-8x +4y +16=0.
（Ⅰ）求直线l 斜率的取值范围；
（Ⅱ）直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为【解析】（Ⅰ） k =
1
的两段圆弧？为什么？ 2
m 2
, ∴km -m +k =0(*) ， m 2+1
11
m ∈R , ∴当k ≠0时∆≥0，解得-≤k ≤且k ≠0
22
又当k ＝0时，m ＝0，方程(*) 有解，所以，综上所述-≤k ≤ （Ⅱ）假设直线l 能将圆C 分割成弧长的比值为
1
212
1
的两段圆弧．设直线l 与圆C 交于A ，B 两点 2
则∠ACB ＝120°．∵圆C :(x -4) 2+(y +2) 2=4，∴圆心C （4，-2）到l 的距离为1．
=1，整理得3m 4+5m 2+3=0．
∵∆=52-4⨯3⨯3
1
的两段圆弧． 2
9、（2008江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数f (x ) =x 2+2x +b （x ∈R ）与两坐标轴有三个交点．记过三个交点的圆为圆C ． （Ⅰ）求实数b 的取值范围； （Ⅱ）求圆C 的方程；
（Ⅲ）圆C 是否经过定点（与b 的取值无关）？证明你的结论． 【解析】（Ⅰ）令x =0，得抛物线于y 轴的交点是（0，b ）
令f (x )=0，得x 2+2x +b =0，由题意b ≠0且△>0，解得b
令y =0，得x 2+Dx +F=0，这与x 2+2x +b =0是同一个方程，故D=2，F=b 令x =0，得y 2+ Ey +b =0，此方程有一个根为b ，代入得E=-b -1 所以圆C 的方程为x 2+ y2+2x -(b +1）y +b =0 （Ⅲ）圆C 必过定点（0，1），（-2，1）
证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边= 02+ 12+2×0-(b +1）×1+b =0，右边=0 所以圆C 必过定点（0，1）； 同理可证圆C 必过定点（-2，1）．
10、（2008北京高考）已知菱形ABCD 的顶点A ，C 在椭圆x 2+3y 2=4上，对角线BD 所在直线的斜率为1．
（Ⅰ）当直线BD 过点(0，1) 时，求直线AC 的方程； （Ⅱ）当∠ABC =60 时，求菱形ABCD 面积的最大值． 【解析】（Ⅰ）由题意得直线BD 的方程为y =x +1． 因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ． 于是可设直线AC 的方程为y =-x +n ．
⎧x 2+3y 2=4，22由⎨得4x -6nx +3n -4=0． ⎩y =-x +n
因为A ，C 在椭圆上，
2
所以∆=-12n +64>
0，解得．
设A ，C 两点坐标分别为(x 1，y 1) ，(x 2，y 2) ，
3n 2-43n
则x 1+x 2=，x 1x 2=，y 1=-x 1+n ，y 2=-x 2+n ．
24
所以y 1+y 2=
n
． 2
所以AC 的中点坐标为
⎛3n n ⎫
⎪． ⎝44⎭
⎛3n n ⎫
⎪在直线y =x +1上， ⎝44⎭
由四边形ABCD 为菱形可知，点 所以
n 3n =+1，解得n =-2． 44
所以直线AC 的方程为y =-x -2，即x +y +2=0．
（Ⅱ）因为四边形ABCD 为菱形，且∠ABC =60，
所以AB =BC =CA ．
所以菱形ABCD
的面积S =
2
．
-3n 2+16
由（Ⅰ）可得AC =(x 1-x 2) +(y 1-y 2) =，
2
2
2
2
所以S =
⎛． -3n 2+16) -
所以当n =0时，菱形ABCD
的面积取得最大值
11、（2008湖北高考）如图，在以点O 为圆心，|AB |=4为直径的半圆ADB 中，
OD ⊥AB ，P 是半圆弧上一点，∠POB =30︒，曲线C 是满足||MA |-|MB ||
为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P .
（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程； （Ⅱ）设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F . 若△OEF 的面积不小于
．．．l 斜率的取值范围.
