线性代数试题库（1）答案
一、选择题：（3×7=21分）
1.n 阶行列式D 的元素a ij 的余子式M ij 与a ij 的代数余子式A ij 的关系是（ C ） A ． A ij =Mij B 。 A ij =(-1) n M ij C 。A ij =(-1)i +j M ij D 。A ij =-Mij
2．设A 是数域F 上m x n矩阵，则齐次线性方程组AX=O （ A ） A ． 当m n时，无解C ．当m=n 时，只有零解D ．当m=n 时，只有非零解 3．在n 维向量空间V 中，如果σ，τ∈L （V ）关于V 的一个基{α1, , αn }的矩阵分别为A ，B. 那么对于a ，b ∈F ，a σ+bτ关于基{α1, , αn }的矩阵是（ C ）
A ．A+B B ．aA+B C ．aA+bB D ．A+Bb 4．已知数域F 上的向量α1, α2, α3 线性无关，下列不正确的是（ D ）
A α1，α2线性无关 B ．α2, α3线性无关 C ．α3, α1线性无关 D ．α1, α2, α3中必有一个向量是其余向量的线性组合。
5．R n 中下列子集，哪个不是子空间（ C ） A
．
R
n
n
B ．
{(a 1, , a n ) |a i ∈R , i =1, , n 且∑a i =0}
i =1
n
C ．{(a 1, , a n ) |a i ∈R , i =1, , n 且∑a i =1} D ．{0}
i =1
6．两个二次型等价当且仅当它们的矩阵（ A ）
A 。相似 B ．合同 C ．相等 D ．互为逆矩阵 7．向量空间R 3的如下变换中，为线性变换的是（ C ） A ．σ(x 1, x 2, x 3) =(|x 1|,1, 1)
B ．σ(x 1, x 2, x 3) =(x 1+1, x 2, x 3)
22
C ．σ(x 1, x 2, x 3) =(x 2, x 3, 0) D ．σ(x 1, x 2, x 3) =(x 12, x 2, x 3)
二．填空题（3X10=30分）
⎧x 1+x 2+x 3=0
⎪
1．当且仅当k=（-1或3）时，齐次线性方程组⎨3x 1`-x 2+kx 3=0有非零解
⎪9x +x +k 2x =0
23⎩1⎛a 1⎫
⎪
2．设A= a 2⎪≠0, B =(b 1, b 2, b 3)≠0, 则秩（AB ）为（1）。
a ⎪⎝3⎭
⎛111⎫
, , ⎪
3．向量（x ，y ，z ）关于基（0，1/2，0），（1/3，0，0），（0，0，1/4）的坐标为 3 24⎭ ⎝
。
4．设向量空间F 的线性变换
。 σ, τ为σ(x 1, x 2) =(x 1+x 2, x 2), τ(x 1, x 2) =(x 1-x 2, 0), 则(σ-τ)(x 1, x 2) =（2x 1,x 2）5．已知V={(x 1, x 2, x 3, x 4) |x 1+2x 2-x 4=0}，则dimV=（3）。 ⎛1⎫
a ⎪ 36．已知实矩阵A= > 0 ) 是正交阵，则b=（0）。 ⎪, (a b 1⎪ ⎪
3⎭⎝
7．设α1, α2, α3, α4是四维欧氏空间V 的一个标准正交基，α=α1+α2-α3-α4，
⎛π⎫
β=α1+α2-α3, 则|α|=(2), 〈α, β〉=(3), α与β的夹角θ= ⎪, d (α, β) =(1).
⎝6⎭
2
三、计算题
⎛10⎫⎛11⎫⎛31⎫
⎪ 1．求矩阵方程的解 x +2 11⎪ 01⎪⎪= 13⎪⎪ ， （10分） ⎝⎭⎝⎭⎝⎭解:x=
⎛21⎫-1
2．设A = AT 为对角形 (10分) 求可逆矩阵T 使T ⎪ 12⎪
⎝⎭
⎛22⎫T T 解：由 E -A =0, λ1=1, λ2=3, X 1=(1, -1), X 2=(1, 1)分别单位化，得 λ , - ⎪ , 1 =⎪22⎝⎭⎛2⎫2T
⎪⎛22⎫
⎪ , 所以T 2⎪ λ 2 = = 2 2, 2⎪ 2⎪⎝⎭ -⎪
22⎝⎭
22
3．设二次型f (x 1, x 2, x 3) =x 12+2x 2+5x 3+2x 1x 2+2x 1x 3+6x 2x 3, 回答下列问题：
T
（1）将它化为典范型。 （2）二次型的秩为何？
（3）二次型的正、负惯性指标及符号差为何？ （4）二次型是否是正定二次型？ （10分）
2222
解：（1）f (x 1, x 2, x 3) =y 12+y 2 ,(2)r=5 ,(3)p=3;s=1 ,(4)A=6＞0，是正定二次型 。 +y 3-y 4-5y 5
四、证明题
1．设V 是数域F 上一个一维向量空间。证明V 的变换σ是线性变换的充要条件是：对于任意ξ∈V ，都有σ（ξ）=aξ，a 为F 中一个定数。（10分） 证明：⇒假设η是V 的 基，存在所以 λ∈F ，此时得ξ=λη，由σ是线性变换，则σ(η)=λ1η，
σ(ξ)=σ(λη)=λσ(η)λλ1η=λ1(λη)=λ1ξ，令λ1=a a 则σ(ξ)=a ξ；
⇐任意ξ1，ξ2∈V ，a ∈F ，由σ(ξ1+ξ2)=a (ξ1+ξ2)=a ξ1+a ξ2=σ(ξ1)+σ(ξ2) σ(k ξ1)=ak ξ1=k (a ξ1)=k σ(ξ1)∴σ是线性变换。
b +c
c +a c 1+a 1
c 2+a 2
a +b
a
b b 1b 2
c
c 1 ，（10分） c 2
2。行列式b 1+c 1
b 2+c 2a 1+b 1=2a 1a 2+b 2a 2
b c c 1c 2
a a 2
