第二节 离散型随机变量及其概率分布
（2学时）
教学目的
使学生熟练掌握常用离散型的概率分布。
教学重点和难点
本节的重点是两点分布，二项分布，泊松分布。 本节的难点是二项分布，泊松分布。
教学手段：
启发式教学和讲授法相结合。
教学内容：
1. 离散型随机变量的定义； 2. 两点分布； 3. 二项分布；
4. 泊松分布； 5. 超几何分布； 6. 几何分布 教学内容的深化和拓展
两点分布和二项分布之间的关系，二项分布、 泊松分布和超几何分布之间的关系。
教学中应注意的问题
二项分布的应用。
如果一个随机变量ξ的所有可能的取值为有限个或无限可数个，ξ为离散型随机变量，这一节我们将要研究与其相关的的内容知识。
一、定义：若一个随机变量ξ的所有可能的取值为有限个或无限可数个， 则称它为离散型随机变量。
二、概率分布：
设离散型随机变量ξ所有可能的取值为xi（i=1,2,…），且事件{ξ=xi} 的概率为P{ξ=xi}= pi，i=1，2，…这称为离散型随机变量ξ的概率分布或 分布列。它还可以用表格形式来表示：
作为一个离散型随机变量的概率分布,满足下列两个条件
(1) pi≥0 , i=1,2,…
（2）=1
例1. 设一箱10件产品中2件次品8件合格品，现在从中随机抽取3件， 则抽得的次品数ξ的概率分布。
解：ξ的可能取值为0，1，2，且
P{ξ=0}=
P{ξ=1}=
P{ξ=2}=
故随机变量ξ的概率取值分布为: P{ξ=x}=
即
,x=0,1,2
三、几种常见的离散型随机变量的概率分布
1. 0—1分布：（两点分布）：
2. 二项分布： n重贝努里试验中事件
A发生的次数ξ的概率分布 P{ξ=k}=，k=0，1，2，…，n，此时称随机变量ξ服从二项分 布。记作ξ~B(n ,p) 。
注：在二项分布中，若n=1,则分布为两点分布。
例2. 将例1中的抽取方式改为从中有放回抽取3次，每次1件，求所抽得 3件中的次品数ξ的概率分布。
解：有放回的抽取3次，每次1件可看作3次重复独立试验，故ξ服从参数为n=3，p=
的二项分布，即ξ~B(3, ),故ξ的概率分布为
P{ξ=k}=
即
，k=0，1，2，3
例3. 某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，现在独立射击500次, 试求命中次数的概率分布及命中次数不少于2的概率。
解：独立射击500次为500次重复独立试验，故ξ~B(500, 0.02)，其概率分布为
P{ξ=k}=
所求概率为 ，k=0，1，2，…，500
P{ξ2} ＝1－（P{ξ=０}＋ P{ξ=１}）
＝１－ －
3. 泊松(Poisson)分布：若随机变量ξ的概率分布为
P{ξ=k}=，=0， 1，2，…，其中λ>0的常数，
此时称随机变量ξ服从参数为λ的泊松分布，记作ξ~π(λ)。
（性质的验证）
泊松定理：
设随机变量ξn服从二项分布ξ~B(n ,p) （n=0，1，2，…），则其概率分布为 P{ξn=k}=，k=0，1，2，… ，n ，其中pn与n有关， 若pn满足（λ为常数）。
例4. 利用泊松分布近似计算例3中的概率P{ξ≥2}。
解：因为
于是
=1
－１－－
=1－0.0005=0.9995
例5. 某厂有同类设备300抬，各台工作相互独立，每台发生故障的概率均 为0.01，如果每台设备发生故障可由1人排除，问：
（1）需配备多少维修工人才能保证发生故障的设备不能及时得到维修 的概率小于0.2？
（2）如果1人负责维修40台设备，求此人负责的设备发生故障而不能 及时得到维修的概率。
解：用随机变量ξ表示同时发生故障的设备台数.
1. 依题意ξ~B(300, 0.01),设需配备维修工N人,则问题为确定N, 使=
查附表2知, N至少为7,即至少应配备7人.
