作者：王法尧
中学教研：数学版 2005年01期
现行高一教材第一册引出了函数单调性的定义，要求学生利用定义证明或判断函数在某一区间上的单调性，可是学生这一部分及相关单调性的内容，掌握并不好，总结起来有以下4类：
一、代数变形能力不强，分类不合理，分解因式及相关变形不到位
例1 求证f（x）=-x[3]+1在（-∞，0）上为减函数.
分析证明 设-∞＜x[，1]＜x[，2]＜0，则
f（x[，1]）-f（x[，2]）=x[3][，2]-x[3][，1]=（x[，2]-x[，1]）（x[2][，2]+x[，1]x[，2]+x[2][，1]），（1）
∵ x[，2]-x[，1]＞0，x[，1]x[，2]＞0，x[2][，1]+x[2][，2]＞0，f（x[，1]）＞f（x[，2]），
∴ f（x）在（-∞，0）为减函数.
变形把上述区间改为（-∞，+∞），此时有一部分学生改证明为
设-∞＜x[，1]＜x[，2]＜0，由（1） 得 f（x[，1]）＞f（x[，2]），
再设0≤x[，1]＜x[，2]＜+∞，由（1） 得 f（x[，1]）＞f（x[，2]），
得出f（x）在（-∞，+∞）为单调递减函数，显然是错误的，错误的原因是自变量分类错误.
合理的分类为设：
因此，设（1）x[，1]＜x[，2]且x[，1]x[，2]＞0，由（1）得
f（x[，1]）-f（x[，2]）＞0，
（2）x[，1]＜x[，2]且x[，1]x[，2]≤0，得
f（x[，1]）-f（x[，2]）=（x[，2]-x[，1]）[（x[，1]+x[，2]）[2]-x[，1]x[，2]]，f（x[，1]）-f（x[，2]）＞0，
由上述（1）（2）得对x[，1]＜x[，2]，x[，1]，x[，2]∈R均有f（x[，1]）＞f（x[，2]），
∴ f（x）在（-∞，+∞）为减函数，
只要对f（x[，1]）-f（x[，2]）=（x[，2]-x[，1]）（x[2][，2]+x[，1]x[，2]+x[2][，1]）有预见性，x[2][，2]+x[，1]x[，2]+x[2][，1]＞0就会立即作出变形f（x[，1]）-f（x[，2]）=（x[，2]-x[，1]）[（x[，2]+（（1/2）x[，1]））[2]+（（3/4）x[2][，1]）]＞0，f（x[，1]）＞f（x[，2]）的判断.
二、假设错误，没能理解单调区间上“任意”两个x[，1]，x[，2]，往往以特殊值x[，1]，x[，2]验证f（x[，1]）与f（x[，2]）的关系，代替单调性证明
例2 求证：y=sin2x+1在[-π/4+kπ，π/4+kπ]为单调递增函数.
有学生说：设x[，1]=-π/4，x[，2]=π/4，显然x[，1]＜x[，2]，且f（-π/4）=0，f（π/4）=2，
∴ f（x[，1]）＜f（x[，2]），
∴ f（x[，1]）在[-π/4+kπ，π/4+kπ]为单调递增.
分析 y=sin2x+1，这是一个周期函数，其单调性证明应先证明一个区间上的单调性，设I[，0]=[-π/4，π/4]，-π/4≤x[，1]＜x[，2]≤π/4，则
f（x[，1]）-f（x[，2]）=sin2x[，1]-sin2x[，2]=2cos（x[，1]+x[，2]）sin（x[，1]-x[，2]），-π/2＜x[，1]+x[，2]＜π/2，-π/2＜x[，1]-x[，2]＜0，
∴ cos（x[，1]+x[，2]）＞0，sin（x[，1]-x[，2]）＜0，
f（x[，1]-f（x[，2]）＜0，
∴ f（x[，1]）＜f（x[，2]），即f（x）在[-π/4，π/4]为单调递增函数，由f（x）周期为kπ的函数，
∴ f（x）在[-π/4+kπ，π/4+kπ]是单调递增函数.
三、判断符号错误，不能利用最简单的不等式变形，甚至连非负数的概念也没掌握
上述等式（2）变换过程叫分子有理化过程，在根式函数单调性的证明，往往用到这种方法，同时用到了配方，偶次根式的算术非负等其他非负数的性质，这恰恰是一般学生困难之处.
∴ f（x）在（-∞，+∞）为单调递减函数.
在一般单调性证明过程中有一个f（x[，1]）-f（x[，2]）符号的判断问题（大于零或小于零），其实也就是f（x）在单调区间上任意两个值f（x[，1]），f（x[，2]），作差f（x[，1]）-f（x[，2]）保号问题，这就是函数单调性的实质，在遇到含有参变量函数的单调性问题，就可利用f（x[，1]）-f（x[，2]）保号的特性求出参数的范围.