c c 2
a a 1a 2
b b 2
a a 2
b b 1b 2
c c 2
a a 2
b b 1b 2
c c 2
a a 2
b b 1b 2
c c 1 c 2
证：原式=b 1
b 2
a 1+c 1b 1=a 1c 1+a 1c 1=2a 1
线性代数试题库（2 ）答案
2005—2006学年 第一学期 考试时间 120分钟
一、选择题：（3X5=15分）
1. n 阶行列式D 的元素a ij 的余子式M ij 与a ij 的代数余子式A ij 的关系是（ C ） A ． A ij =Mij B 。 A ij =(-1) n M ij C 。A ij =(-1)i +j M ij D 。A ij =-Mij 2．设A 是数域F 上m x n矩阵，则齐次线性方程组AX=O （ A ） A ． 当m n时，无解 C ．当m=n 时，只有零解D ．当m=n 时，只有非零解
3．已知n 维向量α1, α2, α3 线性无关，下列不正确的是（ D ）
A α1，α2线性无关 B ．α2, α3线性无关 C ．α3, α1线性无关 D ．α1, α2, α3中必有一个向量是其余向量的线性组合。
4．若A 是mxn 矩阵，且r （A ）=r，则A 中（ D ） A. 至少有一个r 阶子式不等于0，但没有等于0的r-1阶子式； B. 必有等于0的r-1阶子式，有不等于0的r 阶子式； C. 有等于0的r-1阶子式，没有等于0的r 阶子式； D. 有不等于0的r 阶子式，所有r+1阶子式均等于0。
5．4．设A 是三阶矩阵，|A|=1，则|2A2|=（ A）A ．2，B ，1，C8 ，D 4 二．填空题（3X6=18分） ⎧x 1+x 2+x 3=01．当且仅当k=（-1或
3）时，齐次线性方程组 ⎪
⎨3x 1`-x 2+kx 3=0有非零解
⎛⎪2．设A= , a 1⎫⎩9x 1
+x 2+k 2x 3=0
a ⎪
2⎪0, B =(b 。 1, b 2, b 3)≠0则秩（AB ）为（1）
3．行列式⎝a x
3⎪⎭
y -x
0z =(0). -y -z
4．已知实矩阵A= ⎛ 1
3 a ⎫⎪
1⎪⎪ , ( a > 0 ) 是正交阵，则b=（0）。
⎝b 3⎪⎭
5．向量（x ，y ，z ）关于基（0，1/2，0），（1/3，0，0），（0，0，1/4）的坐标为6⎛ 111⎛A o -1
o ⎫⎝3, 2, ⎫
4⎪⎭B 为n 阶可逆矩阵，则 ⎫
o B ⎪⎪
=⎛ A -1
⎝⎭
B -1⎪⎪。（10分） ⎝o ⎭
三、计算题
1．求矩阵方程的解
⎛10⎫⎝11⎪⎪⎛⎭x +2 11 ⎫⎝01⎪⎪⎛31⎫
⎭= ⎝13⎪⎪⎭
， （10分） 解:x=
2．设A = ⎛ 2 1 ⎪⎪⎫
⎝12⎭ 求可逆矩阵
T 使 T -
1 AT 为对角形 (15分)
T
解：由 E -A =0, λT T 1=1, λ2=3, X 1=(1, -1), X 2=(1, 1)分别单位化，得λ 1 = ⎛ 2 , - 2⎫⎪⎪ , T
⎛⎝22⎭ 22⎫ λ ⎛22⎫
2 = ⎪⎪ , 所以T ⎪ ⎝2, 2 ⎪⎭ = 2 22⎪ ⎝- 2
2⎪
⎭
。
22
3．设二次型f (x 1, x 2, x 3) =x 12+2x 2+5x 3+2x 1x 2+2x 1x 3+6x 2x 3, 回答下列问题：
(1)将它化为典范型。 （2）二次型的秩为何？
（3）二次型的正、负惯性指标及符号差为何？ （4）二次型是否是正定二次型？ （12分）
2222解：（1）f (x 1, x 2, x 3) =y 12+y 2 ,(2)r=5 ,(3)p=3;s=1 ,(4)A=6＞0，是正定二次型 。 +y 3-y 4-5y 5
⎛1⎫⎛0⎫⎛3⎫⎛2⎫⎛1⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-1301-1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
α1= , α=, α=, α=, α=2345 1⎪ 7⎪ 5⎪ 2⎪4．设向量组 2⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 4⎪ 2⎪ 14⎪ 6⎪ 0⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
求向量组的秩及其一个极大无关组。（10分） 1
3
21
-1301-1
21752
4a 12a 214a 36a 40a 5
10→0
00
-13330
21110
422
a 1a 2
1-13000
21000
420
a 3-3a 1→0-2a 4-2a 10-4a 5-a 10
a 1
a 2
a 3-3a 1-a 2a 4-2a 1-a 2
-4
0a 5-a 1-(a 4-2a 1-a 2)
其中α 3 - 3 α 1 - α 2 = 0 , a 2 - a 1 - (a 4 - a 由此r(A)=3, 2 , a 是一个极大无关α1 , α2 a 1 -44)=0组， 四、证明题
1. A 是正交矩阵，证明(A α, A β)=(α, β), A α=α。（10分） 证明：(A α, A β)=(A α)T A β=αT A T A β=αT (A T A )β=αT β=(α, β),
A α=
α3=3α1+α2, a 5=-a 1-a 2+a 4
