浅谈几何解题中添加辅助线的作用
胡晓 潘集区实验中学
辅助线的添加是几何解题的关键和难点，进行几何解题时，准确的添加辅助线可以使问题迎刃而解，现把几何解题中添加辅助线的作用归纳如下。
一、揭示图形中隐含的性质
当条件与结论间的逻辑关系不明朗时，通过适当添加辅助线，将条件中隐含的有关图像性质充分显示出来，从而扩大已知条件，以便取得有关过渡性的推论，达到推导出结论的目的。
例证：如图1，在△ABC 中，BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，M 、N 分别是DE 、
BC 的中点，求证：MN ⊥DE
分析：本题利用添置的两条辅助线EN 、DN 把题中隐含的直角三角形斜边上中线的
1
性质转化为直接条件EN = DN = BC
2
证明：分别连接EN 、DN （作图）
A
∵ N是BC 的中点，CE ⊥AB,DB ⊥ AC （已知） ∴ EN是Rt △BEC 斜边上的中线
DN是Rt △CDB 斜边上的中线 1∴ EN = BC （直角三角形斜边上中线的性质） 21
DN = BC （直角三角形斜边上中线的性质）
2
∴ EN = DN （等量代换） N C 又∵M 是ED 的中点， （已知）
∴MN ⊥DE （等腰三角形三线合一性质） 图1
二、聚拢集中原则
通过添置适当的辅助线，将图形中分散、远离的元素，通过变换和转化，使它们相对集中，聚拢到有关图形上来，使题设条件与结论建立逻辑联系，从而导出要求的结论。
例证：已知在四边形ABCD 中，AB = CD,点F 和E 分别为AD 、BC 边上的中点，延长BA 、CD ，分别交EF 的延长线于P 、Q,
求证：∠APF =∠ DQF
分析:本题中的条件与结论中的有关元素位置比较分散，通过平行移动，可使有关元素集中在
一起，方便解题。如图2，将AB 、CD 分别平移到FG 、FH, 由△BEG ≌△CEH 可可求EF 是等腰三角形FGH 底边上的中线，再由∠GFE =∠ HFE推出∠APF =∠ DQF。
证明：如图，过点F 作FG ∥AB,FH ∥DC, 过点B 点C 分别作BG ∥AD,CH ∥AD, 交FG 、FH 于G 、H 点，连接GE 、HE 。
∵ FG∥AB BG∥AD CH∥AD FH∥DC,
∴ 四边形ABGF 和四边形FHCD 都是平行四边形 ∴ AB = FG AF = BG FD = CH FH = CD
又∵ F和E 分别为AD 、BC 的中点，
∴ AF = FD BE = CE FG = FH
∴ BG = CH
∵ BG∥
AD,CH ∥AD ∴ BG
∥HC
∴ ∠GBE = ∠ HCE D ∴ △BEG ≌ △CEH (SAS) ∴ GE = HE
∴ △FGE ≌ △FHE (SSS)
∴ ∠GFE =∠ HFE
又∵ FG∥AB, FH∥DC C ∴ ∠GFE =∠ APF ∠Q =∠ HFE
∴ ∠APF =∠ DQF
便于解题。
三、发挥特殊点的作用
在题设条件所给的图形中，对尙未直接显示出来的各元素，通过添置辅助线，将那些特殊点、特殊线、特殊图形的性质恰当地揭示出来，并充分发挥这些特殊点线的作用，达到化难为易、导出结论的目的。
例：如图3，两圆⊙1 ⊙2相交于A 和B 两点，经过交点B 的任一直线和两圆分别相交于C 、D 两点，求证：AC ：AD 为定值。
分析：本题通过物色特殊点去求得AC ：AD 为定值。即过点B 作EF ⊥BA 分别交两圆于E 、F 点，此时有AE:AF = d 1 ：d 2（d 1、d 2分别是两圆的直径），故只需证AC:AD = d 1 ：d 2即可。
