无穷级数总结
一、概念与性质 1. 定义：对数列u 1, u 2,
，∑u n 称为无穷级数，u n 称为一般项；若部分和
n =1∞
, u n
数列{S n }有极限S ，即lim S n =S ，称级数收敛，否则称为发散.
n →∞
2. 性质
①设常数c ≠0，则∑u n 与∑cu n 有相同的敛散性；
n =1
n =1
∞
∞
②设有两个级数∑u n 与∑v n ，若∑u n =s ，∑v n =σ，则∑(u n ±v n ) =s ±σ；
n =1
n =1
n =1
n =1
n =1
∞∞∞∞∞
若∑u n 收敛，∑v n 发散，则∑(u n ±v n ) 发散；
n =1∞
n =1
n =1
∞∞∞
若∑u n ，∑v n 均发散，则∑(u n ±v n ) 敛散性不确定；
n =1
n =1
n =1
∞∞
③添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性；
④设级数∑u n 收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和．
n =1∞
注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；
②一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定． ⑤级数∑u n 收敛的必要条件：lim u n =0；
n =1∞
n →∞
注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散；
②若lim u n =0，则∑u n 未必收敛；
n →∞
n =1∞
③若∑u n 发散，则lim u n =0未必成立．
n =1
∞
n →∞
二、常数项级数审敛法 1. 正项级数及其审敛法
① 定义：若u n ≥0，则∑u n 称为正项级数.
n =1∞
② 审敛法： （i ）
充要条件：正项级数∑u n 收敛的充分必要条件是其部分和数列有界.
n =1∞
（ii ）
比较审敛法：设∑u n ①与∑v n ②都是正项级数，且u n ≤v n (n =1,2, ) ，
n =1
n =1
∞∞
则若②收敛则①收敛；若①发散则②发散.
A. 若②收敛，且存在自然数N ，使得当n ≥N 时有u n ≤kv n (k >0) 成立，则①收敛；若②发散，且存在自然数N ，使得当n ≥N 时有u n ≥kv n (k >0) 成立，则①发散；
1
B. 设∑u n 为正项级数，若有p >1使得u n ≤p (n =1, 2,
n n =1
∞
) ，则∑u n 收敛；若
n =1
∞
1
u n ≥(n =1, 2,
n
∞
) ，则∑u n 发散.
n =1
∞
∞
C. 极限形式：设∑u n ①与∑v n ②都是正项级数，若lim
n =1
n =1
u n
=l (0
∑u
n =1∞
∞
n
与∑v n 有相同的敛散性.
n =1
∞
注：常用的比较级数： ①几何级数：∑ar n -1
n =1
⎧a
⎪=⎨1-r ⎪发散⎩
r
；
②p -级数：∑
n =1
∞
1⎧收敛⎨n p ⎩发散
∞
p >1时p ≤1时
；
③ 调和级数：∑=1+
1n n =1
11
+ ++ 发散． 2n
+∞
（iii ）比值判别法（达郎贝尔判别法）设∑a n 是正项级数，若
n =1
+∞+∞
a n +1a n +1
=r 1，则 ①lim a n 收敛；②lim a n 发散．
n →+∞a n →+∞a n n n =1n =1
∑∑
a
n +1
=1，或lim =1，推不出级数的敛散. 例注：若lim
n →+∞a n n
∑
n =1
+∞
+∞
11与，虽然2n n =1n
∑
+∞+∞
a
n +111lim =1，lim =1，但∑发散，而∑2收敛.
n n →+∞a n n =1n =1n n
+∞
（iv ）根值判别法（柯西判别法）设∑a
n 是正项级数，lim =ρ，若ρ
n =1
n
级数收敛，若ρ>1则级数发散．
（v ）极限审敛法：设u n ≥0，且lim n p u n =l ，则①lim n p u n =l >0且p ≤1，则级
n →∞
n →∞
数∑u n 发散；②如果p >1，而lim n p u n =l (0
n =1
n →∞
+∞
敛．（书上P317-2-（1））
注：凡涉及证明的命题，一般不用比值法与根值法，一般会使用比较判别法．正
项级数的比（根）值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分非必要条件．
2. 交错级数及其审敛法
①定义：设u n ≥0(n =1,2, ) ，则∑(-1) n -1u n 称为交错级数.