【解析】（Ⅰ）方法1：以O 为原点，AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则A （-2，0），B （2，0），D (0,2),P （3, 1），依题意得
｜MA ｜-｜MB ｜=｜PA ｜-｜PB
AB ｜＝4.
∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线. 设实半轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ，
x 2y 2
-=1. 则c ＝2，2a ＝22，∴a =2,b =c -a =2.∴曲线C 的方程为22
2
2
2
2
方法2：同方法1建立平面直角坐标系，则依题意可得｜MA ｜-｜MB ｜=｜PA ｜-｜PB ｜＜｜AB ｜＝4. ∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线.
x 2y 2
设双曲线的方程为2-2=1(a ＞0，b ＞0）.
a b
2
⎧）12
-2=1⎪
则由⎨a 2解得a 2=b 2=2, b
⎪a 2+b 2=4⎩
x
2y 2
-=1. ∴曲线C 的方程为22
图1 图2
(Ⅱ) 方法1：依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx +2，代入双曲线C 的方程并整理得（1-K 2）x 2-4kx-6=0. ① ∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，
2
⎧⎧⎪k ≠±1⎪1-k ≠0∴ ⎨ ⇔⎨22
⎪⎪⎩
∆=(-4k ) +4⨯6(1-k ) >0
∴k ∈（-,-1）∪（-1，1）∪（1，3）. ② 设E （x 1，y 1），F (x 2, y 2) ，则由①式得x 1+x 2=
｜EF
=
4k 6
, x x =-, 于是 12
1-k 21-k 2
2
＝+k ⋅(x 1+x 2) -4x 1x 2=+k ⋅
22
223-k 2
-k
2
.
而原点O 到直线l 的距离d ＝
2+k
2
，
2
112223-k 22223-k ⋅+k ⋅=. ∴S △OEF =d ⋅EF =⋅2222+k 2-k -k
若△OEF 面积不小于22, 即S △OEF ≥2，则有
223-k 2
-k 2
≥22⇔k 4-k 2-2≤0, 解得-2≤k ≤2. ③
综合②、③知，直线l 的斜率的取值范围为[-2，-1) ∪(-1,1) ∪(1, 2].
方法2：依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx +2，代入双曲线C 的方程并整理， 得（1-K 2）x 2-4kx -6=0.
∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，
2
⎧⎧⎪k ≠±1⎪1-k ≠0∴ ⎨ ⇔⎨22
∆=(-4k ) +4⨯6(1-k ) >0
∴k ∈（-，-1）∪（-1，1）∪（1，3）. 设E (x 1, y 1), F (x 2, y 2), 则由①式得 ｜x 1-x 2｜=(x 1+x 2) -4x 1x 2=
2
∆-k
2
=
223-k 2
-k
2
. ③
当E 、F 在同一支上时（如图1所示）， S △OEF ＝S ∆ODF -S ∆ODE =
11
OD ⋅x 1-x 2=OD ⋅x 1-x 2; 22
当E 、F 在不同支上时（如图2所示）.
S ∆OEF =S ∆ODF +S △ODE =
综上得S △OEF ＝
11
OD ⋅(x 1+x 2) =OD ⋅x 1-x 2 22
1
OD ⋅x 1-x 2, 于是 2
由｜OD ｜＝2及③式，得S △OEF =
223-k 2
-k 2
.
若△OEF 面积不小于22, 即S
∆O EF ≥22, 则有
42
≥⇔k -k -2≤0, 解得-k ≤ ④ 2
-k
综合②、④知，直线l 的斜率的取值范围为[-2，-1）∪（-1，1）∪（1，2].