A α, A α=α, α=α
b +c
c +a c 1+a 1
c 2+a 2a a 2
c c 2
a 1+c 1
a +b a b b 1b 2c c 2
c
c 1 ，（10分） c 2a a 2
b b 1b 2
c c 2
a a 2
b b 1b 2
c c 1 c 2
c 1=2a 1
2。行列式b 1+c 1
b 2+c 2b
c c 1c 2
a 1+b 1=2a 1a 2+b 2a 2a a 1a 2
b b 2
a a 2
b b 1b 2
b 1=a 1
证：原式=b 1
b 2
c 1+a 1
线性代数试题库（3）答案
一、选择题（3×5=15分）
1．已知m 个方程n 个未知量的一般线性方程组AX=B有解，则无穷多解的条件是（ C ） A ．m ≠n B ．m=n C ．秩A
2
2．设A= 0 1 则 秩A=（ A ） 0
⎛1
0 0⎝
0⎫⎛1⎪ 3⎪ 1 4⎪⎭⎝2
-1⎫
⎪-1⎪-2⎪⎭
A ． 0 B ．1 C ．2 D ．3
3．n 阶行列式D 的元素a ij 的余子式M ij 与a ij 的代数余子式A ij 的关系是（ C ） A ． A ij =Mij B 。 A ij =(-1) n M ij C 。A ij =(-1)i +j M ij D 。A ij =-Mij 4．已知数域F 上的向量α1, α2, α3 线性无关，下列不正确的是（ D ）
A α1，α2线性无关 B ．α2, α3线性无关 C ．α3, α1线性无关 D ．α1, α2, α3中必有一个向量是其余向量的线性组合。
5．设α1, α2, α3, α4是四维欧氏空间V 的一个标准正交基，α=α1+α2-α3-α4，
则|α|=（ C ） A 、0 B ．1 C ．2 D ．4
二．填空题（3X6=18分）
1．设A 是一个n 阶实可逆矩阵，则二次型X ' (A ' A ) X 的标准形是(X ' IX 2．矩阵
⎛sin x cos x ⎫⎛sin x -cos x ⎫⎪ 的逆矩阵为⎪ cos x sin x ⎪⎪。 -cos x sin x ⎝⎭⎝⎭
3．向量（x ，y ，z ）关于基（0，1/2，0），（1/3，0，0），（0，0，1/4）的坐标为 。
111⎫, α, α是四维欧氏空间4．⎛V 的一个标准正交基，α=α1+α2-α3-α4， , , , 24 ⎪3
⎝324⎭
则|α|=(2)
5．已知实矩阵A= 是正交阵，则b=0。
⎛1 3 b ⎝⎫a ⎪
⎪, (a >0) 1⎪⎪3⎭
6．A 与B 相似，则|A|（=）（≠, =）|B|。 三、计算题
1
01
00
32
+a 1
a 1a 1
1
a 21+a 2
a 2
2
a 3a 31+a 3
3
a 4a 4a 4
1. 计算行列式 a 1 + a =I ，（10分） a a
4
00
10
5⎫⎪7⎪2⎪⎭
a 1a 2a 2
a 2a 2
a 3a 3a 3a 3
a 4
a 4
=1+0=1. a 4a 4
解：原式0
⎛1 3 1⎝
a 0
+1
a 10
a 11
2. 设A= 4 , 求矩阵B ，使AB=A-B。 （10分）
解：设B= b , ∵AB=A-B，∴ 4 b =
2
2
⎛a 1
a 2 a ⎝3
b 1
b 3
c 1⎫⎪c 2⎪c 3⎪⎭⎛a 1
3a 2 a ⎝3
3b 1
2b 3
5c 1⎫
⎪7c 2⎪2c 3⎪⎭⎛1-a 1
3-a 2 1-a
3⎝
3-b 14-b 2
2-b 35-c 1⎫
⎪
7-c 2⎪2-c 3⎪⎭
解得B=
⎛1
2 3 4 1 ⎝2
344523
5⎫⎪6⎪7⎪8⎪2⎪⎪3⎭
⎛21⎫⎝12⎭
解：由 E -A =0, λ1=1, λ2=3, X 1
⎛2T
⎛22⎫
⎪ , 所以T λ 2 = = 2 2, 2⎪ 2⎝⎭ -
⎝2
-13．设 A 求可逆矩阵 T 使 T AT 为对角形 (15分) = ⎪⎪
⎛22⎫T T λ=, - ⎪ , =(1, -1), X 2=(1, 1)分别单位化，得 1 ⎪22⎝⎭
2⎫⎪⎪2⎪⎪2⎭
T
22
4．设二次型f (x 1, x 2, x 3) =2x 12+5x 2（1）将它化为典范型。+5x 3+4x 1x 2-4x 1x 3-8x 2x 3, 回答下列问题：
（2）二次型的秩为何？（3）二次型的正、负惯性指标及符号差为何？（4）二次型是否是正定二次型？ （12分）
222解：（1）f (x 1, x 2, x 3) =y 12+y 2 ,(2)r=4 ,(3)p=3;s=2 ,(4)A=10＞0，是正定二次型 。 +y 3-15y 4
四、证明题1．试证：设A 是n 阶矩阵，则|A*|=|A|n -1（10分） 证
明
：
n -1
AA *=
A E
取行列式
n -1
得
。
到A A *=A E =A
n
若
A ≠0则A *=A , 若A =0则A *=0此时命题也成立，即A *=A
b +c
1
2．试证：行列式 + a a b c ，（10分） b +c c a +b = 2
1
1
1
1
1
1
1
1
c +a a +b a b c
b 2+c 2c 2+a 2a 2+b 2a 2b 2c 2
b
证明: 原式= b 1
c c 1c 2
a a 2
c c 2
a a 1a 2
b b 2
a a 2
b b 1b 2
c c 2
a a 2
b b 1b 2
c c 2
a a 2
b b 1b 2
c c 1 c 2