n =1∞
②审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数∑(-1) n -1u n ，若u n ≥u n +1且lim u n =0，
n =1
n →∞
∞
则∑(-1) n -1u n 收敛.
n =1
∞
注：比较u n 与u n +1的大小的方法有三种： ①比值法，即考察
u n +1
是否小于1； u n
②差值法，即考察u n -u n +1是否大于0；
③由u n 找出一个连续可导函数f (x ) ，使u n =f (n ), (n =1, 2, ) 考察f '(x ) 是否小于0． 3. 一般项级数的判别法： ①若∑u n 绝对收敛，则∑u n 收敛.
n =1
n =1
∞
∞
②若用比值法或根值法判定∑|u n |发散，则∑u n 必发散.
n =1
n =1
∞∞
三、幂级数
1. 定义：∑a n x n 称为幂级数.
n =0∞
2. 收敛性
① 阿贝尔定理：设幂级数∑a n x n 在x 0≠0处收敛，则其在满足x
n =0+∞
有x 处绝对收敛．反之，若幂级数∑a n x n 在x 1处发散，则其在满足x >x 1
n =0
+∞
的所有x 处发散． ② 收敛半径
（i ）定义：若幂级数在x =x 0点收敛，但不是在整个实轴上收敛，则必存在
一个正数R ，使得①当x -x 0
x -x 0>R 时，幂级数发散；R 称为幂级数的收敛半径.
（ii ）求法：设幂级数∑a n x n 的收敛半径为R ，其系数满足条件lim
n =0
+∞
n →+∞
a n +1
=l ，a n
或lim
n →+∞
1
a n =l ，则当0
l
当l =+∞时，R =0．
注：求收敛半径的方法却有很大的差异．前一个可直接用公式，后一个则须分奇、偶项（有时会出现更复杂的情况）分别来求．在分成奇偶项之后，由于通项中出现缺项，由此仍不能用求半径的公式直接求，须用求函数项级数收敛性的方法．
（iii ）收敛半径的类型 A. R =0，此时收敛域仅为一点； B. R =+∞，此时收敛域为(-∞, +∞) ；
C. R =某定常数，此时收敛域为一个有限区间． 3. 幂级数的运算（略） 4. 幂级数的性质
①若幂级数的收敛半径R >0，则和函数S (x ) =∑a n x n 在收敛区间(-R , R ) 内连续．
n =0+∞+∞
②若幂级数的收敛半径R >0，则和函数S (x ) =∑a n x n 在收敛区间(-R , R ) 内可导，
n =0
且可逐项求导，即S '(x ) =(∑a n x ) '=∑(a n x ) '=∑na n x n -1，收敛半径不变．
n
n
n =0
n =0
n =1
+∞+∞+∞
③若幂级数的收敛半径R >0，则和函数S (x ) =∑a n x n 在收敛区间(-R , R ) 内可积，
n =0
+∞
且可逐项积分，即⎰S (t ) dt =⎰(∑a n t ) dt =∑⎰a n t n dt (x ∈(-R , R )) ，收敛半径不
n
n =0
n =0
x x
+∞+∞
x
变．
5. 函数展开成幂级数
①若f (x ) 在含有点x 0的某个区间I 内有任意阶导数，f (x ) 在x 0点的n 阶泰勒公式
f ''(x 0) f (n ) (x 0) 2
(x -x 0) + +(x -x 0) + 为f (x ) =f (x 0) +f '(x 0)(x -x 0) +
2! n !
f (n +1) (ξ) f (n +1) (ξ) (n +1)
(x -x 0) (x -x 0) (n +1) ，ξ介于x , x 0之间，则f (x ) 在，记R n (x ) =
(n +1)! (n +1)!