2007年考题
1、(2007安徽高考) 若圆x 2+y 2-2x -4y =0的圆心到直线x -y +a =0的距离为(A)-2或2
(B)
2
, 则a 的值为 2
13或 22
(C)2或0 (D)-2或0
【解析】选C. 若圆x +y -2x -4y =0的圆心(1，2) 到直线x -y +a =0的距离为
22
2
，∴
2
， =2∴ a =2或0，选C 。
2、（2007上海高考）圆x 2+y 2-2x -1=0关于直线2x -y +3=0对称的圆的方程是（ ）
22 Ａ．(x +3) +(y -2) =
1 2
22
Ｂ．(x -3) +(y +2) =
1 2
Ｃ．(x +3) 2+(y -2) 2=2 Ｄ．(x -3) 2+(y +2) 2=2
【解析】选C. 圆x 2+y 2-2x -1=0⇒(x -1) 2+y 2=2，
圆心（1，0），关于直线2x -y +3=0对称的圆半径不变，排除A 、B ，两圆圆心连线，线段的中点在直线2x -y +3=0上，C 中圆，验证适合，故选C 。 (x +3) 2+(y -2) 2=2的圆心为（－3，2）3、（2007湖北高考）已知直线
x y
+=1（a ，b 是非零常数）与圆x 2+y 2=100有公共点，且公共点的a b
横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ）
A ．60条
B ．66条
C ．72条
D ．78条
【解析】选A. 可知直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点， 而圆x 2+y 2=100上的整数点共有12个，分别为(6, ±8), (-6, ±8), (8, ±6)，
(-8, ±6), (±10,0), (0, ±10)，前8个点中，过任意一点的圆的切线满足，有8条；12个点中过任意两点，
2
构成C 12=66条直线，其中有4条直线垂直x 轴，有4条直线垂直y 轴，还有6条过原点（圆上点的对称
性），故满足题设的直线有52条。综上可知满足题设的直线共有52+8=60条，选A. 4、（2007湖北高考）由直线y=x+1上的一点向圆(x -3) 2+y 2=1引切线，则切线长的最小值为 A.1
B.2
C. D.3
【解析】选C. 切线长的最小值是当直线y=x+1上的点与圆心距离最小时取得，圆心（3，0）到直线的距离为d=
|3-0+1|
2
=22，圆的半径为1，故切线长的最小值为d 2-r 2=8-1=，选C.
5、（2007重庆高考）若直线y =kx +1与圆x 2+y 2=1相交于P 、Q 且∠POQ ＝120°（其中O
为原点），则k 的值为
（A ）
（C ）
（B
（D
X
【解析】选A. 如图，直线过定点（0
，1），
∠O P Q =30, ⇒∠1=120∠, 2= 60∴k ,
3.
6、（2007广东高考）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎨（参数t ∈R ），圆C 的参数方程为⎨到直线l 的距离为______.
【解析】直线的方程为x+y-6=0，
答案:（0，2）
；.
7、（2007广东高考）[几何证明选讲选做题］如图所示，圆Ｏ的直径为６， Ｃ为圆周上一点。ＢＣ＝３，过Ｃ作圆的切线l ，过Ａ作l 的垂线ＡＤ， 垂足为Ｄ，则∠ＤＡＣ＝______；线段AE 的长为_______。
【解析】根据弦切角等于夹弧所对的圆周角及直角三角形两锐角互余， 很容易得到答案，AE=EC=BC=3； 答案:
π
；3。 6
=⎧x =t +3⎩y =3-t
⎧x =2cos θ
（参数θ∈[0,2π]），则圆C 的圆心坐标为_______，圆心
y =2sin θ+2⎩
A
8、（2007天津高考）已知两圆x 2+y 2=10和(x -1) 2+(y -3) 2=20相交于A , B 两点，则直线AB 的方程是__________.
