二次函数复习题总结
1．（12分）（2015•阜新）如图，抛物线y=﹣x +bx+c交x 轴于点A （﹣3，0）和点B ，交y 轴于点C （0，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P 在抛物线上，且S △AOP =4SBOC ，求点P 的坐标；
（3）如图b ，设点Q 是线段AC 上的一动点，作DQ ⊥x 轴，交抛物线于点D ，求线段DQ 长度的最大值．
2
12、（2014兰州）如图，抛物线y =-x +mx +n 与x 轴交于A 、22
B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知A （-1，0），C （0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标; 如果不存在，请说明理由；
（3）点E 是线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标。
3、如图，抛物线y=ax 2+bx+2与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标为 （-1，0），抛物线的对称轴为直线x=1.5，点M 为线段AB 上一点，过M 作x 轴的垂线交抛物线于P ，交过点A 的直线y=-x+n于点C ．
（1）求直线AC 及抛物线的解析式；
（2）M 位于线段AB 的什么位置时，PC 最长，并求出. 此时P 点的坐标；
（3）若（2）的条件下，在 x 轴上方的抛物线上是否存在点Q ，
2使S △ABQ ＝S △APB ，求点Q 的坐标． 3
4、（2014? 昆明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3（a≠0）与x 轴交于点A （-2，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？
（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使S △CBK ：S △PBQ=5：2，求K 点坐标．
5、如图，直线y=-x+4与x 轴、y 轴分别交于点C 、B ，抛物线y=ax2+bx+c经过点B 、C ，并与x 轴交于另一点A ，其顶点为P ，tan∠OAB=4．
（1）求抛物线的关系式及顶点坐标；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ是以AB 为底边的等腰三角形？若存在，求Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M 、N ，使以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，求此时平行四边形的面积．
36、如图，已知抛物线y =-x +bx +c 与坐标轴交于A ，42
B ，C 三点，点A 的横坐标为-1，过点C （0，3）的直线
3y =-x +3 4t
与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，PH ⊥OB 于点H ．若PB=5t，且0＜t ＜1．
（1）确定b ，c 的值；
（2）写出点B ，Q ，P 的坐标（其中Q ，P 用含t 的式子表示）；
（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使△PQB 为等腰三角形？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由．
7、如图所示，直线y=-x+3与x 轴、y 轴分别相交于点B 、点C ，经过B 、C 两点的抛物线y=ax 2 +bx+c与x 轴的另一交点为A ，顶点为P ，且对称轴是直线x=2。（1）求A 点的坐标；（2）求该抛物线的函数表达式；（3）连接AC ，请问在x 轴上是否存在点Q ，使得以点P 、B 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。
解：（1）∵直线y=-x+3与x 轴相交于点B ，
∴当y=0时，x=3，
∴点B 的坐标为（3，0），
又∵抛物线过x 轴上的A 、B 两点，且对称轴为x=2，
根据抛物线的对称性，
∴点A 的坐标为（1，0）；
（2）∵y=-x+3过点C ，易知C （0，3），
∴c=3，
又∵抛物线y=ax2+bx+c过点A （1，0），B （3，0）， ∴解得
∴y=x2-4x+3；
（3）连接PB ，由y=x2-4x+3= （x-2）2-1，得P （2，-1），
设抛物线的时称轴交x 轴于点M ，
在Rt △PB M 中，PM =MB =1，
∴∠PB M=45°，PB=，
由点B （3，0），C （0，3）易得OB=OC =3，
在等腰直角三角形OBC 中，∠ABC =45°，
由勾股定理，得BC=3，
假设在x 轴上存在点Q ，使得以点P 、B 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似， ①当，∠PBQ=∠ABC =45°时，△PBQ ∽△ABC ， 即
∴BQ=3，
又∵BO =3，
∴点Q 与点O 重合，
∴Q 1的坐标是（0，0）， ②当，∠QB P=∠ABC=45°时，△
QB P ∽△ABC ， 即
∴QB =
∵OB=3，
∴OQ=OB-QB=3-
∴Q 2的坐标是
∵∠PBx=180°-45°=135°，∠BAC ＜135°，
∴∠PBx ≠∠BAC ，
∴点Q 不可能在B 点右侧的x 轴上，
综上所述，在x 轴上存在两点Q 1（0，0）、Q 2，能使得以点P 、B 、