证明：如图4，延长A ⊙1 ，A ⊙2分别交⊙1 ⊙2于E 、F 点，连接BE 、BF 则∠ABE ＋∠ ABF = 1800 ∴ E、B 、F 三点共线 ∵ ∠ACD = ∠ AEF ∠ADC = ∠ AEF ∴ △ACD ∽ △AEF
∴ AC ：AD = AE:AF = d1 ：d 2 (定值)
C
（ d1、d 2分别是两圆的直径） 四、构造图形的作用 对一类几何证明题，常需要用到某种图形，而这种图形在题设条件所给定的图形中
却没有出现，必须添置这些图形，才能导出结论。
例如:如图4，点D 为△ABC 的底边BC 延长线上一点，直线DF 交AB 于F 点，交AC
于E 点，且∠FEA = ∠ AFE ,求证：分析：横看比例式
BD BF
=. CD CE
BD BF
=，BD 、BF 与CD 、CE 虽然分别在△DBF 与△DCE 上，但这CD CE
两个三角形并不相似。竖看这个比例式，BD 、BF 与CD 、CE 都不是某两个三角形上的边，因此必须寻找别的出路，考虑到BD 、BC 在同一直线BD 上，所以不妨通过添置平行线为辅助线，构造新的三角形
相似（或应用平行线截割定理）进行论证。
如过点C 作CG ∥AB, 交FD 于G 点
BD BF
=则△DCG ∽△DBF, 因而得到,
CD CG
BD BF
=易证CE = CG,所以可得. CD CE
证明：如图4，过点C 作CG ∥AB, 交FD 于G 点
∵ CG∥AB ∴ △DCG ∽△DBF ∠AFE = ∠ CGE
BD BF
=∴ ,
B C D CD CG
又∵ ∠FEA = ∠ AFE ∠FEA = ∠ CEG
∴ ∠ CEG= ∠ CGE
∴ CE = CG
BD BF
=∴ . CD CE
当然，在几何解题中添加辅助线除了能起到揭示图形中隐含的性质，使图像中分散远离的元素聚拢集中，发挥特殊点线的作用外，还能起到化繁为简，化难为易的目的。仅从以上例证就足以证明添加辅助线在几何解题中的重要作用了。
浅谈几何解题中添加辅助线的作用
胡晓 潘集区实验中学
辅助线的添加是几何解题的关键和难点，进行几何解题时，准确的添加辅助线可以使问题迎刃而解，现把几何解题中添加辅助线的作用归纳如下。
一、揭示图形中隐含的性质
当条件与结论间的逻辑关系不明朗时，通过适当添加辅助线，将条件中隐含的有关图像性质充分显示出来，从而扩大已知条件，以便取得有关过渡性的推论，达到推导出结论的目的。
例证：如图1，在△ABC 中，BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，M 、N 分别是DE 、
BC 的中点，求证：MN ⊥DE
分析：本题利用添置的两条辅助线EN 、DN 把题中隐含的直角三角形斜边上中线的
1
性质转化为直接条件EN = DN = BC
2
证明：分别连接EN 、DN （作图）
A
∵ N是BC 的中点，CE ⊥AB,DB ⊥ AC （已知） ∴ EN是Rt △BEC 斜边上的中线
DN是Rt △CDB 斜边上的中线 1∴ EN = BC （直角三角形斜边上中线的性质） 21
DN = BC （直角三角形斜边上中线的性质）
2
∴ EN = DN （等量代换） N C 又∵M 是ED 的中点， （已知）
∴MN ⊥DE （等腰三角形三线合一性质） 图1
二、聚拢集中原则
通过添置适当的辅助线，将图形中分散、远离的元素，通过变换和转化，使它们相对集中，聚拢到有关图形上来，使题设条件与结论建立逻辑联系，从而导出要求的结论。
例证：已知在四边形ABCD 中，AB = CD,点F 和E 分别为AD 、BC 边上的中点，延长BA 、CD ，分别交EF 的延长线于P 、Q,
求证：∠APF =∠ DQF
分析:本题中的条件与结论中的有关元素位置比较分散，通过平行移动，可使有关元素集中在