I 内能展开成为泰勒级数的充要条件为lim R n (x ) =0, ∀x ∈I .
n →+∞
②初等函数的泰勒级数(x 0=0) （i ）e =∑
x
n =0+∞
x n
, x ∈(-∞, +∞) ； n !
+∞
(-1) n -1x 2n -1
（ii ）sin x =∑, x ∈(-∞, +∞) ；
(2n -1)! n =1
(-1) n x 2n
（iii ）cos x =, x ∈(-∞, +∞) ；
(2n )! n =0
∑
+∞
(-1) n x n +1
（iv ）ln(1+x ) =∑, x ∈(-1, 1]；
n +1n =0+∞
α(α-1) (α-n +1) n α
（v ）(1+x ) =1+∑x , x ∈(-1, 1), (α∈R ) ；
+∞n =1
n !
+∞+∞
11n
（vi ）=x , x
1-x n =01+x n =0
∑∑
6. 级数求和
①幂级数求和函数解题程序
（i ）求出给定级数的收敛域；
（ii ）通过逐项积分或微分将给定的幂级数化为常见函数展开式的形式（或易看
出其假设和函数s (x ) 与其导数s '(x ) 的关系），从而得到新级数的和函数； 注：系数为若干项代数和的幂级数，求和函数时应先将级数写成各个幂级数的代
数和，然后分别求出它们的和函数，最后对和函数求代数和，即得所求级数的和函数． ②数项级数求和
（i ）利用级数和的定义求和，即lim S n =s ，则∑u n =s ，其中
n →∞
n =1∞
s n =u 1+u 2+ +u n =
∑u
k =1
n
k
．根据s n 的求法又可分为：直接法、拆项法、递
推法．
A. 直接法：适用于
∑u
k =1
∞
k
为等差或等比数列或通过简单变换易化为这两种数列；
B. 拆项法：把通项拆成两项差的形式，在求n 项和时，除首尾两项外其余各项对
消掉．
（ii ）阿贝尔法（构造幂级数法）∑a n =lim ∑a n x ，其中幂级数∑a n x n ，可通
n
n =0
x →1-
n =0
n =0
∞
∞
∞
过逐项微分或积分求得和函数S (x ) ．因此∑a n =lim s (x ) ．
n =0
x →1-
∞
四、傅里叶级数 1. 定义
①定义1：设f (x ) 是以2π为周期的函数，且在[-π, π]或[0, 2π]上可积，则
a n =
π⎰π
-
1
π
f (x ) cos nxdx =f (x ) s i n n x d x =
π⎰
1
1
2π
f (x ) cos nxdx , (n =0, 1, 2 ) ， f (x ) s i n n x d , x (n =1, 2, ) ，
b n =
1
π
⎰π
-
π
π
⎰
2π
称为函数f (x ) 的傅立叶系数．
1
②定义2：以f (x ) 的傅立叶系数为系数的三角级数a 0+
2
∑(a
n =1
∞
n
cos nx +b n sin nx ) ．
称为函数f (x ) 的傅立叶级数，表示为
1
f (x ) ～a 0+
2
∑(a
n =1
∞
n
cos nx +b n sin nx ) ．
③定义3：设f (x ) 是以2l 为周期的函数，且在[-l , l ]上可积，则以
1
a n =
l
⎰
l
-l l
f (x ) cos f (x ) sin (a n cos
∞
n π
xdx , (n =0, 1, 2 ) ， l
n π
xdx , (n =1, 2 ) 为系数的三角级数 l
n πn πx +b n sin x ) 称为f (x ) 的傅立叶级数，表示为 l l
1
b n =
l 1
a 0+2
⎰
-l
∑
n =1
∞
1
f (x ) ～a 0+
2
∑
n =1
(a n cos
n πn πx +b n sin x ) ． l l
2. 收敛定理（狄里赫莱的充分条件）设函数f (x ) 在区间[-π, π]上满足条件
①除有限个第一类间断点外都是连续的；②只有有限个极值点，
则f (x ) 的傅立叶级数在[-π, π]上收敛，且有
⎧f (x ), x 是f (x ) 的连续点；⎪
⎪1[f (x 0-0) +f (x 0+0)],∞
a 0⎪2
. +(a n cos nx +b n sin nx ) =⎨
x 是f (x ) 的第一类间断点；2n =1⎪0⎪1
⎪[f (-π+0) +f (π-0)],x =±π⎩2
∑
3. 函数展开成傅氏级数 ①周期函数
a
（i ）以2π为周期的函数f (x ) ：f (x ) ～0+
2
∞
∑a
n =1
n
cos nx +b n sin nx
a n =
1
π
⎰π
-
π
f (x ) cos nxdx (n =0, 1, 2, ) ，b n =
∞
1
π
⎰πf (x ) sin nxdx (n =1, 2, ) ；
-
π
注：①若f (x ) 为奇函数，则f (x ) ～∑b n sin nx (正弦级数) ，a n =0 (n =0, 1, 2, )
n =1
b n =
2
π
⎰
π
f (x )sin nxdx (n =1, 2, ) ；
a
②若f (x ) 为偶函数，则f (x ) ～0+
2
∑a
n =1
∞
n
cos nx (余弦级数) ，
a n =
π⎰
2
π
f (x )cos nxdx (n =0, 1, 2, ) ，b n =0 (n =1, 2, ) .