四、不明白单调函数的特性，证明或判断一个函数的单调性显得苍白无力
课本上已经对指数函数y=a[x]（a＞0且a≠1）和对数函数y=log[，a]x（a＞0且a≠1）的单调性进行了说明.
例如：设x[，1]＜x[，2]，则（f（x[，1]）/f（x[，2]））=（a[x1]/a[x2]=a[x1-x2]
特殊函数特殊处理，指数函数是作商来判断单调性的，而且要进行分类讨论，对数函数可用互为反函数的单调性证明，也即只要知道y=a[x]的单调性证明即可，当然对数函数也可设0＜x[，1]＜X[，2]＜+∞，
这里用y=a[x]与y=log[，a]x相关性质来证明它们的单调性.┌──────┬───────────┬───────────┐│
│
a＞1
│
0＜a＜1
│├──────┼───────────┼───────────┤│
│x＞0，a[x]＞1
│x＞0，0＜a[x]＜1
││ y=a[x]
│
│
││
│x＜0，0＜a[x]＜1
│x＜0，a[x]＞1
│├──────┼───────────┼───────────┤│
│x＞1，log[，a]x＞0
│ x＞1，log[，a]x＜0 ││y=log[，a]x │
│
││
│0＜x＜1，log[，a]x＜0 │0＜x＜1，log[，a]x＞0 │
└──────┴───────────┴───────────┘
看来对于基础不好的学生，证明有关指数函数或对数函数的单调性确实有些困难.
现在课外出现类似于指数函数或对数函数的抽象函数的单调性问题，这在高一新教材也看到它的雏形，例如高一（上）习题，设y=e[x]，求证：f（x+y）=f（x）f（y），类似地设y=log[，a]x，可证f（xy）=f（x）+f（y）.
例6 设函数y=f（x）定义在R上，且f（x）≠0，对任意的m，n恒有f（m+n）=f（m）f（n），且当x＞0时有0＜f（x）＜1，判断f（x）的单调性，并说明理由.
分析 y=f（x）的特征是类似于指数函数，函数的特性是（1）f（x）≠0；（2）当x＞0时有0＜f（x）＜1；（3）f（m+n）=f（m）f（n）.
在证明单调性时不能假设它为指数函数，而只能用指数函数类似的方法进行处理：
设x[，1]＜x[，2]，则f（x[，2]）=f[（x[，2]-x[，1]）+x[，1]]=f（x[，2]-x[，1]）f（x[，1]），
∴
（f（x[，2]）/f（x[，1]））=f（x[，2]-x[，1]），
∵
x[，2]-x[，1]＞0，
∴
0＜f（x[，2]-x[，1]）＜1，
∴
（f（x[，2]）/f（x[，1]））＜1，
又 f（x[，1]）=f（x[，1]/2+x[，1]/2）=f[2]（x[，1]/2）＞0，f（x[，1]）＞f（x[，2]），
∴ f（x）在R上为减函数.
这里用了类似的指数函数的比值比较法，判断f（x[，1]）与f（x[，2]）的大小.
例7 （1）定义在非零实数集上的函数f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y）-P（xy≠0且P＞0）
（1）求f（1）；
（2）若0＜x＜1时f（x）＞P，判断f（x）在（0，+∞）上的单调性.
解 （1）设x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1）-p，f（1）=P＞0.
（2）设0＜x[，1]＜x[，2]＜+∞，则f（1）=f（x×1/x）=f（x）+f（1/x）-P，f（x）=-f（1/x）+2P，
∴ f（x[，1]）-f（x[，2]）=f（x[，1]）-[-f（1/x[，2]）+2P]=f（x[，1]）+f（1/x[，2]）-2P=f（x[，1]/x[，2]）-P，
∵ 0＜x[，1]/x[，2]＜1，f（x[，1]/x[，2]）＞P，
∴ f（x[，1]）-f（x[，2]）＞0，
∴ f（x）在（0，+∞）为减函数.
函数的单调性的证明或判断具有深远的意义，上面所举的例子都是以高一课本上的题目为背景的.在形式（函数）上还可以给学生分类（整式函数、分式函数、根式函数、三角函数、指数函数和对数函数等），在单调性证明的方法上也可加以指导（差值比较法、比值比较法、导数法等），其实质就是比较f（x[，1]）与f（x[，1]）的大小，遇到含有参数函数的单调性问题一般的方法是研究f（x[，1]）-f（x[，2]）的保号性，再求出参数的范围.