a 1+c 1b 1=a 1c 1+a 1c 1=2a 1
b 2
线性代数试题库（4）答案
一、选择题（3X7=21分）
1．已知m 个方程n 个未知量的一般线性方程组AX=B有解，则无穷多解的条件是（C ） A ．m ≠n B ．m=n C ．秩A
2．设矩阵A 是n 维向量空间V 中由基α1, , αn 到基β1, , βn 的过渡矩阵，则A 的第j 列是（ C ） A ．αj 关于基 α1, , αn 的坐标 B ．αj 关于基β1, , βn 的坐标 C ．βj 关于基α1, , αn 的坐标 D ．βj 关于基β1, , βn 的坐标
⎪ ⎪3．设A= 2 1 1 - 3 1 ⎪则 秩A=（ C ）A 、0 B ．1 C ．2 D ．3 0⎪
0 04⎪0-2⎪⎝⎭⎝2⎭
⎛1
0⎫⎛1
-1⎫
4．n 阶行列式D 的元素a ij 的余子式M ij 与a ij 的代数余子式A ij 的关系是（C ） A ． A ij =Mij B 。 A ij =(-1) n M ij C 。A ij =(-1)i +j M ij D 。A ij =-Mij
5．在n 维向量空间V 中，如果σ，τ∈L （V ）关于V 的一个基{α1, , αn }的矩阵分别为A ，B 。那么对于a ，b ∈F ，a σ+bτ关于基{α1, , αn }的矩阵是（C ）
A ．A+B B ．aA+B C ．aA+bB D ．A+Bb 6．向量空间R 3的如下变换中，为线性变换的是（C ） A ．σ(x 1, x 2, x 3) =(|x 1|,1, 1)
B ．σ(x 1, x 2, x 3) =(x 1+1, x 2, x 3)
22
C ．σ(x 1, x 2, x 3) =(x 2, x 3, 0) D ．σ(x 1, x 2, x 3) =(x 12, x 2, x 3)
7．已知数域F 上的向量α1, α2, α3 线性无关，下列不正确的是（D ）
A α1，α2线性无关 B ．α2, α3线性无关 C ．α3, α1线性无关 D ．α1, α2, α3中必有一个向量是其余向量的线性组合。 二．填空题（3X10=30分）
1．设A 是一个n 阶实可逆矩阵，则二次型X ' (A ' A ) X 的标准形是（X ' IX ）
2． σ是向量空间R [x ]上的变换（即σ(f (x )) =f ' (x )), 则(σ2-σ)(x 2-x +3) =-4x 3+12x 2-20x +13.
⎛sin x cos x ⎫⎛sin x -cos x ⎫3．矩阵 -cos x sin x ⎪⎪的逆矩阵为 cos x sin x ⎪⎪。
⎝⎭⎝⎭
4．设α1, α2, α3, α4是四维欧氏空间V 的一个标准正交基，α=α1+α2-α3-α4，
⎛π⎫
β=α1+α2-α3, 则|α|=(2), 〈α, β〉=(3), α与β的夹角θ= ⎪d (α, β) =(1).
⎝6⎭
5．向量（x ，y ，z ）关于基（0，1/2，0），（1/3，0，0），（0，0，1/4）的坐标为（1/3，1/2，1/4）。 6．已知V={(x 1, x 2, x 3, x 4) |x 1+2x 2-x 4=0}，则dimV=（4）。 7．已知实矩阵 是正交阵，则b=（0）。
+a a a a
a 1+a a a 三、计算题 a a 1+a a
1． 计算行列式 ，（10分）
a a a 1+a
1
2
33
n n n
11
22
3
1
2
3
n
⎛1 3
A= b
⎝⎫a ⎪
, ⎪ ( a > 0 ) 1⎪⎪3⎭
⎛135⎫ ⎪3472． 设A= ⎪, 求矩阵B ，使AB=A-B。 （10分） 122⎪⎝⎭
解：设B= b , ∵AB=A-B，∴ 4 b =
2
2
⎛a 1
a 2 a ⎝3
b 1
b 3
c 1⎫⎪c 2⎪c 3⎪⎭⎛a 1
3a 2 a ⎝3
3b 1
2b 3
5c 1⎫
⎪7c 2⎪2c 3⎪⎭⎛1-a 1
3-a 2 1-a
3⎝
3-b 14-b 2
2-b 35-c 1⎫
⎪
7-c 2⎪2-c 3⎪⎭
解得B=
⎛1
2 3 4 1 ⎝2
344523
5⎫⎪6⎪7⎪8⎪2⎪⎪3⎭
⎛21⎫3． 设 A = T 使 T - 1 AT 为对角形 (10分) 1 2 ⎪⎪ 求可逆矩阵⎝⎭
T
⎛⎫T T 22 , 解：由 E -A =0, λ1=1, λ2=3, X 1=(1, -1), X 2=(1, 1)分别单位化，得 λ ⎪=, -1 22⎪⎝⎭⎛22⎫T
⎪⎛22⎫
⎪ , 所以T ⎪ λ 2 = = 2 2, 2⎪ 22⎪⎝⎭ -⎪
22⎝⎭
四、证明题
1．设ξ, η是欧氏空间任意向量，证明：|ξ+η|≤|ξ|+|η|, (10分)
证明：因为
ξ+η=+η, ξ+η=, ξ+2, η+, η≤, η+2ξ+, η=2+2ξ+2=(ξ+)2所以|ξ+η|≤|ξ|+|η|。
b +c
c +a c 1+a 1c 2+a 2
a +b
a
b b 1b 2
c
c 1 ，（9分） c 2
2．行列式b 1+c 1
b 2+c 2
b
证明: 原式= b 1
a 1+b 1=2a 1a 2+b 2a 2
c c 1c 2
a a 2
c c 2
a a 1a 2
b b 2
a a 2
b b 1b 2
c c 2
a a 2
b b 1b 2
c c 2
a a 2
b b 1b 2
c c 1 c 2
a 1+c 1b 1=a 1c 1+a 1c 1=2a 1
b 2