a
（ii ）以2l 为周期的函数f (x ) ：f (x ) ～0+
2
∑
n =1
∞
a n cos
n πn πx +b n sin x ) l l
n π1l n π
，f (x ) cos xdx (n =0, 1, 2, ) b n =f (x ) sin xdx (n =1, 2, ) ；
-l -l l l l
∞
n π
注：①若f (x ) 为奇函数，则f (x ) ～b n sin x (正弦级数) ，a n =0 (n =0, 1, 2, )
l n =1
1
a n =
l
⎰
l
⎰
∑
b n =
2l n π
f (x )sin xdx (n =1, 2, ) ； ⎰0l l
a
②若f (x ) 为偶函数，则f (x ) ～0+
2
∑
n =1
∞
a n cos
n π
x ，(余弦级数) l
a n =
2l n π
f (x )cos xdx (n =0, 1, 2, ) ，b n =0 (n =1, 2, ) . l ⎰0l
②非周期函数
（i ）奇延拓：
A. f (x ) 为[0, π]上的非周期函数，令F (x ) =⎨
[-π, π]上为奇函数，f (x ) ～(n =1, 2, ) ；
⎧f (x ), 0≤x ≤π
，则F (x ) 除x =0外在
-f (-x ), -π≤x
∑
n =1
∞
b n sin nx (正弦级数) ，b n =
π⎰
2
π
f (x )sin nxdx
B. f (x ) 为[0, l ]上的非周期函数，则令F (x ) =⎨
⎧f (x ), 0≤x ≤l
，则F (x ) 除x =0外
-f (-x ), -l ≤x
在[-π, π]上为奇函数，f (x ) ～∑b n sin
n =1
∞
2l n πn π
x (正弦级数) ，b n =⎰f (x )sin xdx l l 0l
(n =1, 2, ) .
（ii ）偶延拓：
A. f (x ) 为[0, π]上的非周期函数，令F (x ) =⎨
⎧f (x ), 0≤x ≤π
，
f (-x ), -π≤x
a
则F (x ) 除x =0外在[-π, π]上为偶函数，f (x ) ～0+
2
∑a
n =1
∞
n
cos nx (余
弦级数) ，a n =
π⎰0
2
π
f (x )cos nxdx (n =0, 1, 2, ) .