Q 为顶点的三角形与△ABC 相似。
8、（10分）（2014•青岛）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）求出每天的销售利润y （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）
分析： （1）根据“利润=（售价﹣成本）×销售量”列出方程；
（2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答；
（3）把y=4000代入函数解析式，求得相应的x 值；然后由“每天的总成本不超过7000元”列出关于x 的不等式50（﹣5x+550）≤7000，通过解不等式来求x 的取值范围．
解答： 解：（1）y=（x ﹣50）[50+5（100﹣x ）]
=（x ﹣50）（﹣5x+550）
2=﹣5x +800x﹣27500
2∴y=﹣5x +800x﹣27500（50≤x ≤100）；
2（2）y=﹣5x +800x﹣27500
2=﹣5（x ﹣80）+4500
∵a=﹣5＜0，
∴抛物线开口向下．
∵50≤x ≤100，对称轴是直线x=80，
∴当x=80时，y 最大值=4500；
2（3）当y=4000时，﹣5（x ﹣80）+4500=4000，
解得x 1=70，x 2=90．
∴当70≤x ≤90时，每天的销售利润不低于4000元．
由每天的总成本不超过7000元，得50（﹣5x+550）≤7000，
解得x ≥82．
∴82≤x ≤90，
∵50≤x ≤100，
∴销售单价应该控制在82元至90元之间．
点评： 本题考查二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
9、某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销
发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数
且时，；时，
的表达式；
元，试写出利润． ，（1）求一次函数（2）若该商场获得利润为与销售单价之间
的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的范围． 答案
（1）（2）当销售单价定为87元时，商场可获得最大
利润，最大利润是891元（3）
解：（1）根据题意得所求一次函数的表达式为
（2） 解得． ．
， 抛物线的开口向下，当而
当， 时，． 时，随的增大而增大， 当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．
（3）由整理得，，得，解得，， ．
由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而
，所以，销售单价
的范围是
11
二次函数复习题总结
1．（12分）（2015•阜新）如图，抛物线y=﹣x +bx+c交x 轴于点A （﹣3，0）和点B ，交y 轴于点C （0，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P 在抛物线上，且S △AOP =4SBOC ，求点P 的坐标；
（3）如图b ，设点Q 是线段AC 上的一动点，作DQ ⊥x 轴，交抛物线于点D ，求线段DQ 长度的最大值．
2
12、（2014兰州）如图，抛物线y =-x +mx +n 与x 轴交于A 、22
B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知A （-1，0），C （0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标; 如果不存在，请说明理由；
（3）点E 是线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标。
3、如图，抛物线y=ax 2+bx+2与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标为 （-1，0），抛物线的对称轴为直线x=1.5，点M 为线段AB 上一点，过M 作x 轴的垂线交抛物线于P ，交过点A 的直线y=-x+n于点C ．
（1）求直线AC 及抛物线的解析式；
（2）M 位于线段AB 的什么位置时，PC 最长，并求出. 此时P 点的坐标；
（3）若（2）的条件下，在 x 轴上方的抛物线上是否存在点Q ，
2使S △ABQ ＝S △APB ，求点Q 的坐标． 3
4、（2014? 昆明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3（a≠0）与x 轴交于点A （-2，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？
（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使S △CBK ：S △PBQ=5：2，求K 点坐标．
5、如图，直线y=-x+4与x 轴、y 轴分别交于点C 、B ，抛物线y=ax2+bx+c经过点B 、C ，并与x 轴交于另一点A ，其顶点为P ，tan∠OAB=4．
（1）求抛物线的关系式及顶点坐标；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ是以AB 为底边的等腰三角形？若存在，求Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M 、N ，使以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，求此时平行四边形的面积．