2. 依题意ξ~B(40, 0.01),且λ=40
0.01=0.4, 查附表2知,
=0.0616
4. 超几何分布：
若随机变量ξ的概率分布为P{ξ=k}=，k=0,1,2,… ,min{ n,M}, 则称随机变量ξ服从参数为n,M,N的超几何分布，记作ξ~H(n ,M,N)。
5. 几何分布：
若随机变量ξ的概率分布为P{ξ=k}=量ξ服从几何分布。记作ξ~G(p)
例6. 设某射击手的命中率为p=0.8,现在进行射击且各次射击都是独立的, 求直到击中为止的射击次数ξ的概率分布。
解： 容易看出ξ~G(0.8),概率分布为
P{ξ=k}=即
,=1，2，… ，=1，2，…，则称随机变
课堂练习：P42，4，5。
第二节 离散型随机变量及其概率分布
（2学时）
教学目的
使学生熟练掌握常用离散型的概率分布。
教学重点和难点
本节的重点是两点分布，二项分布，泊松分布。 本节的难点是二项分布，泊松分布。
教学手段：
启发式教学和讲授法相结合。
教学内容：
1. 离散型随机变量的定义； 2. 两点分布； 3. 二项分布；
4. 泊松分布； 5. 超几何分布； 6. 几何分布 教学内容的深化和拓展
两点分布和二项分布之间的关系，二项分布、 泊松分布和超几何分布之间的关系。
教学中应注意的问题
二项分布的应用。
如果一个随机变量ξ的所有可能的取值为有限个或无限可数个，ξ为离散型随机变量，这一节我们将要研究与其相关的的内容知识。
一、定义：若一个随机变量ξ的所有可能的取值为有限个或无限可数个， 则称它为离散型随机变量。
二、概率分布：
设离散型随机变量ξ所有可能的取值为xi（i=1,2,…），且事件{ξ=xi} 的概率为P{ξ=xi}= pi，i=1，2，…这称为离散型随机变量ξ的概率分布或 分布列。它还可以用表格形式来表示：
作为一个离散型随机变量的概率分布,满足下列两个条件
(1) pi≥0 , i=1,2,…
（2）=1
例1. 设一箱10件产品中2件次品8件合格品，现在从中随机抽取3件， 则抽得的次品数ξ的概率分布。
解：ξ的可能取值为0，1，2，且
P{ξ=0}=
P{ξ=1}=
P{ξ=2}=
故随机变量ξ的概率取值分布为: P{ξ=x}=
即
,x=0,1,2
三、几种常见的离散型随机变量的概率分布
1. 0—1分布：（两点分布）：
2. 二项分布： n重贝努里试验中事件
A发生的次数ξ的概率分布 P{ξ=k}=，k=0，1，2，…，n，此时称随机变量ξ服从二项分 布。记作ξ~B(n ,p) 。
注：在二项分布中，若n=1,则分布为两点分布。
例2. 将例1中的抽取方式改为从中有放回抽取3次，每次1件，求所抽得 3件中的次品数ξ的概率分布。
解：有放回的抽取3次，每次1件可看作3次重复独立试验，故ξ服从参数为n=3，p=
的二项分布，即ξ~B(3, ),故ξ的概率分布为
P{ξ=k}=
即
，k=0，1，2，3
例3. 某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，现在独立射击500次, 试求命中次数的概率分布及命中次数不少于2的概率。
解：独立射击500次为500次重复独立试验，故ξ~B(500, 0.02)，其概率分布为
P{ξ=k}=
所求概率为 ，k=0，1，2，…，500
P{ξ2} ＝1－（P{ξ=０}＋ P{ξ=１}）
＝１－ －
3. 泊松(Poisson)分布：若随机变量ξ的概率分布为
P{ξ=k}=，=0， 1，2，…，其中λ>0的常数，
此时称随机变量ξ服从参数为λ的泊松分布，记作ξ~π(λ)。
（性质的验证）
泊松定理：
设随机变量ξn服从二项分布ξ~B(n ,p) （n=0，1，2，…），则其概率分布为 P{ξn=k}=，k=0，1，2，… ，n ，其中pn与n有关， 若pn满足（λ为常数）。
例4. 利用泊松分布近似计算例3中的概率P{ξ≥2}。
解：因为
于是
=1
－１－－
=1－0.0005=0.9995
例5. 某厂有同类设备300抬，各台工作相互独立，每台发生故障的概率均 为0.01，如果每台设备发生故障可由1人排除，问：
（1）需配备多少维修工人才能保证发生故障的设备不能及时得到维修 的概率小于0.2？
（2）如果1人负责维修40台设备，求此人负责的设备发生故障而不能 及时得到维修的概率。
解：用随机变量ξ表示同时发生故障的设备台数.
1. 依题意ξ~B(300, 0.01),设需配备维修工N人,则问题为确定N, 使=
查附表2知, N至少为7,即至少应配备7人.
2. 依题意ξ~B(40, 0.01),且λ=40
0.01=0.4, 查附表2知,
=0.0616
4. 超几何分布：
若随机变量ξ的概率分布为P{ξ=k}=，k=0,1,2,… ,min{ n,M}, 则称随机变量ξ服从参数为n,M,N的超几何分布，记作ξ~H(n ,M,N)。
5. 几何分布：
若随机变量ξ的概率分布为P{ξ=k}=量ξ服从几何分布。记作ξ~G(p)
例6. 设某射击手的命中率为p=0.8,现在进行射击且各次射击都是独立的, 求直到击中为止的射击次数ξ的概率分布。
解： 容易看出ξ~G(0.8),概率分布为
P{ξ=k}=即
,=1，2，… ，=1，2，…，则称随机变
课堂练习：P42，4，5。