一起，方便解题。如图2，将AB 、CD 分别平移到FG 、FH, 由△BEG ≌△CEH 可可求EF 是等腰三角形FGH 底边上的中线，再由∠GFE =∠ HFE推出∠APF =∠ DQF。
证明：如图，过点F 作FG ∥AB,FH ∥DC, 过点B 点C 分别作BG ∥AD,CH ∥AD, 交FG 、FH 于G 、H 点，连接GE 、HE 。
∵ FG∥AB BG∥AD CH∥AD FH∥DC,
∴ 四边形ABGF 和四边形FHCD 都是平行四边形 ∴ AB = FG AF = BG FD = CH FH = CD
又∵ F和E 分别为AD 、BC 的中点，
∴ AF = FD BE = CE FG = FH
∴ BG = CH
∵ BG∥
AD,CH ∥AD ∴ BG
∥HC
∴ ∠GBE = ∠ HCE D ∴ △BEG ≌ △CEH (SAS) ∴ GE = HE
∴ △FGE ≌ △FHE (SSS)
∴ ∠GFE =∠ HFE
又∵ FG∥AB, FH∥DC C ∴ ∠GFE =∠ APF ∠Q =∠ HFE
∴ ∠APF =∠ DQF
便于解题。
三、发挥特殊点的作用
在题设条件所给的图形中，对尙未直接显示出来的各元素，通过添置辅助线，将那些特殊点、特殊线、特殊图形的性质恰当地揭示出来，并充分发挥这些特殊点线的作用，达到化难为易、导出结论的目的。
例：如图3，两圆⊙1 ⊙2相交于A 和B 两点，经过交点B 的任一直线和两圆分别相交于C 、D 两点，求证：AC ：AD 为定值。
分析：本题通过物色特殊点去求得AC ：AD 为定值。即过点B 作EF ⊥BA 分别交两圆于E 、F 点，此时有AE:AF = d 1 ：d 2（d 1、d 2分别是两圆的直径），故只需证AC:AD = d 1 ：d 2即可。
证明：如图4，延长A ⊙1 ，A ⊙2分别交⊙1 ⊙2于E 、F 点，连接BE 、BF 则∠ABE ＋∠ ABF = 1800 ∴ E、B 、F 三点共线 ∵ ∠ACD = ∠ AEF ∠ADC = ∠ AEF ∴ △ACD ∽ △AEF
∴ AC ：AD = AE:AF = d1 ：d 2 (定值)
C
（ d1、d 2分别是两圆的直径） 四、构造图形的作用 对一类几何证明题，常需要用到某种图形，而这种图形在题设条件所给定的图形中
却没有出现，必须添置这些图形，才能导出结论。
例如:如图4，点D 为△ABC 的底边BC 延长线上一点，直线DF 交AB 于F 点，交AC
于E 点，且∠FEA = ∠ AFE ,求证：分析：横看比例式
BD BF
=. CD CE
BD BF
=，BD 、BF 与CD 、CE 虽然分别在△DBF 与△DCE 上，但这CD CE
两个三角形并不相似。竖看这个比例式，BD 、BF 与CD 、CE 都不是某两个三角形上的边，因此必须寻找别的出路，考虑到BD 、BC 在同一直线BD 上，所以不妨通过添置平行线为辅助线，构造新的三角形
相似（或应用平行线截割定理）进行论证。
如过点C 作CG ∥AB, 交FD 于G 点
BD BF
=则△DCG ∽△DBF, 因而得到,
CD CG
BD BF
=易证CE = CG,所以可得. CD CE
证明：如图4，过点C 作CG ∥AB, 交FD 于G 点
∵ CG∥AB ∴ △DCG ∽△DBF ∠AFE = ∠ CGE
BD BF
=∴ ,
B C D CD CG
又∵ ∠FEA = ∠ AFE ∠FEA = ∠ CEG
∴ ∠ CEG= ∠ CGE
∴ CE = CG
BD BF
=∴ . CD CE
当然，在几何解题中添加辅助线除了能起到揭示图形中隐含的性质，使图像中分散远离的元素聚拢集中，发挥特殊点线的作用外，还能起到化繁为简，化难为易的目的。仅从以上例证就足以证明添加辅助线在几何解题中的重要作用了。