y =
1. 已知函数
1
1+x 2的一组数据：
线性插值函数，并计算
求分段
f (1.5)
的近似值.
计算题1. 答案
1
1
⎰01+x 4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分.
计算题
4. 答案
四、证明题（本题10分）
确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度
⎰
h
-h
f (x )dx =A -1f (-h )+A 0f (0)+A 1f (h )
证明题答案
19
f (x ) =x , x 0=, x 1=1, x 2=
44 1．设
⎡19⎤, ⎥
f (x )⎢Hx
（1）试求在⎣44⎦上的三次Hermite 插值多项式()使满足
3
2
H (x j ) =f (x j ), j =0,1,2,... H ' (x 1) =f ' (x 1)
H(x )
以升幂形式给出。
（2）写出余项R (x ) =f (x ) -H (x ) 的表达式
计算题1. 答案
3．试确定常数A ，B ，C 和 a
，使得数值积分公式
有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型的？
计算题3. 答案
⎧y ' =f (x , y )
⎨
y (x 0) =y 0
4．推导常微分方程的初值问题⎩的数值解公式：h ' ' ' y n +1=y n -1+(y n +1+4y n +y n -1)
3
（提示：利用Simpson 求积公式。）
计算题4. 答案
(1).（15分）用二次拉格朗日插值多项式L 2(x ) 计算sin0.34的值。 插值节点和相应的函数值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。
计算题1. 答案
4). （15分）求系数A 1, A 2和A 3, 使求积公式
11
f (x ) dx ≈A f (-1) +A f (-) +A f () 对于次数≤2的一切多项式都精确成立123⎰-1
33。
1
计算题4. 答案
三、计算题（70分）
1. （10分）已知f (0)＝1，f (3)＝2.4，f (4)＝5.2，求过这三点的 二次插值基函数l 1(x )=( ) ，f [0, 3, 4]=( ), 插值多项式P 2(x )=( ), 用三点式求得f '(4) =( ).
计算题1. 答案
f (x ) dx ≈Af (-0. 5) +Bf (x 1) +Cf (0. 5)
3. （15分）确定求积公式 ⎰-1 的待定参数，使其代数精度尽量高，并确定其代数精度.
计算题3. 答案
1
⎧y '=3x +2y
⎨
4. （15分）设初值问题 ⎩y (0) =1
0
.
(1) 写出用Euler 方法、步长h =0.1解上述初值问题数值解的公式； (2) 写出用改进的Euler 法（梯形法）、步长h =0.2解上述初值问题数值解
的公式，并求解y 1, y 2，保留两位小数。
计算题4. 答案
4. (1) y n +1=y n +0.1(3x n +2y n ) =0.3x n +1.2y n
-x
5. （15分）取节点x 0=0, x 1=0. 5, x 2=1，求函数y =e 在区间[0, 1]上的二次插
值多项式P 2(x ) ，并估计误差。
计算题5. 答案
二、计算题
1、已知函数y =f (x ) 的相关数据
1=P ()
2的近似值。 由牛顿插值公式求三次插值多项式P 3(x
) 计算题1. 答案
2、（10分）利用尤拉公式求解初值问题，其中步长h =0.1，
⎧y '=-y +x +1,
⎨
⎩y (0)=1.
计算题2. 答案
x ∈(0,0.6)
。
f (x , y ) =-y +x +1, y 0=η=1, h =0.1, y n +1=y n +0.1(x n +1-y n ), (n =0,1, 2,3, ) y 0=1,
y k =1.000000;1.000000;1.010000;1.029000;
解：1.056100;1.090490;1.131441.
3、（15分）确定求积公式
⎰
h
-h
f (x ) dx ≈A 0f (-h ) +A 1f (0)+A 2f (h )
。
中待定参数A i 的值(i =0,1,2) ，使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度。
计算题3. 答案
求它的拟合曲线（直线）。
计算题4. 答案
解：设y =a +bx 则可得
⎧5a +15b =31⎨
⎩15a +55b =105.5
于是a =2.45, b =1.25，即y =2.45+1.25x 。
1、（10分）已知数据如下：
y =
1
a +bx 拟合函数。
求形如
计算题1. 答案
2、（15分）用二次拉格朗日插值多项式L 2(x ) 计算sin 0.34。插值节点和相应的函数值如下表。
计算题2. 答案
3、（15分）利用改进的尤拉方法求解初值问题，其中步长h =0.2
⎧y '=y +x , ⎨
⎩y (0)=1.
计算题3. 答案
x ∈(0,0.8)
。
113
x 0=, x 1=, x 2=,
424 4、（15分）已知
(1)推导以这三点为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式
113
f (x ) dx ≈A 0f () +A 1f () +A 2f ()
424；
1
⎰
1
(2)指明求积公式所具有的代数精度；(3)用所求公式计算⎰0
计算题4. （1）答案 计算题4. （2）&（3）答案
x 2dx
。
二、计算题
19f (x ) =x , x 0=, x 1=1, x 2=44 1). （15分）设32
19[, ]（1）试求f (x ) 在44上的三次Hermite 插值多项式H (x ) 使满足
H (x j ) =f (x j ), j =0,1,2,... H '(x ) =f '(x ) , H (x ) 以升幂形式给出。
（2）写出余项R (x ) =f (x ) -H (x ) 的表达式
具有的代数精确度
.