⎧f (x ), 0≤x ≤l
，则
f (-x ), -l ≤x
B. f (x ) 为[0, l ]上的非周期函数，令F (x ) =⎨
a
f (x ) ～0+
2
∑
n =1
∞
a n cos
2l n πn π
x (余弦级数) ，a n =⎰f (x )cos xdx (n =0, 1, 2, ) . l l 0l
注：解题步骤：
①画出图形、验证狄氏条件．画图易于验证狄氏条件，易看出奇偶性； ②求出傅氏系数；
③写出傅氏级数，并注明它在何处收敛于f (x ) ．
无穷级数总结
一、概念与性质 1. 定义：对数列u 1, u 2,
，∑u n 称为无穷级数，u n 称为一般项；若部分和
n =1∞
, u n
数列{S n }有极限S ，即lim S n =S ，称级数收敛，否则称为发散.
n →∞
2. 性质
①设常数c ≠0，则∑u n 与∑cu n 有相同的敛散性；
n =1
n =1
∞
∞
②设有两个级数∑u n 与∑v n ，若∑u n =s ，∑v n =σ，则∑(u n ±v n ) =s ±σ；
n =1
n =1
n =1
n =1
n =1
∞∞∞∞∞
若∑u n 收敛，∑v n 发散，则∑(u n ±v n ) 发散；
n =1∞
n =1
n =1
∞∞∞
若∑u n ，∑v n 均发散，则∑(u n ±v n ) 敛散性不确定；
n =1
n =1
n =1
∞∞
③添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性；
④设级数∑u n 收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和．
n =1∞
注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；
②一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定． ⑤级数∑u n 收敛的必要条件：lim u n =0；
n =1∞
n →∞
注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散；
②若lim u n =0，则∑u n 未必收敛；
n →∞
n =1∞
③若∑u n 发散，则lim u n =0未必成立．
n =1
∞
n →∞
二、常数项级数审敛法 1. 正项级数及其审敛法
① 定义：若u n ≥0，则∑u n 称为正项级数.
n =1∞
② 审敛法： （i ）
充要条件：正项级数∑u n 收敛的充分必要条件是其部分和数列有界.
n =1∞
（ii ）
比较审敛法：设∑u n ①与∑v n ②都是正项级数，且u n ≤v n (n =1,2, ) ，
n =1
n =1
∞∞
则若②收敛则①收敛；若①发散则②发散.
A. 若②收敛，且存在自然数N ，使得当n ≥N 时有u n ≤kv n (k >0) 成立，则①收敛；若②发散，且存在自然数N ，使得当n ≥N 时有u n ≥kv n (k >0) 成立，则①发散；
1
B. 设∑u n 为正项级数，若有p >1使得u n ≤p (n =1, 2,
n n =1
∞
) ，则∑u n 收敛；若
n =1
∞
1
u n ≥(n =1, 2,
n
∞
) ，则∑u n 发散.
n =1
∞
∞
C. 极限形式：设∑u n ①与∑v n ②都是正项级数，若lim
n =1
n =1
u n
=l (0
∑u
n =1∞
∞
n
与∑v n 有相同的敛散性.
n =1
∞
注：常用的比较级数： ①几何级数：∑ar n -1
n =1
⎧a
⎪=⎨1-r ⎪发散⎩
r
；
②p -级数：∑
n =1
∞
1⎧收敛⎨n p ⎩发散
∞
p >1时p ≤1时
；
③ 调和级数：∑=1+
1n n =1
11
+ ++ 发散． 2n
+∞
（iii ）比值判别法（达郎贝尔判别法）设∑a n 是正项级数，若
n =1
+∞+∞
a n +1a n +1
=r 1，则 ①lim a n 收敛；②lim a n 发散．
n →+∞a n →+∞a n n n =1n =1
∑∑
a
n +1
=1，或lim =1，推不出级数的敛散. 例注：若lim
n →+∞a n n
∑
n =1
+∞
+∞
11与，虽然2n n =1n
∑
+∞+∞
a
n +111lim =1，lim =1，但∑发散，而∑2收敛.
n n →+∞a n n =1n =1n n
+∞
（iv ）根值判别法（柯西判别法）设∑a
n 是正项级数，lim =ρ，若ρ
n =1
n
级数收敛，若ρ>1则级数发散．
（v ）极限审敛法：设u n ≥0，且lim n p u n =l ，则①lim n p u n =l >0且p ≤1，则级
n →∞
n →∞
数∑u n 发散；②如果p >1，而lim n p u n =l (0
n =1
n →∞
+∞
敛．（书上P317-2-（1））
注：凡涉及证明的命题，一般不用比值法与根值法，一般会使用比较判别法．正
项级数的比（根）值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分非必要条件．
2. 交错级数及其审敛法
①定义：设u n ≥0(n =1,2, ) ，则∑(-1) n -1u n 称为交错级数.
