量子力学中角动量图示的改进
郝红军, 戴岩伟
(安阳师范学院物理系, 河南安阳455000)
[摘 要]对量子力学教材中关于角动量的一个常用插图进行了改进, 强调三个角动量分量都是量子化的。
[关键词]角动量图示; 角动量量子化; 空间量子化
[中图分类号]O413.1 [文献标识码]A [文章编号]167125330(2006) 0520019202
角动量是原子、分子以及基本粒子物理研究中的重要物理量, 它在理论研究和应用研究中都有重要意义。本文对教科书上一个常用的角动量插图进行了改进, 强调角动量在三个方向上分量都是量子化的, 同时本文又举了两个可根据角动量图解决问题的例子, 帮助学生更好的理解角动量概念。
空间第三轴上取值是量子化的, 在另外两轴上的取值是连续的。我们知道, 力学量的取值(或者说测量值) 只能是相应算符的本征值, 角动量矢量虽然没有本征值, 但其三个分量有本征值并且取值都应是量子化的。所以, 说图一中角动量矢端在。下面我们由角动量, 确定角动量矢端l , 在空间z 轴上的投影L z
, 则L z 的量子数m 可以取-l , -l +1, …,l -1,l 中的某一个值。根据角动量公式
22
(1) L 2=L 2x +L y +L z 得到
2
(l 2+l -m 2) h 2=L 2x +L y
1 角动量的图示
众所周知, 在量子力学中,
的, , 量量子数为l , z L z 可能取值(以h 为:l -l +1, …,l -1, l 。。为形象的
(2)
说明这一情况, 国内以及国外有些教材常把角动量画为图一所示, 并称角动量矢端在圆周上随机的进动[1]。
L x 、L y 取值应满足上式, 也就是文献[1]所说
的角动量矢端在图1所示的圆周上。而由量子力学知道,L x 、L y 只能取其本征值。所以L x 、L y 应在满足(2) 式要求的前提下, 只能取如下分离值:-lh , (-l +1) h , …, (l -1) h ,lh. 也就是角动量矢端只能在前面提到的圆周上某些特殊的位置出现。
例如对于自旋角动量L z =h 的态, (2) 式中
2
的l =,m =
。自旋角动量矢端在角动量矢量
22
(-坐标系中的位置是:(, , ) 、, , ) 、
222222
(-, -, ) 和(, -, ) , 其中单位是h 。
222222
其图示就是图2中上面圆周上的四个点。图2中
下面圆周上的四个点对应自旋角动量L z =-h 2
的态。图3中所示的上中下三个圆周上的点是
图1 图2 图3
从粗略的意义上说, 这样来表示角动量是很
方便而且能说明某些问题的, 但这仅是一个示意图, 我们不能认真推敲这样的作图。然而我们可以改进一下这样的作图, 使角动量图示有准确的含义, 从而使这样的图帮助学生更准确地理解角动量概念, 解决更多的实际问题。
原来的图示容易使学生误认为:角动量仅在
[收稿日期]2006207205
) , 男, 河南省安阳县人, 安阳师范学院物理系讲师, 硕士, 从事理论物理教学与研究。[作者简介]郝红军(1969—
(2) 式中角量子数l =1, 磁量子数m 分别取1、0和-1时的角动量矢端位置, 也既分别对应态|1,1>、|1,0>和|1, -1>。对于每个态, 这些点的地
成立的态常引起人们兴趣[2], 我们可借助本文图示思考这些问题。
(2) 做为第二个例子, 我们看两个电子的自旋组合的可能状态。
设电子自旋角动量S z =h , 由图2表示,
2
上部四个点对应态, >, 下部四个点对应态
22
, ->。两个电子自旋向上, 则总L z =h ,x ,y
22
方向总角动量坐标(L x ,L y ) 为图2上部圆周上的四个坐标点相加(注意:由于这些坐标点出现是随机的, 所以应该是所有可能组合相加) , 同时再运用式(1) , 就可得到角量子数l =1, 以及有四个坐标点符合式(1) 要求, 其位置为图三中最上边的四个点, 所以两个自旋向上的电子可组成态|1,1>。依据同样方法, 两个自旋向下的电子角动量相加得态|1, -1>, ; 两:态|1) 和态|0,0>。这:。
位是同等的, 角动量矢量的矢端在其上以等概率出现。总而言之, 角动量的三个空间分量取值都是量子化的, 我们可以形象地想象角动量矢量在空间的情况就是如图2和图3所示, 角动量矢量的矢端不是在圆周线上任意地方出现, 而只能在某些特定的点出现, 并且是以等概率分布出现。下面我们说明, 可以直接依据这一形象的角动量图示, 对某些具体问题进行讨论。
2 角动量图示的应用
(1) 考虑L z 的两个本征态|1,1>和|1,0>,
它表示角量子数是1,L z 分量分别是1h 和0。现在问, 测量这两态的L x 和L y 的可能值以及各可能值的几率。
态|1,1>对应在图3上部的四个点, 态|1,0>对应图三中中间的四个点, 每个点出现的几率。从图中可以很容易看出, 对于态|1,1>,L x 4
(以及L y ) 的测量值可以为+1h 、0和-1h , 是
和。对于态|1y ) 424
-。
2
率分别是
3 结束语
量子力学是一门比较抽象的课程, 并于一些概念的正确图示对学生学习起着不可低估的作用。我们注意到文献[3]指出角动量矢量及其图示都是经典概念而不是量子概念, 不过在不引起与实际不符的前提下, 我们可以用这些概念来帮助我们思考解决实际问题。教学中我们发现, 用改进后的角动量图示可以帮助学生更深刻理解角动量概念和一些相关问题, 进而能灵活解决角动量方面一些题目。
[参考文献]
[1]埃斯伯格, 瑞斯尼克. 量子物理学(上册) [M].吴伯泽译. 北京:北京工业学院出版社,1985:237.