线性代数试题库（1）答案
一、选择题：（3×7=21分）
1.n 阶行列式D 的元素a ij 的余子式M ij 与a ij 的代数余子式A ij 的关系是（ C ） A ． A ij =Mij B 。 A ij =(-1) n M ij C 。A ij =(-1)i +j M ij D 。A ij =-Mij
2．设A 是数域F 上m x n矩阵，则齐次线性方程组AX=O （ A ） A ． 当m n时，无解C ．当m=n 时，只有零解D ．当m=n 时，只有非零解 3．在n 维向量空间V 中，如果σ，τ∈L （V ）关于V 的一个基{α1, , αn }的矩阵分别为A ，B. 那么对于a ，b ∈F ，a σ+bτ关于基{α1, , αn }的矩阵是（ C ）
A ．A+B B ．aA+B C ．aA+bB D ．A+Bb 4．已知数域F 上的向量α1, α2, α3 线性无关，下列不正确的是（ D ）
A α1，α2线性无关 B ．α2, α3线性无关 C ．α3, α1线性无关 D ．α1, α2, α3中必有一个向量是其余向量的线性组合。
5．R n 中下列子集，哪个不是子空间（ C ） A
．
R
n
n
B ．
{(a 1, , a n ) |a i ∈R , i =1, , n 且∑a i =0}
i =1
n
C ．{(a 1, , a n ) |a i ∈R , i =1, , n 且∑a i =1} D ．{0}
i =1
6．两个二次型等价当且仅当它们的矩阵（ A ）
A 。相似 B ．合同 C ．相等 D ．互为逆矩阵 7．向量空间R 3的如下变换中，为线性变换的是（ C ） A ．σ(x 1, x 2, x 3) =(|x 1|,1, 1)
B ．σ(x 1, x 2, x 3) =(x 1+1, x 2, x 3)
22
C ．σ(x 1, x 2, x 3) =(x 2, x 3, 0) D ．σ(x 1, x 2, x 3) =(x 12, x 2, x 3)
二．填空题（3X10=30分）
⎧x 1+x 2+x 3=0
⎪
1．当且仅当k=（-1或3）时，齐次线性方程组⎨3x 1`-x 2+kx 3=0有非零解
⎪9x +x +k 2x =0
23⎩1⎛a 1⎫
⎪
2．设A= a 2⎪≠0, B =(b 1, b 2, b 3)≠0, 则秩（AB ）为（1）。
a ⎪⎝3⎭
⎛111⎫
, , ⎪
3．向量（x ，y ，z ）关于基（0，1/2，0），（1/3，0，0），（0，0，1/4）的坐标为 3 24⎭ ⎝
。
4．设向量空间F 的线性变换
。 σ, τ为σ(x 1, x 2) =(x 1+x 2, x 2), τ(x 1, x 2) =(x 1-x 2, 0), 则(σ-τ)(x 1, x 2) =（2x 1,x 2）5．已知V={(x 1, x 2, x 3, x 4) |x 1+2x 2-x 4=0}，则dimV=（3）。 ⎛1⎫
a ⎪ 36．已知实矩阵A= > 0 ) 是正交阵，则b=（0）。 ⎪, (a b 1⎪ ⎪
3⎭⎝
7．设α1, α2, α3, α4是四维欧氏空间V 的一个标准正交基，α=α1+α2-α3-α4，
⎛π⎫
β=α1+α2-α3, 则|α|=(2), 〈α, β〉=(3), α与β的夹角θ= ⎪, d (α, β) =(1).
⎝6⎭
2
三、计算题
⎛10⎫⎛11⎫⎛31⎫
⎪ 1．求矩阵方程的解 x +2 11⎪ 01⎪⎪= 13⎪⎪ ， （10分） ⎝⎭⎝⎭⎝⎭解:x=
⎛21⎫-1
2．设A = AT 为对角形 (10分) 求可逆矩阵T 使T ⎪ 12⎪
⎝⎭
⎛22⎫T T 解：由 E -A =0, λ1=1, λ2=3, X 1=(1, -1), X 2=(1, 1)分别单位化，得 λ , - ⎪ , 1 =⎪22⎝⎭⎛2⎫2T
⎪⎛22⎫
⎪ , 所以T 2⎪ λ 2 = = 2 2, 2⎪ 2⎪⎝⎭ -⎪
22⎝⎭
22
3．设二次型f (x 1, x 2, x 3) =x 12+2x 2+5x 3+2x 1x 2+2x 1x 3+6x 2x 3, 回答下列问题：
T
（1）将它化为典范型。 （2）二次型的秩为何？
（3）二次型的正、负惯性指标及符号差为何？ （4）二次型是否是正定二次型？ （10分）
2222
解：（1）f (x 1, x 2, x 3) =y 12+y 2 ,(2)r=5 ,(3)p=3;s=1 ,(4)A=6＞0，是正定二次型 。 +y 3-y 4-5y 5
四、证明题
1．设V 是数域F 上一个一维向量空间。证明V 的变换σ是线性变换的充要条件是：对于任意ξ∈V ，都有σ（ξ）=aξ，a 为F 中一个定数。（10分） 证明：⇒假设η是V 的 基，存在所以 λ∈F ，此时得ξ=λη，由σ是线性变换，则σ(η)=λ1η，
σ(ξ)=σ(λη)=λσ(η)λλ1η=λ1(λη)=λ1ξ，令λ1=a a 则σ(ξ)=a ξ；
⇐任意ξ1，ξ2∈V ，a ∈F ，由σ(ξ1+ξ2)=a (ξ1+ξ2)=a ξ1+a ξ2=σ(ξ1)+σ(ξ2) σ(k ξ1)=ak ξ1=k (a ξ1)=k σ(ξ1)∴σ是线性变换。
b +c
c +a c 1+a 1
c 2+a 2
a +b
a
b b 1b 2
c
c 1 ，（10分） c 2
2。行列式b 1+c 1
b 2+c 2a 1+b 1=2a 1a 2+b 2a 2
b c c 1c 2
a a 2
