倍长中线法
中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．下面举例说明．
【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线
△ABC 中
方法： 延长AD 到E ，
AD 是BC 边中线 思考：倍长中线后，能推出什么结论？
例1. 如图：AD 为 △ABC 的中线，求证：AB+AC>2AD
例2. △ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围
使DE=AD，
连接BE
A
D
B
C
E
图5 1
例3. CB，CD 分别是钝角△AEC 和锐角△ABC 的中线，且AC=AB．求证：CE=2CD。
例4. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD+BC，M 是CD 的中点，求证：AM 、BM 分别平分∠DAB 和∠CBA 。
例5. （提高题）如图5-2， 已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直
角边各向外作等腰直角三角形，求证EF=2AD
E
A B C D
图5 2
例6. （提高题）在正方形ABCD 中, 点E 、F 分别为BC 和AB 的中点求证：AM=AD
A
F
B
E
C
F
在RT △ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D ，点O 是AC 边上的一点，连接BO ，交AD 于F ，CE ⊥OB 交BC 边于点E 。（1）求证：△ABF ∽△COE （2）若O 是AC 边中点，AC （3）当O 是AC 边中点，AC
AB
=2，如图，求
O F O E
的值。 的值。
AB
=n ，请直接写出
O F O E
C
O
C
【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线
△ABC 中
方式1： 延长AD 到
E ，
方式2：间接倍长 AD 是BC 边中线
使DE=AD，
连接BE
作CF ⊥AD 于F ，延长MD 到N ， 作BE ⊥AD 的延长线于使DN=MD， 连接BE 连接CD
【经典例题】
例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围
提示：画出图形，倍长中线AD ，利用三角形两边之和大于第三边
例2：已知在△ABC 中，AB=AC，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且
DF=EF，求证：BD=CE
方法1：过D 作DG ∥AE 交BC 于G ，证明ΔDGF ≌ΔCEF 方法2：过E 作EG ∥AB 交BC 的延长线于G ，证明ΔEFG ≌Δ
方法3：过D 作DG ⊥BC 于G ，过E 作EH ⊥BC 的延长线于H 证明ΔBDG ≌ΔECH
倍长中线法
中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．下面举例说明．
【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线
△ABC 中
方法： 延长AD 到E ，
AD 是BC 边中线 思考：倍长中线后，能推出什么结论？
例1. 如图：AD 为 △ABC 的中线，求证：AB+AC>2AD
例2. △ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围
使DE=AD，
连接BE
A
D
B
C
E
图5 1
例3. CB，CD 分别是钝角△AEC 和锐角△ABC 的中线，且AC=AB．求证：CE=2CD。
例4. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD+BC，M 是CD 的中点，求证：AM 、BM 分别平分∠DAB 和∠CBA 。
例5. （提高题）如图5-2， 已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直
角边各向外作等腰直角三角形，求证EF=2AD
E
A B C D
图5 2
例6. （提高题）在正方形ABCD 中, 点E 、F 分别为BC 和AB 的中点求证：AM=AD
A
F
B
E
C
F
在RT △ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D ，点O 是AC 边上的一点，连接BO ，交AD 于F ，CE ⊥OB 交BC 边于点E 。（1）求证：△ABF ∽△COE （2）若O 是AC 边中点，AC （3）当O 是AC 边中点，AC
AB
=2，如图，求
O F O E
的值。 的值。
AB
=n ，请直接写出
O F O E
C
O
C
【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线
△ABC 中
方式1： 延长AD 到
E ，
方式2：间接倍长 AD 是BC 边中线
使DE=AD，
连接BE
作CF ⊥AD 于F ，延长MD 到N ， 作BE ⊥AD 的延长线于使DN=MD， 连接BE 连接CD
【经典例题】
例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围
提示：画出图形，倍长中线AD ，利用三角形两边之和大于第三边
例2：已知在△ABC 中，AB=AC，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且
DF=EF，求证：BD=CE
方法1：过D 作DG ∥AE 交BC 于G ，证明ΔDGF ≌ΔCEF 方法2：过E 作EG ∥AB 交BC 的延长线于G ，证明ΔEFG ≌Δ
方法3：过D 作DG ⊥BC 于G ，过E 作EH ⊥BC 的延长线于H 证明ΔBDG ≌ΔECH