[2]BacryH. E igenstates of complex linear combinations of J1, J2, J3for any representation of Su (2) [J].J Math Phys , 1978,19(1192) .
[3]周希坚, 边志华, 杨学军. 对量子力学中角动量的一点认识[J].大学物理,2000,19(11) :16～19.
。|1, ±1>Lz =
|1, -1>Lx |1,0>Lx +|1,122>Lx ,|1,0>Lz =-|1, -1>Lx +|1,1>Lx (3) 所得的结果相一致。(3) 式中|1, -1>Lx 表示L x =-h 的态, 其余类推。
我们还可以研究这些态的角动量不确定关系。如对于态|1,1>, 由每个点出现的几率相等, 从图(3) 中容易看出平均值==0, 22
=h , ==2
-2得ΔL x 和ΔL y 都等于。所以
ΔΔ2L x ・L y =h 。对于态|1,0>可以得到
ΔΔ2L x ・L y >h 。使角动量最小测不准关系
(Department of Physics ,Anyang T eachers C ollege ,Anyang 455000,China )
Abstract :An im provement of the angular -m omentum diagram is given. Attention has been paid to the
quantization of the angular m omentum in three directions.
K ey w ords :diagram of angular m omentum ;angular m omentum quantization ;space quantization [责任编校:弘扬]
An Improvement of the Angular 2Momentum Diagram in Quantum Mechanics
HAO H ong 2jun ,DAI Y an 2wei
量子力学中角动量图示的改进
郝红军, 戴岩伟
(安阳师范学院物理系, 河南安阳455000)
[摘 要]对量子力学教材中关于角动量的一个常用插图进行了改进, 强调三个角动量分量都是量子化的。
[关键词]角动量图示; 角动量量子化; 空间量子化
[中图分类号]O413.1 [文献标识码]A [文章编号]167125330(2006) 0520019202
角动量是原子、分子以及基本粒子物理研究中的重要物理量, 它在理论研究和应用研究中都有重要意义。本文对教科书上一个常用的角动量插图进行了改进, 强调角动量在三个方向上分量都是量子化的, 同时本文又举了两个可根据角动量图解决问题的例子, 帮助学生更好的理解角动量概念。
空间第三轴上取值是量子化的, 在另外两轴上的取值是连续的。我们知道, 力学量的取值(或者说测量值) 只能是相应算符的本征值, 角动量矢量虽然没有本征值, 但其三个分量有本征值并且取值都应是量子化的。所以, 说图一中角动量矢端在。下面我们由角动量, 确定角动量矢端l , 在空间z 轴上的投影L z
, 则L z 的量子数m 可以取-l , -l +1, …,l -1,l 中的某一个值。根据角动量公式
22
(1) L 2=L 2x +L y +L z 得到
2
(l 2+l -m 2) h 2=L 2x +L y
1 角动量的图示
众所周知, 在量子力学中,
的, , 量量子数为l , z L z 可能取值(以h 为:l -l +1, …,l -1, l 。。为形象的
(2)
说明这一情况, 国内以及国外有些教材常把角动量画为图一所示, 并称角动量矢端在圆周上随机的进动[1]。
L x 、L y 取值应满足上式, 也就是文献[1]所说
的角动量矢端在图1所示的圆周上。而由量子力学知道,L x 、L y 只能取其本征值。所以L x 、L y 应在满足(2) 式要求的前提下, 只能取如下分离值:-lh , (-l +1) h , …, (l -1) h ,lh. 也就是角动量矢端只能在前面提到的圆周上某些特殊的位置出现。
例如对于自旋角动量L z =h 的态, (2) 式中
2
的l =,m =
。自旋角动量矢端在角动量矢量
22
(-坐标系中的位置是:(, , ) 、, , ) 、
222222
(-, -, ) 和(, -, ) , 其中单位是h 。
222222
其图示就是图2中上面圆周上的四个点。图2中
下面圆周上的四个点对应自旋角动量L z =-h 2
的态。图3中所示的上中下三个圆周上的点是
图1 图2 图3
从粗略的意义上说, 这样来表示角动量是很
方便而且能说明某些问题的, 但这仅是一个示意图, 我们不能认真推敲这样的作图。然而我们可以改进一下这样的作图, 使角动量图示有准确的含义, 从而使这样的图帮助学生更准确地理解角动量概念, 解决更多的实际问题。