c c 2
a a 1a 2
b b 2
a a 2
b b 1b 2
c c 2
a a 2
b b 1b 2
c c 2
a a 2
b b 1b 2
c c 1 c 2
证：原式=b 1
b 2
a 1+c 1b 1=a 1c 1+a 1c 1=2a 1
线性代数试题库（2 ）答案
2005—2006学年 第一学期 考试时间 120分钟
一、选择题：（3X5=15分）
1. n 阶行列式D 的元素a ij 的余子式M ij 与a ij 的代数余子式A ij 的关系是（ C ） A ． A ij =Mij B 。 A ij =(-1) n M ij C 。A ij =(-1)i +j M ij D 。A ij =-Mij 2．设A 是数域F 上m x n矩阵，则齐次线性方程组AX=O （ A ） A ． 当m n时，无解 C ．当m=n 时，只有零解D ．当m=n 时，只有非零解
3．已知n 维向量α1, α2, α3 线性无关，下列不正确的是（ D ）
A α1，α2线性无关 B ．α2, α3线性无关 C ．α3, α1线性无关 D ．α1, α2, α3中必有一个向量是其余向量的线性组合。
4．若A 是mxn 矩阵，且r （A ）=r，则A 中（ D ） A. 至少有一个r 阶子式不等于0，但没有等于0的r-1阶子式； B. 必有等于0的r-1阶子式，有不等于0的r 阶子式； C. 有等于0的r-1阶子式，没有等于0的r 阶子式； D. 有不等于0的r 阶子式，所有r+1阶子式均等于0。
5．4．设A 是三阶矩阵，|A|=1，则|2A2|=（ A）A ．2，B ，1，C8 ，D 4 二．填空题（3X6=18分） ⎧x 1+x 2+x 3=01．当且仅当k=（-1或
3）时，齐次线性方程组 ⎪
⎨3x 1`-x 2+kx 3=0有非零解
⎛⎪2．设A= , a 1⎫⎩9x 1
+x 2+k 2x 3=0
a ⎪
2⎪0, B =(b 。 1, b 2, b 3)≠0则秩（AB ）为（1）
3．行列式⎝a x
3⎪⎭
y -x
0z =(0). -y -z
4．已知实矩阵A= ⎛ 1
3 a ⎫⎪
1⎪⎪ , ( a > 0 ) 是正交阵，则b=（0）。
⎝b 3⎪⎭
5．向量（x ，y ，z ）关于基（0，1/2，0），（1/3，0，0），（0，0，1/4）的坐标为6⎛ 111⎛A o -1
o ⎫⎝3, 2, ⎫
4⎪⎭B 为n 阶可逆矩阵，则 ⎫
o B ⎪⎪
=⎛ A -1
⎝⎭
B -1⎪⎪。（10分） ⎝o ⎭
三、计算题
1．求矩阵方程的解
⎛10⎫⎝11⎪⎪⎛⎭x +2 11 ⎫⎝01⎪⎪⎛31⎫
⎭= ⎝13⎪⎪⎭
， （10分） 解:x=
2．设A = ⎛ 2 1 ⎪⎪⎫
⎝12⎭ 求可逆矩阵
T 使 T -
1 AT 为对角形 (15分)
T
解：由 E -A =0, λT T 1=1, λ2=3, X 1=(1, -1), X 2=(1, 1)分别单位化，得λ 1 = ⎛ 2 , - 2⎫⎪⎪ , T
⎛⎝22⎭ 22⎫ λ ⎛22⎫
2 = ⎪⎪ , 所以T ⎪ ⎝2, 2 ⎪⎭ = 2 22⎪ ⎝- 2
2⎪
⎭
。
22
3．设二次型f (x 1, x 2, x 3) =x 12+2x 2+5x 3+2x 1x 2+2x 1x 3+6x 2x 3, 回答下列问题：
(1)将它化为典范型。 （2）二次型的秩为何？
（3）二次型的正、负惯性指标及符号差为何？ （4）二次型是否是正定二次型？ （12分）
2222解：（1）f (x 1, x 2, x 3) =y 12+y 2 ,(2)r=5 ,(3)p=3;s=1 ,(4)A=6＞0，是正定二次型 。 +y 3-y 4-5y 5
⎛1⎫⎛0⎫⎛3⎫⎛2⎫⎛1⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-1301-1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
α1= , α=, α=, α=, α=2345 1⎪ 7⎪ 5⎪ 2⎪4．设向量组 2⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 4⎪ 2⎪ 14⎪ 6⎪ 0⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
求向量组的秩及其一个极大无关组。（10分） 1
3
21
-1301-1
21752
4a 12a 214a 36a 40a 5
10→0
00
-13330
21110
422
a 1a 2
1-13000
21000
420
a 3-3a 1→0-2a 4-2a 10-4a 5-a 10
a 1
a 2
a 3-3a 1-a 2a 4-2a 1-a 2
-4
0a 5-a 1-(a 4-2a 1-a 2)
其中α 3 - 3 α 1 - α 2 = 0 , a 2 - a 1 - (a 4 - a 由此r(A)=3, 2 , a 是一个极大无关α1 , α2 a 1 -44)=0组， 四、证明题
1. A 是正交矩阵，证明(A α, A β)=(α, β), A α=α。（10分） 证明：(A α, A β)=(A α)T A β=αT A T A β=αT (A T A )β=αT β=(α, β),
A α=
α3=3α1+α2, a 5=-a 1-a 2+a 4