n =1∞
②审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数∑(-1) n -1u n ，若u n ≥u n +1且lim u n =0，
n =1
n →∞
∞
则∑(-1) n -1u n 收敛.
n =1
∞
注：比较u n 与u n +1的大小的方法有三种： ①比值法，即考察
u n +1
是否小于1； u n
②差值法，即考察u n -u n +1是否大于0；
③由u n 找出一个连续可导函数f (x ) ，使u n =f (n ), (n =1, 2, ) 考察f '(x ) 是否小于0． 3. 一般项级数的判别法： ①若∑u n 绝对收敛，则∑u n 收敛.
n =1
n =1
∞
∞
②若用比值法或根值法判定∑|u n |发散，则∑u n 必发散.
n =1
n =1
∞∞
三、幂级数
1. 定义：∑a n x n 称为幂级数.
n =0∞
2. 收敛性
① 阿贝尔定理：设幂级数∑a n x n 在x 0≠0处收敛，则其在满足x
n =0+∞
有x 处绝对收敛．反之，若幂级数∑a n x n 在x 1处发散，则其在满足x >x 1
n =0
+∞
的所有x 处发散． ② 收敛半径
（i ）定义：若幂级数在x =x 0点收敛，但不是在整个实轴上收敛，则必存在
一个正数R ，使得①当x -x 0
x -x 0>R 时，幂级数发散；R 称为幂级数的收敛半径.
（ii ）求法：设幂级数∑a n x n 的收敛半径为R ，其系数满足条件lim
n =0
+∞
n →+∞
a n +1
=l ，a n
或lim
n →+∞
1
a n =l ，则当0
l
当l =+∞时，R =0．
注：求收敛半径的方法却有很大的差异．前一个可直接用公式，后一个则须分奇、偶项（有时会出现更复杂的情况）分别来求．在分成奇偶项之后，由于通项中出现缺项，由此仍不能用求半径的公式直接求，须用求函数项级数收敛性的方法．
（iii ）收敛半径的类型 A. R =0，此时收敛域仅为一点； B. R =+∞，此时收敛域为(-∞, +∞) ；
C. R =某定常数，此时收敛域为一个有限区间． 3. 幂级数的运算（略） 4. 幂级数的性质
①若幂级数的收敛半径R >0，则和函数S (x ) =∑a n x n 在收敛区间(-R , R ) 内连续．
n =0+∞+∞
②若幂级数的收敛半径R >0，则和函数S (x ) =∑a n x n 在收敛区间(-R , R ) 内可导，
n =0
且可逐项求导，即S '(x ) =(∑a n x ) '=∑(a n x ) '=∑na n x n -1，收敛半径不变．
n
n
n =0
n =0
n =1
+∞+∞+∞
③若幂级数的收敛半径R >0，则和函数S (x ) =∑a n x n 在收敛区间(-R , R ) 内可积，
n =0
+∞
且可逐项积分，即⎰S (t ) dt =⎰(∑a n t ) dt =∑⎰a n t n dt (x ∈(-R , R )) ，收敛半径不
n
n =0
n =0
x x
+∞+∞
x
变．
5. 函数展开成幂级数
①若f (x ) 在含有点x 0的某个区间I 内有任意阶导数，f (x ) 在x 0点的n 阶泰勒公式
f ''(x 0) f (n ) (x 0) 2
(x -x 0) + +(x -x 0) + 为f (x ) =f (x 0) +f '(x 0)(x -x 0) +
2! n !
f (n +1) (ξ) f (n +1) (ξ) (n +1)
(x -x 0) (x -x 0) (n +1) ，ξ介于x , x 0之间，则f (x ) 在，记R n (x ) =
(n +1)! (n +1)!