原来的图示容易使学生误认为:角动量仅在
[收稿日期]2006207205
) , 男, 河南省安阳县人, 安阳师范学院物理系讲师, 硕士, 从事理论物理教学与研究。[作者简介]郝红军(1969—
(2) 式中角量子数l =1, 磁量子数m 分别取1、0和-1时的角动量矢端位置, 也既分别对应态|1,1>、|1,0>和|1, -1>。对于每个态, 这些点的地
成立的态常引起人们兴趣[2], 我们可借助本文图示思考这些问题。
(2) 做为第二个例子, 我们看两个电子的自旋组合的可能状态。
设电子自旋角动量S z =h , 由图2表示,
2
上部四个点对应态, >, 下部四个点对应态
22
, ->。两个电子自旋向上, 则总L z =h ,x ,y
22
方向总角动量坐标(L x ,L y ) 为图2上部圆周上的四个坐标点相加(注意:由于这些坐标点出现是随机的, 所以应该是所有可能组合相加) , 同时再运用式(1) , 就可得到角量子数l =1, 以及有四个坐标点符合式(1) 要求, 其位置为图三中最上边的四个点, 所以两个自旋向上的电子可组成态|1,1>。依据同样方法, 两个自旋向下的电子角动量相加得态|1, -1>, ; 两:态|1) 和态|0,0>。这:。
位是同等的, 角动量矢量的矢端在其上以等概率出现。总而言之, 角动量的三个空间分量取值都是量子化的, 我们可以形象地想象角动量矢量在空间的情况就是如图2和图3所示, 角动量矢量的矢端不是在圆周线上任意地方出现, 而只能在某些特定的点出现, 并且是以等概率分布出现。下面我们说明, 可以直接依据这一形象的角动量图示, 对某些具体问题进行讨论。
2 角动量图示的应用
(1) 考虑L z 的两个本征态|1,1>和|1,0>,
它表示角量子数是1,L z 分量分别是1h 和0。现在问, 测量这两态的L x 和L y 的可能值以及各可能值的几率。
态|1,1>对应在图3上部的四个点, 态|1,0>对应图三中中间的四个点, 每个点出现的几率。从图中可以很容易看出, 对于态|1,1>,L x 4
(以及L y ) 的测量值可以为+1h 、0和-1h , 是
和。对于态|1y ) 424
-。
2
率分别是
3 结束语
量子力学是一门比较抽象的课程, 并于一些概念的正确图示对学生学习起着不可低估的作用。我们注意到文献[3]指出角动量矢量及其图示都是经典概念而不是量子概念, 不过在不引起与实际不符的前提下, 我们可以用这些概念来帮助我们思考解决实际问题。教学中我们发现, 用改进后的角动量图示可以帮助学生更深刻理解角动量概念和一些相关问题, 进而能灵活解决角动量方面一些题目。
[参考文献]
[1]埃斯伯格, 瑞斯尼克. 量子物理学(上册) [M].吴伯泽译. 北京:北京工业学院出版社,1985:237.
[2]BacryH. E igenstates of complex linear combinations of J1, J2, J3for any representation of Su (2) [J].J Math Phys , 1978,19(1192) .
[3]周希坚, 边志华, 杨学军. 对量子力学中角动量的一点认识[J].大学物理,2000,19(11) :16～19.
。|1, ±1>Lz =
|1, -1>Lx |1,0>Lx +|1,122>Lx ,|1,0>Lz =-|1, -1>Lx +|1,1>Lx (3) 所得的结果相一致。(3) 式中|1, -1>Lx 表示L x =-h 的态, 其余类推。
我们还可以研究这些态的角动量不确定关系。如对于态|1,1>, 由每个点出现的几率相等, 从图(3) 中容易看出平均值==0, 22
=h , ==2
-2得ΔL x 和ΔL y 都等于。所以
ΔΔ2L x ・L y =h 。对于态|1,0>可以得到
ΔΔ2L x ・L y >h 。使角动量最小测不准关系
(Department of Physics ,Anyang T eachers C ollege ,Anyang 455000,China )
Abstract :An im provement of the angular -m omentum diagram is given. Attention has been paid to the
quantization of the angular m omentum in three directions.
K ey w ords :diagram of angular m omentum ;angular m omentum quantization ;space quantization [责任编校:弘扬]
An Improvement of the Angular 2Momentum Diagram in Quantum Mechanics
HAO H ong 2jun ,DAI Y an 2wei