36、如图，已知抛物线y =-x +bx +c 与坐标轴交于A ，42
B ，C 三点，点A 的横坐标为-1，过点C （0，3）的直线
3y =-x +3 4t
与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，PH ⊥OB 于点H ．若PB=5t，且0＜t ＜1．
（1）确定b ，c 的值；
（2）写出点B ，Q ，P 的坐标（其中Q ，P 用含t 的式子表示）；
（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使△PQB 为等腰三角形？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由．
7、如图所示，直线y=-x+3与x 轴、y 轴分别相交于点B 、点C ，经过B 、C 两点的抛物线y=ax 2 +bx+c与x 轴的另一交点为A ，顶点为P ，且对称轴是直线x=2。（1）求A 点的坐标；（2）求该抛物线的函数表达式；（3）连接AC ，请问在x 轴上是否存在点Q ，使得以点P 、B 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。
解：（1）∵直线y=-x+3与x 轴相交于点B ，
∴当y=0时，x=3，
∴点B 的坐标为（3，0），
又∵抛物线过x 轴上的A 、B 两点，且对称轴为x=2，
根据抛物线的对称性，
∴点A 的坐标为（1，0）；
（2）∵y=-x+3过点C ，易知C （0，3），
∴c=3，
又∵抛物线y=ax2+bx+c过点A （1，0），B （3，0）， ∴解得
∴y=x2-4x+3；
（3）连接PB ，由y=x2-4x+3= （x-2）2-1，得P （2，-1），
设抛物线的时称轴交x 轴于点M ，
在Rt △PB M 中，PM =MB =1，
∴∠PB M=45°，PB=，
由点B （3，0），C （0，3）易得OB=OC =3，
在等腰直角三角形OBC 中，∠ABC =45°，
由勾股定理，得BC=3，
假设在x 轴上存在点Q ，使得以点P 、B 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似， ①当，∠PBQ=∠ABC =45°时，△PBQ ∽△ABC ， 即
∴BQ=3，
又∵BO =3，
∴点Q 与点O 重合，
∴Q 1的坐标是（0，0）， ②当，∠QB P=∠ABC=45°时，△
QB P ∽△ABC ， 即
∴QB =
∵OB=3，
∴OQ=OB-QB=3-
∴Q 2的坐标是
∵∠PBx=180°-45°=135°，∠BAC ＜135°，
∴∠PBx ≠∠BAC ，
∴点Q 不可能在B 点右侧的x 轴上，
综上所述，在x 轴上存在两点Q 1（0，0）、Q 2，能使得以点P 、B 、
Q 为顶点的三角形与△ABC 相似。
8、（10分）（2014•青岛）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）求出每天的销售利润y （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）
分析： （1）根据“利润=（售价﹣成本）×销售量”列出方程；
（2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答；
（3）把y=4000代入函数解析式，求得相应的x 值；然后由“每天的总成本不超过7000元”列出关于x 的不等式50（﹣5x+550）≤7000，通过解不等式来求x 的取值范围．
解答： 解：（1）y=（x ﹣50）[50+5（100﹣x ）]
=（x ﹣50）（﹣5x+550）
2=﹣5x +800x﹣27500
2∴y=﹣5x +800x﹣27500（50≤x ≤100）；
2（2）y=﹣5x +800x﹣27500
2=﹣5（x ﹣80）+4500
∵a=﹣5＜0，
∴抛物线开口向下．
∵50≤x ≤100，对称轴是直线x=80，
∴当x=80时，y 最大值=4500；
2（3）当y=4000时，﹣5（x ﹣80）+4500=4000，
解得x 1=70，x 2=90．
∴当70≤x ≤90时，每天的销售利润不低于4000元．
由每天的总成本不超过7000元，得50（﹣5x+550）≤7000，
解得x ≥82．
∴82≤x ≤90，
∵50≤x ≤100，
∴销售单价应该控制在82元至90元之间．
点评： 本题考查二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
9、某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销
发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数
且时，；时，
的表达式；
元，试写出利润． ，（1）求一次函数（2）若该商场获得利润为与销售单价之间
的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的范围． 答案
（1）（2）当销售单价定为87元时，商场可获得最大
利润，最大利润是891元（3）
解：（1）根据题意得所求一次函数的表达式为
（2） 解得． ．
， 抛物线的开口向下，当而
当， 时，． 时，随的增大而增大， 当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．
（3）由整理得，，得，解得，， ．
由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而
，所以，销售单价
的范围是
11