计算题3. 答案
y =
1. 已知函数
1
1+x 2的一组数据：
线性插值函数，并计算
求分段
f (1.5)
的近似值.
计算题1. 答案
1
1
⎰01+x 4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分.
计算题
4. 答案
四、证明题（本题10分）
确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度
⎰
h
-h
f (x )dx =A -1f (-h )+A 0f (0)+A 1f (h )
证明题答案
19
f (x ) =x , x 0=, x 1=1, x 2=
44 1．设
⎡19⎤, ⎥
f (x )⎢Hx
（1）试求在⎣44⎦上的三次Hermite 插值多项式()使满足
3
2
H (x j ) =f (x j ), j =0,1,2,... H ' (x 1) =f ' (x 1)
H(x )
以升幂形式给出。
（2）写出余项R (x ) =f (x ) -H (x ) 的表达式
计算题1. 答案
3．试确定常数A ，B ，C 和 a
，使得数值积分公式
有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型的？
计算题3. 答案
⎧y ' =f (x , y )
⎨
y (x 0) =y 0
4．推导常微分方程的初值问题⎩的数值解公式：h ' ' ' y n +1=y n -1+(y n +1+4y n +y n -1)
3
（提示：利用Simpson 求积公式。）
计算题4. 答案
(1).（15分）用二次拉格朗日插值多项式L 2(x ) 计算sin0.34的值。 插值节点和相应的函数值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。
计算题1. 答案
4). （15分）求系数A 1, A 2和A 3, 使求积公式
11
f (x ) dx ≈A f (-1) +A f (-) +A f () 对于次数≤2的一切多项式都精确成立123⎰-1
33。
1
计算题4. 答案
三、计算题（70分）
1. （10分）已知f (0)＝1，f (3)＝2.4，f (4)＝5.2，求过这三点的 二次插值基函数l 1(x )=( ) ，f [0, 3, 4]=( ), 插值多项式P 2(x )=( ), 用三点式求得f '(4) =( ).
计算题1. 答案
f (x ) dx ≈Af (-0. 5) +Bf (x 1) +Cf (0. 5)
3. （15分）确定求积公式 ⎰-1 的待定参数，使其代数精度尽量高，并确定其代数精度.
计算题3. 答案
1
⎧y '=3x +2y
⎨
4. （15分）设初值问题 ⎩y (0) =1
0
.
(1) 写出用Euler 方法、步长h =0.1解上述初值问题数值解的公式； (2) 写出用改进的Euler 法（梯形法）、步长h =0.2解上述初值问题数值解
的公式，并求解y 1, y 2，保留两位小数。
计算题4. 答案
4. (1) y n +1=y n +0.1(3x n +2y n ) =0.3x n +1.2y n
-x
5. （15分）取节点x 0=0, x 1=0. 5, x 2=1，求函数y =e 在区间[0, 1]上的二次插
值多项式P 2(x ) ，并估计误差。
计算题5. 答案
二、计算题
1、已知函数y =f (x ) 的相关数据
1=P ()
2的近似值。 由牛顿插值公式求三次插值多项式P 3(x
) 计算题1. 答案
2、（10分）利用尤拉公式求解初值问题，其中步长h =0.1，
⎧y '=-y +x +1,
⎨
⎩y (0)=1.
计算题2. 答案
x ∈(0,0.6)
。
f (x , y ) =-y +x +1, y 0=η=1, h =0.1, y n +1=y n +0.1(x n +1-y n ), (n =0,1, 2,3, ) y 0=1,
y k =1.000000;1.000000;1.010000;1.029000;
解：1.056100;1.090490;1.131441.
3、（15分）确定求积公式
⎰
h
-h
f (x ) dx ≈A 0f (-h ) +A 1f (0)+A 2f (h )
。
中待定参数A i 的值(i =0,1,2) ，使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度。
计算题3. 答案
求它的拟合曲线（直线）。
计算题4. 答案
解：设y =a +bx 则可得
⎧5a +15b =31⎨
⎩15a +55b =105.5
于是a =2.45, b =1.25，即y =2.45+1.25x 。
1、（10分）已知数据如下：
y =
1
a +bx 拟合函数。
求形如
计算题1. 答案
2、（15分）用二次拉格朗日插值多项式L 2(x ) 计算sin 0.34。插值节点和相应的函数值如下表。
计算题2. 答案
3、（15分）利用改进的尤拉方法求解初值问题，其中步长h =0.2
⎧y '=y +x , ⎨
⎩y (0)=1.
计算题3. 答案
x ∈(0,0.8)
。
113
x 0=, x 1=, x 2=,
424 4、（15分）已知
(1)推导以这三点为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式
113
f (x ) dx ≈A 0f () +A 1f () +A 2f ()
424；
1
⎰
1
(2)指明求积公式所具有的代数精度；(3)用所求公式计算⎰0
计算题4. （1）答案 计算题4. （2）&（3）答案
x 2dx
。
二、计算题
19f (x ) =x , x 0=, x 1=1, x 2=44 1). （15分）设32
19[, ]（1）试求f (x ) 在44上的三次Hermite 插值多项式H (x ) 使满足
H (x j ) =f (x j ), j =0,1,2,... H '(x ) =f '(x ) , H (x ) 以升幂形式给出。
（2）写出余项R (x ) =f (x ) -H (x ) 的表达式
具有的代数精确度
.
计算题3. 答案