A α, A α=α, α=α
b +c
c +a c 1+a 1
c 2+a 2a a 2
c c 2
a 1+c 1
a +b a b b 1b 2c c 2
c
c 1 ，（10分） c 2a a 2
b b 1b 2
c c 2
a a 2
b b 1b 2
c c 1 c 2
c 1=2a 1
2。行列式b 1+c 1
b 2+c 2b
c c 1c 2
a 1+b 1=2a 1a 2+b 2a 2a a 1a 2
b b 2
a a 2
b b 1b 2
b 1=a 1
证：原式=b 1
b 2
c 1+a 1
线性代数试题库（3）答案
一、选择题（3×5=15分）
1．已知m 个方程n 个未知量的一般线性方程组AX=B有解，则无穷多解的条件是（ C ） A ．m ≠n B ．m=n C ．秩A
2
2．设A= 0 1 则 秩A=（ A ） 0
⎛1
0 0⎝
0⎫⎛1⎪ 3⎪ 1 4⎪⎭⎝2
-1⎫
⎪-1⎪-2⎪⎭
A ． 0 B ．1 C ．2 D ．3
3．n 阶行列式D 的元素a ij 的余子式M ij 与a ij 的代数余子式A ij 的关系是（ C ） A ． A ij =Mij B 。 A ij =(-1) n M ij C 。A ij =(-1)i +j M ij D 。A ij =-Mij 4．已知数域F 上的向量α1, α2, α3 线性无关，下列不正确的是（ D ）
A α1，α2线性无关 B ．α2, α3线性无关 C ．α3, α1线性无关 D ．α1, α2, α3中必有一个向量是其余向量的线性组合。
5．设α1, α2, α3, α4是四维欧氏空间V 的一个标准正交基，α=α1+α2-α3-α4，
则|α|=（ C ） A 、0 B ．1 C ．2 D ．4
二．填空题（3X6=18分）
1．设A 是一个n 阶实可逆矩阵，则二次型X ' (A ' A ) X 的标准形是(X ' IX 2．矩阵
⎛sin x cos x ⎫⎛sin x -cos x ⎫⎪ 的逆矩阵为⎪ cos x sin x ⎪⎪。 -cos x sin x ⎝⎭⎝⎭
3．向量（x ，y ，z ）关于基（0，1/2，0），（1/3，0，0），（0，0，1/4）的坐标为 。
111⎫, α, α是四维欧氏空间4．⎛V 的一个标准正交基，α=α1+α2-α3-α4， , , , 24 ⎪3
⎝324⎭
则|α|=(2)
5．已知实矩阵A= 是正交阵，则b=0。
⎛1 3 b ⎝⎫a ⎪
⎪, (a >0) 1⎪⎪3⎭
6．A 与B 相似，则|A|（=）（≠, =）|B|。 三、计算题
1
01
00
32
+a 1
a 1a 1
1
a 21+a 2
a 2
2
a 3a 31+a 3
3
a 4a 4a 4
1. 计算行列式 a 1 + a =I ，（10分） a a
4
00
10
5⎫⎪7⎪2⎪⎭
a 1a 2a 2
a 2a 2
a 3a 3a 3a 3
a 4
a 4
=1+0=1. a 4a 4
解：原式0
⎛1 3 1⎝
a 0
+1
a 10
a 11
2. 设A= 4 , 求矩阵B ，使AB=A-B。 （10分）
解：设B= b , ∵AB=A-B，∴ 4 b =
2
2
⎛a 1
a 2 a ⎝3
b 1
b 3
c 1⎫⎪c 2⎪c 3⎪⎭⎛a 1
3a 2 a ⎝3
3b 1
2b 3
5c 1⎫
⎪7c 2⎪2c 3⎪⎭⎛1-a 1
3-a 2 1-a
3⎝
3-b 14-b 2
2-b 35-c 1⎫
⎪
7-c 2⎪2-c 3⎪⎭
解得B=
⎛1
2 3 4 1 ⎝2
344523
5⎫⎪6⎪7⎪8⎪2⎪⎪3⎭
⎛21⎫⎝12⎭
解：由 E -A =0, λ1=1, λ2=3, X 1
⎛2T
⎛22⎫
⎪ , 所以T λ 2 = = 2 2, 2⎪ 2⎝⎭ -
⎝2
-13．设 A 求可逆矩阵 T 使 T AT 为对角形 (15分) = ⎪⎪
⎛22⎫T T λ=, - ⎪ , =(1, -1), X 2=(1, 1)分别单位化，得 1 ⎪22⎝⎭
2⎫⎪⎪2⎪⎪2⎭
T
22
4．设二次型f (x 1, x 2, x 3) =2x 12+5x 2（1）将它化为典范型。+5x 3+4x 1x 2-4x 1x 3-8x 2x 3, 回答下列问题：
（2）二次型的秩为何？（3）二次型的正、负惯性指标及符号差为何？（4）二次型是否是正定二次型？ （12分）
222解：（1）f (x 1, x 2, x 3) =y 12+y 2 ,(2)r=4 ,(3)p=3;s=2 ,(4)A=10＞0，是正定二次型 。 +y 3-15y 4
四、证明题1．试证：设A 是n 阶矩阵，则|A*|=|A|n -1（10分） 证
明
：
n -1
AA *=
A E
取行列式
n -1
得
。
到A A *=A E =A
n
若
A ≠0则A *=A , 若A =0则A *=0此时命题也成立，即A *=A
b +c
1
2．试证：行列式 + a a b c ，（10分） b +c c a +b = 2
1
1
1
1
1
1
1
1
c +a a +b a b c
b 2+c 2c 2+a 2a 2+b 2a 2b 2c 2
b
证明: 原式= b 1
c c 1c 2
a a 2
c c 2
a a 1a 2
b b 2
a a 2
b b 1b 2
c c 2
a a 2
b b 1b 2
c c 2
a a 2
b b 1b 2
c c 1 c 2