作者介绍：王法尧 浙江武义县第三中学，321200
作者：王法尧
中学教研：数学版 2005年01期
现行高一教材第一册引出了函数单调性的定义，要求学生利用定义证明或判断函数在某一区间上的单调性，可是学生这一部分及相关单调性的内容，掌握并不好，总结起来有以下4类：
一、代数变形能力不强，分类不合理，分解因式及相关变形不到位
例1 求证f（x）=-x[3]+1在（-∞，0）上为减函数.
分析证明 设-∞＜x[，1]＜x[，2]＜0，则
f（x[，1]）-f（x[，2]）=x[3][，2]-x[3][，1]=（x[，2]-x[，1]）（x[2][，2]+x[，1]x[，2]+x[2][，1]），（1）
∵ x[，2]-x[，1]＞0，x[，1]x[，2]＞0，x[2][，1]+x[2][，2]＞0，f（x[，1]）＞f（x[，2]），
∴ f（x）在（-∞，0）为减函数.
变形把上述区间改为（-∞，+∞），此时有一部分学生改证明为
设-∞＜x[，1]＜x[，2]＜0，由（1） 得 f（x[，1]）＞f（x[，2]），
再设0≤x[，1]＜x[，2]＜+∞，由（1） 得 f（x[，1]）＞f（x[，2]），
得出f（x）在（-∞，+∞）为单调递减函数，显然是错误的，错误的原因是自变量分类错误.
合理的分类为设：
因此，设（1）x[，1]＜x[，2]且x[，1]x[，2]＞0，由（1）得
f（x[，1]）-f（x[，2]）＞0，
（2）x[，1]＜x[，2]且x[，1]x[，2]≤0，得
f（x[，1]）-f（x[，2]）=（x[，2]-x[，1]）[（x[，1]+x[，2]）[2]-x[，1]x[，2]]，f（x[，1]）-f（x[，2]）＞0，
由上述（1）（2）得对x[，1]＜x[，2]，x[，1]，x[，2]∈R均有f（x[，1]）＞f（x[，2]），
∴ f（x）在（-∞，+∞）为减函数，
只要对f（x[，1]）-f（x[，2]）=（x[，2]-x[，1]）（x[2][，2]+x[，1]x[，2]+x[2][，1]）有预见性，x[2][，2]+x[，1]x[，2]+x[2][，1]＞0就会立即作出变形f（x[，1]）-f（x[，2]）=（x[，2]-x[，1]）[（x[，2]+（（1/2）x[，1]））[2]+（（3/4）x[2][，1]）]＞0，f（x[，1]）＞f（x[，2]）的判断.
二、假设错误，没能理解单调区间上“任意”两个x[，1]，x[，2]，往往以特殊值x[，1]，x[，2]验证f（x[，1]）与f（x[，2]）的关系，代替单调性证明
例2 求证：y=sin2x+1在[-π/4+kπ，π/4+kπ]为单调递增函数.
有学生说：设x[，1]=-π/4，x[，2]=π/4，显然x[，1]＜x[，2]，且f（-π/4）=0，f（π/4）=2，
∴ f（x[，1]）＜f（x[，2]），
∴ f（x[，1]）在[-π/4+kπ，π/4+kπ]为单调递增.
分析 y=sin2x+1，这是一个周期函数，其单调性证明应先证明一个区间上的单调性，设I[，0]=[-π/4，π/4]，-π/4≤x[，1]＜x[，2]≤π/4，则
f（x[，1]）-f（x[，2]）=sin2x[，1]-sin2x[，2]=2cos（x[，1]+x[，2]）sin（x[，1]-x[，2]），-π/2＜x[，1]+x[，2]＜π/2，-π/2＜x[，1]-x[，2]＜0，
∴ cos（x[，1]+x[，2]）＞0，sin（x[，1]-x[，2]）＜0，
f（x[，1]-f（x[，2]）＜0，
∴ f（x[，1]）＜f（x[，2]），即f（x）在[-π/4，π/4]为单调递增函数，由f（x）周期为kπ的函数，
∴ f（x）在[-π/4+kπ，π/4+kπ]是单调递增函数.
三、判断符号错误，不能利用最简单的不等式变形，甚至连非负数的概念也没掌握
上述等式（2）变换过程叫分子有理化过程，在根式函数单调性的证明，往往用到这种方法，同时用到了配方，偶次根式的算术非负等其他非负数的性质，这恰恰是一般学生困难之处.
∴ f（x）在（-∞，+∞）为单调递减函数.