【解析】两圆方程作差得x +3y =0. 答案:x +3y =0
9、（2007山东高考）与直线x +y -2=0和曲线x 2+y 2
相切的半径最小的圆的标准方程是
_________.
【解析】曲线化为(x -6) 2+(y -6) 2=18，其圆心到直线d =
=所求的最小圆的圆心在直线y =x (2,2).标准方程为(x -2) +(y -2) =答案:(x -2) +(y -2) =2
2
10、（2007上海高考）已知圆的方程x +(y -1)=1，P 为圆上任意一点（不包括原点）。
2
22
22
直线OP 的倾斜角为θ弧度，OP =d ，则d =f 【解析】 OP =2cos(答案:
(θ)的图象大致为_____
π
2
-θ) =2sin θ, θ∈(0,π)
11、（2007湖南高考）圆心为(11)，且与直线x +y =4相切的圆的方程是
【解析】半径R=
|1+1-4|
2
=2，所以圆的方程为(x -1) 2+(y -1) 2=2
答案:(x -1) 2+(y -1) 2=2
12、（2007江西高考）设有一组圆C k :(x -k +1) 2+(y -3k ) 2=2k 4(k ∈N *) ．下列四个命题： Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切 Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交 Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不相交 ．Ｄ．所有的圆均不经过原点 ．其中真命题的代号是
．（写出所有真命题的代号）
2
【解析】圆心为（k-1，3k ）半径为2k ，圆心在直线y=3（x+1）上，所以直线y=3（x+1）必与所有的圆相交，B 正确；由C 1、C 2、C 3的图像可知A 、C 不正确；若存在圆过原点（0，0），则有
(-k +1) 2+9k 2=2k 4⇒10k 2-2k +1=2k 4（k ∈N *)因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k 使
上式成立，即所有圆不过原点。 答案:B 、D
13、（2007四川高考）已知 O 的方程是x 2+y 2-2=0， O ' 的方程是x 2+y 2-8x +10=0，由动点P 向 O 和 O ' 所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是__________________ 【解析】 O ：圆心O
(0,0)，半径r =
2
2
2
2
O ' ：圆心O
'(4,0)，半径r ' =P (x , y ) ，由切线
3
． 2
长相等得x +y -2=x +y -8x +10，即x =答案:x =
3 2
0) ，AB 边所在直线的方程为14、（2007北京高考）矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (2，，在AD 边所在直线上． x -3y -6=0，点T (-11)
（I ）求AD 边所在直线的方程； （II ）求矩形ABCD 外接圆的方程；
（III ）若动圆P 过点N (-2，0) ，且与矩形ABCD 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程．
【解析】（I ）因为AB 边所在直线的方程为x -3y -6=0，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为-3．
，在直线AD 上， 又因为点T (-11)
所以AD 边所在直线的方程为y -1=-3(x +1) ． 即3x +y +2=0．
⎧x -3y -6=0，
-2) ， （II ）由⎨解得点A 的坐标为(0，
3x +y +2=0⎩
0) ． 因为矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2，
所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心．
又AM =
=
从而矩形ABCD 外接圆的方程为(x -2) 2+y 2=8．
（III ）因为动圆P 过点N ，所以PN 是该圆的半径，又因为动圆P 与圆M 外切，
所以PM =PN +
PM -PN =
故点P 的轨迹是以M ，
N 为焦点，实轴长为
因为实半轴长a =
c =
2．所以虚半轴长b ==
x 2y 2
-=1(x ≤． 从而动圆P
的圆心的轨迹方程为
22
15、（2007北京高考）已知函数y =kx 与y =x +2(x ≥0) 的图象相交于A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2) ，l 1，l 2分别是y =x +2(x ≥0) 的图象在A ，B 两点的切线，M ，N 分别是l 1，l 2与x 轴的交点． （I ）求k 的取值范围；
（II ）设t 为点M 的横坐标，当x 1
2
2
⎧y =kx ，2
【解析】（I ）由方程⎨消得x -kx +2=0． ① y 2
⎩y =x +2⎧∆=k 2-8>0，
依题意，该方程有两个正实根，故⎨解得k >
⎩x 1+x 2=k >0，
（II ）由f '(x ) =2x ，求得切线l 1的方程为y =2x 1(x -x 1) +y 1，
2
由y 1=x 1+2，并令y =0，得t =
x 11
- 2x 1
k k > x 1，x 2是方程①的两实根，且x 1
x 2，故x 1==
2
x 1是关于k 的减函数，所以x
1的取值范围是(0．
t 是关于x
1的增函数，定义域为(0，所以值域为(-∞，0) ，
（III ）当x 1
x 11
+． 2x 1
类似可得ON =
x 21x +x x +x -．OM -ON =-12+12． 2x 22x 1x 2
由①可知x 1x 2=2．从而OM -ON =0．当x 2