a 1+c 1b 1=a 1c 1+a 1c 1=2a 1
b 2
线性代数试题库（4）答案
一、选择题（3X7=21分）
1．已知m 个方程n 个未知量的一般线性方程组AX=B有解，则无穷多解的条件是（C ） A ．m ≠n B ．m=n C ．秩A
2．设矩阵A 是n 维向量空间V 中由基α1, , αn 到基β1, , βn 的过渡矩阵，则A 的第j 列是（ C ） A ．αj 关于基 α1, , αn 的坐标 B ．αj 关于基β1, , βn 的坐标 C ．βj 关于基α1, , αn 的坐标 D ．βj 关于基β1, , βn 的坐标
⎪ ⎪3．设A= 2 1 1 - 3 1 ⎪则 秩A=（ C ）A 、0 B ．1 C ．2 D ．3 0⎪
0 04⎪0-2⎪⎝⎭⎝2⎭
⎛1
0⎫⎛1
-1⎫
4．n 阶行列式D 的元素a ij 的余子式M ij 与a ij 的代数余子式A ij 的关系是（C ） A ． A ij =Mij B 。 A ij =(-1) n M ij C 。A ij =(-1)i +j M ij D 。A ij =-Mij
5．在n 维向量空间V 中，如果σ，τ∈L （V ）关于V 的一个基{α1, , αn }的矩阵分别为A ，B 。那么对于a ，b ∈F ，a σ+bτ关于基{α1, , αn }的矩阵是（C ）
A ．A+B B ．aA+B C ．aA+bB D ．A+Bb 6．向量空间R 3的如下变换中，为线性变换的是（C ） A ．σ(x 1, x 2, x 3) =(|x 1|,1, 1)
B ．σ(x 1, x 2, x 3) =(x 1+1, x 2, x 3)
22
C ．σ(x 1, x 2, x 3) =(x 2, x 3, 0) D ．σ(x 1, x 2, x 3) =(x 12, x 2, x 3)
7．已知数域F 上的向量α1, α2, α3 线性无关，下列不正确的是（D ）
A α1，α2线性无关 B ．α2, α3线性无关 C ．α3, α1线性无关 D ．α1, α2, α3中必有一个向量是其余向量的线性组合。 二．填空题（3X10=30分）
1．设A 是一个n 阶实可逆矩阵，则二次型X ' (A ' A ) X 的标准形是（X ' IX ）
2． σ是向量空间R [x ]上的变换（即σ(f (x )) =f ' (x )), 则(σ2-σ)(x 2-x +3) =-4x 3+12x 2-20x +13.
⎛sin x cos x ⎫⎛sin x -cos x ⎫3．矩阵 -cos x sin x ⎪⎪的逆矩阵为 cos x sin x ⎪⎪。
⎝⎭⎝⎭
4．设α1, α2, α3, α4是四维欧氏空间V 的一个标准正交基，α=α1+α2-α3-α4，
⎛π⎫
β=α1+α2-α3, 则|α|=(2), 〈α, β〉=(3), α与β的夹角θ= ⎪d (α, β) =(1).
⎝6⎭
5．向量（x ，y ，z ）关于基（0，1/2，0），（1/3，0，0），（0，0，1/4）的坐标为（1/3，1/2，1/4）。 6．已知V={(x 1, x 2, x 3, x 4) |x 1+2x 2-x 4=0}，则dimV=（4）。 7．已知实矩阵 是正交阵，则b=（0）。
+a a a a
a 1+a a a 三、计算题 a a 1+a a
1． 计算行列式 ，（10分）
a a a 1+a
1
2
33
n n n
11
22
3
1
2
3
n
⎛1 3
A= b
⎝⎫a ⎪
, ⎪ ( a > 0 ) 1⎪⎪3⎭
⎛135⎫ ⎪3472． 设A= ⎪, 求矩阵B ，使AB=A-B。 （10分） 122⎪⎝⎭
解：设B= b , ∵AB=A-B，∴ 4 b =
2
2
⎛a 1
a 2 a ⎝3
b 1
b 3
c 1⎫⎪c 2⎪c 3⎪⎭⎛a 1
3a 2 a ⎝3
3b 1
2b 3
5c 1⎫
⎪7c 2⎪2c 3⎪⎭⎛1-a 1
3-a 2 1-a
3⎝
3-b 14-b 2
2-b 35-c 1⎫
⎪
7-c 2⎪2-c 3⎪⎭
解得B=
⎛1
2 3 4 1 ⎝2
344523
5⎫⎪6⎪7⎪8⎪2⎪⎪3⎭
⎛21⎫3． 设 A = T 使 T - 1 AT 为对角形 (10分) 1 2 ⎪⎪ 求可逆矩阵⎝⎭
T
⎛⎫T T 22 , 解：由 E -A =0, λ1=1, λ2=3, X 1=(1, -1), X 2=(1, 1)分别单位化，得 λ ⎪=, -1 22⎪⎝⎭⎛22⎫T
⎪⎛22⎫
⎪ , 所以T ⎪ λ 2 = = 2 2, 2⎪ 22⎪⎝⎭ -⎪
22⎝⎭
四、证明题
1．设ξ, η是欧氏空间任意向量，证明：|ξ+η|≤|ξ|+|η|, (10分)
证明：因为
ξ+η=+η, ξ+η=, ξ+2, η+, η≤, η+2ξ+, η=2+2ξ+2=(ξ+)2所以|ξ+η|≤|ξ|+|η|。
b +c
c +a c 1+a 1c 2+a 2
a +b
a
b b 1b 2
c
c 1 ，（9分） c 2
2．行列式b 1+c 1
b 2+c 2
b
证明: 原式= b 1
a 1+b 1=2a 1a 2+b 2a 2
c c 1c 2
a a 2
c c 2
a a 1a 2
b b 2
a a 2
b b 1b 2
c c 2
a a 2
b b 1b 2
c c 2
a a 2
b b 1b 2
c c 1 c 2
a 1+c 1b 1=a 1c 1+a 1c 1=2a 1
b 2