在一般单调性证明过程中有一个f（x[，1]）-f（x[，2]）符号的判断问题（大于零或小于零），其实也就是f（x）在单调区间上任意两个值f（x[，1]），f（x[，2]），作差f（x[，1]）-f（x[，2]）保号问题，这就是函数单调性的实质，在遇到含有参变量函数的单调性问题，就可利用f（x[，1]）-f（x[，2]）保号的特性求出参数的范围.
四、不明白单调函数的特性，证明或判断一个函数的单调性显得苍白无力
课本上已经对指数函数y=a[x]（a＞0且a≠1）和对数函数y=log[，a]x（a＞0且a≠1）的单调性进行了说明.
例如：设x[，1]＜x[，2]，则（f（x[，1]）/f（x[，2]））=（a[x1]/a[x2]=a[x1-x2]
特殊函数特殊处理，指数函数是作商来判断单调性的，而且要进行分类讨论，对数函数可用互为反函数的单调性证明，也即只要知道y=a[x]的单调性证明即可，当然对数函数也可设0＜x[，1]＜X[，2]＜+∞，
这里用y=a[x]与y=log[，a]x相关性质来证明它们的单调性.┌──────┬───────────┬───────────┐│
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a＞1
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0＜a＜1
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│x＞0，a[x]＞1
│x＞0，0＜a[x]＜1
││ y=a[x]
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│x＜0，0＜a[x]＜1
│x＜0，a[x]＞1
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│x＞1，log[，a]x＞0
│ x＞1，log[，a]x＜0 ││y=log[，a]x │
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│0＜x＜1，log[，a]x＜0 │0＜x＜1，log[，a]x＞0 │
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看来对于基础不好的学生，证明有关指数函数或对数函数的单调性确实有些困难.
现在课外出现类似于指数函数或对数函数的抽象函数的单调性问题，这在高一新教材也看到它的雏形，例如高一（上）习题，设y=e[x]，求证：f（x+y）=f（x）f（y），类似地设y=log[，a]x，可证f（xy）=f（x）+f（y）.
例6 设函数y=f（x）定义在R上，且f（x）≠0，对任意的m，n恒有f（m+n）=f（m）f（n），且当x＞0时有0＜f（x）＜1，判断f（x）的单调性，并说明理由.
分析 y=f（x）的特征是类似于指数函数，函数的特性是（1）f（x）≠0；（2）当x＞0时有0＜f（x）＜1；（3）f（m+n）=f（m）f（n）.
在证明单调性时不能假设它为指数函数，而只能用指数函数类似的方法进行处理：
设x[，1]＜x[，2]，则f（x[，2]）=f[（x[，2]-x[，1]）+x[，1]]=f（x[，2]-x[，1]）f（x[，1]），
∴
（f（x[，2]）/f（x[，1]））=f（x[，2]-x[，1]），
∵
x[，2]-x[，1]＞0，
∴
0＜f（x[，2]-x[，1]）＜1，
∴
（f（x[，2]）/f（x[，1]））＜1，
又 f（x[，1]）=f（x[，1]/2+x[，1]/2）=f[2]（x[，1]/2）＞0，f（x[，1]）＞f（x[，2]），
∴ f（x）在R上为减函数.
这里用了类似的指数函数的比值比较法，判断f（x[，1]）与f（x[，2]）的大小.
例7 （1）定义在非零实数集上的函数f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y）-P（xy≠0且P＞0）
（1）求f（1）；
（2）若0＜x＜1时f（x）＞P，判断f（x）在（0，+∞）上的单调性.
解 （1）设x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1）-p，f（1）=P＞0.
（2）设0＜x[，1]＜x[，2]＜+∞，则f（1）=f（x×1/x）=f（x）+f（1/x）-P，f（x）=-f（1/x）+2P，
∴ f（x[，1]）-f（x[，2]）=f（x[，1]）-[-f（1/x[，2]）+2P]=f（x[，1]）+f（1/x[，2]）-2P=f（x[，1]/x[，2]）-P，
∵ 0＜x[，1]/x[，2]＜1，f（x[，1]/x[，2]）＞P，
∴ f（x[，1]）-f（x[，2]）＞0，
∴ f（x）在（0，+∞）为减函数.
函数的单调性的证明或判断具有深远的意义，上面所举的例子都是以高一课本上的题目为背景的.在形式（函数）上还可以给学生分类（整式函数、分式函数、根式函数、三角函数、指数函数和对数函数等），在单调性证明的方法上也可加以指导（差值比较法、比值比较法、导数法等），其实质就是比较f（x[，1]）与f（x[，1]）的大小，遇到含有参数函数的单调性问题一般的方法是研究f（x[，1]）-f（x[，2]）的保号性，再求出参数的范围.
作者介绍：王法尧 浙江武义县第三中学，321200