I 内能展开成为泰勒级数的充要条件为lim R n (x ) =0, ∀x ∈I .
n →+∞
②初等函数的泰勒级数(x 0=0) （i ）e =∑
x
n =0+∞
x n
, x ∈(-∞, +∞) ； n !
+∞
(-1) n -1x 2n -1
（ii ）sin x =∑, x ∈(-∞, +∞) ；
(2n -1)! n =1
(-1) n x 2n
（iii ）cos x =, x ∈(-∞, +∞) ；
(2n )! n =0
∑
+∞
(-1) n x n +1
（iv ）ln(1+x ) =∑, x ∈(-1, 1]；
n +1n =0+∞
α(α-1) (α-n +1) n α
（v ）(1+x ) =1+∑x , x ∈(-1, 1), (α∈R ) ；
+∞n =1
n !
+∞+∞
11n
（vi ）=x , x
1-x n =01+x n =0
∑∑
6. 级数求和
①幂级数求和函数解题程序
（i ）求出给定级数的收敛域；
（ii ）通过逐项积分或微分将给定的幂级数化为常见函数展开式的形式（或易看
出其假设和函数s (x ) 与其导数s '(x ) 的关系），从而得到新级数的和函数； 注：系数为若干项代数和的幂级数，求和函数时应先将级数写成各个幂级数的代
数和，然后分别求出它们的和函数，最后对和函数求代数和，即得所求级数的和函数． ②数项级数求和
（i ）利用级数和的定义求和，即lim S n =s ，则∑u n =s ，其中
n →∞
n =1∞
s n =u 1+u 2+ +u n =
∑u
k =1
n
k
．根据s n 的求法又可分为：直接法、拆项法、递
推法．
A. 直接法：适用于
∑u
k =1
∞
k
为等差或等比数列或通过简单变换易化为这两种数列；
B. 拆项法：把通项拆成两项差的形式，在求n 项和时，除首尾两项外其余各项对
消掉．
（ii ）阿贝尔法（构造幂级数法）∑a n =lim ∑a n x ，其中幂级数∑a n x n ，可通
n
n =0
x →1-
n =0
n =0
∞
∞
∞
过逐项微分或积分求得和函数S (x ) ．因此∑a n =lim s (x ) ．
n =0
x →1-
∞
四、傅里叶级数 1. 定义
①定义1：设f (x ) 是以2π为周期的函数，且在[-π, π]或[0, 2π]上可积，则
a n =
π⎰π
-
1
π
f (x ) cos nxdx =f (x ) s i n n x d x =
π⎰
1
1
2π
f (x ) cos nxdx , (n =0, 1, 2 ) ， f (x ) s i n n x d , x (n =1, 2, ) ，
b n =
1
π
⎰π
-
π
π
⎰
2π
称为函数f (x ) 的傅立叶系数．
1
②定义2：以f (x ) 的傅立叶系数为系数的三角级数a 0+
2
∑(a
n =1
∞
n
cos nx +b n sin nx ) ．
称为函数f (x ) 的傅立叶级数，表示为
1
f (x ) ～a 0+
2
∑(a
n =1
∞
n
cos nx +b n sin nx ) ．
③定义3：设f (x ) 是以2l 为周期的函数，且在[-l , l ]上可积，则以
1
a n =
l
⎰
l
-l l
f (x ) cos f (x ) sin (a n cos
∞
n π
xdx , (n =0, 1, 2 ) ， l
n π
xdx , (n =1, 2 ) 为系数的三角级数 l
n πn πx +b n sin x ) 称为f (x ) 的傅立叶级数，表示为 l l
1
b n =
l 1
a 0+2
⎰
-l
∑
n =1
∞
1
f (x ) ～a 0+
2
∑
n =1
(a n cos
n πn πx +b n sin x ) ． l l
2. 收敛定理（狄里赫莱的充分条件）设函数f (x ) 在区间[-π, π]上满足条件
①除有限个第一类间断点外都是连续的；②只有有限个极值点，
则f (x ) 的傅立叶级数在[-π, π]上收敛，且有
⎧f (x ), x 是f (x ) 的连续点；⎪
⎪1[f (x 0-0) +f (x 0+0)],∞
a 0⎪2
. +(a n cos nx +b n sin nx ) =⎨
x 是f (x ) 的第一类间断点；2n =1⎪0⎪1
⎪[f (-π+0) +f (π-0)],x =±π⎩2
∑
3. 函数展开成傅氏级数 ①周期函数
a
（i ）以2π为周期的函数f (x ) ：f (x ) ～0+
2
∞
∑a
n =1
n
cos nx +b n sin nx
a n =
1
π
⎰π
-
π
f (x ) cos nxdx (n =0, 1, 2, ) ，b n =
∞
1
π
⎰πf (x ) sin nxdx (n =1, 2, ) ；
-
π
注：①若f (x ) 为奇函数，则f (x ) ～∑b n sin nx (正弦级数) ，a n =0 (n =0, 1, 2, )
n =1
b n =
2
π
⎰
π
f (x )sin nxdx (n =1, 2, ) ；
a
②若f (x ) 为偶函数，则f (x ) ～0+
2
∑a
n =1
∞
n
cos nx (余弦级数) ，
a n =
π⎰
2
π
f (x )cos nxdx (n =0, 1, 2, ) ，b n =0 (n =1, 2, ) .
