判断并证明函数的单调性
例1、 判断函数f (x ) =x 2-
1x
在区间(0, +∞) 上的单调性，并用单调性的定义证明结
论．
分析：判断函数在给定的单区间上是增还是减，除根据定义代值判断外，还可由已掌握的基本初等函数在给定区间上的单调性，结合运算性质的分析作出判断．
解：因为二次函数u =x 2在区间(0, +∞) 上是增函数，反比例函数v =-
(0, +∞) 上也是增函数．
1x
在区间
∴在区间(0, +∞) 上，随自变量x 值的增大，u =x 和v =-f (x ) =x
2
2
1x
的函数值也增大，则函数
-
1x
的函数值也增大．
2
∴函数y =f (x ) =x -
1x
在区间(0, +∞) 上是增函数．
证明：设x 1x 2是区间(0, +∞) 是任意的两个值，且x 1
f (x 2) -f (x 1) =x 2-
2
1x 2
1
-x 1+
2
1x 1
=(x 2-x 1) +(
2
1x 1
-
1x 2
)
=(x 2-x 1)(x 2+x 1) +
x 2-x 1x 1x 21x 1x 2
].
=(x 2-x 1)[x 2+x 1+
0
∴x 2-x 1>0, x 2+x 1+
1x 1x 2
>0.
∴f (x 2) -f (x 1) >0, ∴f (x 2) >f (x 1).
∴f (x ) =x -
2
1x
在区间(0, +∞) 上是增函数．
小结：注意该题中函数表达式的特点及变形技巧．还有与此类似的一些函数，如：
f (x ) =x +
2
1x
, f (x ) =x +
1x
, f (x ) =x -
1x
, f (x ) =2x +
8x
，等等，在证明这些函数的单
调性时，对f (x 1) -f (x 2) 实施正确的因式分解至关重要．
判断并证明函数的单调性
例1、 判断函数f (x ) =x 2-
1x
在区间(0, +∞) 上的单调性，并用单调性的定义证明结
论．
分析：判断函数在给定的单区间上是增还是减，除根据定义代值判断外，还可由已掌握的基本初等函数在给定区间上的单调性，结合运算性质的分析作出判断．
解：因为二次函数u =x 2在区间(0, +∞) 上是增函数，反比例函数v =-
(0, +∞) 上也是增函数．
1x
在区间
∴在区间(0, +∞) 上，随自变量x 值的增大，u =x 和v =-f (x ) =x
2
2
1x
的函数值也增大，则函数
-
1x
的函数值也增大．
2
∴函数y =f (x ) =x -
1x
在区间(0, +∞) 上是增函数．
证明：设x 1x 2是区间(0, +∞) 是任意的两个值，且x 1
f (x 2) -f (x 1) =x 2-
2
1x 2
1
-x 1+
2
1x 1
=(x 2-x 1) +(
2
1x 1
-
1x 2
)
=(x 2-x 1)(x 2+x 1) +
x 2-x 1x 1x 21x 1x 2
].
=(x 2-x 1)[x 2+x 1+
0
∴x 2-x 1>0, x 2+x 1+
1x 1x 2
>0.
∴f (x 2) -f (x 1) >0, ∴f (x 2) >f (x 1).
∴f (x ) =x -
2
1x
在区间(0, +∞) 上是增函数．
小结：注意该题中函数表达式的特点及变形技巧．还有与此类似的一些函数，如：
f (x ) =x +
2
1x
, f (x ) =x +
1x
, f (x ) =x -
1x
, f (x ) =2x +
8x
，等等，在证明这些函数的单
调性时，对f (x 1) -f (x 2) 实施正确的因式分解至关重要．