a
（ii ）以2l 为周期的函数f (x ) ：f (x ) ～0+
2
∑
n =1
∞
a n cos
n πn πx +b n sin x ) l l
n π1l n π
，f (x ) cos xdx (n =0, 1, 2, ) b n =f (x ) sin xdx (n =1, 2, ) ；
-l -l l l l
∞
n π
注：①若f (x ) 为奇函数，则f (x ) ～b n sin x (正弦级数) ，a n =0 (n =0, 1, 2, )
l n =1
1
a n =
l
⎰
l
⎰
∑
b n =
2l n π
f (x )sin xdx (n =1, 2, ) ； ⎰0l l
a
②若f (x ) 为偶函数，则f (x ) ～0+
2
∑
n =1
∞
a n cos
n π
x ，(余弦级数) l
a n =
2l n π
f (x )cos xdx (n =0, 1, 2, ) ，b n =0 (n =1, 2, ) . l ⎰0l
②非周期函数
（i ）奇延拓：
A. f (x ) 为[0, π]上的非周期函数，令F (x ) =⎨
[-π, π]上为奇函数，f (x ) ～(n =1, 2, ) ；
⎧f (x ), 0≤x ≤π
，则F (x ) 除x =0外在
-f (-x ), -π≤x
∑
n =1
∞
b n sin nx (正弦级数) ，b n =
π⎰
2
π
f (x )sin nxdx
B. f (x ) 为[0, l ]上的非周期函数，则令F (x ) =⎨
⎧f (x ), 0≤x ≤l
，则F (x ) 除x =0外
-f (-x ), -l ≤x
在[-π, π]上为奇函数，f (x ) ～∑b n sin
n =1
∞
2l n πn π
x (正弦级数) ，b n =⎰f (x )sin xdx l l 0l
(n =1, 2, ) .
（ii ）偶延拓：
A. f (x ) 为[0, π]上的非周期函数，令F (x ) =⎨
⎧f (x ), 0≤x ≤π
，
f (-x ), -π≤x
a
则F (x ) 除x =0外在[-π, π]上为偶函数，f (x ) ～0+
2
∑a
n =1
∞
n
cos nx (余
弦级数) ，a n =
π⎰0
2
π
f (x )cos nxdx (n =0, 1, 2, ) .
⎧f (x ), 0≤x ≤l
，则
f (-x ), -l ≤x
B. f (x ) 为[0, l ]上的非周期函数，令F (x ) =⎨
a
f (x ) ～0+
2
∑
n =1
∞
a n cos
2l n πn π
x (余弦级数) ，a n =⎰f (x )cos xdx (n =0, 1, 2, ) . l l 0l
注：解题步骤：
①画出图形、验证狄氏条件．画图易于验证狄氏条件，易看出奇偶性； ②求出傅氏系数；
③写出傅氏级数，并注明它在何处收敛于f (x ) ．